山东师范大学附属中学2024届高三下学期考前适应性测试数学试题

绝密★启用前 试卷类型A 山东师大附中高三考前适应性测试 数学试题 2024.6 本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1已知集合M=x=k+分e团，N=x登+ke☑，则 A.M∈N B.NsM C.M=N D.M∩N=p 2.已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P如学cos孕，则 cos(a+马= 6 A.0 c.② D. 2 2 3.等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=1.2-1,则1= A.2 B.-2 C.1 D.-1 4.一组数据按从小到大的顺序排列为L4,m,12,1421,若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45 5 百分位数是 A.4 B,6 C.8 D.12 5.已知△ABC是边长为1的正三角形，瓜=WC,P是BN上一点，且=m花+2AC,则亚，B= 2 B.g c D.1 6.已知复数z满足引z上1，且|z-1日z+i,则z2= A.1 B.-1 C.i D.-i 高三数学试题第1页共4页 7.已知双曲线C: x2 y2 a24 =1(a>0)的左右焦点分别为F,F2,点P在双曲线的右支上运动（不与项点 重合)，设PF与双曲线的左支交于点2，△PQF2的内切圆与OF相切于点M,若|OM=4,则双曲线C的 离心率为 A.2 B.5 C.2 D.5 8.定义mina,}=8a< b,azb (a,b∈R),设f(x)=min(2*-a,-x+6-ad,x∈R,若函数y=f(x)+am有两 个零点，则实数a的取值范围是 A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,0) D.(-2,0) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则下列命题为真命题的是 A.若a3+a=9,a+a=18,则a+a2=5 B.若a2+a,=4,则S4=28 C.若Ss<0,则S,>S。 D.若{an}和{an·a1}均为递增数列，则an>0 10.存在函数f(x)满足：对于任意的x∈R,都有 A.f(sinx)=cos2x B.f(cos2x)=sinx C.f(x2+2x)x+1川 D.f(x2+)Hx+1川 D 11.如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD的内切球为球O,E,F分别 是棱AD,BB的中点，G在棱AB上移动，则 A.对于任意点G,OD∥平面EFG B.直线EF被球O截得的弦长为√2 C.过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 2 D.当G为AB的中点时，过E,F,G的平面截该正方体所得截面的面积为2√3 高三数学试题第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若b=2ainB,bc=4,则△ABC的面积为一 13.已知随机事件A,8,若P利=了P8)=号P=手，则P)= 14.已知函数)=e2-。2+sm(宁-孕+l,则不等式/2x+0+/-2的解集为 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=e-ax-l. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若对任意的x20,f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 16.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=BC=2,AB⊥BC,CG=25,BE=1BB (0<2<1). (1)当=时，求证：CE1平面4BC: (2)设二面角B-AE-C的大小为日，求cos8的取值范围. 17.(15分) 一个池塘里的鱼的数目记为N,从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过 一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目. (1)若N=5000,求X的数学期望； (2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得P(X=15)最大的N的值作为N 的估计值). 高三数学试题第3页共4页 18.(17分) 已知4《20，B0,0,R-L0,R0,动点P满足m=-子，动点P的轨迹为曲线C.PR 交曲线C与另一点2，PF交曲线C与另一点R, (1)求曲线C的标准方程： （2)已知+是定值，求该定值： IOFI IRF (3)求△PQR面积的范围. 19.(17分) 定义：若对k∈N,k>2,ak-1+ak+≤2a:恒成立，则称数列{an}为“上凸数列. (1)若a,=√n2-1,判断{a}是否为“上凸数列”，如果是，给出证明：如果不是，请说明理由. (2)若{an}为“上凸数列”，则当m≥n+2(m,neN)时，am+an≤am-1+a: ()若数列S,为{a,}的前n项和，证明：S,≥a+a,): ()对于任意正整数序列，5，式（neN且心2，若空写-空名-P-1恒成 立，求2的最小值 山东师大附中高三考前适应性测试数学试题 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 A B A D A D A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC AC BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 12.1: 3.15 14.【-2,+0). 四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)函数f(x)=e-ax-1,xeR,则f"(x)=e-a, ①当a≤0时，e'>0,f"(x)>0,f(x)是定义域R上的单调增函数： ②当a>0时，由f"(x)>0,得x>lna,由f'(x)<0,得x<lna: 函数f(x)在(-o,lna)上单调递减，在(na,+o)上单调递增。 (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，+o）上单调递增， 且f(O)=0,所以∫(x)≥0恒成立： 当a>1时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增， 而f(O)=0,所以f(x≥0不恒成立： 当0<a≤1时，nc≤0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， 且f(O)=0,所以f(x≥0恒成立： 综上，对任意心0，f(x≥0恒成立时，a的取值范围是a≤1. 16.【解析】(1)证明：以BC,BA,BB为基底建立如图所示空间直角坐标系， 则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C(2,0,2√3)，E0,0,2√3). 当-时，aaa29. 1 所以=0-20,8c-202,正=2a2】 所以AB·CE=0,BC·CE=0,所以CE⊥AB,CE⊥BC. 又AB∩BC=B,ABC平面ABC,BCC平面ABC,所以CE⊥平面ABC· (2)解：AC=(2,-2,0),AE=(0,-2,2√5)， 设平面AEC的一个法向量为n=(x,y,z), ac万=0即2x-2y=0 则 不妨取n=(52,√52，). AE.m=0,-2y+25z=0, 因为BC⊥平面ABE,所以平面ABE的一个法向量为m=(2,0,0). 所以1cos0= 1n乃3L。 5 3 1n1×|n2√62+1 因为0<元<1，所以cos9e0.. V6+元 17.【解析】解：(1)依题意X服从超几何分布，且N=5000,M=200,n=500, M 200 故E(X)=n× =500× =20； 5000 (2)当N<685时，PX=15=0,当N685时，Px=1=C学C, 记aw=ccm,则av+D.cS C0 a(N) =(W+1-500W+1-200=(W-499W-199)-N2-698N+499×199 (N+1)(N+1-200-485)(N+1(W-684) N2-683N-684 由W2-698W+499×199>N2-683N-684, 当且仅当N<499×199+684 ≈6665.7， 15 则可知当685≤N≤6665时，a(N+1)>a(N): 当N>≥6666时，a(N+1)<a(W),故N=6666时，a(N)最大，所以N的估计值为6666. 18【解折10）令x功，因为a水。=寻 所以名点古整理可得导+苦-00： 43 即曲线C的标准方程为：二+号-10≠0： 43 (2)设P(xy)，Q(x,y),R(x2y) 2 设直线PQ和直线PR的方程为x=四y-1,x=y+1, x=my+l 联立PQ和椭圆联立 整理可得：(3m2+4)y2-6my-9=0, =1 4 3 6m yo+y= 可得 4+3m2 -9 ,又因为x=m%-1,x=%+1, yoy= 4+3m 6n 同理可得%+为=一4+3新 又因为6=m%6-1,右=。+1，所以为+丛=-2m m=-2+1 %y3 3y% 2 5 之号号号货导专 5 -n= 为363， 所以E+PE必+1色卡色+)= I251'IR511yyFy为3 (3)不妨设，>0，于是Sa@= PQI-1PR\sin∠QPR IPOL-IPRL=元4， 2 PF-PFIsin∠QPR IPFI-IPFI 因为5心=宁55%=%2瓷+等2 2x+82x。-8_ .七2-16 =y% 2、2 4 又因为亏=40-空，所以5ao=% 4-16 3 271 4 %2+ 16 设f0)=%+9 2+2互'e0, 16 16%2+27)=%+117 可得f0)=%0+117 16%+2互'6e0v, 令g(%)=16%+ 3,令16%-2，可得%=35 (0,5, yo 4 可得g()>0在(0，V上单调递减，所以f)在(0，V]上单调递增， 所以5o058+91,即Se0g同. 27 25 3+ 16 3 19.【解析】(1)a,}是“上凸数列”，理由如下： 因为a,=m层-1，a1-a=Vm+y-i-原-， 令fx)=c+2-1-R-1,x1, x+1xx+1)'(x-1)-(x+2) 则r+F云c+1可 当x21时，(x+(x-)-x(x+2)=-2x-1<0,所以Vx+1)P(x-1)<√R(x+2, 所以f"(x)<0,f(x)在区间山，+o)上单调递减， 所以f(m)>f0n+),a1-an>a2-a1,所以a2+a,≤2a1,所以{a}是“上凸数列” (2)(i)证明：因为{an}是“上凸数列”，由题意可得对任意1≤n(ieN), 4+a-4+≥a-1+an-42≥a-2+an-3…≥a2+an-1≥a+an, 所以2S,=a+a,)+a+a++a+a)+a,+a≥a+a,),所以5≥a+a,). (i)令a=Vm-1,由(1)可得当a.=Vm-1时，{a,)是“上凸数列”， 由题意可知，当m≥n+2(m,n∈N)时，am+a,≤am4+a1 因为2民可=民可+居可+可++层， 即为2可-可+可+可+…+②--%户-1 所以民-G-+1+写1+…+位---%4+4--1 ≥i+G-6+i++②-1-名--+--1 ≥0+0+0+ +②-+-5-1 当且仅当x=x=…=x时等号成立，所以≥n-1.综上所述，1的最小值为n-1, 4