2024年中考数学考前大题冲刺特训：反比例函数5大考点汇总与针对性训练

2024年中考数学考前大题冲刺特训：反比例函数5大考点汇总与针对性训练 5大考点汇总 考点1：反比例函数的图像与性质 考点2：反比例函数系数K的几何意义 考点3：反比例函数与一次函数综合 考点4：反比例函数与实际问题 考点5：反比例函数与几何问题 5大考点针对性训练 考点1：反比例函数的图像与性质 1．参照反比例函数研究的内容与方法，研究下列函数： (1)研究函数：①画出它的图像；②它的图像是什么图形？可看作怎样的图形经过怎样的平移得到？③说明它所具有的性质． (2)研究函数的图像与性质； (3)由（1）（2）的图像经过平移，你还能得出怎样的函数图像与性质，请举例说明； (4)研究函数的图像与性质． 2．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：下表是x与y的几组对应值，请填出表格中的空余部分即　 　： x … －1 0 1 3 4 5 … y … －1 －2 2 ▲ … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； (2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：①　 　；②　 　． (3)函数y＝的图象经过　 　的变化或得到y＝的图，这是因为　 　． 3．一次函数的图象与x轴交于点，反比例函数的图象与一次函数交于点、点． (1)求一次函数的表达式和反比例函数的表达式，并在网格中作出一次函数与反比例函数的图象； (2)求的面积； (3)请结合图象，直接写出不等式的解集． 4．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行例研究，已知当x＝2时，y＝7，时，y＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整： (1)该函数的解析式为 　 　，m＝　 　，n＝　 　． 根据图中描出的点，画出函数图象． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 2 3 4 … y … m ﹣3 7 n … (2)根据函图象，下列关于函数性质的描述正确的是 　 　； ①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点． ②该函数既无最大值也无最小值． ③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小． (3)请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2） 考点2：反比例函数系数K的几何意义 5．如图，菱形的边长为5，轴，垂足为点E，点A在第二象限，点B在y轴的正半轴上，点C、D均在反比例函数的图像上，连接，点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D的横坐标为1，反比例函数的图像上是否存在一点P，使得的面积是菱形面积的，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 6．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与、相交于点D、E． (1)若点，求k的值； (2)若四边形的面积为6，求反比例函数的解析式． 7．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与轴交于点，交轴于点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)点为坐标平面内的点，若点，，，组成的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 8．如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数的图象于P、Q两点．若AB=BP，且△AOB的面积为． (1)求k的值； (2)当点P的横坐标为－1时，设直线AB的解析式为，若，求x的取值范围． 考点3：反比例函数与一次函数综合 9．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． (1)求直线和反比例函数图象的表达式； (2)求的面积； (3)请直接写出不等式的的取值范围． 10．如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值； (2)点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围． 11．如图所示，直线与双曲线互交于A，B两点，已知点B的纵坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点，． (1)求直线的表达式； (2)若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求的值． (2)求一次函数的表达式． (3)若点在轴上，当时，求点的坐标． 考点4：反比例函数与实际问题 13．某饮水机开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降．此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．    (1)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (2)若水温从开始加热至，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 14．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题： (1)求与的函数表达式； (2)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 15．如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为米的平台，垂直于水平面，滑道分为两部分，其中段是双曲线的一部分，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点为抛物线的顶点，且点的竖直高度为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米．    (1)求滑道所在抛物线的解析式； (2)求甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离； (3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点与最高点连线与水平面夹角应不大于，且由于实际场地限制，，请直接写出长度的取值范围． 16．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题：    (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 考点5：反比例函数与几何问题 17．如图，反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分別与和的图象交于点，．    (1)当时，线段，求，两点的坐标及值． (2)小明同学提出了一个猜想：“当值一定时，的面积随值的增大而减小．”你认为他的猜想对吗？请说明理由． 18．如图，平面直角坐标系中点，，反比例函数的图象与线段交于点，．    (1)求反比例函数表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)（）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点．连接，求证：是的平分线． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为，过点作的垂线． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为5，求点的坐标； 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点．    (1)已知点的坐标为，求： 一次函数和反比例函数的解析式；   在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标； (2)过点作轴于点，点为中点，线段交轴于点，连结．若的面积为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)①见解析；②双曲线，向上平移1个单位得到；③见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)见解析 【分析】（1）①利用描点法画出函数图像，即可求解；②观察图像，可得它的图像是双曲线，可看作双曲线向上平移1个单位得到；③观察图像，即可求解； （2）根据题意可得函数的图像是双曲线，可看作是双曲线向左平移3个单位得到，即可求解； （3）根据题意可得，即可求解； （4）根据题意可得函数=，即可求解． 【详解】（1）解∶ ①列表如下∶ x …… -2 -1 1 2 …… y …… 0.5 0 -1 -2 4 3 2 1.5 …… 画出图象，如下： ②它的图像是双曲线，可看作双曲线向上平移1个单位得到； ③图像的两个分支在y轴两侧，在每一侧，y随x的增大而减小；图像的两支都无限接近于直线y=1和x=0，但不会与它们相交； （2）解：函数的图像是双曲线，可看作是双曲线向左平移3个单位得到；图像的两个分支在直线x=-3的两侧，在每一侧y随x的增大而减小，图像的两支都无限接近于直线y=0和x=-3，但不会与它们相交； （3）解：； （4）解：函数==，它的图像是双曲线，可看作双曲线向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到； 图像的两个分支在直线x=2的两侧，在每一侧y随x的增大而减小，图像的两支都无限接近于直线y=4和x=2，但不会与它们相交． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数的图形和性质，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键． 2．(1)1，见解析 (2)①（图象无限的接近于直线x=2、x轴），但与它们永远没有交点；②当x＞2和x＜2时，图象y随x的增大而减小； (3)向右平移2个单位；在函数中，把x－2视作一个整体x 【分析】（1）先求出空余部分的值，再画图像：①在坐标系中描出各点；②把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可； （2）根据图象，数形结合即可写出两条性质； （3）观察图象即可求得． 【详解】（1）解：将x=3代入y＝得：y=1，表中空余部分的值为1； 连线正确画出图形（如图所示） （2）其性质有：①（图象无限的接近于直线x=2、x轴），但与它们永远没有交点；②当x＞2和x＜2时，图象y随x的增大而减小； 故答案为：①（图象无限的接近于直线x=2、x轴），但与它们永远没有交点；②当x＞2和x＜2时，图象y随x的增大而减小； （3）函数y=的图象向右平移2个单位即得函数  图象； 这是因为在函数，把“x－2”视作一个整体“x”就可以了. 故答案为：向右平移2个单位；在函数中，把x－2视作一个整体x． 【点睛】本题考查函数的图形及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质． 3．(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为，图象见解答 (2)3 (3)或 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）先根据反比例函数解析式求出点坐标，然后根据求解． （3）根据图象求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 一次函数表达式为， 将代入得：， 解得， 反比例函数表达式为， 如图， （2）解：将代入得：， 所以点坐标为， 如图，连接，， ． （3）解：由图象可得不等式的解集为或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程及不等式的关系． 4．(1)y＝（x≠7），1， (2)② (3)或 【分析】（1）待定系数法可求函数解析式，将，代入解析式得的值，描点、连线画出图象即可； （2）依据函数图象，即可判断； （3）依据函数图象．即可得到． 【详解】（1）解：把x＝2，y＝7；x＝0，y＝﹣3代入，得 解得， ∴函数的解析式为（x≠1）； 将代入解析式得 将代入解析式得 描点、连线，图象如图所示 故答案为：（x≠1）；1；． （2）解：由图象可知：①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是（1，2），错误，不符合题意； ②该函数既无最大值也无最小值，正确，符合题意； ③当x＞1，或时，y随x的增大而减小，错误，不符合题意； 故答案为：②． （3）由图象可知，关于x的不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数图象．解题的关键在于数形结合． 5．(1) (2)存在，点P的坐标为 【分析】(1)先确定点C的坐标，再根据反比例函数的性质求解析式即可． (2)根据解析式确定点D的坐标，计算出菱形的面积，设点P的坐标为(m，)，三角形的高为，再根据三角形的面积计算即可． 【详解】（1）∵ 菱形的边长为5，轴， ∴AD∥BC∥x轴，BC=5， ∵ 点， ∴点C的坐标， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，交BC于点N，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点G， ∵点D的横坐标为1，反比例函数的解析式为， ∴， ∴DN==3， ∵的面积是菱形面积的， ∴， 设点P的坐标为(m，)， 则三角形的高为， ∴， 解得m=， ∴=， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质，坐标的特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 6．(1)8 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，，根据反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，求得点的坐标，然后待定系数法求解析式即可； （2）过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形，根据中位线的性质以及的几何意义，可得S矩形ABCO＝4S矩形ONMG＝4|k|，结合已知条件即可求解 【详解】（1），四边形是矩形，为矩形对角线交点， 反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M， （2）如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形 由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE＝，S△OAD＝， 过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S矩形ONMG＝|k|， 又∵M为矩形ABCO对角线的交点， 则S矩形ABCO＝4S矩形ONMG＝4|k|， 由于函数图象在第一象限，k＞0，则++6=4k， ∴k＝2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何图形，的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 7．(1)， (2) (3)点的坐标为：，， 【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式； （2）利用三角形面积的和差求解，即可得出结论； （3）利用平行四边形的性质结合当AP∥OC且AP=OC时，当AP′∥OC且AP′=OC时，当AO∥P″C，且AO=P″C时，分别得出答案． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ，解得：， ∴反比例函数的表达式是：； 在反比例函数的图象上， ， ， 将点，代入，可得：， 解得：， ∴一次函数表达式是：； （2）由（1）知，直线的解析式为，则，， ； （3）如图所示： 当且时，则， ， 点坐标为； 当且时，则， ， 点坐标为：； 当，且时，则点与到轴距离相等，且点横坐标为， 点坐标为： 综上所述：点的坐标为：，，． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键． 8．(1)-6 (2)x＜-1或0＜x＜2 【分析】(1)设P(m，n)，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，根据AB=BP，且△AOB的面积为，得到△AOP的面积为3，OC=OA=-m，PC=n，根据，计算mn=k即可． (2)确定点A、点P的坐标，得到直线AB的解析式，利用韦达定理确定点Q的横坐标，结合图像，写出满足题意的不等式解集即可． 【详解】（1）设P(a，b)，过点P作PC⊥x轴，垂足为C， 则PC=b，OC= -a， ∵AB=BP，PC∥OB，△AOB的面积为， ∴△POB的面积为，OC=OA=-a， ∴△AOP的面积为3， ∴， ∴-ab=6即ab=-6， ∴k= -6． （2）∵k= -6， ∴反比例函数解析式为， ∵点P的横坐标为－1， ∴点P的纵坐标为=6即P(-1，6)； ∴OC=AO=1， ∴点A坐标为 (1，0)； ∴， 解得， ∴直线的解析式为y=-3x+3， ∴即， 解得， ∴点Q的横坐标为2， ∴的解集为x＜-1或0＜x＜2． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理，一元二次方程的解法，不等式解集的确定，数形结合思想，熟练掌握反比例函数的性质，灵活求解一元二次方程是解题的关键． 9．(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）由题意，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，在平面直角坐标系中，由代入坐标求解即可得到答案； （3）由函数图象与不等式的关系，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：已知直线与反比例函数的图象交于点， ，解得；； 直线的表达式为；反比例函数图象的表达式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，，即； 过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ， ， ； （3）解：直线的表达式为；反比例函数图象的表达式为， 不等式的解集是当反比例函数图象在直线上方时的取值范围， 如图所示： ， 当时，反比例函数的图象在直线的上方，故不等式的的取值范围是． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及待定系数确定函数关系式、反比例函数图象与性质、一次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、利用函数图象解不等式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 10．(1)4 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）首先根据一次函数解析式确定值，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入，即可求得的值； （2）首先求得点的坐标，根据，转化为，结合函数图像，直接求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， 可得，解得， 即的值为4； （2）如下图， ∵，， ∴当时，可有， 即， 联立直线与双曲线， 可得，解得或， ∴，， ∴结合图像可知，当时，或． 11．(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点A作于点M，结合，，确定点，得到双曲线，根据点B的纵坐标为，求出即，利用待定系数法计算解析式即可． （2）根据直线与y轴的交点为D，且点，得到，结合，根据面积关系计算即可． （3）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，三角函数，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键． 【详解】（1）过点A作于点M， ∵，，， ∴， 解得（舍去）， 故， ∴点， ∴双曲线， ∵点B的纵坐标为， ∴，即， ∵一次函数经过 、两点， ∴， 解得， 故解析式为；． （2）根据直线与y轴的交点为D，且点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积是的面积的2倍， ∴． ∵直线的表达式为， ∴， ∴， ∴． ∴． 解得， ∴． （3）∵、，且， 故或． 12．(1) (2)一次函数的表达式为 (3)点的坐标为 或 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数交点的含义，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）把点的坐标的代入反比例函数求出的值； （2）根据（1）得到反比例函数解析式，再把点代入，求点的值，把点代入一次函数解析，运用待定系数法即可求解； （3）设，根据题意先计算出的值，再计算出的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过， ∴； （2）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得，， 检验，时，，符合题意， ∴点的坐标为， 设一次函数的表达式为， 把和代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （3）解：设点的坐标为． 当时，由得． 设直线与轴交于点， ∴点的坐标为， ∴． ∴， ∵在轴上， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 13．(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是： （1）设水温下降过程中，与的函数关系式为，根据待定系数法即可求解； （2）分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断． 【详解】（1）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （2）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 14．(1) (2)恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害 【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入中，即可求得结论． 【详解】（1）解：由图象，设双曲线解析式为：， ∵， ∴， ∴双曲线的解析式为： ∴； （2）把代入中，解得：， ∴（小时）， ∴恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的实际应用，根据图象求一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用． 15．(1) (2)米 (3) 【分析】（1）点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出点坐标．又因为点为抛物线的顶点，且点到地面的距离为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米．据此可求出解析式； （2）依据前面的解析式求出、的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离； （3）先判断的最小值，再根据已知求出最大值即可． 【详解】（1）解：依题意，点到地面的距离为米， 设点坐标为，，代入 ， 解得， 点距地面的距离为米，距点的水平距离为 米， 的坐标 ，， 由题意得：，， 故设滑道所在抛物线的解析式为 ， 将的坐标，代入，得 ， 解得：， 则 ； （2）令，， 解得： 不合题意，舍去， 又将 代入 ， 解得 ， 甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离为 米． （3）根据上面所得 ，， ，时，此时， 则点不可往左，可往右，则最小值为， 又， ， ． 长度的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想． 16．(1)爆炸前：；爆炸后： (2) (3) 【分析】（1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x值即可求解． 【详解】（1）解：因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设与的函数关系式为， 由图象知过点与， ， 解得， ， 此时自变量的取值范围是， 因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设与的函数关系式为， 由图象知过点， ， ， ， 此时自变量的取值范围是； （2）解：当时，由得，，解得， 撤离的最长时间为（小时）， 撤离的最小速度为 （3）解：当时，由得，，（小时）， 矿工至少在爆炸后小时才能下井． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． 17．(1)点为，点 为，的值为． (2)小明猜想不正确，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，三角形面积，一次函数的性质等知识点，其中理解反比例函数的几何意义是解题的关键． （1）由过点作轴的垂线叫解析式为、两点可知：当点为，则点坐标为，点坐标为，再将，代入计算即可求解． （2）根据题意列出的关系式，再根据公式代入化简即可得出结论． 【详解】（1）由题意可知：点为，则点坐标为，点坐标为． 当时，则点为，点 为， ． ． ． ． ． 点为，点 为，的值为． （2）由题意可知：，． ． 值一定， 的面积一定， 小明猜想不正确． 18．(1)； (2)作图见解析； (3)证明见解析． 【分析】（）先求出点坐标，代入解析式，可求解； （）以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求图形； （）先求出点坐标，点坐标，由面积法可求的长，由角平分线的判定即可求证； 本题考查了待定系数法，作线段的垂直平分线，角平分线的判定，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∵反比例函数 的图象过点， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：如图，以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求；    （3）解：如图，过点作于，    ∵ ，， ∴点， ∴点的纵坐标为， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∵点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的平分线． 19．(1)， (2)点C的坐标为或 【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解； （2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解； 【详解】（1）解：令，则 ∴点A的坐标为， 将点代入得： 解得： ∴ 将点代入得： 解得： ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，    令解得： ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴ 又∵直线l是的垂线即，， ∴， ∴ 设直线l的解析式是：， 将点，点代入得： 解得： ∴直线l的解析式是：， 设点C的坐标是 ∵，(分别代表点B与点C的横坐标) 解得： 或6， 当时，； 当时，， ∴点C的坐标为或 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，综合性较强，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 20．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为； 的坐标为或； (2)． 【分析】（）把代入一次函数的图象与反比例函数即可求解； 根据三角形面积求得的长，然后由直线的解析式求得的坐标，即可求得的坐标； （）由一次函数，可得，，得出是等腰直角三角形，设，则，进一步得出是等腰直角三角形，则，由的面积为，即可求解； 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积求法，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴，， ∴，， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为； ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， 由直线得，， ∴的坐标为或； （2）∵一次函数， ∴，， ∵轴于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴设，则， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积为， ∴ 即， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$