精品解析：上海交通大学附属中学2023-2024学年高三下学期摸底考试数学试题

上海交通大学附属中学2023学年第一学期高三年级数学摸底考 2024.03 一、填空题（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果） 1. 设复数满足（为虚数单位），则的模为________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法、乘法运算以及模的计算公式即可得解. 【详解】. 故答案为：. 2. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据描述法的集合表示可知，再由交集运算可得结果. 【详解】根据题意可知, 所以. 故答案为：. 3. 不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式化简，等价转化为二次不等式即可. 【详解】，即，，等价转化为，解得. 故答案为： 4. 一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，所得到的新数据的方差是_______． 【答案】100 【解析】 【分析】根据和的方程对应公式，计算得出结果. 【详解】设原数据为，新的数据为，故新的方差为. 【点睛】本小题主要考查线性运算后的数据方差和原数据方差的对应关系，即原数据的方差为，则对应的方差为.属于基础题. 5. 已知，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】，由于，所以，所以， 故答案为：3 6. 已知向量，向量，则向量在向量上的数量投影为________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】利用向量的数量投影公式求解即可. 【详解】因为向量，向量，所以向量在向量上的数量投影为. 故答案为： 7. 从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据古典概率模型直接求解即可. 【详解】记“从5张卡片中任选2张，其上数字之和为偶数”为事件A, 则样本空间：， 共10种情况， 事件A所包含的基本事件有：共4种情况， 所以. 故答案为：. 8. 已知，若对任意，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先举反例说明不成立，得到，再检验即可. 【详解】若，则取，此时，与已知矛盾， 故， 当时，有，满足题意， 综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 9. 容量为的一组数据，它的第百分位数（为1到99之间的整数）各不相同，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由百分位数的定义可证明，再说明可能取到，即得结果. 【详解】由百分位数的定义，按从小到大排列原始数据，第百分位数， 如果不是整数，则第百分位数为大于的比邻整数数位的数据， 如果是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 所以，一方面，若容量为的一组数据的第百分位数各不相同. 这个数本身有个，相邻两个数的平均数有个，这共有个数. 而每个第百分位数都是这个数之一，这些百分位数又各不相同. 所以，即； 而另一方面，这组数据的第百分位数分别是，各不相同. 所以，的最小值为. 故答案为：. 10. 定义在上的函数，其图象与水平直线的交点从左往右分别记为．若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】振幅仅是保证与总有交点，的变化仅是改变函数的周期，与线段长度的比无关，令即可，由题意研究图象解出的取值范围即可. 【详解】 由题意，振幅仅是保证与有交点， 且它们的交点不可能为正弦型函数的最值点或零点，否则，故且， 又的变化仅改变函数的周期(长度)，与线段长度的比无关， 要使，第一与第二个交点距离大于半个周期长，而第二与第三个交点距离小于半个周期长， 不妨令，，作出(注意代换且)的图象， 如图： 由，且，， 所以，由图象得：，或，结合， 所以的取值范围为：. 故答案为：. 11. 设双曲线：（，）的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图，设直线l与圆C的切点为，过点作于点Q，则，由题意求出，进而求出、，结合双曲线的定义化简计算即可求解. 【详解】设直线l与圆C的切点为，则，， 由，得， 过点作于点Q，则， 由O为的中点，得， 因为为锐角，所以， 有，得， 所以，由双曲线的定义知， ，即，解得， 又，所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 12. 已知向量满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式关系即可求解. 【详解】. ∴， 反向共线，左侧等号成立，同向共线，右侧等号成立 ∴的取值范围是. 故答案为： 二、选择题．（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 14. 在中，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据大角对大边，再利用正弦定理化边为角即可判断A；根据余弦函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；根据二倍角的余弦公式即可判断D. 【详解】设三边所对的角分别为， 对于A，由，则，再由正弦定理得，故A正确； 对于B，因为，由余弦函数的单调性知，故B正确； 对于C，当时，满足，但，故C错误； 对于D，由A知，，所以， 又，，，故D正确． 故选：C． 15. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（ ） A. 丁酉年 B. 丁戌年 C. 戊酉年 D. 戊戌年 【答案】A 【解析】 【分析】依题意天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期，求出相隔的年数，再由周期性判断即可. 【详解】天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期. 年与年相隔年， ，即天干有24个周期，余7年； ，即地支有20个周期，余7年. 故甲往前数7年为丁，辰往前数7年为酉， 故年为丁酉年. 故选：A. 16. 如图，已知中为直角，是线段上任意一点（不含端点），沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的大小关系与点位置有关 C. D. 与的大小关系与大小有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据二面角的几何法可得即为二面角的平面角，进而在以及中运用余弦定理，即可作差后结合余弦函数的单调性求解. 【详解】过点作直线于点，过点作直线于点， 则可知，分别在点的两边， 如图，将线段平移到处，过作于，连接， ，，，则即为二面角的平面角， 设， ，， 在中，， 在中，，， 同理，，，， 由题意平面，平面，， 在中，， 在中， ， （当时取等号）， 由于，故等号取不到， ，,，在,上为递减函数， 故，故C正确． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：在中利用余弦定理，在中继续适用余弦定理，两者结合可得，利用作差法以及三角函数的性质求解. 三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤） 17. 已知函数，其中． （1）是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），证明：函数定义域为R，若是奇函数，则，解得， 此时，，符合题意， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可． （2）利用基本不等式求的最小值解决恒成立问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 由，则，当且仅当，即时等号成立， 所以，又不等式恒成立，得， 则实数的取值范围为. 18. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：），得下表： 32 18 4 6 8 12 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150的概率； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： 并判断，该市一天空气中浓度与浓度是否有关？ 附：． 【答案】（1）0.64 （2）列联表见解析，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中不超过75，且浓度不超过150”的概率； （2）根据题意完成2×2列联表，然后利用公式计算，再利用临界值可得答案. 【小问1详解】 用频率估计概率， 从而得到“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率为 . 【小问2详解】 列联表补充如下： 64 16 10 10 经计算得：， 故有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关. 19. 如图，在三棱柱中，平面， ，，，点分别在棱 和棱上，且 ，，为棱的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （1）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出； （2）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （3）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得、、、、 、、、、. 依题意，，， 从而，所以； 【小问2详解】 依题意，是平面的一个法向量， ，． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨设，可得． ， ． 所以，二面角的正弦值为； 【小问3详解】 依题意，． 由（2）知为平面的一个法向量，于是． 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 20. 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点三角形，即可结合余弦定理求解， （2）（i）联立直线与椭圆的方程可得韦达定理，即可根据中点坐标公式可得，从而即可得证；（ii）进一步根据向量的坐标运算即可得证. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，所以，解得. 因为，，. 在中，由余弦定理得， 解得，则，故椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i） 当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为， 联立得. 因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交. 设，由韦达定理得， 所以. 因为为线段中点， 所以，此时，则. 要证，只需证明， 而， 所以点轨迹方程为； （ii）联立得，则. 不妨设，所以，. 不妨设，由得 ， 即. 因为，， 所以. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 当直线斜率为0时，轴，此时,. 因为，所以，则， 故点在定直线上； 当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴， 所以点在轴上，则. ∵，所以，即，则点在定直线上. 综上可得：点在定直线上. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点；若直线方程为 (为定值),则直线过定点 21. 设和是两个等差数列，记，其中表示，，，这个数中最大的数． （1）若，，求，，的值； （2）若为常数列，证明是等差数列； （3）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，，是等差数列． 【答案】（1），，； （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别求得，，，，，，代入即可求得，，； （2）根据，，即可作差得，即可根据时，则，以及时，，此时为常数，所以是等差数列； （3）方由，分类讨论，，三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得，，，是等差数列； 【小问1详解】 已知，， ，，，，，， 当时，， 当时，,,， 当时，,,,， 【小问2详解】 设（为常数），的通项公式为. ， 先考虑， 则时，， 所以. 当时，则，， 此时为常数，所以是等差数列； 当时，则，， 此时是常数列，也是等差数列； 综上所述：是等差数列； 【小问3详解】 设数列和的公差分别为， 则， 所以， ①当时，取正整数，则当时，，因此， 此时，是等差数列； ②当时，对任意， 此时，是等差数列； ③当时，当时，有， 所以 ， 对任意正数，取正整数， 故当时，. 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海交通大学附属中学2023学年第一学期高三年级数学摸底考 2024.03 一、填空题（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果） 1. 设复数满足（为虚数单位），则的模为________． 2. 已知集合，，则________． 3. 不等式的解集是__________. 4. 一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，所得到的新数据的方差是_______． 5. 已知，若，则________． 6. 已知向量，向量，则向量在向量上的数量投影为________． 7. 从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是________． 8. 已知，若对任意，，则的取值范围是________． 9. 容量为的一组数据，它的第百分位数（为1到99之间的整数）各不相同，则的最小值为________． 10. 定义在上的函数，其图象与水平直线的交点从左往右分别记为．若，则的取值范围是_________． 11. 设双曲线：（，）的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为______. 12. 已知向量满足，，则的取值范围是________． 二、选择题．（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 在中，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 15. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（ ） A. 丁酉年 B. 丁戌年 C. 戊酉年 D. 戊戌年 16. 如图，已知中为直角，是线段上任意一点（不含端点），沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的大小关系与点位置有关 C. D. 与的大小关系与大小有关 三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤） 17. 已知函数，其中． （1）是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：），得下表： 32 18 4 6 8 12 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150的概率； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： 并判断，该市一天空气中浓度与浓度是否有关？ 附：． 19. 如图，在三棱柱中，平面， ，，，点分别在棱 和棱上，且 ，，为棱的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 21. 设和是两个等差数列，记，其中表示，，，这个数中最大的数． （1）若，，求，，的值； （2）若为常数列，证明是等差数列； （3）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，，是等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $