湖南省湘楚名校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2023-2024学年度湘楚名校高二下学期5月联考 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 将一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，a，23，25，27，31，36，37．若该组数据的35%分位数为19，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 3. 已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 寒假期间某校6名学生计划去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择．若至少有2人前往黄山，其余两个景区都分别至少有1人前往，则不同方案的种数为（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 540 5. 设是等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，点D与点B在直线AC的两侧，且，，则BD长度的最大值是（ ） A. 5 B. C. D. 7 8. 已知椭圆）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线与直线交于点M，的角平分线与直线交于点N．若，的面积是面积的倍，则椭圆C的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法错误的是（ ） A. 在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数 B. 早睡人群睡眠指数主要集中在 C. 早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 D. 晚睡人群睡眠指数主要集中在 10. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系Oxy中的坐标，记作．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则A，B，C三点共线 C. 若，则 D. 若，，则四边形OACB的面积为 11. 已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. D. 是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数（i是虚数单位），则的共轭复数是__________． 13. 已知圆台的轴截面是等腰梯形，，，，圆台的底面圆周都在球的表面上．记圆台的体积为，球的体积为，则__________． 14. 已知定义在上的函数可导，且不恒为0，为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是__________．（填序号） ①的周期为4；②的图象关于直线对称；③；④． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，已知正三棱柱，，D，E，F分别为棱，BC，的中点，连接． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 16. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 主播的学历层次 直播带货评级 合计 优秀 良好 本科及以上 60 40 100 专科及以下 35 65 100 合计 95 105 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？ （2）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按比例分配分层随机抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取2人参加主播培训，求这2人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望； （3）统计学中常用表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件A条件下B发生有优势．现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且，证明：，且． 18. 已知为抛物线上的动点，为圆上的动点，若的最小值为． （1）求的值 （2）若动点在轴上方，过作圆的两条切线分别交抛物线于另外两点，，且满足，求直线的方程． 19. 在平面直角坐标系 中，利用公式①（其中， ，， 为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由， ，， 组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 ， ，…表示． （1）在平面直角坐标系 中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系 中，将点绕原点按逆时针旋转 角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设 是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 2023-2024学年度湘楚名校高二下学期5月联考 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】①③ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 证明：因为为等边三角形，且为中点，可得， 由三棱柱为正三棱柱，可得面， 因为面，所以， 又，且面，所以面． 因为平面，所以， 在和中，由，所以， 可得，所以，即， 又，且面，所以面． （2） 【16题答案】 【答案】（1）可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联 （2）分布列为： 0 1 2 期望为 （3），认为在事件条件下发生有优势 【17题答案】 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）证明：由，得，是方程的两个实数根， 即是方程的两个实数根． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以． 因为当时，；当时，，，所以． 不妨设，因为，是方程的两个实数根，则． 要证，只需证． 因为，， 所以只需证． 因为， 所以只需证． 令，， 则 在恒成立． 所以在区间上单调递减， 所以， 即当时，． 所以， 即成立． 【18题答案】 【答案】（1）2 （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）， （3）设矩阵，向量，，则． ， 对应变换公式为：， ， 所以 故对应变换公式同样为 所以得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $