精品解析：广东省韶关市乐昌市第二中学2024届高三下学期保温测试（5月模拟）数学试题

乐昌市第二中学高三数学安心检测2024.05 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案. 【详解】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为； 故选：B 2. 已知， 则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件，必要条件定义，结合即可判定. 【详解】， 若，则，又，所以， 若，，故，即， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，列出方程，即可求解. 【详解】由，且， 可得，解得. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数性质可判断b的范围，利用三角函数诱导公式求得c,并利用对数函数的性质比较的大小，即得答案. 【详解】因为， 所以, 故选：B. 5. 已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为数列各项均为正数，首项，则， 又数列是以为公差的等差数列， 则，故 故选：A 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解. 【详解】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有：，解 得, 所以圆台的侧面积. 故选：B 7. 已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据是偶函数，得到关于对称，即，结合和为偶函数即可得到周期为4，故可求出，则即可. 【详解】因为是偶函数， 所以的图象关于直线对称， 即， 即， 所以. 所以关于点中心对称. 又是定义域为的偶函数， 所以， 所以， 即， 所以函数的周期为4. 所以， 所以. 故选：D. 8. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，为的中点，且，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合向量的线性运算可得，结合焦半径公式与即可得解. 【详解】设、、，由可得， 由，为的中点， 则有，即， 即，故， ， 又，故，此时点在原点. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助向量的线性运算，得到，从而可结合焦半径公式得到. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断即可. 【详解】，A正确；，B正确； ，则，C正确； ，D错误. 故选：ABC. 10. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ） A. 与相互独立 B. 与互斥 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，根据独立事件及条件概率的概率公式判断C、D. 【详解】对于A，依题意，，， 所以事件与事件相互独立，故A正确； 对于B，由题意可知，事件与事件有可能同时发生， 例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，故B错误； 对于C、D，，因为，所以， 所以，故C正确，D错误． 故选：AC． 11. 已知函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列命题正确的是（ ） A. 函数最小正周期是 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D. 若圆的半径为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先求出点的横坐标，求出最小正周期，A正确；B选项，求出，得到特殊点的函数值得到，得到函数解析式，整体法得到在上不单调递减，B错误；C选项，求出向左平移个单位的解析式，代入检验得到C正确；D选项，由和勾股定理得到，代入求出，得到函数解析式. 【详解】A选项，由对称性可知点的横坐标为， 设的最小正周期为，则，解得，A正确； B选项，因为，所以， 点在图象上，即点在图象上，将其代入函数解析式得， 又，故，解得， 故， 当时，， 又，在上不单调， 故函数在上不单调递减，B错误； C选项，函数的图象向左平移个单位后得到， 其中，故关于直线对称，C正确； D选项，若圆的半径为，即， 又，故，解得， 所以将代入中得，，解得， 则，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为虚数单位．若集合，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用集合的包含关系，列出方程组，即可求解. 【详解】由集合，，因， 当时，此时，方程组无解； 当时，此时，解得， 综上可得，实数值为. 故答案为：. 13. 已知轴为函数的图像的一条切线，则实数的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，设切点为，，由题意列关于与的方程组，求解得答案． 【详解】解：由，得， 设切点为，， 则，消去并整理，得，则． ． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出圆的圆心、半径，并设出动圆圆心坐标，利用两圆有公共点的条件，建立不等式求解作答. 【详解】圆：的圆心，半径， 以直线上的点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则， 于是，整理得， 依题意，不等式有解，则，解得， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且． （1）求角； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，利用余弦定理求得，即可求解； （2）设，在和中，利用正弦定理化简得到，结合三角函数基本关系式，联立方程组，求得的值. 【小问1详解】 解：由分别以为边长的正三角形的面积依次为， 则，可得， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 解：设（其中为锐角）， 在和中，由正弦定理可得且， 于是， 又因为，所以， 化简得， 根据同角三角函数的基本关系式，可得， 因为，联立方程组，解得，即. 16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD， ，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点. （1）证明：； （2）当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）过作，垂足为，分析可知为等边三角形，可得，结合面面垂直的性质可得平面ABCD，即可得结果； （2）取线段的中点，连接，建系，设，求平面PAD的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题. 【小问1详解】 过作，垂足为， 由题意知：矩形，可得， 由，则为等边三角形，且F为线段BC的中点，则， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 可得平面ABCD，且平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：平面ABCD， 取线段的中点，连接，则∥，， 又因为，可知， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为线段PF上一点，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理得，解得， 所以当，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 17. 某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均可支配收入 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12 （1）求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入； （2）某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考数据及公式：，，，． 【答案】（1），5.37 万元 （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）求出相关数据，代入公式得到回归直线方程，并代入即可； （2）首先得到 的可能取值为 0,1,2,3，分步列出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 由题意得，， ， ， ， 故， ， 故回归方程为， 又因为2024年的年份编号为8，将代入，解得， 预测2024年该市城镇居民人均可支配收入为5.37万元; 【小问2详解】 由图表知，人均可支配收入超过4.5万年份有3年， 故的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 故. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由已知条件得，再表示出通径长，解方程组即可求得； (2) 设直线方程为,由直线与椭圆相切可得，用圆心到直线的距离表示的面积，得到一个关于的函数最大值问题，利用导数求出取最大值时的值，再求出此时的值即可，注意斜率不存在的情况讨论与比较. 【小问1详解】 由题椭圆的左焦点为， 即①； 当时，， 又过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，所以②， 由①②得：， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 当斜率存在时，设直线方程为,与联立，消去并整理得： 已知直线与椭圆相切，所以， 化简得：； 又O到直线的距离为， 设P到直线的距离为，则， 则的面积， 令, 得, 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值也是最大值, 当斜率不存在时，可得， 此时的面积， 因为，所以， 综上：的面积最大值为，此时 故的面积最大时直线的斜率为. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）求导对分类讨论的正负得出的单调性； （2）变形，利用导数对的值进行分类讨论，得出函数的单调性，由单调性即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）由题知，的定义域为， ∴． （对函数求导后，由于恒大于0，故对进行正负分类讨论，从而判断函数的单调性） 当时，在上恒成立，故在上是增函数； 当时，令得 在上有，在上有 ∴在上是减函数，在上是增函数 （2）当时，，即（*）． 令 则． ①若，由（1）知，当时，在上是增函数 故有 即，得，故有． （由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题） （当且仅当，即，且时取等号） （根据及基本不等式可知需对和的大小分类讨论） ∴函数在区间上单调递增，∴，∴（*）式成立． ②若，令 则，当且仅当时等号成立． ∴函数在区间上单调递增． ∵ ∴，使得 则当时，，即． ∴函数在区间上单调递减 （构造函数，对其求导并根据零点存在性定理判断的单调性） ∴，即（*）式不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了利用导数分类讨论求函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 乐昌市第二中学高三数学安心检测2024.05 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知， 则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差等差数列，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义域为偶函数，，，若是偶函数，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 8. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，为的中点，且，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ） A. 与相互独立 B. 与互斥 C. D. 11. 已知函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D. 若圆的半径为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为虚数单位．若集合，，且，则______． 13. 已知轴为函数的图像的一条切线，则实数的值为___________. 14. 在平面直角坐标系中，圆方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且． （1）求角； （2）若，，求． 16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD， ，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点. （1）证明：； （2）当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 17. 某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均可支配收入 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12 （1）求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入； （2）某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考数据及公式：，，，． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$