重庆市西南大学附中、重庆育才中学、万州高级中学拔尖强基联盟2023-2024学年高二下学期5月联合考试数学试卷

西南大学附中重庆育才中学万州高级中学 高2025届拔尖强基联盟高二下五月联合考试 数学试题 (满分：150分：考试时间：120分钟) 命题学校：西南大学附中 2024年5月 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效：保持答卷清洁、完整。 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）。 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 ·1.已知全集U={xx≤6，x∈N},A={-1,0,1,2,3},B={3,4,5},则An(CB)=() A.{L2 B.{01,2} C.{1,2,3} D.{1,2,3,6 2.若随机变量X~N(90,c2)且P(X≤70)=0.12，则P(90≤X≤110)=() A.0.12 B.024 C.0.28 D.0.38 3.已知函数f()=2r回x+血，则rG=（) 2 A.-1 B c.- D._1 2e 4.“x2-x-2>0”是“1<2"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 5.若“廿x∈[0,2]，21+2-m<0”为假命题，则m的取值范围为( A.（0, B.[2,+o D 6.已知x+1 的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第 2 ()项 A.2 B.3 C.4 D.5 高二下五月联合考试数学第1页（共4页） 7.某医院要派2名男医生和4名女医生去A,B,C三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地 方义诊.要求A,B,C每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去A地， 则不同的安排方案为() A.120种 B.144种 C.168种 D.216种 8.已知定义在R上的函数f(x)=xe+“(a∈R),设f(x)的最大值和最小值分别为m,n,则 mm的取值范围是( 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法中，正确的是（ A若随肌变量X~》则PX=引-品 B.变量x和变量y的样本相关系数r越大，它们的线性相关程度越强 C.变量x和变量y的经验回归方程为=x+a,残差色=y-,则∑兵=0 D.若散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则决定系数=1 10.已知a>0,b>0,a+2b=2,则下列结论正确的有（) A。6的最大值为 B.4+的最小值为 5 C。日+号的最小值为9 3 D. 1， 2a+b a+3b 的最小值为 11.对于一元三次函数f(x)=ar+bx2+cx+d(a≠0)图象上任一点M,若f(x)在点M处的 切线与f(x)的图象交于另一点N,则称N为M的“伴随割点”.关于“伴随割点”，下列 说法正确的有() A点（名（品》没有“件随制点” B.若点（伍，）的“伴随割点”为点(，y),则2，+x=- a b C.若f(x)的图象上存在一点与其“伴随制点”关于原点对称，则d=- a D.若f(x)的图象与x轴的交点分别为A,B,C,它们的“伴随割点”存在且分别为D,E,F, 则D,E,F三点共线 高二下五月联合考试数学第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机变量x服从两点分布，其中P(X=)-子，若了=2X+3,则D()= 13.端午节即将来临，现有一个礼盒里装了3个肉粽，5个蛋黄粽，从礼盒中任取两个粽子， 则在有一个是肉粽的条件下，另一个是蛋黄粽的概率为 14.已知x>0,y>0,2+2y2=x-y,则2的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.13分)已知函数了)=anx+x-7x+号在点/0)处的切线方程为2x+y+3=0。 (1)求a,b: (2)求f(x)的单调区间和极值. 16.(15分)某中学举办中国传统文化知识问答测试，规定成绩不低于90分的为“优秀”，现从 中随机抽取50名男生和50名女生共100名学生进行测试，得到如图所示的频率分布直方图. 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 A 5060708090100分撒 (1) 已知成绩优秀的学生中男生占三，请填写下面的2×2列联表，并根据小概率值c=0.01 的独立性检验，能否认为知识问答测试成绩是否优秀与性别有关； 成绩 性别 合计 优秀 不优秀 男 女 合计 高二下五月联合考试数学第3页（共4页） (2)从上述成绩[80,90)，[90,100]的学生中按比例分层随机抽样选出9人，再从选出的9人 中随机抽取3人，记其中成绩优秀的人数为X,求X的分布列和数学期望E(X). n(ad-be)2 附：X2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 其中n=a+b+c+d 临界值表： Q 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(5分)已知椭圆号+茶=1a>b>0叭，焦点为20)，5(20，精圆上有一点 (1)求椭圆E的标准方程： (2)过点F的直线交椭圆E于A,B两点，过B作x轴的垂线交椭圆于另一个点C,求证直线 AC过定点. 18.(17分)某校开设了“五子棋”社团课，甲乙两位同学进行五子棋比赛，每局有一人先手（每 3 局中先走第一颗棋)，规则如下：每局输者下一局先手.已知甲先手时，甲赢的概率为： 乙先手时，乙赢的概率为}，假设每局无平局，且每局比赛的输赢相互独立，第一局甲先手。 (1)甲乙两位同学比赛两局，求甲至少赢1局的概率： (2②)记￡为第：局比赛中甲赢的概率，求R,并计算连续比赛20局中，甲赢的概率大于2 的局数 19.7分列)已知函数f)=x-aC- e+1(a>0) (I)若函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围： (2)若对x≥0，函数f(x)≥0恒成立，求a的取值范围； (3)证明：对n∈N*, 1 <n2. 台n+k 高二下五月联合考试数学第4页（共4页）高二联合考试数学参考答案 一、单选题 1 2 3 5 6 7 8 B D C A C B D A 8. 【解析】由题，f(x)=(-2x2+ar+1)e+w 令g(x)=-2x2+axr+1,其开口向下且g(0)=1>0, 故g(x)必有两个异号零点x,x2,不妨设x<0<x2, 根据韦达定理，飞+，5 2 由于er>0恒成立，故x<x或x>x时，∫x)<0:x<x<x时，f(x)>0, 因此，∫(x)在(-0，x)和(x,+∞)上单调递减，在(x,x)上单调递增， 又因为x→-0时，f(x)→0：x→+o时，f(x)→0：f(0)=0, 故f(x)的最大值M=fx)=,em，最小值N=f化)=xe+m, 12 于是MN=5,esw'=x,e6*%广a*%r2=-c 因为g-1e[-l,+o,故MNe 2e 选A. 二、多选题 9 10 11 ACD AC ACD 11.【解析】A选项，点 b 是一元三次函数(x)的对称中心，易知该处切线与 f(x)的图象无其他交点，A正确：B选项，由f(x)=3arx2+2bx+c,f(x)在(x,y)处的切线 y=f(xo)(x-xo)+f(xo)=(3axo2+2bxo+c)(x-xo)+axo+bxo'+cxo+d, 联立f(x)与切线方程并整理得(x-x。)(ax+2ax。+b)=0, 由于“件随制点”的横坐标x≠，因此a低+2，+b=0一2x,+x=-,B正确： C选项，设点(x,y)的“伴随割点”为点(x,y),且两者关于原点对称，则x。+x=0,又根据 b x0=- B选项2x。+x=- ,于是%+=0=+)=(}8)-2+2 b x=- d=存，C错误：D选项，由于AB,C是f)的图象与x轴的交点，可设 b b f(x)=a(x-xx-xa)(x-c)=ar+br2+cx+d,根据系数的对应关系知x,+xg+xc=- a b 2x4+xD=- a 又由D,E,F分别是AB,C的伴随割点，结合B选项知2x,+X,=- 三式相加得 2x。+x6=- b a 2x,+。+)+0+xE+Xe=-3驰 6 →xD+xE+xF=- a d 于是设g(x)=f(x)-a(x-xn)x-xE)(x-xe) =(ax'+bx2+cx+d)-alx-(xp+xg+xr)x+(xpxg+xgxF+xrxp)x-xp*gXF] =-a(rnxe+xexe+xrxn)x+AXDXEXE,则g(x)的图象为一条直线， 又有g(xo)=f(xo),g(xE)=f(xE,g(xF)=f(xr),即点D,E,F均在g(x)的图象上，D,E,F三 点共线，D正确. 三、填空题 F13 14.4+42 14【解折】22+2=x-y,2公+2少=1且x>y x-y 2x2+2y 则2。- --2x2 2 -=2xy'+x'y =2× (x-)y =2x+2 x-y2 -1 令1=5>少，原武=2x+片=2x-+2-》+2=2×0-)+2 1-1 1-1 -1 +2] ≥2-名+习=45+4，当且仅当0-》名即1=1+5取等 四、解答题 15、解：(1)定义域为(0，+o),fx)=口+2hr-7,2×1+f0+3=0f①=-52分 f0=b-7+=5 a=2 → 3 f'I)=a+2b-7=-2 b=9 …5分 2 3 2)1)=2nx+27x+Tw)2+3x=7 2+3x2-7(x-2)3x-1) .7分 @ 3 a 2 (2,+0) f'(x) × 0 0 + f(x) 极大值 极小值 ↑ f(x)的单调递增区间为(0，.)，(2，+0)，单调递减区间为（二，2）： 4.11分 fx)的极大值为f八3 -2n3,极小值为f(2)= +2ln2 15 3 13分 16.(1)解： 成绩 性别 优秀 不优秀 合计 男 2 48 50 女 8 42 50 合计 10 90 100 ,。。。,。。4。。4。。4.4,4444g44g4g4。。。5 零假设：H。:知识问答测试成绩是否优秀与性别无关.3分 X-10x2x42-8x48=4<6635 ,,,5 50×50×10×90 .根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为知识问 答测试成绩是否优秀与性别无关.6分 (2)X的可能取值为0，l,2,3,P(X=0)= 5 C21 ；PX=)=CC5 C。28 P(X=2)= 1 ；P(X=3)= 28 C。84 11分 X的分布列为： X 0 1 2 3 P 15 6 1 21 28 28 84 13分 15 6 E(X)=0 2+1×28 +2×+3× -=1 28 84 15分 17.解：()2a=Pl+P=V+4+ ,14 14 4 =42,a=25,又c=23分 .b2=a2-c2=4, 故椭圆E的标准方程为+上 ,,5分 84 (2)设直线AB的方程为x=my+2,A(x,y),B(x2,y2) x=my+2 联立 -4m -4 y2→(m+2)y+4my-4=0，心y+3= m2+2’六水 m2+2.7分 则C,)，直线AC的斜率kc=+业， X-x2 直线AC的方程为y-y=当+(x-x), 。,。。,。,,4tttt4,,,,9 x-x2 令y=0,有-男=当+5x-x) 11分 x1-x2 即x=y任-)+x=y+业=m%+2y+(m%+2 …14分 片+y2 片+y2 y+y2 2mmy+20+2=2m×4+2=4,·直线4C过定点4,0) .15分 片+ Am 18.解：(1)甲至少赢1局有以下三种情况：甲连赢两局： 323 4510 …2分 第一局甲赢，第二局乙赢：×-9，第一局乙赢，第二局甲赢： 133 .6分 4520 4416 ÷甲至少赢1局的概率为3+9+3-15 + ,,,7分 10201616 (2)B=Px2+0-P)×2=-7 5 420 P+ 4 ’10分 5 3 57 20 4 936 -哥}是首项为石公比为的等比数列 5 36 936 20 故=3620 7 5 12分 9 7) 又分6 51 >,解得 13分 92 20 当i为奇数时，即i=1,3,…19,上式都成立，此时有10局符合题意： 14分 当i为偶数时，只需 <号，当=2时，>号（舍）：当1=4时。 7 343 2 20 207 20 8000 又因为y= 7 单调递减，.i=6,8,10…20都符合， ….16分 综上甲赢的概率大于二的局数有19局.17分 19.(1)解f(x)=x- a(e'-D,i()=1- 2ae .1分 e+1 e+1) ~函数f(x)有两个极值点∫'(x)=1- 2ae 有两个变号的零点， (e+1)i f'(x)=1- 2ae' =0,2a=e+ -=e+ (e+1 3分 e 令gt)=e+,gt=e-,x>0,gt0=e->0 g(x)在(0，+o)上单调递增，g(-x)=g(x),g(x)为偶函数， ÷g(x)在(-0,0)上单调递减，g(x)=g(r)mn=g(0)=2,÷a>25分 2fe=1-2ac=e+20-ae+1,当0<a52时，40-a-4=4aa-2)s0 (e+(e+ 对x之0，∫'(x)≥0，f(x)在(0，+o)上单调递增，f(x)≥f0)=0.8分 当a>2时，由(1)可知，存在x。>0，,使得f'(x)=0, 若xe[0,x)时，f"(x)<0,若x∈(o,+o)时，"(x)>0 f(x)在[0，x)单调递减，在(x,+∞)上单调递增， 0=f(0)>f(,),此时不符合题意，综上0<a≤2..11分 (3)由(2)可知当a=2时，对x>0,函数f(x)>0恒成立，12分 x>0,x-2e-D>0,令x=n+D,1>0,即1n+i)-2 >0 e+1 +2 ln(t+1)> +2>1+7m+11 21、t 14分 1+1 解法2：(2)f)=x-ae-D≥0恒成立，六ae-)sxe+ e+1 当x≠0时，a≤C+D,令)=C+D,只需asMx e-1 e'-1 hm=e-2xe1.记o(0=e-2xe-1,9=2ee-1-0 :切线不等式放缩e≥1+x,∴.p'(x)>0,p(x)在(0，+∞)上单调递增，∴.p(x)>p(0)=0 h'(x)>0,h(x)在(0，+o)上单调递增. 又由洛必达法则，limh(x)=lim x(e'+D)=lim e*+1+xe" =2,.a≤2，综上0<a≤2 0e2-1 →0 e (3)由(2)知当a=2时，x-2C>0在0m)恒成立，2-e<2+x, e'+1 1 2+ 当0<<2时，e<经 即x<n ,÷二<n1=n(2n+0-ln(2n-0 2- n+<n2m+3)-m2n+)+"+n(4加+)-h(4n-)=n(4n+-ln(2n+