湖南省岳阳市第一中学等多校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

机密★启用前 2024年上学期高二5月大联考数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，则（ ） A.2 B. C.4 D. 2.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3.已知变量的部分数据如下表，由表中数据得之间的经验回归方程为，现有一测量数据为，若该数据的残差为1.2，则（ ） 21 23 25 27 15 18 19 20 A.25.6 B.28 C.29.2 D.24.4 4.若直线与圆相切，则圆的半径为（ ） A.2 B. C.4 D.8 5.已知向量，则的最小值为（ ） A. B. C.3 D. 6.从装有2个白球､3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ） A. B. C. D. 7.已知函数在上单调递增，且是奇函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.若不等式在上恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C.1 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数，对任意实数都有，则下列结论正确的是（ ） A.的最小正周期为 B. c.的图象关于对称 D.在区间上有且仅有一个零点 10.设数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A.若，则为等差数列 B.若，则 C.若，则是公差为的等差数列 D.若，则的最大值为1 11.已知抛物线的焦点为为上的两点，过作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，直线的斜率为，则（ ） A.的准线方程为 B. C.若在的准线上，则 D.若在的准线上，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.的展开式中的系数为__________. 13.已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，使得，则的离心率的取值范围是__________. 14.已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15.（本小题满分13分） 在数列中，已知. （1）求证：数列为等比数列； （2）求满足不等式的最大整数. 16.（本小题满分15分） 近年来，我国青少年近视问题呈现高发性､低龄化､重度化趋势.已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用比例分配的分层随机抽样方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据： 体育运动时长小于1小时 体育运动时长大于或等于1小时 合计 近视 4 无近视 2 合计 （1）请完成上表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？ （2）为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为体育运动时长小于1小时的人数，求的分布列和数学期望附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 17.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，为的中点， （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值. 18.（本小题满分17分） 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为等腰直角三角形. （1）求椭圆的标准方程： （2）设点为上的一个动点，求面积的最大值； （3）若直线与交于两点，且，证明：直线过定点 19.（本小题满分17分） 已知函数有且仅有两个零点､ （1）求的取值范围； （2）函数，若与的值域相同，求的值，并证明： 2024年上学期高二5月大联考·学 参考答案､提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B B C D A C BD ABD BCD 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】D 【解析】，则，故选D. 2.【答案】C 【解析】.故选C. 3.【答案】B 【解析】由题意可知，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 则.故选B. 4.【答案】B 【解析】依题意，，解得，所以圆的半径为，故选. 5.【答案】C 【解析】， ， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为3.故选C. 6.【答案】D 【解析】，所以，故选D. 7.【答案】A 【解析】由是奇函数及在上单调递增可知，关于对称，且当时，，当时，，所以当或时，，故选A. 8.【答案】C 【解析】由，得在上单调递减， ①当时，时，单调递减，，符合题意； ②当时，存在，使得， 当时，单调递减，，不符合题意，舍去； ③当时，存在，使得. 当时，单调递减， . 令，则在上单调递减，，符合题意.综上所述，的最小值为1.故选C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】BD（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分） 【解析】选项，故A错误； 选项B，易知为最大值或最小值，是的一条对称轴的方程. ，故B正确；选项C，，不是最值，故C错误；选项D，当时，，此区间上有且仅有一个零点.故选BD. 10.【答案】ABD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】当时，，所以为等差数列，A选项正确； ，所以是公差为-1的等差数列，C选项错误； 当时，，所以，B选项正确； 由可知，，所以，D选项正确，故选ABD. 11.【答案】BCD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】，抛物线的准线方程为，选项错误； 设，B选项正确； 设直线，解得， ，C选项正确； ，当且仅当时取等号，D选项正确，故选BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】112 【解析】展开式的通项为.令，得，则的展开式中的系数为. 13.【答案】 【解析】设渐近线的倾斜角为，则，即，所以，离心率. 14.【答案】 【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，且母线与底面所成角为， 则， 圆锥侧面积为 ， 设，则， 当且仅当，即时，取得最小值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15.【答案】（1）略（2）7 【解析】（1）， ， 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）得， 设数列的前项和为， 则 ， ， 数列单调递增，， 的最大整数为7. 16.【答案】（1）表格见解析，学生是否近视与体育运动时长有关（2）分布列见解析， 【解析】（1） 体育运动时长 小于1小时 体育运动时长 大于或等于1小时 合计 近视 8 4 12 无近视 2 36 38 合计 10 40 50 零假设：学生是否近视与体育运动时长无关， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出成立，因此可以认为不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关； （2）的可能取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 17.【答案】（1）略（2） 【解析】（1）证明：是等边三角形，为的中点. 是等边的中线，所以， 平面平面， 平面平面平面， 平面； （2）解：取的中点，连接， 平面平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为， 由 令，则. 显然平面的一个法向量为， ， 故平面与平面夹角的正弦值为. 18.【答案】（1）（2）（3）略 【解析】（1）设的焦距为，依题意，， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）易知，，直线的斜率为-1，且， 设直线，联立椭圆方程可得， 令可得，，解得， 当时，直线与直线的距离为， 所以的面积为， 当时，直线与直线的距离为， 所以的面积为， 所以面积的最大值为； （3）证明：易知直线的斜率存在，不妨设直线， 依题意，，即， ， 同理可得，， 所以，即， 整理可得，所以， 所以直线， 所以直线过定点. 19.【答案】（1）（2）-2，略 【解析】（1）， 令，则，故有唯一零点：， 且在上，为减函数；在上，为增函数， 而时，时，， 故有且仅有两个零点等价于； （2）是偶函数， 当时，， 在上单调递增，， 的值域为，由（1）知的最小值为，值域为 易知， 设， 在上单调递增，，即对恒成立，故， 设，显然为极小值点，，即对恒成立，故， 综上，对恒成立，因此原不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $