精品解析：辽宁省沈阳铁路实验中学2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试卷

沈阳铁路实验中学2023-2024学年度下学期四月月考试题 高二数学 命题：邢晓研 审题：倪生利 时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. 1. 等比数列中，，，则（ ） A. 32 B. 24 C. 20 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知求出首项和公比,再求. 【详解】由题得 所以. 故选：A. 2. 已知5个成对数据的散点图如下、若去掉点，则下列说法错误的是（ ） A. 变量x与变量y呈负相关 B. 变量x与变量y的相关性变强 C. 残差平方和变小 D. 样本相关系数r变大 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合变量间的相关关系，结合图象分析判断即可. 【详解】由散点图可知，去掉点D后，与的线性相关加强，且为负相关，所以AB正确， 由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C正确， 由于与的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大，而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误， 故选：D. 3. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推式写出数列前面几项得出数列周期，进一步即可求解. 【详解】由题意可得：， 由此可以发现数列的周期是3， 从而. 故选：A. 4. 从一批含有13件正品，2件次品的产品中有放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由数学期望的性质即可求解. 【详解】由题意,故. 故选：B. 5. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2025年的预测值，代入即可得解. 【详解】因为， 所以， 即经验回归方程， 当时，， 所以， 即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为， 故选：B 6. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，若，则（ ） A. 15 B. C. 或15 D. 或-15 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先求解出的值，然后根据等比数列前项和公式求解出结果. 【详解】设等比数列的公比为，由题意可知， 因为成等差数列且， 所以， 所以，解得或（舍）， 因为，所以， 所以. 故选：B. 7. 排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.然后分别求出各种情况的概率，加起来即可；也可以构建二项分布模型解决. 【详解】解法一：乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜. 乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为. 所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为. 解法二：采用五局三胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中乙胜的局数，则.乙最终获胜的概率为. 故选：C. 8. 一袋中有大小相同的个白球和个红球，现从中任意取出个球，记事件“个球中至少有一个白球”，事件“个球中至少有一个红球”，事件“个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（ ） A. 事件与事件不为互斥事件 B. 事件与事件不是相互独立事件 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球个白球；个红球个白球；个白球，进而依次分析事件、事件、事件，及其概率，再讨论各选项即可得答案. 【详解】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球个白球；个红球个白球；个白球. 故事件包含：个红球个白球；个红球个白球；个白球，且； 事件包含：个红球个白球；个红球个白球；个红球，且； 事件包含：个红球个白球；个红球个白球，且. 所以，，， 因为，则事件与事件不为互斥事件，A选项正确； ，故事件与事件不是相互独立事件，B正确； ，故D错误； ，故C正确； 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分对给部分分，有选错得0分. 9. 数列的前n项和为，已知，则（ ） A. B. 是递减数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据的关系求出数列的分段表达式，然后结合数列的性质即可逐一判断各个选项求解. 【详解】，时， ， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，显然，当时，当且仅当，故C正确； 对于D，由于，所以当或4时，取得最大值，故D正确. 故选：ACD. 10. “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名进行问卷调查，得到以下数据，则（ ） 喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 男生 80 20 女生 70 30 参考公式及数据：①， ②当时，. A. 从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为 B. 用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为 C. 对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试；男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85 D. 根据小概率值的独立性检验，没有90%的把握认为喜欢天宫课堂与性别有关 【答案】BD 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式判断A，首先求出样本中喜欢天宫课堂的频率，再根据独立重复试验的概率公式判断B，根据平均公式判断C，计算出卡方，即可判断D，. 【详解】对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率，故A错误； 对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率，从全校学生中任选3人， 恰有2人不喜欢天宫课堂的概率，故B正确； 对于C：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为、， 又男生的平均成绩为，女生的平均成绩为，所以参加测试的学生成绩的均值为，故C错误； 对于D：因为， 所以根据小概率值的独立性检验，没有90%的把握认为喜欢天宫课堂与性别有关，故D正确； 故选：BD. 11. 已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列的通项公式为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由可得，，可判断A,B的正误，再求出，可判断C的正误，利用裂项相消法求，可判断D的正误. 【详解】因为， 所以，， 即，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确，B错误； 所以，即，故C正确； 因为， 所以， 故D错误； 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共15分. 12. 设等差数列的前项和为，若，则__________. 【答案】26 【解析】 【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出. 【详解】由已知，所以. 则. 故答案为：. 13. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）． 【答案】32 【解析】 【分析】 因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545， 则，得到不等式计算即可. 【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545， 则且，， 所以. 故答案为：32. 【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从读出所需信息. 14. 已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出X可能取值为1和2，分别求出事件总情况及与的情况，求出相应的概率，求出期望即可. 【详解】因为，所以随机变量X可能取值为1和2， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 时，分两种情况： ①三个数中只有一个1，有种； ②三个数中有两个1，有种， 所以时，， 时，也分两种情况： ①三个数中只有一个2，有种； ②三个数中有两个2，有种， 所以时，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知甲箱中有厚度相同的2本文学小说和3本散文集，乙箱中有厚度相同的3本文学小说和2本散文集. （1）若从甲箱中取出2本书，求在2本书中有一本是文学小说的条件下，另一本是散文集的概率； （2）若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出1本书，求取到一本文学小说的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式进行求解即可； （2）根据全概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 设两本书中至少有一本是文学小说，两本书中有一本是散文集， ； 【小问2详解】 设取到的书来自甲箱，取到一本文学小说， . 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 17. 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，. （1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程； （2）已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？ （注：年利润=年销售额一年投入成本） 参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，. 【答案】（1） （2）当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值 【解析】 【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程； （2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 解：令，则关于的线性回归方程为， 由题意可得， ，则， 所以，关于的回归方程为. 【小问2详解】 解：由可得， 年利润 ， 当时，年利润取得最大值，此时， 所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值. 18. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求的通项公式： （2）设的前项和为，证明：； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过等比数列的基本量运算求出，再求出，进而通过等差数列的基本量运算求出； （2）由作差法以及等比数列求和公式即可得证； （3）结合（1），通过错位相减法求得答案. 【小问1详解】 设的公差为d，的公比为q，则，所以， 则，即， 所以 【小问2详解】 因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，即. 【小问3详解】 由（1），记的前n项和为， 所以① 则②， ①-②，得：， 所以. 19. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． （1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； （2）若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； （ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和期望． 附参考数据，若随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】（1）； （2）（i）1587；（ii）分布列见解析，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可； （2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正泰分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可. 【小问1详解】 由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖． 从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为， 设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为， 因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以， 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为． 【小问2详解】 由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值 ， 则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布． （ⅰ）因为，所以． 故参赛学生中成绩超过79分的学生数为． （ⅱ）由，得， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为． 所以随机变量服从二项分布， 所以，， ，． 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 均值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳铁路实验中学2023-2024学年度下学期四月月考试题 高二数学 命题：邢晓研 审题：倪生利 时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. 1. 等比数列中，，，则（ ） A. 32 B. 24 C. 20 D. 16 2. 已知5个成对数据的散点图如下、若去掉点，则下列说法错误的是（ ） A. 变量x与变量y呈负相关 B. 变量x与变量y的相关性变强 C. 残差平方和变小 D. 样本相关系数r变大 3. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 从一批含有13件正品，2件次品的产品中有放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 10 5. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（ ） A. B. C. D. 6. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，若，则（ ） A. 15 B. C. 或15 D. 或-15 7. 排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 一袋中有大小相同的个白球和个红球，现从中任意取出个球，记事件“个球中至少有一个白球”，事件“个球中至少有一个红球”，事件“个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（ ） A. 事件与事件不为互斥事件 B. 事件与事件不是相互独立事件 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分对给部分分，有选错得0分. 9. 数列的前n项和为，已知，则（ ） A. B. 是递减数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名进行问卷调查，得到以下数据，则（ ） 喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 男生 80 20 女生 70 30 参考公式及数据：①， ②当时，. A. 从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为 B. 用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为 C. 对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试；男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85 D. 根据小概率值的独立性检验，没有90%的把握认为喜欢天宫课堂与性别有关 11. 已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列的通项公式为 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共15分. 12. 设等差数列的前项和为，若，则__________. 13. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）． 14. 已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知甲箱中有厚度相同的2本文学小说和3本散文集，乙箱中有厚度相同的3本文学小说和2本散文集. （1）若从甲箱中取出2本书，求在2本书中有一本是文学小说的条件下，另一本是散文集的概率； （2）若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出1本书，求取到一本文学小说的概率. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，. （1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程； （2）已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？ （注：年利润=年销售额一年投入成本） 参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，. 18. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求的通项公式： （2）设的前项和为，证明：； （3）设，求数列的前项和. 19. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． （1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； （2）若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； （ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和期望． 附参考数据，若随机变量X服从正态分布，则，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $