精品解析：河北省秦皇岛市安丰高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

2023~2024年度高二年级第一学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解. 【详解】解：抛物线的标准方程为， 所以焦点坐标为，其准线方程为， 所以抛物线的焦点到其准线的距离为， 故选：B 2. 若直线与直线平行，则实数a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】解方程即得解. 【详解】解：由题得 经检验，当时，满足题意. 故选：A 3. 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原方程可变形为，根据已知有，解出即可. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线， 可变形为. 所以有，即，解得. 故选：A. 4. 数列的一个通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合选项，举例说明即可求解. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； C选项，当时，，故C错误； D选项，当时，，故D错误． 故选：B． 5. 在棱长为的正方体中，是的中点，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以，. 故选：D 6. 已知点，，，且满足，点D为AB的中点，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】设D点坐标，由中点坐标转化可得，即得点D的轨迹，利用点与圆的位置关系，即可求得的最大值. 【详解】解：根据题意可得，设D点坐标，可知，，则，， 又，代入得，即，可得D点是在以点为圆心，半径为1的圆上， . 故选：C． 7. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求得单调递减区间，问题等价于单调递减区间与区间的交集为非空区间，从而可以求参. 【详解】由，可得． ①当时，，此时函数单调递减， 所以当时，函数在区间内存在单调递减区间. ②当时，令，可得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以函数的减区间为，增区间为， 若函数在区间内存在单调递减区间， 只需，得. 综上所述，． 故选：C 8. 已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设是椭圆上的点，设，求出为定值，从而能求出的值，然后根据求解. 【详解】设代入椭圆方程，则 整理得：设， 又，,所以 而，所以，所以 故选：B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确； 对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误； 对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确； 对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确. 故选：ACD． 10. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为16 B. 圆截轴所得的弦长为 C. 圆与圆：相外切 D. 若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径，可判断A；根据点到弦的距离可求出弦长，判断B；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系，判断C；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，判断D. 【详解】由圆，可得圆的标准方程为， 所以圆的半径为4，故A错误； 令，得，设圆与轴交点的横坐标分别为，， 则，是的两个根，所以，， 所以，故B正确； 两圆圆心距，故C正确； 由圆上有且仅有两点到直线的距离为1， 则，解得或， 即实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 11. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，取得最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断出，，，再对四个选项一一判断： 对于A、B选项，由，即可判断；对于C，利用，即可判断；对于D，先判断出数列{an}为递增数列，再由当时，，当时，，即可判断. 【详解】因为，所以，，． 对于A、B选项，因为，，所以，故选项A正确，选项B错误； 对于C，因为，所以，故选项C正确； 对于D，因为，，可知，，所以等差数列{an}为递增数列， 当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故D选项正确． 故选：ACD． 12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，在R上恒成立 C. 存在，使得在上不存在零点 D. 对任意的，有唯一的极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数判断单调性，结合零点存在性定理逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，，求导得，由， 得，则在上单调递减，A错误； 对于B，当时，，求导得，由，得， 由，得，则在上递减，在上递增， ，B正确； 对于C，当时，，，在R上为单调递增， 又，，则在上一定存在零点，C错误； 对于D，当时，，由，得，，得， 则在上递减，在上递增，有唯一的极小值，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在各项均为正数的等比数列中，，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】由条件，结合等比数列性质可得，再对数运算性质求即可. 【详解】因为数列为等比数列，所以， 又，所以， 所以， 故答案为：4. 14. 已知向量，，若，则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，列出，分别求出，然后得到，进而计算，可求出的值. 【详解】，故，解得，故，， ，则 故答案为： 15. 已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可知函数是奇函数，利用导数可判断函数在上单调递增，利用函数单调性可知等价于，解出不等式即可求得实数t的取值范围. 【详解】由题得函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数． 又恒成立，所以函数在上单调递增； 不等式等价于， 所以，即，解得． 所以实数t的取值范围为． 故答案为： 16. 已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，由勾股定理可求得、用含有a的代数式表示，在中，由勾股定理可求得用含有a的代数式表示，在中，由勾股定理可求得可用含有a的代数式表示，进而求得结果. 【详解】如图所示， ∵ ，则 ，， 由双曲线的对称性知：， ， 又∵， ∴四边形 为矩形， 设 ，则由双曲线的定义知：， 在中，，即： ， 整理得：，即： ， ∵，∴ ， ∴ 设 ，则由双曲线的定义知：， 在中，，即：， 解得： ，即：， 又∵， ∴在中， ∴ 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求的极值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）极大值为，极小值为0． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，在定义域内由得增区间，由得减区间； （2）由单调性得极值点，计算得极值． 【小问1详解】 的定义域为， ，令，解得或， 令，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又，， 所以的极大值为，极小值为0． 18. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． （1）求抛物线的方程； （2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意得到，，两点的横坐标为，可得求解； （2）由（1）得，且直线的斜率存在，设，，利用点差法求解. 【小问1详解】 由题意得， 当轴时，，两点的横坐标为， 当时，，解得， ，解得， 故抛物线的方程为； 【小问2详解】 由（1）得，且直线的斜率存在， 设，，且， 则，， ，即， 线段的中点的纵坐标为， ，即， ，即直线的斜率， 直线的方程为，即． 19. 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若，证明：数列的前n项和. 【答案】（1） （2）由（1）知， 所以， 所以数列的前n项和， 由，可得. 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，由，，成等差数列和，列方程组求出和，可得数列的通项公式； （2），裂项相消求得，由，可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由，，成等差数列知，， 即， 所以，有，即或. ①当时，，不合题意； ②当时，，得， 所以等比数列的通项公式； 【小问2详解】 略 20. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由，，有 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 21. 已知椭圆）的离心率为，且与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意得，由与直线相切，联立方程得，即可解决； （2），结合韦达定理得，即可解决. 【小问1详解】 由题知，， 所以椭圆为，即， 因为与直线相切， 所以，消去得， 所以， 所以，得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设， 由，得 所以， 所以 ， 所以，解得， 所以存在点，使得为定值. 22. 已知函数． （1）若，求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若，试判断的零点的个数． 【答案】（1）1 （2）若，在上有且仅有两个零点；若，在上有且仅有3个零点． 【解析】 【分析】（1）先求导，把代入，得到切线的斜率，再结合切点坐标写出切线的方程，再求切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）函数的零点个数，即为方程的解的个数，再转化为函数的零点个数，对求导，分类讨论当，时函数的单调性，再找到零点的个数. 【小问1详解】 若，，，所以，即切线的斜率为2. 又，即切点坐标为. 所以在处的切线方程为， 令，解得；令，解得. 所以在处的切线与坐标轴围成的面积. 【小问2详解】 由且，整理得． 令，． 若，则，令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以在上有且仅有两个零点，即在上有且仅有两个零点． 若，令，又，，，所以在上有两个零点且．令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，所以，，又，所以在区间上有唯一零点. ，所以在区间上有唯一零点，所以在上有且仅有3个零点，即在上有且仅有3个零点． 综上，若，在上有且仅有两个零点； 若，在上有且仅有3个零点． 【点睛】关于函数导数的零点问题，一般要进行分类讨论，难度比较大. 1.函数零点个数也就是函数图像与x轴交点的个数，所以可以借助函数图像的特征求解函数的零点个数问题. 2.对于含参函数的零点个数，可以对函数进行适当的变形，也可以进行参变分离，利用导数研究函数的单调性和极值，做出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024年度高二年级第一学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. D. 4 2. 若直线与直线平行，则实数a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 数列的一个通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为的正方体中，是的中点，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 6. 已知点，，，且满足，点D为AB的中点，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为16 B. 圆截轴所得的弦长为 C. 圆与圆：相外切 D. 若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 11. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，取得最小值 12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，在R上恒成立 C. 存在，使得在上不存在零点 D. 对任意的，有唯一的极小值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在各项均为正数的等比数列中，，则___________. 14. 已知向量，，若，则 ___________. 15. 已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________． 16. 已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求的极值． 18. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． （1）求抛物线的方程； （2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 19. 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若，证明：数列的前n项和. 20. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 21. 已知椭圆）的离心率为，且与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 22. 已知函数． （1）若，求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若，试判断的零点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $