湖南省株洲市田心中学2023-2024学年九年级上学期 期中数学试卷

2023-2024学年湖南省株洲市石峰区田心中学九年级(上) 期中数学试卷 一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.将方程化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项之和为( ) A. 0 B. 10 C. 4 D. 2.已知点在反比例函数的图象上,则k的值为( ) A. 10 B. C. D. 3.已知点,是反比例函数的图象上的两点,若,则有( ) A. B. C. D. 4.一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的边长是方程的根,则这个三角形的周长是( ) A. 11 B. 11或13 C. 13 D. 以上选项都不正确 5.方程左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( ) A. B. C. D. 6.一元二次方程的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7.为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 8.下列四组线段中,不是成比例线段的为( ) A. 3,6,2,4 B. 4,6,5,10 C. 1,,, D. 2,,, 9.如图:,AD::5,,那么CE的长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 10.如图:点P、Q是反比例函数图象上的两点,轴于点A,轴于点N,作轴于点M,轴于点B,连接PB、QM,的面积记为,的面积记为,则与的大小关系是( ) A. B. C. D. 二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分。 11.方程的解为_. 12.如图所示,设C为反比例函数图象上一点,且长方形AOBC的面积为3,则这个反比例函数的解析式为_. 13.若,则_. 14.若反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的坐标为,则它们另一个交点的坐标为_. 15.规定一种新运算a※,如1※若x※,则_. 16.电视节目主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台AB长为20米,试计算主持人应走到离A点_米,就处在比较得体的位置.结果精确到米 17.若,且一元二次方程有实数根,则k的取值范围是_. 18.如图,在中,,,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿方向以的速度向点D运动.设的面积为,矩形PDFE的面积为,运动时间为t秒,则_秒时, 三、解答题:本题共8小题,共78分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 19.本小题16分 解下列一元二次方程. ; ; ; 20.本小题6分 已知关于x的一元二次方程的一个根是1,求它的另一个根及m的值. 21.本小题6分 如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米,则道路的宽应为多少米? 22.本小题10分 如图,已知,是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点. 求反比例函数和一次函数的解析式; 求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积. 23.本小题8分 已知关于x的一元二次方程:有两个不相等的实数根. 求k的取值范围; 给k取一个负整数值,解这个方程. 24.本小题8分 一般情况下,中学生完成数学家庭作业时,注意力指数随时间分钟的变化规律如图所示其中AB、BC为线段,CD为双曲线的一部分 分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式; 若学生的注意力指数不低于40为高效时间,根据图中信息,求出一般情况下,完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟? 25.本小题12分 已知,是关于x的一元二次方程的两实数根. 若,求m的值; 已知等腰的一边长为7,若,恰好是另外两边的边长,求这个三角形的周长. 26.本小题12分 如图,在中,,,,若点P从点A沿AB边向B点以的速度移动点,点Q从B点沿BC边向点C以占的速度移动,两点同时出发. 问几秒后,的面积为? 出发几秒后线段PQ的长为? 的面积能否为?若能,求出时间;若不能说明理由. 答案和解析 1.【答案】D 【解析】解:将方程化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、、, 二次项系数、一次项系数、常数项之和为: 故选: 根据一元二次方程的定义判断即可. 此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项;c叫做常数项. 2.【答案】B 【解析】解:点在反比例函数的图象上, 的值是: 故选: 直接利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k的值. 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质,得出是解题关键. 3.【答案】A 【解析】解:,是反比例函数的图象上, ,, , ,, , 故选: 根据反比例函数图象上点的坐标特点,横纵坐标的积,再根据条件,可判断出,,从而得到答案. 此题主要考查了比例函数图象上点的坐标特点,凡是图象经过的点,都满足关系式,横纵坐标的积 4.【答案】C 【解析】解:方程, 可得或, 解得:或, 当时,2,3,6不能构成三角形,舍去; 则,此时周长为 故选C 由两数相乘积为0,两数中至少有一个为0求出方程的解得到第三边长,即可求出周长. 此题考查了解一元二次方程-因式分解法,以及三角形的三边关系,求出x的值是解本题的关键. 5.【答案】C 【解析】解: 故选: 配方法的一般步骤: 把常数项移到等号的右边; 把二次项的系数化为1; 等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数. 6.【答案】B 【解析】解:根据题意, 所以方程有两个不相等的实数根. 故选: 先计算判别式,得到,然后根据判别式的意义判断方程根的情况. 本题考查了一元二次方程的根的判别式当,方程有两个不相等的实数根;当,方程有两个相等的实数根;当,方程没有实数根. 7.【答案】A 【解析】【分析】 设平均每次降价的百分率为x,则经过两次降价后的价格是,根据关键语句“连续两次降价后为256元,”可得方程 此题主要考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为 【解答】 解:由平均每次降价的百分率为x, 则第一次降价后售价为, 第二次降价后售价为, 由题意得: 故选: 8.【答案】B 【解析】解:A、,是成比例线段,故本选项不符合题意; B、,不是成比例线段,故本选项符合题意; C、,是成比例线段,故本选项不符合题意; D、,是成比例线段,故本选项不符合题意. 故选: 只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断. 本题考查了比例线段,理解判断的方法:最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键. 9.【答案】C 【解析】解:, , ::5,, , 解得:, , 故选: 根据平行线分线段成比例定理列出比例式,把已知数据代入计算即可. 本题考查的是平行线分线段成比例定理,灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键. 10.【答案】B 【解析】解;设,, 则, , 点P,Q在反比例函数的图象上, , 故选: 设,,根据三角形的面积公式即可求出结果. 本题考查了反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于,这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义. 11.【答案】, 【解析】解:, , 或, 解得或 故答案为, 把方程的左边分解因式得,得到或,求出方程的解即可. 本题主要考查解一元二次方程-因式分解法. 12.【答案】 【解析】解:由题意得:,则; 又由于反比例函数图象位于二、四象限,, 则,反比例函数的解析式是: 故答案为: 根据反比例函数的几何意义即可求得k的值,从而求得反比例函数的解析式. 本题主要考查了反比例函数中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义. 13.【答案】 【解析】解:根据得,则故答案为: 对已知式子分析可知,原式可根据比例合比性质可直接得出比例式的值. 主要考查了灵活利用比例的合比性质的能力. 14.【答案】 【解析】解:点关于原点对称的点是, 所求的点的坐标为 故答案是: 反比例函数的图象是中心对称图形,与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称. 本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性.关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数. 15.【答案】 【解析】解:根据题意得:, , 移项得:, 故答案为: 根据题意可得:,然后移项,合并同类项,再用直接开平方法可解得答案. 此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,关键是根据题意列出方程. 16.【答案】或 【解析】解:设主持人应走到离A点x米,就处在比较得体的位置, 分两种情况: 当时, , 解得:; 当时, , 解得:; 综上所述:主持人应走到离A点或米,就处在比较得体的位置, 故答案为:或 设主持人应走到离A点x米,就处在比较得体的位置,分两种情况:当时,当时,然后分别进行计算即可解答. 本题考查了黄金分割,分两种情况进行计算是解题的关键. 17.【答案】且 【解析】解:, ,, 原方程为, 该一元二次方程有实数根, , 解得:, 方程是一元二次方程, , k的取值范围是:且, 故答案为:且 根据非负数的性质求出a、b的值,转化成关于k的不等式即可解答. 本题考查了根的判别式,利用判别式得到关于k的不等式是解题的关键. 18.【答案】6 【解析】解:中,,,AD为BC边上的高, , 又, 则,, ,AD为BC边上的高, , , , , , 解得:,舍 故答案是: 利用三角形的面积公式以及长方形的面积公式,表示出和,然后根据,即可列方程求解. 本题考查了等腰直角三角形的性质,正确表示出和是关键. 19.【答案】解:, , , 所以,; , , 或, 所以,; , , 或, 所以,; , , , 或, 所以, 【解析】先移项得到,然后利用直接开平方法解方程; 先利用因式分解法把方程转化为或,然后解一次方程即可; 先利用因式分解法把方程转化为或,然后解一次方程即可; 先把方程变形为,再利用因式分解法把方程转化为或,然后解一次方程即可. 本题考查了解一元二次方程-因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.也考查了直接开平方法解一元二次方程. 20.【答案】解:由一元二次方程的根与系数的关系, 得,,又知, 则,, , 【解析】根据根与系数的关系可求得两根的和及两根的积,又知一根为1,则根据根与系数的关系,可解得另一个根及m的值. 本题考查一元二次方程根与系数的关系. 21.【答案】解:设道路的宽应为x米,由题意有 , 解得舍去, 答:道路的宽应为2米. 【解析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程. 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键. 22.【答案】解:在上, 反比例函数的解析式为 点在上, 经过,, 解之得 一次函数的解析式为 是直线AB与x轴的交点, 当时, 点 【解析】把,分别代入一次函数和反比例函数,运用待定系数法分别求其解析式; 把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算. 本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k,求出函数解析式;要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积. 23.【答案】解:根据题意得, 解得; 取,则方程变形为,解得, 【解析】利用判别式的意义得到,然后解不等式即可; 在中的k的范围内取,方程变形为,然后利用因式分解法解方程即可. 本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根. 24.【答案】解:设线段AB所在的直线的解析式为, 把代入得,, 的解析式为:, 设C、D所在双曲线的解析式为, 把代入得,, 双曲线CD的解析式为:; 将代入得:, 解得:, 将代入得: 所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟. 【解析】此题主要考查了一次函数和反比例函数的应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式,再根据自变量的值求对应的函数值. 利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式,进而得出答案; 将代入直线和反比例函数的解析式,从而可求得时间x的值,最后可得到完成一份数学家庭作业的高效时间. 25.【答案】解:根据题意得,解得, ,, ,即, , 整理得,解得,, 而, 的值为6; 若, ,恰好是另外两边的边长,而等腰的一边长为7, 必是一元二次方程的一个解, 把代入方程得, 整理得,解得,, 当时,,解得,而,故舍去; 当时,,解得,则三角形周长为; 若,则,方程化为,解得,则,故舍去, 所以这个三角形的周长为 【解析】本题考查了根与系数的关系:若,是一元二次方程的两根时,,也考查了根的判别式和等腰三角形的性质. 根据判别式的意义可得,再根据根与系数的关系得,,接着利用得到,解得,,于是可得m的值为6; 分类讨论:若时,把代入方程得,解得,,当时,由根与系数的关系得,解得,根据三角形三边的关系,舍去;当时,,解得,则三角形周长为;若,则,方程化为,解得,根据三角形三边的关系,舍去. 26.【答案】解:设P、Q经过t秒时,的面积为, 则,, ,,, , 解得,,, 当P、Q经过2或4秒时,的面积为; 设x秒后,,由题意,得 , 解得:, 设经过y秒,的面积等于,, 即, , 的面积不会等于 【解析】由题意,可设P、Q经过t秒,使的面积为,则,,根据三角形面积的计算公式,,列出表达式,解答出即可; 设经过x秒后线段PQ的长为,依题意得,,,利用勾股定理列方程求解; 将的面积表示出来,根据来判断. 本题是一道几何动点问题,考查了三角形的面积公式的运用,勾股定理的运用及一元二次方程解法的运用.用勾股定理或者面积关系建立等量关系,是解应用题常用的方法. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$