精品解析：2024年河南省驻马店市西平县中考三模数学试题

数 学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的倒数是（ ） A. B. 2024 C. D. 2. 河南是华夏文明的开源和繁盛之地，作为首批中央地方共建国家级博物馆，河南博物院拥有馆藏文物17万余件(套)，以下是其中的四件藏品(图中所示即为其正面)，它们中主视图是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 年春节假期(月日至月日)期间，国铁集团郑州局累计发送旅客万人次，月日发送旅客万人次，创春运以来单日客发新高．数据“万”用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，是直角三角形，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程 有实数根，则整数k的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则y与x之间的函数关系式为 （ ） A. B. C. D. 8. 丽丽和圆圆两人暑期想去大理、桂林、厦门、杭州四地中的两个地方旅游，她们准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有这四个地方，两人将卡片背面朝上洗匀后，丽丽先抽一张(看完后不放回)，洗匀后圆圆再抽一张．则她们选到的卡片恰好是“大理”和“桂林”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 某数学兴趣小组借助数学绘图软件探究函数 图象．现输入一组，的值，得到的函数图象如图所示．借助函数学习的经验，可以推断输入的，的值满足 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在正方形中，点E为边的中点，将沿折叠，使点D 落在正方形 的内部一点F处，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 写出一个y关于x的函数表达式，使其图象经过点：__________． 12. 不等式组 的解集是 __________． 13. 某厂生产了2000 只灯泡，为了解这2000 只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50 只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命x(单位：小时)，数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 6 9 10 20 5 根据以上数据，估计这2000只灯泡中，使用寿命不低于1 600小时的灯泡的数量为 _________只． 14. 如图，在中，直径点C是外的一点，直线与相切于点 B，连接交于点D．若，则的长为_______ ． 15. 如图，在等边三角形中，，点P在上，且将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当 时，的长为___________． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. （1）计算：； （2）解方程． 17. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”活动，对学生参与活动的情况按100分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于60的整十数，为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取20名学生的活动成绩作为样本进行整理．并绘制了如下不完整的统计图表： 七年级20 名学生活动成绩扇形统计图 八年级20名学生活动成绩统计表 成绩/分 60 70 80 90 100 人数 2 3 a b 5 已知八年级20名学生活动成绩的中位数为85分．请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为70分的学生有 名，七年级活动成绩的众数为 ； （2） （3）若认定活动成绩不低于90分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 18. 如图，点A 和点 B在反比例函数 的图象上． 轴于点 C，且 的面积为3；点A的纵坐标为2，与x轴负半轴的夹角为α． （1）求反比例函数的解析式和点A的坐标； （2）过点A作于点A，交的平分线于点 D，若 请求出线段的长． 19. 郑州东站(图1)是京广高速铁路和徐兰高速铁路的交汇站，也是以高速铁路为中心，集高速铁路、城际铁路、城市地铁、公路客运、城市公交、机场巴士、出租车等多种交通方式为一体的交通枢纽．某数学兴趣小组想要用无人机测量东站入口 的高度(垂直于水平地面)，测量方案如图2，先将无人机垂直上升至距水平地面高的点 P，在此处测得东站入口顶端A的俯角为 再将无人机沿水平方向向东站入口飞行到达点Q，此时测得东站入口底端B的俯角为 ，求东站入口 的高度．（直线l，点A，B，P，Q均在同一平面内．参考数据： ，，) 20. 2024年5月12日是母亲节，沐辰花店打算进一批康乃馨和百合．购进3束百合和2束康乃馨需145元；购进5束百合和3束康乃馨需235 元． （1）求每束百合和每束康乃馨的价格； （2）若花店想要购进两种花一共90束，且购进百合的数量不少于康乃馨数量的一半，为使购进花束的总费用最少，应购进百合和康乃馨各多少束?购进花束的总费用最少为多少元? 21. 如图，在 中， 以为直径与交于点 D． （1）尺规作图：作出劣弧中点E，过点A作，连接并延长，交于点M；(不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，若求阴影部分的面积．(结果用含π的式子表示) 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中为常数，点在此抛物线上． （1）的值为 ; （2）若此抛物线过点，求此时抛物线的对称轴； （3）小明在研究这条抛物线的过程中，假设了一个的值后发现，当时，与其对应的函数值的最小值为，请你算出小明代入的的值． 23. （1）【发现】如图1，正方形的边长为4，点 E为中点．连接．将绕点 A 顺时针旋转 至 连接交于点 G．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点E作，交于点 H……请沿着小明的思路思考下去，则 （2）【应用】如图2，菱形边长为3，且，连接，点E为上一点，连接．将 绕点A顺时针旋转 至，连接交于点G，若，求的值； （3）【拓展】如图3，在四边形中，，且．点E为上一点，连接．将 绕点A顺时针旋转至，连接交于点C，，请直接写出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的倒数是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案． 【详解】解： ∴的倒数为， 故选：C． 2. 河南是华夏文明的开源和繁盛之地，作为首批中央地方共建国家级博物馆，河南博物院拥有馆藏文物17万余件(套)，以下是其中的四件藏品(图中所示即为其正面)，它们中主视图是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵A不是轴对称图形， ∴不符合题意； ∵B不是轴对称图形， ∴不符合题意； ∵C是轴对称图形， ∴符合题意； ∵D不是轴对称图形，， ∴不符合题意； 故选C． 3. 年春节假期(月日至月日)期间，国铁集团郑州局累计发送旅客万人次，月日发送旅客万人次，创春运以来单日客发新高．数据“万”用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则． 【详解】解：万， ， 故选：D． 4. 如图，是直角三角形，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．直接利用平行线性质得出，再求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项法则、单项式乘单项式法则，根据合并同类项法则、单项式乘单项式法则进行判断即可求解． 详解】解：A.，故A不符合题意； B.，故B符合题意； C.和不是同类项，不能合并，故C不符合题意； D.与不是同类项，不能合并，故D不符合题意； 故选：B． 6. 关于x的一元二次方程 有实数根，则整数k的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，先根据一元二次方程根的判别式可知，再求出解集，即可得出答案． 【详解】根据题意，得， 解得， 所以k的最大值为6． 故选：C． 7. 如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则y与x之间的函数关系式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求二次函数关系式，根据这个长方形的一边长为，可得另一条边长为，再利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 8. 丽丽和圆圆两人暑期想去大理、桂林、厦门、杭州四地中的两个地方旅游，她们准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有这四个地方，两人将卡片背面朝上洗匀后，丽丽先抽一张(看完后不放回)，洗匀后圆圆再抽一张．则她们选到的卡片恰好是“大理”和“桂林”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过列表格法将所有情况列出来，找出她们选到的卡片恰好是“大理”和“桂林”的所有情况，然后按照概率的计算公式计算即可． 本题主要考查了用列表格法或画树状图的方法求概率．认真读题，注意放回还是不放回是解题的关键． 【详解】列表格如下： 丽丽 圆圆 大理 桂林 厦门 杭州 大理 （大理，桂林 ） （大理，厦门） （大理，杭州 ） 桂林 （桂林，大理） （桂林 ，厦门） （桂林 ，杭州 ） 厦门 （厦门，大理） （厦门 ，桂林） （厦门，杭州 ） 杭州 （杭州 大理） （杭州 ，桂林） （杭州 ，厦门） 共有12种结果，她们选到的卡片恰好是“大理”和“桂林”的有2种， ∴她们选到的卡片恰好是“大理”和“桂林”的概率为． 故选：C． 9. 某数学兴趣小组借助数学绘图软件探究函数 的图象．现输入一组，的值，得到的函数图象如图所示．借助函数学习的经验，可以推断输入的，的值满足 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象与系数之间的关系，由两支曲线的分界线在轴左侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负． 【详解】解：∵， ， 由图可知，两支曲线的分界线位于轴的左侧， ， 由图可知，当时的函数图象位于轴的下方， 当时，， 又当时，， ， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，点E为边的中点，将沿折叠，使点D 落在正方形 的内部一点F处，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】∵四边形是正方形， ，， ∵E为边的中点， ， ∵沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， ∵中，， ∴， 又∵， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 写出一个y关于x的函数表达式，使其图象经过点：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的关系式，利用待定系数法设出函数表达式，先确定符合条件的的值，再把代入求解，属于基础题型．设y关于x的函数解析式为，先任取一个符合条件的的值，再把代入即可求得答案． 【详解】解：设y关于x的函数解析式为， 当取时， ∵函数图象经过点， ∴． ∴． ∴设y关于x的函数解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 不等式组 的解集是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键在于正确的运算．利用一元一次不等式的解法分别求出两个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ， 不等式组的解集是． 故答案为：． 13. 某厂生产了2000 只灯泡，为了解这2000 只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50 只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命x(单位：小时)，数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 6 9 10 20 5 根据以上数据，估计这2000只灯泡中，使用寿命不低于1 600小时的灯泡的数量为 _________只． 【答案】1400 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体是解题的关键．用2000乘以抽查的灯泡中使用寿命不低于1 600小时的灯泡所占的比例即可． 【详解】(只)， 所以估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量约为1400只． 故答案为：1400． 14. 如图，在中，直径点C是外的一点，直线与相切于点 B，连接交于点D．若，则的长为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，根据切线的性质及圆周角定理得到，由此证明，得到，即可求出，熟练掌握各定理是解题的关键． 【详解】连接 ∵是的切线， ∴， ∵直径 ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为． 15. 如图，在等边三角形中，，点P在上，且将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当 时，的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】延长交于点H，由等边三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定可得，利用勾股定理求得，根据旋转的性质分两种情况讨论：当点Q在线段上时；当点Q在线段的延长线上时，求出的值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q， ∴， 当点在线段上时，， ∴， 当点Q在线段的延长线上时，， ∴， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理、旋转的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. （1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查的实数的混合运算，二次根式的化简及解分式方程，掌握运算法则及分式方程的解法是解题的关键． （1）先计算乘方、化简绝对值及二次根式，再计算加减法即可得答案； （2）先去分母，将分式方程转化为整式方程，然后再解这个整式方程，最后再进行检验即可． 【详解】解：（1） ． （2） 方程两边同时乘，得， 解得：， 经检验，是原分式方程根， ∴是原分式方程的根． 17. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”活动，对学生参与活动的情况按100分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于60的整十数，为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取20名学生的活动成绩作为样本进行整理．并绘制了如下不完整的统计图表： 七年级20 名学生活动成绩扇形统计图 八年级20名学生活动成绩统计表 成绩/分 60 70 80 90 100 人数 2 3 a b 5 已知八年级20名学生活动成绩的中位数为85分．请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为70分的学生有 名，七年级活动成绩的众数为 ； （2） （3）若认定活动成绩不低于90分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1）2，80分 （2）5，5 （3）不是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为70分的学生数的占比为，即可得出七年级活动成绩为70分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解； （2）根据中位数的定义，得出第10名学生为80分，第11名学生为90分，进而求得，的值，即可求解； （3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为70分学生数的占比为， ∴样本中，七年级活动成绩为70分的学生数是， 根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为80分， 故答案为：2，80分． 【小问2详解】 ∵八年级20名学生活动成绩的中位数为85分， 第10名学生为80分，第11名学生为90分， ∴，， 故答案为：5，5． 【小问3详解】 优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下， 七年级优秀率为， 平均成绩为：； 八年级优秀率为，平均成绩为：， ∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高， ∴优秀率高的年级不是平均成绩也高 【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键． 18. 如图，点A 和点 B在反比例函数 的图象上． 轴于点 C，且 的面积为3；点A的纵坐标为2，与x轴负半轴的夹角为α． （1）求反比例函数的解析式和点A的坐标； （2）过点A作于点A，交的平分线于点 D，若 请求出线段的长． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合和证明是解题的关键． （1）根据的面积为3和反比例系数k的几何意义求出k的值， 得到反比例函数解析式，再利用点A的纵坐标为2求出点A的横坐标即可； （2）过点A作轴于点H，利用相似三角形的判定和性质即可求出线段的长． 【小问1详解】 解:∵的面积为3， ∴． ∴． ∵ 双曲线的一支在第二象限， ∴． ∴． ∴反比例函数的解析式为 ∵点A的纵坐标为2，点 A 在双曲线上， ∴． ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 如图，过点A作轴于点H， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 即 19. 郑州东站(图1)是京广高速铁路和徐兰高速铁路的交汇站，也是以高速铁路为中心，集高速铁路、城际铁路、城市地铁、公路客运、城市公交、机场巴士、出租车等多种交通方式为一体的交通枢纽．某数学兴趣小组想要用无人机测量东站入口 的高度(垂直于水平地面)，测量方案如图2，先将无人机垂直上升至距水平地面高的点 P，在此处测得东站入口顶端A的俯角为 再将无人机沿水平方向向东站入口飞行到达点Q，此时测得东站入口底端B的俯角为 ，求东站入口 的高度．（直线l，点A，B，P，Q均在同一平面内．参考数据： ，，) 【答案】东站入口的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．延长 交 的延长线于点 C，在中，可求得，所以，，在 中，根据，即可求得，由此即得答案． 【详解】延长 交 的延长线于点 C， 由题意，得，，， 在中，， ， ， ， ， 在 中， ， ， ． 答: 东站入口的高度约为． 20. 2024年5月12日是母亲节，沐辰花店打算进一批康乃馨和百合．购进3束百合和2束康乃馨需145元；购进5束百合和3束康乃馨需235 元． （1）求每束百合和每束康乃馨的价格； （2）若花店想要购进两种花一共90束，且购进百合的数量不少于康乃馨数量的一半，为使购进花束的总费用最少，应购进百合和康乃馨各多少束?购进花束的总费用最少为多少元? 【答案】（1）每束百合35元，每束康乃馨20元 （2）购进百合30束，康乃馨60束时，购进花束的总费用最少，最少费用为2250元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设每束百合m元，每束康乃馨n元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进百合x束，总费用为w元，则购进康乃馨束，根据列出关于x的一元一次不等式求得x的取值范围，再列出w关于x的一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每束百合m元，每束康乃馨n元， 根据题意，得， 解得， 答：每束百合35元，每束康乃馨20元； 【小问2详解】 解：设购进百合x束，总费用为w元，则购进康乃馨束， ∵购进百合的数量不少于康乃馨数量的一半， ∴， 解得， 根据题意，得， ∵ ， ∴w随x的增大而增大． ∴ 当时，w取最小值，(元)， ∴． 答：购进百合30束，康乃馨60束时，购进花束的总费用最少，最少费用为2250元． 21. 如图，在 中， 以为直径的与交于点 D． （1）尺规作图：作出劣弧中点E，过点A作，连接并延长，交于点M；(不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，若求阴影部分的面积．(结果用含π的式子表示) 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于一点，即为点E，再过点A作一个等于的角，然后连接并延长，交于点M，即可作答． （2）先由垂径定理得，根据圆周角定理得出，再结合勾股定理得出，算出，然后根据代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，作图如图所示． 【小问2详解】 解：由（1），得， ∴． ∵点是的中点 ∴ ∴． ∴ ∴． 如图，连接，过点O作于点H． 则 ∴ ∴． 则 【点睛】本题考查了作一个已知角以及圆周角定理，垂径定理，扇形面积，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中为常数，点在此抛物线上． （1）的值为 ; （2）若此抛物线过点，求此时抛物线的对称轴； （3）小明在研究这条抛物线的过程中，假设了一个的值后发现，当时，与其对应的函数值的最小值为，请你算出小明代入的的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入抛物线解析式中即可求出的值； （2）将点代入抛物线解析式中即可求出的值，进而可求出抛物线的对称轴； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：点在抛物线上， ； 【小问2详解】 解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线； 【小问3详解】 解：分三种情况讨论 当时， 抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，最小，即， 解得， ， 不符合题意； 当时， 抛物线的对称轴为直线， 当时，最小，即， 解得或； ， 不符合题意， ； 当时， 抛物线的对称轴为直线， 当时，随增大而减小， 当时，最小，即， 不符合题意； 综上所述，小明代入得得值为． 23. （1）【发现】如图1，正方形的边长为4，点 E为中点．连接．将绕点 A 顺时针旋转 至 连接交于点 G．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点E作，交于点 H……请沿着小明的思路思考下去，则 （2）【应用】如图2，菱形的边长为3，且，连接，点E为上一点，连接．将 绕点A顺时针旋转 至，连接交于点G，若，求的值； （3）【拓展】如图3，在四边形中，，且．点E为上一点，连接．将 绕点A顺时针旋转至，连接交于点C，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造直角三角形是关键 （1）过点E作，交于点 H，由，可得，进而求出，即可求解； （2）过点E 作，作，求出，由是等边三角形，是等边三角形，，即可求解； （3）过点E作，作，交延长线于点R，交于点Q，可得，设，则，由，得，列出比例式，进而即可求解 【详解】（1）过点E作，交于点 H， ∵正方形的边长为4， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点 E为中点， ∴， ∵将绕点 A 顺时针旋转 至 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点E 作，作， ∵菱形的边长为3，且， ∴是等边三角形，， ∵ ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将 绕点A顺时针旋转 至， ∴，，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过点E作，作，交延长线于点R，交于点Q， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 设，则， ∵将 绕点A顺时针旋转至， ∴， ∵， ∴，即， 过点B作，过点A作，则， ∴， ∴， ∴，解得：（负值舍去）， 经检验：是方程的解， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$