2024年普通高等学校招生全国统一考试猜题信息卷（三）文科数学试题

。, 文科数学(三)参考答案 1.D由x-x-6<0,得-2<<3,又xEN,所以A-(0,1.2),B(yly-+1,xA)-(1,2,5),所以 AB-(0,1,2,5).故选D 2.C-1-21-1-)-4----3-41--+1.故选C. 3.A 由三视图可知该几何体是正四校锥,且底面边长为2,高为/3,所以侧面三角形的高为12十(\3)^-2. _ ))) 5.D 由圆C:r+-4与圆C:(x-2)+(y+2)*-8的方程作差,得直线AB:x-y-1-0,又圆C; ..。 14.故选D. 6.C -0+2-2,$-1+2-3,满足 22;i-2+2-4,s-3+4-7,满足s 22;i-4+2-6,-7+6-13. 足$22;-6+2-8,s-13+8-21,满足$22;i-8+2-10,s-21+10-31,不满足s<22,结束.所以i= 10.故选C. 7.D 由题意,角a的终边过点(一3,一4),由三角函数的定义知sina一- -3,由角的终边与角 a的终边关于x轴对称,得角B的终边过点(-3,4),所以sinp-,cosp一,所以sin(a-p)-sin aoos{ -osasin)-(-)x(-3)-(-)×4-2.故选D. 十y120V回 -十20, 8.A 如图,不等式组 _0. 表示的平面区域为四边形OABC及其内部,其中 O(o,o),A(3,o),B(2,4).C(o,2),所以Smmonc-Sou+Sorc-×3×4+ 1×2X2-8,设直线y-3-与直线42十y-12-0交于点D(24,3),所以满足x<2>的平面区域为四 边形OCBD及其内部(不含OD),Sm形ccn-Smmmounc-SAon-8-x3×36-1.,所以在四边形OABC 及其内部任取一点P,满足z<y的概率为P-34-8-17.故选A 【CTLM·文科数学(三)参考答案:第1页(共6页)】 mB CS 扫描全能王 5亿人那在用日描A 9.B 当n→2时,由a-a-!=2n,a-2,得a.=(a.-a-:)+(a-1-a.-。)十.+(a-a)+(a-a)十 a-2n+2(n-1)十.-+4+2-n(n+1),当n-1时,a-2满足上式,所以a.-n(n+1)(neN.),所以 (-)-1-1-1,所以$s-2024.故选B. 10.B 因为定义域为(0,m)的函数f(x)是闭函数,所以f(x)在[a,b上的值域为[a,b,其中[a,]C (0,m),又函数f(x)在(0,m)上单调递增,所以 则a,6为方程*十n-x的两个不相等的 10{n. 实根,即方程n-x-在(0,m)上有两个不相等的实根,令g(x)-x-,即存在实数n,使得函数 y-g(z)与y-n有两个不同的交点,又g(c)在(o,)上单调递增,在(,十oo)上单调递减,所以m> 7时,函数y-g(z)与y=n有两个不同的交点,又m是正整数,所以m的最小值为4.故选B. 11.A 由题可知A,B两点关于原点对称,AB是动圆C的弦,设C(x,y),所以圆C的半径r=|CAl OCl+lOAl-+y+4=ly+2|,化简得-4y,所以曲线E为抛物线,(0,1)为曲线E的焦 )(x十1, r得-4r-4 -$,x+x=4,|MNl=+y+2-x+1+x+1+2-(x+x)+4=4+4,同可得lPQl= +4.SaMPNo-1MN|·|PQl-(4+4(+4)-8(2++)>16+16 ·-32 当且仅当×一士1时取得等号,故四边形MPNQ面积的最小值为32.故选A 12.C A选项中,V三核-apM-V三核MAano-3S△Asp·AA-3x4X2-3,故A正确;B选项中,点M到平 面ACC.A.,平面BDD.B.的距离之和即为点M到线段AC,B.D 的距离之和,如图1,设A.M-x,B.M 交线段AD于点E,则E为靠近点D的四等分点,连接BE,NE,所以四边形BENM为满足题意的截面,不 是五边形,故C错误;D选项中,如图3,以M为球心,2为半径的球与上底面A.B.C.D 的交线为圆孤FG cos$ B.MG-,即B.MG-,所以 GMF-2-,该交线长为2-x2-4,如图4,同理以M为球心,2$ 为半径的球与侧面ABB;A.的交线为圆孤HI,交线长为4",所以交线长之和为8",故D正确.故选C ###### 图1 图2 图3 图4 4B 【CTLM·文科数学(三)参考答案 第2页(共6页)】 CS 扫描全能王 3亿人郡在用目g 13.+e”y+4-0当x--2时,y--,又y-(x+1),当x--2时,-(-2+1>e-?--,所以曲 线y-xe在x--2处的切线方程为y+2--1(x+2),即x+ey+4-0. 14.吾 由la-2bl-la+2bl,得(a-2b)?-(a+2b)?,即a-4a·b+4-a?+4a·b+4,所以a·b-o,又 la+2bl-5lal,所以(a+2b):-5a”,化简,得-a,即lal-lbl,所以a(a-b-lal},la-bl= a· a-b 15.R 由f(x)=[sin}(r+)+cos(ax十)][sin(ar十)-cos?(ax+]-cos(2x+2),得f(o) 1 s 2-,又0<<,所以2-,解得吾,所以f(x)--cos(2ax+),又f(x)在 [#3]上单调,所以T>3--,即T2,解得<2,又N”,所以-1或2当-1时,$ #x)-cos2+),由x [3],得2+ [4,1[n,2],所fx)在]上单 调递减,符合题意;当2时,f(x)=-cos(4x+),由x [,3-],得4x+[0*],#为} <3r<10r,所以f(2)在[吾,]上不单调,不符合题意,所以f(2)--cos(2r+),则f()--os5- 耳 16.(5,+oo)由题意,E的渐近线方程为y-一士-,不妨设直线1与渐近线y--垂直,因为P-mFQ (m>1),所以直线1与直线y---,y--分别交于点P,Q,因为F(c,0),所以l.y--(r-e), 与直线-:联立,得#(-)#,同。()#则#-(-#)## (-#_) 那-----1,因为(V), #a_# 高i 以m=-1+2<(,+),即实数m的取值范围为(,+o). 17.解:(1)第一组,第四组,第二组的频率构成等差数列,由图可知0.1十0.3-2×a×20,所以a-0.01; 又o. 0.0.15.0.12..1...0..的................................3分 所以元-30×0.1+50×0.3+70×0.4+90×0.2-64,即这60天中该餐厅的日平均收入为64千元 (2)采用分层随机抽样的方法从这60天中抽取5天,则抽到被认定为“目标完成”的天数为5X0.6一3,记为 A,B.,C.,抽到被认定为.标未完成”的天数为.xo.4..2..为.为..6.........................7分 【CTLM·文科数学(三)参考答案 第3页(共6页)】 mB C$ 扫描全能王 5亿人郡在用日描A 基本事件有AB,AC,Aa,A,BC,Ba,B,Ca,Cb,ab,共10个. 记2天中恰有1天被认定为“目标完成”为事件M,则M包含的基本事件有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共6个. 所以P(M)--3,即2天中恰有1天被认定为“目标完成”的概率为3 ...............1.. 18.(1)证明:连接BA,BC.因为BB.-BB.BBC=B BA,BC=BA,所以△BBC△B BA,所以BC 取AC的中点O,连接BO,BO,所以AC1BO. 2.: 又△ABC为等边三角形,所以BO1AC 11 又BOOBO-O,BO,B.O二平面B.BO,所以AC1平面BBO, ............... C 又BBC平面B.BO,所以AC1BB. (2)解:在平面B.BO中,过B:作B.M1OB,垂足为点M, 由(1)可知,AC1平面BBO,又BMC平面B.BO,所以AC1BM 又OBOAC-O.OB,ACC平面ABC,所以BM1平面ABC 在△BBA中,BB-BA-6, B BA-60{,所以△B BA是等边三角形,所以BA-6,又BA-BC.AC- 因为△ABC,△BAC都是等边三角形,O为AC的中点,所以BO-B.O-3v3,又BB.-6,所以cos B.BC 2BB·B ) 因为△ABC的面积S-)×6×6×sin 6”-9/3, 一: 所以三校柱ABC-A.BC 的体积V-S·BM-54/②. ...................... , ,_ sinC 即sin Acos C-2sin Bsin C-cos Asin C,化简,得 sin Acos C+cos Asin C-2sin BsinC. .............3分 又B-x-(A+C),所以sinB-sin(A+C)-2sinBsinC. 又△ABC为锐角三角形,所以B.Ce(o,吾),sin B0,所以sinC-,解得C-吾 ........分.. 2sin(5n-B) sinB 所以Ssug-absnC-sin _sin(5-B) sin5scosB-cos5rsin B sinB ........分.. sinB 0<2 解得吾二B 因为△ABC为锐角三角形,所以 ...................... ... 10- :B 【CTLM·文科数学(三)参考答案 第4页(共6页)】 C$ 扫描全能王 5亿人郡在用日画A 所以 tanBE(V③,+o),所以3<1.+323# .......................................... ..分 所以△ABC面积的取值范围为(,23). ........................ 20.解:(1)设圆C的半焦距为c. 圆C.....一-..为........................1分 圆心为.....................................分 因为圆C.两个短轴端点都在'上,所以(0.+1.1).+”-.4,解得-v..........3分 所以a-十-2,故所求圆方程为-+-1. ............ (2)若直线AB垂直于x轴,则OA,OB的斜率都不存在,不合题意; ...............................分 所以直线AB的斜率存在,设AB:y=kx十2,A(,),B(x,), [y-x+2, .......................... 。 由△-(16)*-16(3+4^ )>0,解得 >或 -, 》) 。 -314般,2-a-3+4 所以x十x:--16般 .....................1 所以bor+hon-+-(k+2)+(k+2)2+2(+n)-2k+2.-16--6-12,解得 &2 ....... _-.2....................... .......................1.分 所以直线AB的方程为y--2-x+2,此时x+-32x-1, 所以1AB]-、甲·G第十)-4-_、(1)-4×4-0. ..............1.. .. 1.(1)解.f(2)-2)1-m1. 22x ........................ 2 。 令f(z)-0,则m--1-0,解得--1 所以当x(o.1)时,f(x)<o,/(x)单调减;当z(-,+oo)时,f(x)>o,f(x)单调增. 所以f(2)在.....望.........望...道.................4分 可) 当→1时,→,+寸,以一# 【CTLM·文科数学(三)参考答案 第5页(共6页)】 4B CS 扫描全能王 3亿入那在用日描A{ 令,->o,则x-v王--1-)lnx--2-21n 令8()=-2-21n ,g(6)-1+-2-(-1)(-++22 2(2十1) ............................分 又 +>2r^(当且仅当t-1时取等号),所以-+*+t+2>&+t十2>0 令g’(t)>0.解得t 1.令g’(t)<0.解得0<t1.所以g(t)在(0.1)上单调递减,在(1,+oo)上单调递增 22.解:(1)(x-2)2+(y+1)2-9cos}a+9sin}-9. 高 所以曲线,..........-)....1..-............分 由pcos 0-x,psin0-y及4pcos e-3psin θ-1-0,得4r-3y-1-0,. 所以直线1的直角坐标方程为4x-3y-1一0. (2)因为411,所以可设么的方程为3x+4y+m=0,又直线4过点A(1,1),所以7+m=0,解得m=-7.即 1:3x+4-7-0 - )一( 设2的参数方程为 (t为参数),点B,C对应的参数分别为t,t2 ! ,. 将1的参数方程代入E:(x-2)*+(y+1)?-9,得?+4t-4-0,所以t+t=-4,t=-4<0, ................... 以11AC-11-1-|11-1. 所以m+2n-(m+n)(+)-(5+2-2+)→(5{、-n.)-当当2n-n. 即m-n_时取等号, 所以m十2n的最小值为号. (2)因为对于任意的m,ni,不等式f(x)<m十2n在xER上恒成立,所以f(x)<(m+2n),即 f(2 因为f(z)-lx+3l-lx-al<I(x+3)-(x-a)|-|3+al, 当a>-3时,上式在x>a时等号成立;当a<-3时,上式在x<a时等号成立.所以f(x)m=l3+al. 所以l3+al<号,解得-15<a<,即a的取值范围是[-15,2] ................1... CS 扫描全能王 3亿人郡在用目g2024年普通高等学校招生全国统一考试猜题信息卷（三） 文科数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题 卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在 答题卡上对应的答题区城内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 如 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 啟 合题目要求的。 1.已知集合A={x∈N|x2-x-6<0},B={y|y=x2+1,x∈A},则AUB= 长 A.{0,5)》 B.{1,2} K C.{1,2,5) D.{0,1,2,5} 敬 2.已知复数=1一2i(为虚数单位)，则 2 杯 A+ B-号-g 毁 期 c-+0尉 D-号- 3.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正方形，正（主） 视图与侧（左）视图都是等边三角形，则该几何体的表面积为 A.12 正（住）视图 侧（左）视图 B.4+45 C.8 D.4V3 俯视图 4.已知等比数列{an)的前n项和为S.,若a1ag=3a6ag,S6=364,则a1= A.729 B.243 C.3 D.1 5.已知圆C:x2十y2=4与圆C2:(x一2)2十(y十2)2=8的交点分别为A,B,则|AB|= A.√5 B要 C.23 D.14 【2024年猜题信息卷（三）·文科数学第1页（共4页）】 6.执行如图所示的程序框图，则输出的= s=sti 42 <22 输出i 结束 A.6 B.8 C.10 D.12 7.在平面直角坐标系中，角α，的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角a的终边 过点（一3，一4），角B的终边与角a的终边关于x轴对称，则sin(a一B)= A-器 7 B.一25 7 C. D. 器 4x+y-12≤0， F 8.在不等式组 x-y+2>0, 表示的平面区域内任取一点P(x,y),则满足x< x≥0， y的概率为 y≥0 A器 B吕 c品 D器 9.已知数列{an}满足a1=2,且am一am1=2n(n≥2，n∈N·),记数列 的前n项和为S.,则 a S224= A8阁 B号82器 C02 D号8 10.对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件：①f(x)在D上是单调函数：②存在区 间[a,b]二D,使得f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则称y=f(x)(x∈D)为闭函数.若存在实 数，使得定义域为(0，m)的函数f(x)=号2+n是闭函数，则正整数m的最小值为 A.3 B.4 C.6 D.7 11.已知直线l过原点O,A,B两点都在l上，且|OA|=|OB引=2，以C为圆心的圆过A,B两点， 见图 且与直线y=一2相切，设圆心C的轨迹为曲线E,过(0,1)作两条互相垂直的直线4，，且4 与曲线E交于M,N两点，2与曲线E交于P,Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为 A.32 B.16 C.8 D.4 12.在长方体ABCD-ABCD中，AB=2BC=2AA,=4,M是线段AB上的动点，则下列结论 错误的是 A.三棱锥A-BDM的体积为号 B.点M到平面ACCA,平面BDD1B,的距离之和为定值 C.若M为靠近B,的三等分点，N为AD的中点，过B,M,N三点作长方体ABCD A,BCD,的截面，则截面图形为五边形 D.若M为靠近B,的四等分点，则以M为球心，2为半径的球面与上底面AB1CD1,侧面 AB,A,的交线长之和为警 【2024年猜题信息卷（三）·文科数学第2页（共4页）】 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.曲线y=xc在点x=一2处的切线方程为 14.已知非零向量a,b满足|a-2b1=|a十2b川=√51a|,则向量a与a一b的夹角为 15.已知函数f(x)=sin(aux+p)-cos(or+p)(o∈N',0<g受)在[受，]上单调，且 f0)=-是，则f() 16已知双曲线E号-芳=1(0>06>0)的右焦点为F,过F作直线1，直线1垂直于E的- 条渐近线，且与E的两条渐近线分别交于P,Q两点，若E的离心率e∈（气W2),且P中- mF过(m>1),则实数m的取值范围为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每 个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。 17.(本小题满分12分) 2023一2024年岁末年初的冬天，南方“小土豆”勇闯“尔滨”，“尔滨”旅游业爆火.哈尔滨市某 部门为了掌握旅游业对哈尔滨市餐饮行业收入情况的影响，将某餐厅60天中的日收人（单 位：千元)分成四组：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，并制定了如下频率分布直方图， 其中第一组，第四组，第二组的频率构成等差数列。 (1)根据频率分布直方图，估计这60天中该餐厅的日平均 频率 组距 收入（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)此餐厅经理给餐厅制定了收入目标，若日收人不低 于60千元，则被认定为“目标完成”，否则被认定为0.015 “目标未完成”.采用分层随机抽样的方法从这60 天中抽取5天，再从这5天中随机抽取2天研究日0.005 收入情况，求这2天中恰有1天被认定为“目标完 020406080100日收入/千元 成”的概率. 18.(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，AB=AC=BC=AA1=6,∠B1BA=∠B,BC=60° (1)证明：AC⊥BB1; (2)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积. 【2024年猜题信息卷（三）·文科数学第3页（共4页）】 19.(本小题满分12分) sin A 在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c“2snB-cosA=anC (1)求角C: (2)若b=2,求△ABC面积的取值范围. 20.(本小题满分12分) 设椭圆C号+芳=1(。>6>0)的左焦点与圆C:2+y+2z一3=0的圆6C重合，且椭 圆C的两个短轴端点都在圆C上， (1)求椭圆C的方程： (2)若在y轴上的截距为2的直线1与椭圆C分别交于A,B两点，O为坐标原点，且直线 OA,OB的斜率之和等于12，求线段AB的长度 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=2√m·√无一lnx(m>0). (1)判断f(x)的单调性： (2②)当m≥1时，求证对V>0,)-√m丘-子nm0, (二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 都 题计分。 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为 z=2十3co5a”(a为参数)，以坐标原点0为 y=-1+3sin a 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4ocos0-3sin0-1=0. (1)求曲线E的普通方程和直线L的直角坐标方程： (2)已知点A的直角坐标为(1,1)，直线过点A,且⊥1，若1与曲线E交于B,C两点， 求AB一TACT 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知实数m>0,i>0,且2m十n一2mm=0,函数f(x)一|x十3|一|x一a(a∈R). (1)求m十2m的最小值： (2)对于任意的m,n,不等式f（x)≤m十2m在x∈R上恒成立，求a的收值范围。 【2024年猜题信息卷（三）·文科数学第4页（共4页）】