甘肃省白银市靖远县育才高级中学2024届高三考前押题卷数学试题

2024年高考考前临考押题卷 数学（新课标Ⅱ卷） （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．样本数据16，24，14，10，16，21，12，9，13，18的分位数为（    ） A．13 B．13.5 C．14 D．16 3．已知，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（    ） A．413 B．427 C．308 D．133 6．已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，，，，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线l，m，平面，，则下列说法错误的是（    ）. A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 10．已知函数，则（   ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有2个零点 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 11．如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（    ） A．当直线 的斜率为1时， B．若，则直线的斜率为2 C．存在直线 使得 D．若，则直线 的倾斜角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，集合，写出满足的一个实数的值 ． 13．二项式的展开式中，项的系数是常数项的倍，则 ． 14．在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(本小题满分13分）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．求角的大小． 16．(本小题满分15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量. (1)求的分布列；(2)若满足的n的最小值为，求； (3)在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优. 17．(本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点在上，点为的中点，且平面． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 18．(本小题满分17分）如图，已知椭圆与轴的一个交点为，离心率为，，为左、右焦点，M，N为粗圆上的两动点，且． (1)求椭圆的方程； (2)设，的斜率分别为，，求的值； (3)求△面积的最大值． 19．(本小题满分17分）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． (1)写出这个数列的前7项； (2)如果且，求m，n的值； (3)记，，求一个正整数n，满足． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高考考前临考押题卷 数学（新课标Ⅱ卷） （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以，故选D 2．样本数据16，24，14，10，16，21，12，9，13，18的分位数为（    ） A．13 B．13.5 C．14 D．16 【答案】B 【解析】将这组数据从小到大排列，因为，而是整数，所以这组数据的分位数为，故选B 3．已知，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，所以，解得. 故选A. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以， 所以. 故选：D 5．古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（    ） A．413 B．427 C．308 D．133 【答案】A 【解析】由题知，每日德拉玛数依次构成等差数列， 设数列首项为，公差为，则，. 则通项公式，，， 则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为： ，故选A 6．已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】圆即，圆心为，半径， 又直线，令，则，即直线恒过点，即直线恒过圆心， 又直线与圆相交于，两点， 所以，所以 ，故选C 7．过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，设圆的圆心为，则， ，令，，， 则，其中， 所以的最大值为.故选：D. 8．已知函数的定义域为，，，，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】令，得，即， 令，得，得，所以函数为偶函数， 令，得， 令，得， ，或， 若，解得与已知矛盾， ，即，解得，， 令，得， ，，， ，所以函数的周期为4. .故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线l，m，平面，，则下列说法错误的是（    ）. A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 【答案】ABC 【解析】选项A中，m可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，与也可能相交，故B错误； 选项C中，与也可能相交，故C错误； 选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确. 故选：ABC. 10．已知函数，则（   ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有2个零点 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】函数 ． 选项A：，，故最大值为2，A正确； 选项B：时，，不单调递增，故B错误； 选项C：时，，可知当以及时，即以及时，在上有2个零点，故C正确； 选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，不关于原点对称，故D错误. 故选：AC． 11．如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（    ） A．当直线 的斜率为1时， B．若，则直线的斜率为2 C．存在直线 使得 D．若，则直线 的倾斜角为 【答案】AD 【解析】易知，可设，设， 与抛物线方程联立得， 则， 对于A项，当直线 的斜率为1时，此时， 由抛物线定义可知，故A正确； 易知是直角三角形，若， 则， 又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误； 由上可知 ， 即，故C错误； 若， 又知，所以， 则，即直线 的倾斜角为 ，故D正确. 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，集合，写出满足的一个实数的值 ． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】因为，所以， 设，则的整数解为， 则，，且，解得， 13．二项式的展开式中，项的系数是常数项的倍，则 ． 【答案】5 【解析】二项式的展开式通项为， 则项的系数是，常数项是， 由题意得，即， 整理得，解之得或（舍） 14．在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 . 【答案】；. 【解析】由余弦定理可得， 故，所以， 当且仅当时取等号，故， 故面积的最大值为，， 由于，所以点在以为直径的球上（不包括平面），故当平面平面时，此时最大为半径，故， 由正弦定理可得：，为外接圆的半径， 设四面体外接球半径为，则， 其中分别为球心和外接圆的圆心， 故当时，此时最小，故外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(本小题满分13分）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．求角的大小． 【解】（1） ， 令，， 得，，， 所以的单调递增区间为； （2）由（1）知，， 又，∴，所以，， 由正弦定理及，得，， ∴，整理得，， 又，∴，所以角B的大小为. 16．(本小题满分15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量. (1)求的分布列； (2)若满足的n的最小值为，求； (3)在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优. 【解】（1）设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量， 则0.2，， X的取值范围是， ，，， ，， ，， X的分布列为 X 10 11 12 13 14 15 16 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 （2）由（1）可知，，故. （3）由（2）可知. 在灯带安全使用寿命期内，当时，设购买替换灯珠所需总费用为u元， 当时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，则， ，故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比的方案更优. 17．(本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点在上，点为的中点，且平面． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【解】（1）证明：连接交与点，连接，可得平面与平面的交线为， 因为平面，平面，所以， 又因为为的中点，所以点为的中点， 取的中点，连接，可得且， 又因为为的中点，可得且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面． （2）解：取的中点，连结， 因为，可得，且， 又因为，且， 所以，所以， 又因为，且平面，所以平面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 因为为的中点，为的中点，可得， 则， 设是平面的法向量，则， 取，可得，所以， 设是平面的法向量，则， 取，可得，所以； 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 18．(本小题满分17分）如图，已知椭圆与轴的一个交点为，离心率为，，为左、右焦点，M，N为粗圆上的两动点，且． (1)求椭圆的方程； (2)设，的斜率分别为，，求的值； (3)求△面积的最大值． 【解】（1）由题意得，，解之得，∴椭圆的方程为； （2）由（1）知，所以， 设直线、、的倾斜角分别为、、、， 则，，，则，所以， 所以，所以，即． （3）设直线， 将直线方程与椭圆方程联立 得， ，∴，同理得， 由（2）知，， 又， 同理，， ， ∴， ∴， ， 令，则， 当，即时等号成立，所以的最大值是． 19．(本小题满分17分）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． (1)写出这个数列的前7项； (2)如果且，求m，n的值； (3)记，，求一个正整数n，满足． 【解】（1）根据题意，，， ，，， ，． （2）由已知，m，n均为奇数，不妨设． 当时，因为，所以，故； 当时，因为，而n为奇数，，所以． 又m为奇数，，所以存在，使得为奇数． 所以． 而，所以，即，，无解，所以． （3）显然，n不能为偶数，否则，不满足． 所以，n为正奇数． 又，所以．设或，． 当时，，不满足； 当时，，即． 所以，取，时， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$