专题延伸：有关立体几何的动点问题讲义（7题型）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

专题延伸： 有关立体几何的动点问题 知晓结构体系 1夯实必备知识 动点问题的一般解决思路 先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算． 在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在； 如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在． 2提升学科能力 一、题点一线面平行的动点问题 1．如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 【答案】存在， 【分析】通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理确定的值，使平面. 【详解】当时，平面PDE，证明如下： 过点C作，交的延长线于， 在PE上取一点M，使得，连接HM，FM， 因为，，所以且， 因为D是AC的中点，且，所以且， 所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即， 又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.    2．如图，正四棱锥的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且．在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由. 【答案】存在， 【分析】先假设符合题意的点存在，然后根据线面平行的性质进行判断，并求得. 【详解】存在，；理由如下： 假设存在，连接并延长，交于E，连接． 因为平面，平面平面，平面， 所以，则， 因为正方形中，，所以，假设成立. 则此时. . 3．已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？ 【答案】为的中点时，平面. 【分析】 通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理来确定点的位置. 【详解】 当点为的中点时，平面，证明如下： 由已知， 所以四边形为矩形， 所以，， 已知，点为的中点，则， 又，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 所以在上存在一点，使得平面. ’ 4．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．    【答案】存在，且 【分析】 根据线面平行的性质定理以及平行线分线段成比例证得结论成立. 【详解】存在，且，理由如下： 连接，，连接， 因为 是矩形，且为的中点， 所以，所以， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以．    5．如图，在正方体中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定. 【详解】（1）连接， 分别为中点，， ，，四边形为平行四边形，， ，又平面，平面， 平面. （2）假设在棱上存在点，使得平面， 延长交于，连接交于， ，为中点，为中点， ，，， 平面，平面，平面平面， ，又，四边形为平行四边形，， ； 当时，平面. 二、题点二 面面平行的动点问题 6．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 7．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，为的中点 【分析】（1）根据计算可得； （2）当为的中点时满足平面平面，设，连接，即可证明、，从而得到平面，平面，即可得证. 【详解】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 8．知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)当的值为时，能使平面平面，证明见解析 【分析】（1）连结并延长与的延长线交于点，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意先证平面，结合（1）平面，分析证明. 【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 9．如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）利用三角形中位线证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行； （2）结合面面平行判定定理来确定动点位置，并证明面面平行. 【详解】（1）如图，连接交于，连接.    因为为正方体，底面为正方形，对角线，交于点， 所以为的中点，又因为为的中点， 所以在中，是的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下： 连接，，    因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 由（1）知平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 10．如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.    (1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面； (2)在（1）的条件下，求几何体的体积. 【答案】(1)存在，证明见解析 (2)2 【分析】（1）根据正三棱柱的几何性质，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可； （2）利用几何体之间的体积关系，结合棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】（1）与的中点，可以使得平面平面， 证明：在三棱柱中， ∵与为与的中点， ∴与平行且相等， 故四边形为平行四边形，∴， ∵与平行且相等，∴四边形为平行四边形  故， 因为，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 而，  平面，平面， ∴平面平面；    （2）∵， ， . 三、题点三 线面垂直的动点问题 11．如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，与相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求二面角的大小； (3)设点M在棱上，且，问为何值时，平面． 【答案】(1)； (2)45°； (3). 【分析】（1）由已知得到PO⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质得到PO⊥BD，过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，利用平面几何即可得解； （2）连接OE，由为等腰梯形，所以，且为中点，所以，又平面，∠PEO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，然后求值即可； （3）连接MD，MB，MO，利用PC⊥平面BMD，得到PC⊥OM，Rt△POC中求的PM＝，MC＝． 【详解】（1）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD 又， 由平面几何可得：， 过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE， 则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴OC＝OD＝1，OB＝OA＝2，OA⊥OB ∴ 又AB∥DC∴四边形EBCD是平行四边形． ∴ ∴E是AB的中点，且， 又， ∴PEA为直角三角形， ∴ 在△PED中，由余弦定理得 故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为； （2）连接OE，由为等腰梯形，所以，且为中点， 所以，又平面， ∠PEO为二面角P﹣AB﹣C的平面角， ∴sin∠PE0＝，∴∠PEO＝45°， ∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的大小为45°； （3）连接MD，MB，MO， ∵PC⊥平面BMD，OM⊂平面BMD， ∴PC⊥OM， 在Rt△POC中，PC＝PD＝，OC＝1，PO＝， ∴PM＝，MC＝， ∴， 故λ＝时，PC⊥平面BMD． 12．如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，． (1)求证：平面； (2)求点C到平面的距离； (3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）连交于点F，连EF，由中位线定理以及线面平行的判定证明即可； （2）连交EF于点N，由题可得，进而点C到平面的距离是点到平面的距离的3倍，然后根据等积法即得； （3）由线面垂直的性质证明，作，垂足为M，由线面垂直的判定证明平面，最后得出AM的长. 【详解】（1）连交于点F，连EF， ∵是菱形， ∴F是中点，又∵E是中点， ∴，又∵平面，平面， ∴平面； （2）连交EF于点N，棱柱中是平行四边形，且E，F分别为，中点， ∴，又平面， ∴点C到平面的距离是点到平面的距离的3倍， ∵菱形中，，又， ∴，，， 又平面ABCD，平面ABCD， ∴，又， ∴，∴， 因为，，， ∴面积为，的面积为， 由得，其中h是到平面的距离， ∴， ∴点C到平面的距离为； （3）∵平面ABCD，平面平面ABCD， ∴平面，∵平面， ∴， ∵菱形，，，平面， ∴平面，又平面， ∴， 在中，过F作，垂足为M， 又，平面， 所以平面， ∴存在M满足条件， 在中，，，F是中点， ∴， ∴． 13．已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】 （1）由平行四边形和三角形中位线性质可证得，由线面平行判定可得结论； （2）取中点，由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可证得，，由线面垂直的判定可得平面，进而得到的长； （3）根据（1）（2）的结论可知所求距离为的长，由（2）可知. 【详解】（1） 连接， ，，四边形为平行四边形，； 分别为中点，，， 平面，平面，平面. （2）取中点为， ，， ，，又， ，， 又，，则， ，平面，平面，此时， 则线段上存在点，为中点，使得平面，此时. （3）平面，到平面的距离即为点到平面的距离， 由（2）知：当为中点时，平面，则点到平面的距离即为， 又，直线到平面的距离为. 14．若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取中点，连接、，证明出四边形是平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）取的中点，连接、，证明出平面平面，平面，可得出平面，由此可得出结论. 【详解】（1）证明：取中点，连接、. 因为、分别是、的中点， 所以且. 在平行四边形中，且， 因为是的中点，所以且. 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）解：当点为线段的中点时，平面，理由如下： 取的中点，连接、. 因为，，，所以，平面， 因为、分别为、的中点，则， 平面，平面，则平面， 又因为平面，，所以，平面平面， 所以，平面. 故当点是线段的中点时，平面，此时，. 15．如图，长方体中，，，点是棱的中点.    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 【答案】(1)； (2)存在，，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据题意只需证明平面，即可得到，从而可得答案； （2）存在实数m，使得直线与平面垂直．只需证明，，即可得到直线平面； （3）计算，，设与平面的斜足为O，则，则P为AO的中点，从而可得答案. 【详解】（1）连接，由四边形为正方形，可得， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成的角的大小为； （2）存在实数，使得直线直线与平面垂直．理由如下： 当时，， 因为BC＝1，所以，所以，则， 所以，即， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，所以平面， 又平面，所以. 同理可证，又， 所以直线平面； （3）设与平面的斜足为O， 因为， ， 所以,则. 若，则，故. 所以在线段上取一点P，要使三棱锥与三棱锥的体积相等，则P为AO的中点，即． 四、题点四 面面垂直的动点问题 16．如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）取的中点，不妨设，利用平行直线转化结合余弦定理解三角形求异面直线夹角即可； （3）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 17．如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析． 【分析】（1）设为的中点，连接，，通过证明可得平面，进而可得结论； （2）当为的中点时，使平面平面，通过，可证明面面平行，进而可得面面垂直. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． 18．如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)点M为棱的中点. 【分析】（1）证明，结合可得平面，即得证. （2）取的中点，的中点，连接交于点，连接，，证得平面，可得当点M为棱的中点时，平面. 【详解】（1）在直四棱柱中，平面，平面，则， 而，且平面，于是平面，而平面， 所以． （2）当点M为棱的中点时，平面平面． 如图，取的中点，的中点，连接交于点，连接，， 显然，则O是的中点，由N是DC的中点，，得， 在直四棱柱中，平面，平面， 于是平面平面，而平面平面，平面， 则平面，当点M为棱的中点时，，且， 因此是平行四边形，即，有平面，又平面，则平面平面， 所以点M为棱的中点时，有平面平面. 19．如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；点为线段中点. 【分析】（1）利用锥体的体积公式即可求解； （2）通过添加相应辅助线，然后结合面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）设四棱锥的体积为，正方形的面积为， 则：. 故四棱锥的体积为：. （2）存在，点为线段中点，理由如下： 取的中点，取中点，连接、，如下图： 因为、分别为、的中点，所以：，， 所以：，所以：四边形为平行四边形，所以：， 因为底面，平面，所以：， 又因为底面为正方形，所以：，且，平面， 所以：平面，因为：平面，所以：， 又因为：，点为中点，所以：， 又因为：，平面，所以：平面， 又因为：，所以：平面， 又因为：平面，所以：平面平面. 故当点为的中点时，平面平面. 20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，再利用线面垂直的性质判定推理作答. （2）取的中点，的中点，连接，再作出直二面角，并探讨线段长度关系，借助比例式求解作答. 【详解】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得， 由正方形，得，而平面平面，平面平面， 且平面，则平面，又平面，于是， 而平面， 所以平面. （2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接，    于是，由正方形，得，则，令， 显然是正的中心，，， 又平面平面，平面平面，则平面， 平面，即有，而平面， 则平面，平面，在平面内过作交于， 显然，而平面，因此平面， 连接并延长交于，连接，于是平面平面， 过作，则有，，， ，，则，又，， 从而点是线段的中点，，过作交于， 于是，即，显然，因此， 所以在棱上存在点N使平面平面成立，. 五、题点五 有关线面角的动点问题 21．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，点Q是PC的中点． (1)求证：平面BDQ； (2)在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)证明见解析 (2)当时存在,；当时不存在. 【分析】（1）连接AC，利用三角形中位线可证； （2）先证明平面PAD，然后根据已知可得AF的长，根据线段AB长分情况可知. 【详解】（1）连接AC，交BD于O，如图所示， 因为底面ABCD是矩形， 所以O为AC中点， 又点Q是PC的中点 ∴ 又平面BDQ，平面BDQ ∴平面BDQ （2）∵平面ABCD，平面ABCD     ∴ 又，，平面PAD，平面PAD ∴平面PAD ∴直线PF与平面PAD所成的角即为 ∴ 所以，当时，在线段AB上存在点F满足题意，此时； 当时，在线段AB上不存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°. 22．已知在四棱锥中，平面，四边形为矩形，，，为棱上一点，且. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【分析】（1）由勾股定理的逆定理证得，由平面，知，再结合线面､面面垂直的判定定理，得证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，，则，求得平面的法向量，由，可得的值，而，从而得解. 【详解】解：（1）证明：在矩形中，，，， ∴，即， ∵平面，平面， ∴， 又，､平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， ∴，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，∴， ∵直线与平面所成的角为30°， ∴，即，化简得， 解得， ∵，∴， ∴. 【点睛】本题考查空间中线与面的垂直关系､线面角的求法，熟练掌握线面､面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题. 23．如图，四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面平面，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，，试问在线段DE上是否存在点Q，使得直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）存在，DQ的长为． 【解析】（1）由已知证明平面，则，再由，结合线面垂直的判定可得平面； （2）取中点，则，则底面，以为坐标原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，并求得的长为． 【详解】（1）∵平面平面，且平面平面， 而，∴平面，则， 在等边三角形中，∵E为PA的中点，∴， 又，平面，平面 ∴平面； （2）取AD中点O，则，则底面ABCD， 以O为坐标原点，分别以OA，OP为x，z轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 假设线段DE上是否存在点Q，使得直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为， 设（），则， ． 设平面PDC的一个法向量为，，． 由，取，得． 由， 解得：或（舍）． ∴，则． ∴在线段DE上存在点Q，使得直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为，DQ的长为． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，属于中档题． 24．如图， 在四棱锥中， 底面是矩形，， 点为侧棱上一动点 (不含端点)． (1)求证： 平面 平面； (2)若， 是否存在点使得直线与平面所成角为？ 若存在， 求出的值； 若不存在， 说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；或 【分析】（1）由和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到平面平面- （2）作交于，得到平面，以所在的直线分别为轴，过点平行与的直线为轴建立空间直角坐标系，即，求得平面的法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，可得， 又因为，且，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面- （2）解：作交于， 因为，所以  所以平面， 以所在的直线分别为轴，过点平行与的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，所以， 记，即，所以， 所以， 由，故可设平面的法向量， 又由，得，可解得，所以， 若直线与平面所成角为， 则有，所以， 化简得，解得， 因此，当时，直线与平面所成角为. 25．如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【分析】（1）由题设证得，取AD的中点，连结PO，应用面面垂直的性质证平面，再由线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定证结论； （2）取AB的中点，连结ON，则，构建空间直角坐标系，设，应用向量法，结合线面角大小列方程求，即可得结果. 【详解】（1）因为，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，即， 取AD的中点，连结PO，因为是正三角形，所以 又面面ABCD，面面，面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）取AB的中点，连结ON，则，所以 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则， 设，，则， 又，设平面的一个法向量为， 则，即，若， 取， 由直线AP与平面MBD所成角为，得， 化简得  解得或， 当或时，直线AP与平面所成角为. 六、题点六 有关面面角的动点问题 26．如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．    【答案】存在， 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，得到为二面角的平面角的补角，即有，设，表达出其他边长，根据特殊三角函数值列出方程，求出，得到答案. 【详解】假设存在满足条件的点，连结，过作为垂足， 并延长与相交于，连结．    因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以． 所以为二面角的平面角的补角，即有． 设，则． 在中，，从而． 在中，，解得． 因此，存在符合题设条件的，且满足． 27．如图，在三棱台ABC－DEF中，平面DEBA⊥平面ABC，平面DFCA⊥平面ABC，AB：BE：DE=4：5：1. (1)求证：AD⊥BC； (2)若△ABC是等边三角形，试问：棱BE上是否存在一点H，使得二面角H－AC－B的平面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）在平面内，过点作直线，过点作直线，由面面垂直的性质得出，，结合线面垂直的判定以及定义得出； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）在平面内，过点作直线，过点作直线， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以，同理可证. 因为l，m为相交直线，l，平面，所以平面 又平面，所以. （2）设，则，， 易得四边形为直角梯形，所以， 以点为原点，以，和平面的一个法向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 则，，， 则， 设，则， 易知是平面的一个法向量. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 因此是平面的一个法向量. 假设存在点，使得二面角的平面角为， 则 化简得，解得或（舍去）， 因此棱上存在一点，使得二面角的平面角为，此时. 28．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出的值？若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）由线面垂直的性质，勾股定理分别可得、 ，从而得 平面 ， 进而由面面垂直的判定定理可得结果； （2）以 为原点 所在直线分别为轴建立如图所示坐标系，分别求出平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 【详解】（1）证明：因为四边形为平行四边形，， 所以四边形为菱形， 所以， 在中, ， 所以，所以， 因为底面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）解：由（1）知 因为∥， 所以, 因为底面，平面， 所以， 所以以 为原点 所在直线分别为轴建立如图所示坐标系，如图所示，则， 假设点存在满足条件，且（）,则，设， 所以， 所以 所以， 设平面的法向量为, 平面的法向量为，则 ，, 令，则，， 所以 由题意得， 所以， 整理得，解得 所以在棱上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为，且此时，即为的中点. 29．如图，在三棱柱中，，，O为BC的中点，平面ABC. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，，点M在线段上，是否存在点M使得锐二面角的大小为，若存在，请求出点M的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在；答案见解析 【分析】（1）易证，，从而知平面，再由线面垂直的性质定理，即可得证； （2）取的中点，连接，作于，连接，由几何关系证得为直线与平面所成的角，再求正弦即可； （3）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，利用向量法求二面角可得关于的方程，解之即可． 【详解】（1）证明：因为，，O为BC的中点， 所以， 又因为平面，平面，所以， 而平面， 所以平面， 平面，， （2）取的中点，连接，作于，连接， 在三棱柱中，由题意可得， 又平面，平面平面， 所以，而平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 因为，， 所以， 可得， 在中，， 所以，即， 所以； （3） 在中，，，所以， 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设，， 则， 设平面MBC的法向量为，则， 取，则，，所以， 由知平面， 所以平面的一个法向量为， 因为锐二面角的大小为， 所以， 整理得， 解得， 因为， 所以， 故当时，可使得锐二面角的大小为 30．如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且. (1)若点是的中点， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2)存在， 【详解】（1） （ⅰ）设矩形的中心为，则是的中点，而是的中点，所以. 而是矩形的中心，故也是的中点，所以在平面内，又因为不在平面内，所以平面； （ii）由于平面平面，平面和平面的交线为，，在平面内，故平面. 所以直线与平面所成角的正弦值等于. 下面证明一个结论：在中，若的长分别为，则边上的中线长为. 证明：设为的中点，，则由余弦定理，结合得 . 所以，即，故. 回到原题. 由于平面，而在平面内，故，. 从而，这得到，. 而，故根据之前证明的结论，我们有，，从而. 这表明，所以直线与平面所成角的正弦值等于. （2）在平面内过作，交于，在平面内过作，交于. 由于平面平面，平面和平面的交线为，，在平面内，故平面.  而在平面内，故. 又因为，在平面内交于，故平面. 由平面，在平面内，知. 由，，且在上，知二面角等于. 从而条件即为，即，即. 设，则，故，. 同时，. 故条件即为，即. 解得，所以. 综上，存在满足条件的点，. 七、题点七 有关体积的动点问题 31．如图所示的几何体由平面截棱长为的正方体得到，其中为原正方体的顶点，为原正方体侧棱的中点，正方形为原正方体的底面.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使三棱锥的体积恰为几何体的体积的？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，在棱上存在点 【分析】（1）通过证明来证得平面； （2）根据锥体体积公式列方程，求得，也即确定点的位置. 【详解】（1）几何体由棱长为的正方体截得， ∵为原正方体侧棱的中点， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）在棱上存在点，当时， 可使三棱锥的体积恰为几何体的体积的，理由如下： 几何体的体积为， 由正方体的性质可知点到面的距离等于点到面的距离，设， 则， ∴，解得：，即， ∴在棱上存在点，当时，可使三棱锥的体积恰为几何体的体积的.    32．如图1所示，长方体，底面是正方形， 为中点，图2是该几何体的左视图. （1）求四棱锥的体积； （2）正方体内（包括边界）是否存在点，使三棱锥体积是四棱锥体积的？若存在，请指出满足要求的点的轨迹，并在图1中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）存在，点的轨迹是的中点和的中点的连线段，图形见解析 【分析】（1）由题意可得，再结合棱锥的体积公式求解即可; （2）由棱锥的体积，求出点到的距离，再判断点的轨迹即可得解. 【详解】解：（1）又由题意可得：， 则 ； （2）设点到的距离为， 因为点到平面的距离为1，所以， 所以，即满足要求的点的轨迹是的中点和的中点的连线段， 点的轨迹如图所示： 【点睛】本题考查了棱锥的体积的求法，重点考查了轨迹问题及运算能力，属中档题. 33．如图①，在等腰梯形中，，，，交于点.将沿线段折起，使得点在平面内的投影恰好是点，如图. （1）若点为棱上任意一点，证明：平面平面. （2）在棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点是线段靠近的三等分点. 【分析】（1）要证明面面垂直，需先在证明线面垂直，由条件证明平面；（2）假设存在点，利用等体积转化，根据体积公式确定点到平面的距离，确定点的位置. 【详解】（1）在等腰梯形中，，， 在中，，所以， 又因为平面，平面，所以，， 所以平面，平面，所以平面平面； （2），， 设点到平面的距离为，则， 所以， 在中，平面，所以存在点，使得， 则点是线段靠近的三等分点. 【点睛】本题考查证明面面垂直，根据体积求参数，重点考查空间想象能力，推理证明，计算能力，属于中档题型. 34．在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，底面，，，，是的中点. （1）求证：平面平面； （2）上是否存在点，使得三棱锥的体积是三棱锥体积的.若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明过程见详解；（2）为的中点；理由见详解. 【分析】（1）先取中点为，连接，根据题意，证明四边形为矩形，求出，推出，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，得到平面；进而可证明面面垂直； （2）取中点为，连接， 根据题意，证明平面；求出三棱锥的体积为，再求得三棱锥的体积为，得到，再由三棱锥的体积是三棱锥体积的，得到，进而可得出结果. 【详解】（1）取中点为，连接，因为四边形是直角梯形，，且，，所以，且， 又，所以四边形为矩形，所以， 因此， 又，所以，因此； 因为底面，所以， 因为，平面，平面， 因此平面； 又平面，所以平面平面； （2）为的中点，理由如下： 取中点为，连接， 因为，所以， 由底面，平面，可得：平面底面， 因为平面底面， 所以平面； 因此三棱锥的体积为， 又由（1）易知：平面，因为是的中点. 所以三棱锥的体积为， 即， 因此为使三棱锥的体积是三棱锥体积的， 只需， 因此只需点到平面的距离等于的一半， 又点在上，所以为的中点. 【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及由几何体体积间的关系确定点的位置，熟记线面垂直与面面垂直的判定定理，以及三棱锥的体积公式，并注意等体积法的应用即可，属于常考题型. 35．如图①，在等腰梯形中，，，.，交于点.将沿线段折起，使得点在平面内的投影恰好是点，如图. （1）若点为棱上任意一点，证明：平面平面. （2）在棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点是线段靠近的三等分点. 【分析】（1）先证，再证，即可得出平面，又平面，所以平面平面； （2）设点到平面的距离为，由可得，在中，平面，所以存在点，使得，进而得出点是线段靠近的三等分点. 【详解】（1）在等腰梯形中，，， 在中，，所以， 又因为平面，平面，所以，， 所以平面，平面，所以平面平面； （2），， 设点到平面的距离为，则，所以， 在中，平面，所以存在点，使得， 则点是线段靠近的三等分点. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查等体积法的应用，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考题. 八、解答题 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题延伸： 有关立体几何的动点问题 知晓结构体系 1夯实必备知识 动点问题的一般解决思路 先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算． 在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在； 如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在． 2提升学科能力 一、题点一线面平行的动点问题 1．如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 2．如图，正四棱锥的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且．在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由. 3．已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？ 4．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．    5．如图，在正方体中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 二、题点二 面面平行的动点问题 6．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 7．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 8．知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 9．如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由． 10．如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.    (1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面； (2)在（1）的条件下，求几何体的体积. 三、题点三 线面垂直的动点问题 11．如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，与相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求二面角的大小； (3)设点M在棱上，且，问为何值时，平面． 12．如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，． (1)求证：平面； (2)求点C到平面的距离； (3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由． 13．已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 14．若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．如图，长方体中，，，点是棱的中点.    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 四、题点四 面面垂直的动点问题 16．如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17．如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 18．如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 19．如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 五、题点五 有关线面角的动点问题 21．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，点Q是PC的中点． (1)求证：平面BDQ； (2)在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？ 22．已知在四棱锥中，平面，四边形为矩形，，，为棱上一点，且. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 23．如图，四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面平面，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，，试问在线段DE上是否存在点Q，使得直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由． 24．如图， 在四棱锥中， 底面是矩形，， 点为侧棱上一动点 (不含端点)． (1)求证： 平面 平面； (2)若， 是否存在点使得直线与平面所成角为？ 若存在， 求出的值； 若不存在， 说明理由． 25．如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 六、题点六 有关面面角的动点问题 26．如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．    27．如图，在三棱台ABC－DEF中，平面DEBA⊥平面ABC，平面DFCA⊥平面ABC，AB：BE：DE=4：5：1. (1)求证：AD⊥BC； (2)若△ABC是等边三角形，试问：棱BE上是否存在一点H，使得二面角H－AC－B的平面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 28．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出的值？若不存在，说明理由. 29．如图，在三棱柱中，，，O为BC的中点，平面ABC. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，，点M在线段上，是否存在点M使得锐二面角的大小为，若存在，请求出点M的位置，若不存在，请说明理由. 30．如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且. (1)若点是的中点， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 七、题点七 有关体积的动点问题 31．如图所示的几何体由平面截棱长为的正方体得到，其中为原正方体的顶点，为原正方体侧棱的中点，正方形为原正方体的底面.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使三棱锥的体积恰为几何体的体积的？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 32．如图1所示，长方体，底面是正方形， 为中点，图2是该几何体的左视图. （1）求四棱锥的体积； （2）正方体内（包括边界）是否存在点，使三棱锥体积是四棱锥体积的？若存在，请指出满足要求的点的轨迹，并在图1中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由. 33．如图①，在等腰梯形中，，，，交于点.将沿线段折起，使得点在平面内的投影恰好是点，如图. （1）若点为棱上任意一点，证明：平面平面. （2）在棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 34．在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，底面，，，，是的中点. （1）求证：平面平面； （2）上是否存在点，使得三棱锥的体积是三棱锥体积的.若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由. 35．如图①，在等腰梯形中，，，.，交于点.将沿线段折起，使得点在平面内的投影恰好是点，如图. （1）若点为棱上任意一点，证明：平面平面. （2）在棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 八、解答题 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$