2024年中考数学复习--将军饮马模型复习讲义

将军饮马模型复习讲义 前言: “白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗.而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,称为“将军饮马”问题. 知 识 导 航 1 模型认识 问题描述:将军在点A 处,现在他要带马去河边喝水,之后返回军营, 问:将军怎么走能使得路程最短? 问题简化:如图,在直线上找一点 P 使得PA+PB最小? 问题解决:作点A 关于直线的对称点 A',连接PA', 则PA'=PA, 所以PA+PB=PA'+PB. 当A'、P、B三点共线的时候, PA'+PB=A'B, 此时为最小值.(两点之间线段最短) 思路概括 作端点(点A或点B)关于折点(上图P点)所在直线的对称,化折线段为直线段.根据“两点间线段最短”可得最小值. 引例1:在平面直角坐标系中,点A坐标是(0,1),点B坐标是(3, 2), 在x轴上取一点 P, 使得 PA+PB 最小, 则点P 坐标是 . 解析: 作点A关于x轴的对称点 A',连接A'B,与x轴的交点即为所求点 P. 由题意得点 A'坐标为(0, -1 ), ∴直线A'B的解析式为y=x-1, 与x轴交点为(1, 0), ∴PA+PB 最小时, 点 P的坐标是 (1, 0). 2 模型拓展 除了基本的模型之外,我们也可以利用类似的理论构造类似的图形.可用于求最值的定理有: ①两点之间线段最短; ②点与直线的连线中,垂线段最短; ③三角形两边之差小于第三边. (1)点-点: 一定两动 在OA、OB上分别取点M、N, 使得 PMN周长最小. 分析:此处M、N均为折点,分别作点 P 关于 OA (折点 M 所在直线)、OB (折点 N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP 为 P'M+MN+ NP" , 当P'、M、N、 P"共线时, PMN 周长最小. 引例2: 如图, 点P是∠AOB 内任意一点, ∠AOB=30 ,OP=8, 点M和点N分别是射线OA 和射线OB 上的动点,则 PMN周长的最小值是 . 解析: PMN周长即PM+PN+MN的最小值, 此处M、N均为折点, 分别作点P关于OB、OA 对称点P'、 P",化 PM+PN+MN为P'N+MN+P'M. 当P'、N、M、 P"共线时, 得 PMN周长的最小值,即线段P'P"长, 连接OP'、 OP",可得 OP'P"为等边三角形, 【思考】∠AOB还可以是多少度? 点-点:两定两动 在OA、OB上分别取点 M、N使得四边形 PMNQ 的周长最小. 分析: 考虑 PQ 是条定线段, 故只需考虑 PM+MN+NQ最小值即可,类似,分别作点 P、Q关于OA、OB对称, 化折线段 PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ', 当P'、M、N、 Q'共线时, 四边形PMNQ 的周长最小. 引例3:在平面直角坐标系中,点P坐标是(1,3),点Q坐标是(4,2),分别在y轴、x轴上取点M、N,则四边形 PMNQ周长的最小值是 . 解析: 考虑到 PQ 是定值, ∴只需 PM+MN+NQ的值最小即可. 作点P关于y轴的对称点 P', 坐标是 (-1, 3),作点Q关于x轴的对称点Q', 坐标是 (4, -2 ). 连接P'Q', 与y轴、x轴交点即为M、N,此时四边形 PMNQ的周长最小, 最小值为 (2)点-线:点与直线的连线中,垂线段最短在OA、OB 上分别取M、N使得PM+MN最小. 分析:此处M点为折点,作点 P关于OA对称的点P',将折线段PM+MN转化为P'M +MN, 即过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N, 即可得 PM+MN 最小值. 引例4: 如图, 在Rt ABC中, ∠ACB=90 , AC=3, BC=4,AD 平分∠BAC, 分别在AD、AC上取点 M、N, 连接 CM、MN, 则CM+MN 的最小值是 . 解析:∵AD 是角平分线,∴点N关于AD的对称点 N'在线段AB上, 连接MN', 有CM+MN=CM+MN',考虑到M、N皆为动点,∴过点C作AB的垂线,与AD、AB交点即是M、 N', 此时CM+MN'最小. 最小值CN'即 Rt ABC斜边高线长, 即 ∴CM +MN 的最小值为 (3)PA-PB型:三角形两边之差小于第三边在直线l上取点 P 使得 PA-PB 最大. 分析: PA-PB型一般求最大值, 且A、B初始位置在折点所在直线 (上图中l)两侧,与PA+PB型不同. 作点 B关于直线l的对称点 B', 则PA-PB=PA-PB'≤AB', 当A、 B'、 P共线时, 此时PA-PB=AB'最大. 引例5: 如图, 在正方形ABCD中, AB=8,AC 与BD 交于点O, N是AO的中点, 点M在BC 边上, 且BM=6. P 为对角线 BD 上一点, 则PM-PN 的最大值为 解析:作点M 关于 BD的对称点M',根据对称性可知M'在AB 上且AM'=2, 连接PM', 则PM'=PM, ∴PM-PN=PM'-PN≤MN, 当M'、N、P 共线时, 此时PM'-PN=M'N , 取到最大值. ∵ANC= = M∥, ∴ AMN∽ ABC, 即 AMN是等腰直角三角形, ∴M'N =AM'=2, ∴PM-PN 的最大值为2. 3 平移型将军饮马 (1)造桥选址 问题描述: 已知将军在图中点A处,现要过河去往B点的军营,桥必须垂直于河岸建造,问:桥建在何处能使路程最短? 分析:考虑MN长度恒定,只要求AM+NB 最小值即可. 问题在于AM、NB彼此分离,所以首先通过平移,使AM与NB 连在一起,将AM向下平移使得M、N重合,此时A点落在 A'位置. 问题化为求 A'N+NB 最小值, 显然, 当A'、N、B三点共线时,值最小,并可得N点位置,即可确定桥的位置. 思路概括 当两条线段分离时,可通过平移,将其化成共端点的折线段,求最值问题即是常规将军饮马问题. (2)将军遛马 问题描述:如图,将军在A点处,现在将军要带马去河边喝水,并沿着河岸走一段路(长度为定值),再返回军营,问怎么走路程最短? 问题简化: 已知A、B两点,MN长度为定值,确定M、N位置使得AM+NB值最小? 分析: 将AM平移使M、N重合, AM=A'N, 将AM+BN转化为 A'N+NB. 构造点 A 关于 MN的对称点 A",连接A"B,可依次确定 N、M位置, 可得路线. 引例6:如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的顶点B在原点, 点A、C在坐标轴上, 点D的坐标为(6, 4), E为CD的中点, 点 P、Q为BC边上两个动点, 且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小,则点P 的坐标应为 . 解析: 考虑PQ、AE为定值, ∴只需AP+QE 最小即可,如图, 将AP平移至 A'Q, 考虑A'Q+QE 最小值.∵PQ=2, ∴AA'=2, 即点A'的坐标为 (2, 4),作点A'关于 x 轴的对称点A", 则点A"坐标为(2, -4),连接A"E,与x轴交点即为Q点. 又点E坐标为(6,2),可得直线A"E 解析式为 解方程 得 ∴点 Q 坐标为 左移2个单位即为点 P,∴点 P 坐标为 ⁽ ,₀). 4 问题设计 解题思路:作端点关于折点所在直线的对称. 题型总结:为了便于构造对称,通常将军饮马问题存在于角平分线、等腰(边)三角形、正方形中,折点所在直线通常为对称轴,直接作对称即可. 变式分析:(1)非轴对称图形确定对称点的位置; (2)确定折点所在直线. (1)非轴对称图形确定对称点的位置 引例7: 如下左图, 在等边 ABC 中, AB=6, N为AB 上一点且 BN=2AN, BC的高线AD 交 BC 于点 D, M是 AD 上的动点, 连结 BM、MN, 则 BM+MN 的最小值是 . 变式: 如上右图, 在Rt ABD 中, AB=6, ∠BAD=30 ,∠D=90 ,N为AB 上一点且BN=2AN, M是AD 上的动点,连结 BM、MN, 则 BM+MN的最小值是 . 解析:M 点为折点,作B点关于AD的对称点, 即 C点,连接CN, 即为所求的最小值. 过点C作AB垂线,利用勾股定理求得 CN的长为2 . 变式:对称点并不一定总是在已知图形上,补出图形,可得 BM+MN最小值为 (2)确定折点所在直线 引例8:(2019 西藏)如图,在矩形ABCD 中,AB=6,AD=3,动点 P 满足 则点 P 到A、B两点距离之和 PA+PB的最小值为 ( ) 解析: 由 矩形ABCD可作出P 点轨迹为直线MN(AM=BN=2), 作点B关于MN的对称点 B', 化折线PA+PB为PA+PB'. 当A、P、 B'共线时, 取到最小值,选 A. 培优练习 1. 如图, 在Rt ABO中, ∠OBA=90 ,A(4, 4), 点C在边AB 上, 且AC: CB=1: 3, 点D为OB的中点,点 P 为边 OA 上的动点, 当点 P 在 OA 上移动时,使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为 ( ) A. (2, 2) D. (3, 3) 2. 如图,在 ABC中,AC=BC,∠ACB=90 ,点 D 在 BC 上, BD=3, DC=1, 点 P 是 AB 上的动点, 则PC+PD的最小值为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 如图, 在 Rt ABC 中, ∠ACB=90 ,AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F是AC的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 ( ) A. 3 B. 4 4. 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4,∠ABC=60 , BD 平分∠ABC, 交AC 于点 D, M、N分别是BD、BC上的动点, 则CM+MN 的最小值是 ( ) A. B. 2 C. 2 D. 4 5. 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M在 DC上, 且DM=1, N是AC边上的一动点, 则 DMN周长的最小值是 6. 如图,在菱形ABCD 中, E是BC的中点, P、M分别是AC、AB上的动点,连接PE、PM, 则PE+PM的最小值是 ( ) A. 6 B. 3 D. 4.5 7. 如图, 在Rt AOB中, ∠AOB=90 ,OA=3, OB=4, 以点O为圆心, 2为半径的圆与OB交于点C, 过点 C 作 CD⊥OB交AB于点D, 点 P 是边 OA 上的动点. 当PC+PD 最小时, OP 的长为 ( ) A. B. C. 1 D. 8. 如图, 在矩形ABCD 中, BC=10,∠ABD=30 ,若点M、N分别是线段DB、AB 上的两个动点,则AM+MN的最小值为 . 9. 如图, 在扇形BOC中, ∠BOC=60 ,OD平分∠BOC 交BC于点 D,点E为半径OB 上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 . 10.如图, 矩形ABOC的顶点 A的坐标为(-4, 5), D是OB的中点, E是OC上的一点, 当 ADE的周长最小时,点E的坐标是 ( ) C. (0,2) 11. 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5,点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形 EFGH 周长的最小值为 ( ) A. 5 12. 如图, 在正方形ABCD 中, 点E, F将对角线AC 三等分,且AC=12,点P在正方形的边上,则满足 PE+PF=9的点 P 的个数是 ( ) A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 13.如图, ∠AOB=60 , 点 P 是∠AOB 内的定点且 若点M、N分别是射线 OA、OB 上异于点O的动点,则 PMN周长的最小值是 ( ) C. 6 D. 3 14.如图, 在直角坐标系中, 点A (1, 1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两点, 点 C的纵坐标为1, 且 CA=CB, 在y轴上取一点 D, 连接AC、BC、AD、BD,使得四边形 ACBD 的周长最小,这个最小周长的值为 15. 如图, ∠AOB的边OB与x轴正半轴重合, 点 P 是 OA 上的一动点, 点 N(3, 0) 是OB 上的一定点, 点M 是 ON 的中点, ∠AOB=30 , 要使 PM+PN最小,则点 P 的坐标为 . 16. 如图, 已知正比例函数y=kx (k>0) 的图像与x轴相交所成的锐角为70 , 定点A的坐标为 (0, 4), P为y轴上的一个动点,M、N为函数y=kx(k>0) 的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN的最小值为 . 17. 如图, 已知抛物线 与直线 交于A、B两点, 交x轴于 C、D两点, 连接AC、 BC, 已知A (0, 3), C(-3, 0). (1)求此抛物线的解析式; (2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB-MD|的值最大,并求出这个最大值. 18. 如图,抛物线 与x轴交于点A(-2,0),B(4, 0), 与y轴交于点C, 顶点 D. (1)求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标; (2)动点 P、Q 以相同的速度从点 O 同时出发,分别在线段OB、OC 上向点 B、C方向运动, 连接CP、DQ, 请直接写出CP+DQ的最小值. 19. 如图①, 要在一条笔直的路边l上建一个燃气站,向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置,使铺设管道的路线最短. (1) 如图②, 作出点A 关于1的对称点A', 线段A'B 与直线/的交点C的位置即为所求,即在点 C处建燃气站,所得路线ACB是最短的. 为了证明点C的位置即为所求,不妨在直线l上另外任取一点C', 连接AC'、 BC', 证明AC+CB<AC'+C'B. 请完成这个证明. (2)如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区,燃气管道不能穿过该区域.请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案 (不需说明理由). ①生态保护区是正方形区域,位置如图③所示; ②生态保护区是圆形区域,位置如图④所示. 学科网(北京)股份有限公司 $$