陕西省洛南中学2024届高三第十次模拟考试理科数学试题

洛南中学2024届高三第十次模拟考试 数学（理科）试题评分标准 1、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 A C A C B D D C D B B C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．； 14. 15. 16. 9.【详解】如图所示，设该正三棱锥的高为，底面外接圆的半径为，底面面积为， 由球的截面圆的性质，可得，即， 解得，即，解得， 由锥体的体积公式，正四棱锥的体积为：， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以正三棱锥体积的最大值为.故选：D 10．【详解】由题意可知，有任何一人破译成功密码，则密码就被译出. 方案1：四人均没有成功破译密码的概率为 所以四人独立翻译，密码能被译出的概率为 方案2：分为两组每组两人，两组独立翻译由二人合为一组，该组破译的概率为0.8， 则密码能被译出的概率为： 方案3：分为两组，一组三人、一组一人三人合为一组，该组破译的概率为0.9， 则密码能被译出的概率为： 方案4：四人一组合作翻译．四人合作，则破译的概率为0.94显然方案二的概率最大.故选：B 11．【详解】当在双曲线左支上时，，又， 所以，所以，即， 整理得，此方程不成立. 当在双曲线右支上时，，又，所以， 所以，即， 整理得，得，所以或（舍去），所以C的离心率为. 故选：B 12．【详解】由对任意的，可知函数的图象关于点对称， 又，所以函数的中心对称点为， 所以两个函数图象的交点成对出现，且每对交点都关于点对称， 则，，所以. 故选：C 15． 【详解】由函数在上没有零点，且，所以， 结合函数的图象，可得，解得．所以的取值范围是． 故答案为：. 16.【详解】由题意，函数的定义域为， 则， 因为函数有2个极值点，所以有两个不相等的实数根， 令，则， 若时，，所以函数单调递增， 所以函数在上不可能有两个实数根，（舍去）； 若时，令，即，解得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以当时，函数求得极大值，极大值为，又由时，，时，，要使得在区间有两个不相等的实数根，则满足，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 17．解：（1）因为四棱锥的底面是正方形，故 , 由于底面，底面， 故 ,而 , 故 平面PBD, 由于 平面AEC,故平面平面;.....................................................................6分 （2）如图，以D为坐标原点，DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则 , 故 ,, 设平面PBC的法向量为 ，则 , 即 ，则，可取 ，故， 故设直线与平面所成角为 ， 则 ， 即直线与平面所成角的正弦值为......................................................................12分 18.解：（1）因为， 所以.........................................................3分 又，所以，即.......................................5分 因为，所以............................................................................................................6分 （2） 由（1）可知，..................................................................8分 因为，所以..................................................................10分 则的面积.........................................................................................12分 19解：（1）...............................................................1分 相关系数 ...................................3分 因为与的相关系数，接近1，所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.............................................................................................................................................4分 （2）.....................6分 ....................................................................................................7分 又2024年对应的年份代码x＝12，当x＝12时，，.......8分 所以预测2024年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为595...............................................9分 （3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由（2）所求的线性回归方程预测，理由如下（说出一点即可）：..........................................................................12分 ①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况； ②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建； ③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式. 解：（1）依题意，....................................................................................................1分 由解得，.............................................................................................3分 所以椭圆的方程为..............................................................................................4分 （2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴； 当的斜率都存在且不为时，设， 设，联立，整理得， ，，....................................................6分 则， 所以的中点， 同理由，可得的中点， 则，.......................................................................................9分 所以直线的方程为， 化简得，.................................................................11分 故直线恒过定点． 综上，直线过定点.......................................................................................................12分 21.解：（1）当时，，则..................................................1分 因为，所以切线的斜率为1，............................................................................................2分 又，所以切点坐标为................................................................................................3分 所以曲线在点处的切线方程为......................................................4分 （2）由，得 ①当－6≤m≤6时，对于，有－1＜sinx≤1 －6＜msinx≤6 ，所以， 所以在区间上单调递增， 又，于是在区间上无零点，不合题意.......................................................6分 ②当时，令，得， 所以存在唯一的，使得， 当时，单调递增，当时，单调递减.....................8分 又注意到， 于是：当，即时，在区间上无零点，不合题意；......10分 当，即时，在区间上有且只有一个零点，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是.................................................................................................12分 22.（1）解：曲线的参数方程为（为参数），即（为参数）， 平方相加，可得，即，......................................................2分 又由，可得，...........................................................................3分 所以曲线的极坐标方程为.................................................................................4分 （2）解：由（1）知曲线的标准方程为， 可得曲线是以为圆心，半径为5的圆，且过原点， 因为，可得过圆心，且为直角三角形， 所以，.....................................................................................................7分 所以，当时，等号成立，................9分 所以面积的最大值为......................................................................................................10分 23.解（1）因为，不等式为， 当时，可化为，解得，所以，......................................................1分 当时，可化为，解得，所以，......................................................2分 当时，可化为，解得，所以，......................................................3分 综上：不等式解集为；................................................................................................................................5分 （2）因为不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以，， 故原不等式可化为，即，......................................................7分 所以，即，.........................................................................................8分 因为在上的最大值为 所以.........................................................................................................................10分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 洛南中学2024届高三第十次模拟考试 数学（理科）试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将答题卡交回。 1、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，记集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知（R，为虚数单位），则实数的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知向量，满足，，则（ ） A．－2 B． C． D．6 4．中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 5．若满足约束条件，则的最小值为（ ） A．－6 B．－2 C．－1 D．3 6．设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（ ） A． B．6 C． D． 7．如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 8．已知是各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则（ ）． A．21 B．81 C．243 D．729 9．已知正三棱锥的外接球半径R为1，则该正三棱锥的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 10.某项密码破译工作需甲、乙、丙、丁四人完成，已知每人独立译出密码的概率为0.5，若二人合为一组则该组破译的概率为0.8，若三人合为一组则该组破译的概率为0.9，若四人合作则破译的概率提升到0.94．为完成此项工作，现有四种方案，方案1：四人独立翻译；方案2：分为两组每组两人，两组独立翻译：方案3：分为两组，一组三人、一组一人，两组独立翻译；方案4：四人一组合作翻译．则密码能被译出的概率最大的是（ ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 11．双曲线的左，右焦点分别为，，是上一点，满足，且，则的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 12．已知函数满足:对任意的，若函数与图像的交点为，则的值为（ ） A．0 B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．某医院某科室有5名医护人员，其中有医生2名，护士3名．现要抽调2人前往地震灾区进行支援，则抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士的概率是 ． 14．已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为_____________. 15．已知函数，若函数在上没有零点，则的取值范围是_____________. 16．已知为常数，函数有两个极值点，则的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(12分)如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当，，为的中点时，求直线与平面所成角的正弦值． 18．(12分)已知分别为的三个内角的对边，． (1)求； (2)若，，求的面积． 19．(12分)国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 垃圾焚烧无害化 处理厂的个数 y 166 188 220 249 286 331 389 463 (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）； (2)求出关于的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01），并预测2024年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数； (3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的线性回归方程预测吗？请简要说明理由. 参考公式：相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 参考数据：， 20．(12分)已知是椭圆的左焦点，焦距为4，且过点． (1)求C的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，若与交于,两点，与交于,两点，记的中点为，的中点为，试判断直线是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 21．(12分)已知函数，其中为常数且. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线的极坐标方程； (2)设是曲线上的两点，且，求面积的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$