宁夏银川市贺兰县第一中学2023-2024学年高二下学期第二阶段考试数学试卷

贺兰一中2023-2024学年第二学期高二年级第二阶段考试 数 学 试 题 注意事项： 1． 本试卷共22题，满分150分，考试时间为120分钟。 2． 答案写在答题卡上的指定位置。考试结束后，交回答题卡。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A．1 B． C．2 D．0 2．的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．某班有25名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是（    ） A．50 B．100 C．300 D．600 4．已知随机事件，，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ） A． B． C． D． 7．下列有关排列数、组合数的等式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。 9．若，，则（　　） A． B． C． D． 1 2 4 6 0.2 0.1 10．已知离散型随机变量的分布列为 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 11．已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的极大值点为2 C．的极大值为 D．有2个零点 12．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（    ） A．乙连胜三场的概率是 B． C． D．的最大值是 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若随机变量, 则方差 . 14．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年提出；据考证，我国至迟在11世纪，北宋贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，x的系数为 . 15．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有 种 16．设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图像如图所示，则 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17．设函数(mR). （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调增区间. 18．已知的展开式中的所有二项式系数之和为． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项． 19．袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球. (1)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列. 20．现有12个球，其中6个球由甲工厂生产，4个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的次品率依次是7%，8%，9%、现从这12个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是次品”，事件，，分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”， (1)求，，2，3， (2)若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率.（用分数作答） 21．2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分． 已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7． (1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由． 22．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)证明：. 高二第二阶段考试（数学）试卷 第2页，共4页 高二第二阶段考试（数学）试卷 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贺兰一中2023-2024学年第二学期高二年级第二阶段考试 数 学 试 题（参考答案 全解全析） 注意事项： 1． 本试卷共22题，满分150分，考试时间为120分钟。 2． 答案写在答题卡上的指定位置。考试结束后，交回答题卡。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】C 【分析】根据初等函数导数公式求导，然后即可得答案. 【详解】因为，所以． 2．的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】利用二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，得到展开式共有项，可求得的值． 【详解】因为展开式中，二项式系数最大的项只有第项即最大， 根据二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，所以，解得. 3．某班有25名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是（    ） A．50 B．100 C．300 D．600 【答案】D 【分析】利用排列及排列数公式即可求解. 【详解】由题意可知，他们发出的微信总数是. 4．已知随机事件，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用条件概率的公式求解即可. 【详解】因为,,所以， 又，所以. 5．函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据函数的单调性求解. 【详解】由题意可得.由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，故. 6．已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得的值，又由，计算可得答案. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 由分布列的性质，则有，解得， 故.. 7．下列有关排列数、组合数的等式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数与组合数的性质与计算公式一一判定即可. 【详解】根据组合数公式可知，显然两式相等，故A正确； 根据排列数公式可知，故B正确；易知，显然两式不等，故C错误；，显然两式相等，故D正确. 8．已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设，则，利用导数讨论函数的性质求出即可. 【详解】设，则，所以，令， 则，令，函数单调递减，令，函数单调递增， 所以，即的最小值为. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。 9．若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】令、可得答案. 【详解】因为所以令可得： 令可得 1 2 4 6 0.2 0.1 10．已知离散型随机变量的分布列为 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确； 对于D中，由，，则，所以D正确． 11．已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的极大值点为2 C．的极大值为 D．有2个零点 【答案】AD 【分析】求得，得出函数的单调区间和极值，再结合函数零点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得，令，解得或；令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极大值，极大值为； 当时，函数取得极小值，极小值为，又由时，且,，所以函数只有两个零点，所以A、D正确，B、C不正确. 12．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（    ） A．乙连胜三场的概率是 B． C． D．的最大值是 【答案】BD 【分析】根据题意列出决赛中的比赛局数为X的概率分布列，然后对照选项逐项分析即可判断. 【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5，若比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为4时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为5时，乙连胜三场的概率是；故选项A错误； 由题意可知，决赛中的比赛局数的可能取值为，则； ；故选项B正确； ;故选项C错误； 令，则， 因为，所以当时，，当时，； 当函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，函数取最大值，所以的最大值是 ，故选项D正确； 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若随机变量, 则方差 . 【答案】 【分析】利用方差公式，即可得出答案．【详解】结合方差． 【点睛】本题考查了方差计算公式，记住，即可． 14．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年提出；据考证，我国至迟在11世纪，北宋贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，x的系数为 . 【答案】 【分析】先求得的二项式展开式的通项公式为 ，令 ，求得，从而可求得答案. 【详解】在的二项式展开式中，通项公式为 ，令 ，解得 ， 所以的系数为， 15．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有 种 【答案】480 【分析】思路一：不相邻问题采取插空法即可求解；思路二：先求出所有可能的排列数，再减去2位老人相邻的排列数，即可得到答案. 【详解】方法一：先将4名志愿者排列好，有种排法，再将两个老人进行插空有种排法， 所以满足题意的不同的排法共有种； 方法二：6个人如果自由排列，则排法有种； 而如果2位老人相邻，则相当于先将2位老人排列，再整体视为1人与其它4人共5人进行排列，故排法有种；所以满足条件的排法有种. 16．设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图像如图所示，则 ． 【答案】 【分析】结合函数定义域得，代入函数及导函数可得方程组，求解可得. 【详解】由题意得，的定义域为，所以，由图可知，解得， 则，因为，则有①， 由在上严格递减，在和上严格递增，则， 由，则， 则，则②，由①②解得（舍），或，则. 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17．设函数(mR). （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调增区间. 【答案】（1）.（2） 【分析】（1）由，求导， 求出，，写出切线方程. （2）当时，，求导，然后由求解. 【详解】（1）当时，， ，在处的切线方程为即. （2）当时，， 令，得，， 解得(舍去)或，的单调增区间是. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知的展开式中的所有二项式系数之和为． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二项式系数和可求得的值； （2）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】（1）解：展开式中所有二项式系数之和为，解得． （2）解：由（1）知所以展开式通项为， 令，解得，则，所以展开式中的常数项为． 19．袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球. (1)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列. 【答案】(1)分布列见解析；(2)分布列见解析. 【分析】（1）根据题意，由超几何分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由二项分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，， X 0 1 2 3 P 所以，X的分布列为： （2）有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次抽取到黑球的概率均为， 由题意可知Y的可能取值为0，1，2，3，， Y 0 1 2 3 P 所以，Y的分布列为： 20．现有12个球，其中6个球由甲工厂生产，4个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的次品率依次是7%，8%，9%、现从这12个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是次品”，事件，，分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”， (1)求，，2，3， (2)若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率.（用分数作答） 【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率计算公式，直接求解即可； （2）根据全概率公式，求得，再根据贝叶斯公式，求得即可. 【详解】（1）根据题意，. （2）根据题意可得， 故； 则，故若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率为. 21．2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分． 已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7． (1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【答案】(1)分布列见详解(2)先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由见详解. 【分析】（1）由已知可得的所有可能取值，分别计算概率即可求解； （2）设甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分，求解的分布列，分别计算，的期望，比较大小，即可求解.   【详解】（1）由题意的所有可能取值为，，， 所以，， ，所以的分布列为 （2）甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由如下： 由（1）可知， 甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分， 则的所有可能取值为，，， ，， ， 所以的分布列为 ，所以， 所以甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题. 22．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)证明：. 【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解 【分析】（1）求导可得，分和两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性； （2）构建，，根据单调性以及零点存在性定理分析的零点和符号，进而可得的单调性和最值，结合零点代换分析证明. 【详解】（1）由题意可得：的定义域为，， 当时，则在上恒成立，可知在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）构建， 则， 由可知，构建， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 且， 可知在上存在唯一零点， 当，则，即； 当，则，即； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，， 可得， 即，所以. 试卷第10页，共10页 试卷第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$