福建省龙岩市连城县第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考（2）数学试题

连城一中2023—2024学年下期高二年级月考2 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 函数的极大值点是（　　 ） A． B． C． D． 2. 在正方体中，P为中点，则直线与所成的角为 (　 　) A． B． C． D． 3.下列说法错误的是（ ） A．若随机变量满足且，则 B．已知随机变量～,若,则 C．若事件相互独立，则 D．若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 4. 如图，在三棱柱中，为的中点，若,,， 则下列向量与相等的是( ) A. B. C. D. 5.位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右， 并且向上、向右移动的概率都是，则质点移动六次后位于点的概率是(　　 ) A. 　　　　　B． C． D． 6.已知随机变量的分布列如下, 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为( ) A. 　　　　 B． C． D． 8.设函数是奇函数的导函数，，当时，， 则使得成立的的取值范围是 (　 　) A． B． C． D． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知函数,则（ ） A．在上单调递增 B．是的零点 C．的极小值为0 D．是奇函数 10. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为，棱的中点分别为, 点在面上，且平面平面，则下列结论正确的是(　 　 ) A. 若，则平面 B. 若存在使得，则 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 二面角的余弦值为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.直线的方向向量为，且过点,则点到直线的距离为 . 13.某企业有两条生产某种零件的生产线，其中第 1 条生产线的生产效率是第 2 条生产线的生产效率的两倍．若第 1 条生产线出现废品的概率约为 0.015，第 2 条生产线出现废品的概率约为 0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一件，则该零件为废品的概率为 . 14. 已知函数，，若，且，则的最大值为 ． 四、解答题：（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分） 己知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线垂直． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围． 16．（本题满分15分） 为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”．为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%． （1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验,分析学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别是否有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男 12 女 36 合计 100 （2）若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生，现从不感兴趣的男学生中随机抽取3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．（本题满分15分） 在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求与平面所成的角的正弦值． 18．（本题满分17分） 近年来我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业. 某市统计了该市其中四所大学2023年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格： A大学 B大学 C大学 D大学 当年毕业人数（千人） 3 4 5 6 自主创业人数（千人） 0.1 0.2 0.4 0.5 （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； （2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴. ①若该市大学2023年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给大学选择 自主创业的毕业生创业补贴的总金额； ②若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为，，该市政府 对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过万元，求的取值范围. 附：样本的最小二乘估计公式为：，． 19．（本题满分17分） 固定项链的两端,在重力的作用下项链所形成的曲线是“悬链线”. 1691年莱布尼茨等得出“悬链线” 方程为，其中为参数. 当时就是双曲余弦函数，类似的我们 可以定义双曲正弦函数. 它们与正、余弦函数有诸多类似的性质. （1）类比正、余弦函数导数之间的关系:,,请写出,具有 类似的性质(不需要证明); （2）当时，恒成立,求实数的取值范围; （3）求函数的最小值. 连城一中2023－2024学年下期高二年级月考2数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C A D A C D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 题号 9 10 11 选项 BC ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12、 13、 【或】 14、 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15、解： (1)因为函数的图象过点， 所以①……………………………..1分 又因为……………………………..2分 所以……………………………..3分 而点P处的切线恰好与直线垂直，所以 所以，即②……………………………..4分 联立①②得：，解得……………………………..5分 所以 (2)由(1)知……………………………..7分 令，即，解得或……………………………..8分 令，即，解得……………………………..9分 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增 ……………………………..10分 由己知函数在区间上单调递增 则有或……………………………..11分 解得或……………………………..12分 所以m的取值范围为……………………………..13分 16、解:（1）列联表补充如下： 感兴趣 不感兴趣 合计 男 女 合计 ……………………………2分 假设学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别无关．……………………………3分 则， ………………………6分 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别无关联． …………………………7分 （2）根据题意， 的值可能为. …………………………8分 则, , ………………………………12分 故的分布列如下： 3 ………………………………13分 故的数学期望：. ………………15分 17、解： (1)证明：在四边形中，作于，于， 因为，所以四边形为等腰梯形， 所以，故，， 所以，所以，………………………3分 因为平面，平面，所以，……………5分 又，所以平面，………………………6分 又因平面，所以；………………………7分 (2)如图，以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，由（1）知，则，………………………9分 则，………………………10分 设平面的法向量，则有，可取，……………12分 则，………………………14分 设与平面所成的角为， 则 ……………………15分 所以与平面所成角的正弦值为． 18、解：（1）由题意得，…………2分 ,，………5分 所以 …………6分 故得关于的线性回归方程为 …………7分 （2）(i)将, …………8分 所以估计该市政府需要给大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为…………9分 (ii)设小明、小红两人中选择自主创业的人数为,则的所有可能值为0，1，2 …………10分 ， …………13分 …………14分 依题意得 …………16分 ,故的取值范围为 …………17分 19、解：（1）, ……………………2分 [或,] （2）当时，因为恒成立, ∴ 即恒成立, ……………………3分 设, 则,……………………4分 因为当时， 所以在上单调递增, 且 ①当即时， 所以在上单调递增, 且 故成立 ……………………7分 ②当即时，因为在上单调递增, 且, 所以存在,使得 所以当时，,即在上单调递减， 故，与在上恒成立矛盾，不合题意 综上所述：实数的取值范围为 ……………………10分 （3）因为,……………………11分 其定义域为, 且为偶函数且， 不妨设，则,……………………12分 令, 则 (由（2）知，) ……………………13分 令，则,即单调递增且 即, 即单调递增且 即,即单调递增且 所以在上单调递增且 所以当时，, 故在上单调递增， 又为偶函数，故在上单调递减， 故 ……………………17分 所以函数的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $$