2024年中考数学专题复习 讲义：二次函数中特殊三角形的存在性

二次函数中特殊三角形的存在性八大题型练习 压轴题密押 通用的解题思路： 特殊三角形的讨论问题，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊三角形的性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角比的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想。虽部分特殊三角形的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。 然而万变不离其宗，从特殊三角形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。 一：等腰三角形的存在性 根据等腰三角形的定义,若为等腰三角形,则有三种可能情况:(1)AB=BC;(2)BC=CA;(3)CA=AB. 但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意. 解题思路： (1)利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； (2)根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程(多为分式或根式方程) (3)解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根. 二：直角三角形的存在性 在考虑△ABC是否为直角三角形时,很显然需要讨论三种情况:①∠A=90° ;②∠B=90° ;③∠C=90°.在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。 解题思路： (1)按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； (2)计算出相应的边长等信息； (3)根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标. 三：等腰直角三角形的存在性 既要结合等腰三角形的性质，又要结合直角三角形的性质。需要分类讨论哪个角是直角。 四：相似三角形的存在性 相似三角形存在性问题，分类讨论步骤： 第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角； 要先确定已知三角形是否有直角，或确定锐角(借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出) ①若有已知的相等角，则其顶点对应； ②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。 第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标： ①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小； ②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。 压轴题预测 题型一：等腰三角形的存在性 题目 1 (2024·运城模拟)综合与探究 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，D是第一象限抛物线上的一个动点，若点D的横坐标为m，连接AC，BC，BD，CD. (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式. (2)当四边形ACDB的面积有最大值时，求出m的值. (3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在一点M，使△ADM是等腰三角形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 题目 2 (2024·青岛一模)如图1，已知二次函数 的图象与y轴交于点A(0,4). 与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC. (1)请直接写出二次函数 的表达式； (2)判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点 B，C重合)，过点N作 ,交AB于点M,当 面积最大时，求此时点 N的坐标； (4)若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标. 题目 3)(2024·辽宁一模)如图1,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(0,10),(8,4),顶点C,D在第一象限.点P从点A出发，沿正方形按A→B→C方向运动，同时，点Q从点E(4，0)出发，沿x轴正方向以相 同速度运动，当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t(s)，△OPQ的面积S(平方单位). (1)正方形ABCD的边长为 ; (2)当点P由点A运动到点B时，过点 P作. 轴交y轴于点M，已知随着点P在AB上运动时. 的面积S与时间l(s)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图2所示)， 求：①点P，Q两点的运动速度为 ； ②S关于l的函数关系式为 ； (3)当点P由点B运动到点C时，经探究发现 的面积S是关于时间t(s)的二次函数，其中S与t部分对应取值如下表： t 10 15 20 s 28 76 m 求：m的值及S关于t的函数关系式. (4)在(2)的条件下若存在2个时刻。 对应的 的形状是以OP为腰的等腰三角形，点P沿正方形按A→B→C方向运动时直接写出当 时, 的面积S的值. 题目 4(2024·康县一模)如图，抛物线 与直线AB相交于 A(0,3),B(3,1)两点. (1)求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标； (2)点P为x轴上一动点，当△PAB是以AB为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)把抛物线 沿它的对称轴向下平移 )个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线AB始终有交点，求h的最大值. 题目 5(2024·澄海区校级模拟)如图，点A、B在x轴正半轴上，点C、D在y轴正半轴上，且( ，过A、B、C三点的抛物线上有一点E，使得. (1)求过 A、B、C三点的抛物线的解析式. (2)求点E的坐标. (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 题目 6)(2024·仁和区一模)如图，已知抛物线 与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C，对称轴为 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由； (3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且. 在y轴上是否存在点F，使得 为等腰三角形?若存在，求点 F的坐标；若不存在，请说明理由. 题目 7 (2024·即墨区一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 交x轴于点 A(-4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点 连接AE. (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求 面积的最大值及此时D点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使 为以AE为腰的等腰三角形?若存在，请直接写出P点的坐标即可；若不存在，请说明理由. 题目 8 (2023·青海)如图,二次函数 的图象与x轴相交于点 A和点C(1,0),交y轴于点B(0,3). (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积(请在图1中探索)； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得 是以AB为底边的等腰三角形?若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由(请在图2中探索). 题目 9 (2024·浦东新区二模)在平面直角坐标系xOy中，已知直线 与x轴、y轴分别交于点 A、点B，抛物线 经过点A、B两点，顶点为点 C. (1)求b、c的值; (2)如果点D在抛物线C₁的对称轴上，射线AB平分. 求点D的坐标； (3)将抛物线C₁平移，使得新抛物线 的顶点E在射线BA上，抛物线 与y轴交于点F，如果. 是等腰三角形，求抛物线C₂的表达式. 题目 10(2024·金州区一模)【概念感知】 两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”. 【概念理解】 如图1，二次函数 的图象 交x轴于点A，B，交y轴于点C，点D为线段BC的中点，二次函数 与 是“异b族二次函数”，其图象 经过点 D. (1)求二次函数 的解析式； 【拓展应用】 (2)如图2，直线EF∥BC，交抛物线C₁于E，F，当四边形CDEF为平行四边形时，求直线EF的解析式； (3)如图3，点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线( 于点M,N,连接MC,NC,当△MNC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标. 题目 11 (2024·济南一模)如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0，-3)，P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H,与BC交于点M. (1)求这个二次函数的表达式； (2)将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A'，判断点A'是否落在抛物线上，并说明理由； (3)求PM+2BH的最大值; (4)如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值. 题目 12 (2024·微山县一模)如图，顶点坐标为(1，4)的抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，3)，D是直线BC'上方抛物线上的一个动点，连接AD交抛物线的对称轴于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)连接AC，当△ACE的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点 D作DII⊥x轴于点JI，交直线BC于点F，连接AF. 在点D运动过程中，是否存在使 为等腰三角形?若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由. 题目 13 (2024·库尔勒市一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 两点，并与x轴交于另一点B. (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)求点 B坐标; (3)设P(x，y)是抛物线上的一个动点，过点P作直线 ;轴于点M,交直线BC于点 N. ①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值?若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由； ②当点P运动到某一位置时，能构成以BC为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰 的面积. 题目 14(2023·重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C,其中B(3,0),C(0,-3). (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作 '于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； (3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以QF为腰的 是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来. 题目 15 (2023·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过点 ，与y轴交于点A(0,1),直线 与抛物线交于 B，C两点. (1)求抛物线的函数表达式； (2)若 是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标； (3)过点M(0，m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E. 试探究：是否存在常数m，使得OD 始终成立?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 题型二：直角三角形的存在性 题目 16 (2024·安庆一模)如图,抛物线 与x轴交于点 A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F. ①若点E在第一象限，连接CF、BF，求 面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若 为直角三角形，请直接写出E点坐标. 题目 17(2024·任城区一模)已知抛物线 与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,-3). (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在点D，使 是以BC为直角边的直角三角形?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC 于点M，当 最大时，请直接写出点P的坐标. 题目 18 (2024·凉州区一模)抛物线 与x轴交于点 A(-2,0)和B(4,0),与y轴交于点C'，连接BC.点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B，C重合)，过点 P作y轴的平行线交 BC于M,交x轴于 N. (1)求该抛物线的解析式； (2)过点C作CH⊥PN于点H,BN=3CH. ①求点P的坐标； ②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 题目 19(2024·德阳模拟)平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 A,B(4,0)两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式，并直接写出点 A，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形?若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使 最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 题目 20〕(2023·烟台)如图,抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，. 抛 物线的对称轴. 与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E. (1)求直线 AD及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出. 的最小值. 题目 21 (2024·广安二模)如图,抛物线 交x轴于 B两点,交y轴于点C(0,4). (1)求抛物线的函数解析式. (2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP，CP，求四边形AOCP的面积的最大值. (3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 题目 22(2024·金山区二模)已知：抛物线 经过点A(3,0)、B(0,-3),顶点为P. (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点Q在y轴右侧. ①若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； ②若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且 是直角三角形，求此时抛物线的解析式. 题目 23(2024·宿豫区二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A、B、C三点,已知A(-1,0),B(3,0),C(0,3). (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上任意一点，若 求点P的坐标； (3)点M是抛物线上任意一点，若以M、B、C为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点M的坐标. 题目 24 (2024·双峰县模拟)如图,抛物线 与直线 相交于 A(-1,0),B(4,m)两点,且抛物线经过点C(5,0). (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限上的一个动点，过点P作直线. 轴于点D，交直线AB于点E. 当. 2DE时,求P点坐标; (3)若抛物线上存在点 T，使得. 是以AB为直角边的直角三角形，直接写出点T的坐标. 题目 25 (2024·滨州一模)如图,抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，. 抛物线的对称轴： 与经过点A的直线 交于点D，与x轴交于点E. (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得 是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出 的最小值. 题目 26(2024·仓山区校级模拟)如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A点坐标为( ，抛物线的对称轴为直线. ,连接直线BC. (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为第一象限内抛物线上一动点，连接AD，交直线BC于点E，连接BD，如图2所示，记 的面积为S₁,△ABE的面积为S₂,求 的最大值； (3)若点M为对称轴上一点，是否存在以M，B，C为顶点的直角三角形，若存在，直接写出满足条件的M点坐标；若不存在，请说明理由. 题目 27(2024·荆州模拟)如图,直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点 B、点C,经过B,C两点的抛物线y 与x轴的另一个交点为A，顶点为P. (1)求抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线y=x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值. 题型三：等腰直角三角形的存在性 题目28 (2024·雁塔区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A(1,0)和点 B,与y轴交于点C(0,3). (1)求出抛物线L的解析式和顶点坐标. (2)点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作α的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L'，则C关于直线PQ的对称点为C'，若 为等腰直角三角形，求出抛物线L'的解析式. 题目 29(2024·凉州区二模)如图1，已知抛物线 的图象经过点A(1,0),B(m,0),C(0,-3), 过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n. (1)填空: (2)在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值； (3)如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使 为等腰直角三角形?若存在 ,直 接 写 出 所 有 符 合 条 件 的 点 P 的 坐 标 ;若 不 存 在 ,请 说 明 理 由 . 题目 30 (2024·高唐县一模)在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； (3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点(点Q不与两端点重合)，是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 题目 31 (2024·咸丰县模拟)综合与探究 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC. 若点P在线段BC上运动(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F.设点P的横坐标为m. (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线BC的函数解析式. (2)若PF=2PE,求m的值. (3)在点P的运动过程中，是否存在m使得△CPE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由. 题型四：相似三角形的存在性 题目 32 (2024·金平区校级一模)如图，二次函数 交x轴于点 )和B(4,0)交y轴于点C. (1)求二次函数的解析式； (2)如图，在第一象限有一点M，到O点距离为2，线段BN与BM的夹角为 且 ,连接CN,求CN的长度； (3)对称轴交抛物线于点D，交BC交于点E，在对称轴的右侧有一动直线l垂直于x轴，交线段BC于点 F，交抛物线手点P，动直线在沿x轴正方向移动到点B的过程中，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似?如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 题目 33 (2024·东莞市一模)已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A. (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2,点D为直线BC'上方抛物线上一动点,连接AC、CD,设直线BC交线段AD于点 E,△CDE的面积为S₁,△ACE的面积为S₂. 当 时，求点D的坐标； (3)在(2)的条件下，且点D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 题目 34(2024·亳州一模)已知抛物线 经过点 和 (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D. ①求证：△OBC是直角三角形； ②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与ΔOBC相似?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 题目 35(2023·随州)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线 过点 A(-1,0),B(2,0)和C(0,2),连接BC,点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点,过点P作 轴交直线BC于点M，交x轴于点N. (1)直接写出抛物线和直线BC的解析式； (2)如图2,连接OM,当△OCM为等腰三角形时,求m的值; (3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 题目 36 (2024·青海一模)如图,二次函数 的对称轴是直线 ,图象与x轴相交于点 A(-1,0)和点B,交y轴于点C. (1)求此二次函数的解析式； (2)点P是对称轴上一点，当△BOC∽△APB时，求点P的坐标(请在图1中探索)； (3)二次函数图象上是否存在点M，使△ABC的面积S₁与 的面积. 相等?若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由(请在图2中探索). 题目 37〕(2024·虹口区二模)新定义：已知抛物线 (其中abc≠0),我们把抛物线 b称为 的“轮换抛物线”.例如：抛物线 的“轮换抛物线”为 已知抛物线 的“轮换抛物线”为 抛物线 与y轴分别交于点E、F，点E在点F的上方，抛物线C₂的顶点为P. (1)如果点E的坐标为(0，1)，求抛物线C₂的表达式； (2)设抛物线C₂的对称轴与直线y=3x+8相交于点Q，如果四边形PQEF为平行四边形，求点E的坐标； (3)已知点M(-4,n)在抛物线C₂上,点N坐标为 当 '时,求m的值. 题目 38 (2024·安溪县模拟)已知抛物线 与x轴只有一个公共点A. (1)求a的值; (2)若将抛物线 向右平移1个单位长度得到抛物线 ，抛物线 与y轴交于点 B，顶点为D ①试问：抛物线 上是否存在这样的点E，使得 ②若直线 与抛物线 交于 点Q关于抛物线 的对称轴的对称点记为Q'(Q'与P不重合),( 轴交直线PQ于点M，直线PD与直线QM交于点N，求 的值. 题目 39 (2024·苏州一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴的交点分别为 其中 且 与y轴的交点为C，直线 ；轴，在x轴上有一动点E(t,0),过点E作直线l⊥x轴,与抛物线、直线CD的交点分别为P、Q. (1)求抛物线的解析式； (2)当0<l≤8时,求ΔAPC面积的最大值; (3)当l>2时，是否存在点P，使以C、P、Q为顶点的三角形与 相似?若存在，求出此时l的值；若不存在，请说明理由. 题目 40(2024·雁塔区校级四模)已知抛物线 与x轴交于点A、B(点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1. (1)求此二次函数表达式和点 A、点B的坐标； (2)点 P为第四象限内抛物线L₁上一动点，将抛物线L₁平移得到抛物线抛物线 使得抛物线 的顶点为点 P，抛物线L₂与y轴交于点E，过点 P作y轴的垂线交y轴于点 D.是否存在这样的点P，使得以点 P、 D、E为顶点的三角形与△AOC相似，请你写出平移过程，并说明理由. 题目 41(2023·乐至县)如图,直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线 经过A、B两点. (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值； (3)点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N.是否存在点P 使 与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 题目 42 (2024·恩施市校级一模)如图，抛物线 交x轴于A(-4,0),B(1,0),交y轴于C点,且 (1)求抛物线的解析式； (2)在直线BC上找点D,使 为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标. (3)在抛物线上是否存在异于B的点P，过P点作PQ⊥AC于Q，使△APQ与 相似?若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 题目 43 (2024·阳泉模拟)综合与探究 如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，连接AC，作直线BC. (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的表达式. (2)如图1，若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m，过点P分别作x轴、y轴的垂线，交直线BC于点M，N，试探究线段MN长的最大值. (3)如图2，若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线BQ与y轴交于点H，连接CD，在点Q运动的过程中，是否存在点H，使以H，C，B为顶点的三角形与 相似?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 题目 44(2024·龙江县一模)综合与探究： 如图，抛物线 与x轴交于点A，B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，顶点为N， 直线 与x轴交于点B，与抛物线交于点 D，连接BC，DN, (1)求抛物线的解析式； (2)①点D的坐标为 (6,-4) ; ②∠ACB= °; ③点M(m,n)在抛物线上,-4<m<4,，则n的取值范围是 .； (3)若点P在直线AC上,且. 求AP的值; (4)在第四象限内存在点E，使△ACE与△ABC相似，且AC为△ACE的直角边，请直接写出点E的坐标. 题目 45(2023·武汉)抛物线 交x轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C. (1)直接写出A,B,C三点的坐标; (2)如图(1),作直线x=t(0<t<4),分别交x轴,线段BC,抛物线( 于D,E,F三点,连接CF,若 与△CEF相似,求t的值; (3)如图(2)，将抛物线C₁平移得到抛物线C₂，其顶点为原点.直线 与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C₂于M，N两点，直线MO与直线GN交于点 P. 问点P是否在一条定直线上?若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由. ? 题目 46〕(2023·沈阳)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点A(0，2)，与x轴的交点为点. 和点C. (1)求这个二次函数的表达式； (2)点E,C在y轴正半轴上,OC=2OE,点D在线段OC上, 以线段OD，OE为邻边作矩形ODFE,连接GD,设OE=a. ①连接FC,当△GOD与△FDC相似时,求a的值; ②当点 D与点C重合时，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FC，将△GFH绕点F按顺时针方向旋转 后得到 ，点G，H的对应点分别为( ，连接 DE. 当△G'FH'的边与线段DE垂直时，请直接写出点H'的横坐标. 题目 47(2024·济南模拟)抛物线 与x轴交于点A(4,0),B(t,0)两点,与y轴交于点C,直线BC:y=kx+8,点P在抛物线上,设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1,过点P作x轴的垂线与直线BC交于点M,过点C作CH⊥PM,垂足为点H,若△CHM∽△PBM,求m的值; (3)如图2，若点P在直线BC下方的抛物线上，过点 P作PQ⊥BC，垂足为Q，求( 的最大值. 题目 48 (2024·锡山区一模)如图,抛物线 交x轴交于A,B(3,0)两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,连接AC,其中OB=OC. (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段BC上方抛物线上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，若 求点P的坐标； (3)过线段BC上的点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当△EFC与△ABC相似时，点E的坐标为 或 题目 49(2024·仓山区校级模拟)如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A点坐标为(-1，0)，抛物线的对称轴为直线 ,连接直线BC. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 D为第一象限内抛物线上一动点，连接AD，交直线BC于点E，连接BD，如图2所示，记 的面积为 的面积为S₂,求 的最大值； (3)若点M为对称轴上一点，是否存在以M，B，C为顶点的直角三角形，若存在，直接写出满足条件的M点坐标；若不存在，请说明理由. 题目 50)(2024·荆州模拟)如图,直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B,C两点的抛物线y 与x轴的另一个交点为A，顶点为P. (1)求抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线y=x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值. 题目 51 (2024·平凉一模)如图,抛物线 经过点 ,点B(4,0),交y轴于点C(0,4). 连接AC,BC. D为OB上的动点,过点D作. 轴，交抛物线于点E，交BC于点G. (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)过点E作 ，垂足为F，设点D的坐标为(m，0)，请用含m的代数式表示线段EG的长，并求出当m为何值时EG有最大值，最大值是多少? (3)点D在运动过程中，是否存在一点G，使得以O，D，G为顶点的三角形与 相似.若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由. 题目 52(2023·朝阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴分别交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C,连接BC. (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M(m，0)，交BC于点N，连接CM,PB,PC. △PCB的面积记为 的面积记为 当 时，求m的值； (3)在(2)的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线BC交于点H，当 与 CM相似时，请直接写出点Q的坐标. 题目53 (2024·莅平区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴分别相交于A(-2,0),B(8,0)两点. (1)求该抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F. ①求 的最大值； ②若C是AC的中点，以点C，D，E为顶点的三角形与 相似，求点D的坐标. 题目 54(2024·海勃湾区校级模拟)如图(1)，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A的坐标为( 且 点D和点C关于 抛物线的对称轴对称. (1)分别求出a，b的值和直线AD的解析式； (2)直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作 于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求 的周长的最大值； (3)在(2)的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作 轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与 相似?如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由. 题目 55〔2024·凉州区一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 与x:轴分别交于 0),B两点,与y轴交于点C(0,-2). (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求 的最大值； (3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB.若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 题目 56(2024·香洲区校级一模)已知抛物线 与x轴交于点A(1,0)和B(4,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是线段BC'上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ，当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标； (3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且. 在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似?若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由. 题型五：锐角三角形的存在性 题目 57〕(2024·南关区校级一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 (a,c是常数)经过A(0, 3)、B(3，0)两点.点P为抛物线上一点，且点P的横坐标为m. (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)点C为抛物线对称轴上一点，连结AC，OC，求 周长的最小值； (3)已知点Q(4-m,m-1),连结PQ,以PQ为对角线作矩形PMQN,且矩形各边垂直于坐标轴. ①抛物线在矩形内的部分图象y随x增大而减小，且最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； ②连结BQ，设BQ的中点为D，当以P、D、Q为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出m的取值范围. 题型六：钝角三角形的存在性 题目 58 (2024·绿园区一模)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 (b是常数)经过点( 点A在抛物线上，其横坐标为m.点B是平面直角坐标系中的一点，其坐标为( 点C是抛物线的顶点. (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当点B恰好落在抛物线上，且点A不与点O重合时，求线段AB的长； (3)连结OA、OC、AC,当 是钝角三角形时，求m的取值范围； (4)当m≤-3时，连结BA并延长交抛物线的对称轴于点D，过点A作直线 的垂线，垂足为点E，连结BC、CE、ED. 当折线CE--ED与抛物线有两个交点(不包括点C')时，设这两个交点分别为点F、点G，当四边形DACF(或四边形DACG)的面积是四边形DBCE的面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值. 题型七：全等三角形的存在性 题目 59 (2024·南丹县一模)如图,抛物线 与x轴交于点. 点B，点D是抛物线y₁的 顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C(-1，0). (1)求抛物线y₁所对应的函数解析式； (2)如图1，点M是抛物线y₁上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC，若∠MCB=∠DAC,求m的值; (3)如图2，将抛物线y₁平移后得到顶点为B的抛物线y₂.点P为抛物线y₁上的一个动点，过点P作y轴的 平行线，交抛物线y₂于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y₂ 于点R.当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标. 题型八：等边三角形的存在性 题目 60 (2024·南康区模拟)如图，已知抛物线 与直线 相交于A,B. (2)抛物线L₁随其顶点沿直线 向上平移，得到抛物线 抛物线 与直线 相交于C,D(点C在点 D左边)，已知抛物线L₂顶点M的横坐标为m. ①当m=6时，抛物线L₂的解析式是 ，(CD=_; ②连接MC，MD，当△MCD为等边三角形时，求点M的坐标. 题目 61(2023·恩施州)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线 与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B. (1)如图,若 抛物线的对称轴为x=3.求抛物线的解析式，并直接写出 时x的取值范围； (2)在(1)的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当 为等边三角形时，求点P，C的坐标； (3)若抛物线 经过点D(m,2),E(n,2),F(1,-1),且 ，求正整数m，n的值. 题目 62 (2023·雅安)在平面直角坐标系中，已知抛物线 过点 A(0,2),对称轴是直线 (1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标； (2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当 是等边三角形时，求出此三角形的边长； (3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为( ，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形?若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$