湖南省长沙市长郡中学2024届高考考前模拟卷数学试题（一）

长郡中学考前模拟卷一 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.已知集合A={x|(x十1)(x-4)<0},B={x|x-3≤0}，则A∩B A.{x|-1<x<4} B.{x|0x≤3} C.{x-1<x≤3 D.{x0x<4} 2.已知复数x=(2一i)(1十i)在复平面上对应的点为P,i为虚数单位，则点P的坐标是 A.(2,-1) B.(1,1) C.(1,-1)》 D.(3,1) 3.一个圆柱形容器的底面半径为4cm,高为8cm,将该圆柱注满水，然后将一个半径为4cm的实 心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水的体积为 A.320 cm B.135z cm C.em! n.学xcm 4.恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特·恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数= 食物支出金额×1O0%”,恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标， 总支出金额 一般随居民家庭收人和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%一60%为 温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕，低于30%为最富裕.如图是近十年我国农村与城 镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知下列结论正确的是 一▲一农村民恩格尔系数%)城镇心民恩格尔系数%) 36 4 33 3 3 28 27 26 2012201320142015201620172018201920202021 数学试题第1页（共5页） A.城镇居民从2013年开始进入“最富裕”水平 B.农村居民恩格尔系数的平均数低于32% C.城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29% D.全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数 5.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能是 A.f(x)= x2-1 B/(r)-z C.fx)=1x-可 D.f(x)=x2-1可 6.已知平面非零向量a,b的夹角为60°，且满足a·b=2a十b,则a|b的最小值为 A.16+83 96 B.12 C.83 D.24 7.已知抛物线C:y2=2p.x(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线l与x轴交于点A,过点A的直线 与抛物线C相切于点P,连接PF,在△APF中，设sin∠PAF=λsin∠AFP,则入的值为 A号 B.1 C.2 D.2 8.已知函数f(x)的定义域为R,对任意x∈R,有f(x)一f(.x)>0,则“x<0”是“f(x十1)> ef(2x-3)”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知函数f()=sim(ar一罗)(w>0)的最小正周期为，方程f()=3在(0，x)的解为 (x1<x2),则下列结论正确的是 A.w=2 B.函数f(x)的图象关于点(-牙，0)对称 C函数x)在（受）上单调递减 D.cos(x十2)=-圆 xln z,>0, 10.已知函数f(x)=0,x=0, 则下列结论正确的是 xln(-x),x<0, A.函数f(x)的图象关于点(0,0)中心对称 B.函数f(x)存在极大值点和极小值点 C.若函数g(.x)=f(x)一m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（一1,1） D.对任意1∈（一1,1），不等式f)一fx)川<忌恒成立 数学试题第2页（共5页） 11.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，O为底面ABCD的中 心，AC1交平面A1BD于点E,点F为棱CD的中点，则 A.A1,E,O三点共线 B点G到平面A,BD的距离为 C用过点A,B,F的平面截该正方体所得的较小部分的体积为雪 D.用过点F且平行于平面BDA,的平面截该正方体，则截得的两个多面体的能容纳的最大 球的半径均为3一√3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知随机变量X~B(2,二)，则P(X≥1)= l3.已知数列{an}满足a2=2,am·a+1=2”,则ao的值为 14已知双曲线C:后芳=1(a>0,b>0),直线私和6相互平行，直线1与双曲线C交于A,B 两点，直线l2与双曲线C交于D,E两点，直线AE和BD交于点P(异于坐标原点).若直线 的斜率为3，直线OP(O是坐标原点)的斜率k≥1，则双曲线C的离心率的取值范围 为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分) 设等差数列{am}的前n项和为Sm,5a+S5=60,S1=49. (1)求数列{am}的通项公式： (2)设数列{，的前n项和为T,若b,=2+1,求证：T,<1, SS 数学试题第3页（共5页） 16.(本小题满分15分) 某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机，在投放市场前对100架新能源无人飞 机进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直 方图： 颜率 组距1 0.009 0.004 0.002-- 0.001F--- 180230280330380430单次坟大续航甲积/千米 (1)估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区 间的中点值代表)： (2)经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款新能 源无人飞机的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(:,σ)（用样本平均数x和标准 差s分别作为：和。的近似值)，现任取一架新能源无人飞机，求它的单次最大续航里程 X∈[250,400]的概率： (参考数据：若随机变量X一N(u,o2),则P(u一o≤X≤u十σ)≈0.6827，P(u一2o≤X≤ 4+2c)≈0.9545，P(4-3a≤X≤4十3a)≈0.9973) (3)该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越A型、卓越B型 和卓越C型，统计分析可知卓越A型、卓越B型和卓越C型的分布比例为3：2：1，研发 中心在投放市场前决定分别按卓越A型、卓越B型和卓越C型的分布比例分层随机共抽 取6架，然后再从这6架中随机抽取3架进行综合性能测试，记随机变量Y是综合性能测 试的3架中卓越A型的架数，求随机变量Y的分布列和数学期望. 数学试题第4页（共5页） 17.(本小题满分15分) 如图所示，在平面四边形ABEC中，角A为钝角，且sin∠ABC·sin∠ACB+ 1=cos∠ABC·cos∠ACB-cos2A. (1)求钝角A的大小： (2)若BC=2,EC=√3AC,∠ACE=120°，∠EBC=30°，求∠ABC的大小 18.(本小题满分17分) 已知函数f(.x)=axe- (1)当a=1时，讨论函数f(x)的单调性： (2)若不等式f(x)≤rlnx-x+2r2-x在[是，十∞)上恒成立，求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知韩圆C号+芳=1(a>6>0)的右焦点为下，离心率e=5,韬圆C上一动点D到F的距 离的最小值为√6一2. (1)求椭圆C的标准方程： (2)设斜率为k(k≠0)的直线I过F点，交椭圆C于A,B两点，记线段AB的中点为N,直线 ON交直线x=3于点M,直线MF交椭圆C于P,Q两点，求∠MFA的大小，并求四边形 APBQ面积的最小值， 数学试题第5页（共5页）