北京市十一学校2024届高三下学期三模数学试题

北京十一学校2024届高三数学三模（2024.5.28） 总分：150分 时间：120分钟 命题人：杨文学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知，，则（ ） A. 空集 B. 或 C. 或且 D. 以上都不对 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两条直线，是平面，已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 数列是等差数列 ，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则 A. B. C. D. 6. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. B. C. 16 D. 144 7. 已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝（ ） A. B. C. π D. 8. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 10. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点为卵圆上任意一点，有下列四种说法：①卵圆关于轴对称；②卵圆上不存在两点关于直线对称；③线段长度的取值范围是；④的面积最大值为1； 其中正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则______． 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值______． 13. 在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为______． 14. 在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题： 问题1：你的阳历生日日期是否偶数？ 问题2：你是否有A习惯？ 调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为______． 15. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”“势”即是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点，则双曲线的渐近线方程为______．若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为______． 三、解答题（本题共6个小题，共85分） 16. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于，记． （1）求函数的值域； （2）在中，若，，，求的面积． 17. 近年来，汽车自动驾驶技术高速发展，日趋成熟.自动驾驶是依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让自动驾驶系统可以在没有人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆的技术，其安全性备受人们的关注.2015年起，美国加州机动车管理局要求获得自动驾驶道路测试资质的公司每年1月1日之前上交一份自动驾驶年度报告，总结道路测试总里程数，以及过程中所经历的所有自动驾驶脱离事件，脱离事件是指在自动驾驶系统遇到无法处理的情况时，由驾驶员人工干预的事件.每次脱离平均行驶里程（MPD值，Miles per Disengagement），代表自动驾驶汽车每行驶多少里程才需要人工干预一次，它由一家公司报告的总里程数除以总脱离次数得到，这是衡量一辆自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一.下图是今年发布的《加州2023年自动驾驶脱离报告》中选取了10家公司的数据. 公司 所属国家 测试总里程（英里） 脱离次数 MPD值 百度 中国 108300 6 18050 谷歌Waymo 美国 1454137 110 13219 通用Cruise 美国 831040 68 12221 比亚迪 中国 32054 3 10684 小马智行 中国 174845 27 6475 Nuro 美国 68762 34 2022 Zoox 美国 67015 42 1595 小米 中国 12272 8 1534 苹果 美国 7544 64 117 奔驰 德国 14238 2054 6.9 （1）从表中随机抽取一家中国公司和一家美国公司，求抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率； （2）从表中的10家公司随机抽取3家，求至少有2家MPD值大于10000的概率； （3）有人认为根据《加州2023年自动驾驶脱离报告》的数据，可以说明百度公司的自动驾驶技术已经全面超越谷歌公司.你是否同意此观点？并说明你的理由． 18. 四棱锥中，底面是边长为2的菱形，.,且平面，，点分别是线段上的中点，在上.且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面的成角的正弦值； （3）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：．（且） 20. 已知椭圆C的标准方程为，梯形的顶点在椭圆上． （1）已知梯形的两腰，且两个底边和与坐标轴平行或在坐标轴上．若梯形一底边，高为，求梯形的面积； （2）若梯形的两底和与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形？并说明理由． 21. 已知，数列A：，，…中的项均为不大于的正整数.表示，，…中的个数（）.定义变换，将数列变成数列：，，…其中. （1）若，对数列：，写出的值； （2）已知对任意的（），存在中的项，使得.求证： （）的充分必要条件为（）； （3）若，对于数列：，，…，令：，求证：（）. 北京十一学校2024届高三数学三模（2024.5.28） 总分：150分 时间：120分钟 命题人：杨文学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 【11题答案】 【答案】6 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】5% 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（本题共6个小题，共85分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）不同意此观点，理由如下： ①虽然百度公式的MPD值为18050，高于谷歌Waymo的13219，但是百度公司的测试总里程108300远小于谷歌Waymo的1454137，样本比较小，测试值与实际值偏差较大的可能性更大，所以不能确定. ②虽然百度公式的MPD值为18050，高于谷歌Waymo的13219，但是MPD值只是衡量自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一，不能说明百度公司的自动驾驶技术在其他方面也超越了谷歌公司. 【18题答案】 【答案】（1）在中，因为点分别是线段上的中点， 所以 因为平面，平面. 所以平面. （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） 时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递增区间为，递减区间为． （2） （3） 由（2）知：当时，恒成立，所以， 所以当恒成立，令， 进而， 即，． 所以．（且） 即．（且） 【20题答案】 【答案】（1） （2）该梯形不可能为等腰梯形，理由如下： 由题意可知梯形两底所在直线的斜率存在且不为零， 设直线方程为，直线方程为，其中， 联立方程，整理得， 整理得① 设，，则，， 故中点坐标为； 同理可得中点坐标为； 若梯形为等腰梯形，则有，即， 但，所以梯形不可能为等腰梯形． 【21题答案】 【答案】（1） （2）证明：由于对任意的正整数（）,存在中的项,使得.所以均不为零. 必要性：（）,由于, ∴；；；…；. 通过解此方程组,可得（）成立. 充分性：若（）成立,不妨设（）,可以得到 ∴；；；…；. ∴（）成立. 故（）的充分必要条件为（） （3）证明：设：,,…的所有不同取值为,且满足：. 不妨设, 其中；；…；. 又∵,根据变换有：；；…；； ∴：,,, 即：,,, ∴：,,, ∵, ∴,,…,. ∴, 即：,,, 从而（）. 故（） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $