黑龙江省绥化市肇东市第七中学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年黑龙江省绥化市肇东七中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，且，，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在交点处，则的正弦值为(    ) A. B. C. D. 3.一辆汽车沿倾斜角为的斜坡行驶，它上升的垂直高度为7米，则小汽车行驶的路程是(    ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到，若点A和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为(    ) A. B. 2 C. D. 3 5.已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则下列关于反比例函数的描述，其中正确的是(    ) A. 图象在一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. y随x的增大而增大 D. 当时， 6.角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是(    ) A. B. C. D. 7.如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该方块的个数，则这个几何体的左视图为(    ) A. B. C. D. 8.如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且，则这个矩形零件的长为(    ) A. 36mm B. 40mm C. 72mm D. 80mm 9.如图，一根3米长的竹竿AB斜靠在墙边，倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10.如图，要得到从点D观测点A的俯角，可以测量(    ) A. B. C. D. 11.如图，若双曲线与边长为5的等边的边OA，AB分别相交于C，D两点，且，则实数k的值为(    ) A. B. C. D. 1 12.平面直角坐标系中，直线和x轴，y轴分别交于A，B两点，在第二象限内有一点P，使和相似，则符合要求的点P的个数为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 13.若关于x的方程的解为3或，则关于x的不等式的解集是______. 14.如图，已知两个反比例函数：和：在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形PAOB的面积为______. 15.已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当时，x的取值范围是______. 16.已知，则的值为______. 17.已知线段a是线段b、c的比例中项，如果，，那么______. 18.已知一个函数的图象与反比例函数的图象关于y轴对称，则这个函数的表达式是______. 19.在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是，，，已知矩形与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形的面积等于矩形OABC面积的4倍，则点的坐标为______. 20.如图，在中，，，点D、E分别在BC、AC上，，，BE交AD于点F，则面积的最大值是______. 21.如图，点D、E分别在的边AB，AC上，，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：：1，则AO：______. 22.如图所示，已知在梯形ABCD中，，，则______. 三、计算题：本大题共2小题，共16分。 23.某校数学兴趣小组实地测量两岸互相平行的一段河道的宽度．在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东方向，然后向东走150米到达C点，测得点B在点C的北偏西方向，如图． 求的度数； 求这段河道的宽度． 24.如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2m，已知AB、CD在路灯光下的影长分别为，求标杆EF的影长． 四、解答题：本题共5小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 25.本小题6分 某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，求此时轮船与小岛P的距离． 26.本小题6分 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知点A，B，C，D均为网格线的交点. 在网格中将绕点D顺时针旋转，画出旋转后得到的点A，B，C的对应点分别为点，，； 在网格中画出，使∽，且相似比为2：点E，F为格点； 若M是线段AB上的一个动点可以与两端点重合，的面积为S，则S的取值范围是______. 27.本小题8分 如图，中，，顶点A，B都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为D，连接OA，OC，并延长OC交AB于点E，当时，点E恰为AB的中点，若， 求反比例函数的解析式； 当时，求的度数． 28.本小题9分 如图，在等边三角形ABC中，，过BC边上一点P作，分别与边AB，AC相交于点D与点 求证：∽ 若为正三角形时，求的值． 当时请用BP表示BD，并求出BD的最大值． 29.  答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：，， ， 直线， ， ， 故选： 先求出BC长，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出答案即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：如图，取BC的中点D，连接AD， 由网格可得，， ， 在中， ， 故选： 本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 取BC的中点D，连接AD，利用网格求出AC和AB的长，根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角函数的意义求解即可． 3.【答案】A  【解析】解：如图，，，米， 则小汽车行驶的路程是：， 故米 故选： 在三角函数中，根据坡度角的正弦值=垂直高度：坡面距离即可解答． 此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角叫做坡角，通过构造直角三角形，利用锐角三角函数求解是解题关键． 4.【答案】D  【解析】解：把以原点为位似中心放大，得到， ∽， 点A和它的对应点的坐标分别为，， 点A的横纵坐标扩大3倍得到和它的对应点的坐标， 与的相似比为3， 故选： 根据位似变换的性质计算，得到答案． 本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 5.【答案】A  【解析】解：一次函数的图象经过一、二、四象限， ，， ， 反比例函数的图象在第一、三象限，故选项A正确； 在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B错误、选项C错误； 当时，反比例函数的函数值，故选项D错误； 故选： 根据一次函数的图象经过一、二、四象限，可以得到，，从而可以得到，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答． 6.【答案】C  【解析】解：， A、，是真命题，不符合题意； B、，是真命题，不符合题意； C、，是假命题，符合题意； D、，是真命题，不符合题意； 故选： 根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案． 本题考查了命题与定理和锐角函数的增减性，熟记锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数是解题关键． 7.【答案】B  【解析】解：左视图是从左边看到的平面图形，发现从左面看一共有三列，左边一列有1个正方形，中间一列有3个正方形，右边一列有2个正方形， 故选： 根据各层小正方体的个数，综合三视图的知识，在这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：左视图左边一列有1个正方形，中间一列有3个正方形，右边一列有2个正方形，即可得出答案． 此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 8.【答案】A  【解析】解：设矩形的宽，则长， 四边形EFGH为矩形， ，， ∽，∽， ，， ，， ， ， 解得：， ，， 故选： 设矩形的宽，则长，由矩形的性质得到，，推出∽，∽，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求得结果． 本题考查了相似三角形的应用，巧妙利用比例式得到是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：一根3米长的竹竿AB斜靠在墙边，倾斜角为，， ， 米， 同理可得米， 米， 故选： 根据三角函数得出OB，进而得出，利用解答即可． 此题考查解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得出OB，的长解答． 10.【答案】A  【解析】解：从点D观测点A的俯角即从点A观测点D的仰角，即 故选： 根据俯角的定义直接回答即可． 本题考查解直角三角形的应用-仰角、俯角问题．熟练掌握俯角和仰角的定义是解题关键． 11.【答案】C  【解析】解：过点C作于点E，过点D作于点F，则 ， 是等边三角形， ， ∽， ：：BD， ， ， 设，则， ，， ，， ， 点C和点D在反比例函数图象上， ， 解得：舍或， ， 故选： 过点C作于点E，过点D作于点F，则∽，由，得到，设，得到点C和点D的坐标，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，求得x的值，然后得到实数k的值． 本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过和边长为5表示出点C和点D的坐标． 12.【答案】C  【解析】解：如图， ①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点，则与相似全等， ②作，垂足为则与相似． ③作交于，则与相似． ④作垂足为，则与相似． 故选： 根据相似三角形的相似条件，画出图形即可解决问题． 本题考查相似三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 13.【答案】或  【解析】解：方程的解为3或， 反比例函数和一次函数的两交点的横坐标分别为3和，如图， 当或时， 故答案为：或 根据反比例函数与一次函数的交点问题得到反比例函数和一次函数的两交点的横坐标分别为3和，然后画出大致函数图象，利用函数图象求解． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力． 14.【答案】  【解析】【分析】 根据反比函数比例系数k的几何意义得到，长方形PCOD的面积等于1，然后利用长方形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积． 本题考查了反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的长方形的面积是定值 【解答】 解：轴，轴， ，长方形PCOD的面积等于1， 四边形PAOB的面积， 故答案为： 15.【答案】或  【解析】解：由图象可得当或时， 故答案为：或 通过一次函数与反比例函数交点求不等式解集． 本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与不等式的关系． 16.【答案】5  【解析】解：， 故答案为： 根据对的进行变形，再将代入求值． 本题主要考查同角三角函数，熟练掌握同角三角函数的关系是解决本题的关键． 17.【答案】  【解析】【分析】 根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即即可求解． 题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 【解答】 解：线段a是线段b、c的比例中项， ， ，， 故答案为： 18.【答案】  【解析】解：反比例函数的图象关于y轴对称的函数x互为相反数，y不变．得 故答案为 直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案． 本题考查根据反比例函数的图象的变换求双曲线的解析式． 19.【答案】或  【解析】解：矩形与矩形OABC位似， 矩形∽矩形OABC， 矩形的面积等于矩形OABC面积的4倍， 矩形与矩形OABC的相似比为2：1， 点B的坐标为， 点的坐标为或，即或， 故答案为：或 根据位似图形的概念得到矩形∽矩形OABC，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似变换的性质计算，得到答案． 本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 20.【答案】  【解析】解：连接 ，， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值， 的面积的最大值， 故答案为： 连接首先证明，推出，推出，可得，求出面积的最大值即可解决问题． 本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是证明，推出，属于中考常考题型． 21.【答案】2：1  【解析】解：，AD：：1， ，， 点O是线段AG的中点， ， ， ：：：1， 故答案为：2： 根据平行线分线段成比例定理求出，，推出，，代入求出即可． 本题考查学生对平行线分线段成比例定理的灵活运用，关键是检查学生能否熟练地运用平行线分线段定理进行推理． 22.【答案】  【解析】解：过D作于M，过B作于N，如图： ，，， 四边形BMDN是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 过D作于M，过B作于N，由四边形BMDN是矩形，可得，，根据，可得，，即可得到 本题考查平行线分线段成比例定理，掌握同等底三角形面积比等于高之比，同等高的三角形面积比等于底之比是解题的关键． 23.【答案】解：由题意得，，， ； 如图，作交CA的延长线于D， 设米， ， 米， ， 米， ， 解得， 答：这段河的宽约为米．  【解析】根据三角形的内角和定理、结合题意计算即可； 作交CA于D，设米，然后用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可． 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 24.【答案】解：如图，OH为路灯的高，设， ， ∽， ，即①， ， ∽， ，即②， 由①②得即，解得， ， ， ， ∽， ，即， 答：标杆EF的影长为  【解析】如图，OH为路灯的高，设，先证明∽得到①，再证明∽得到②，则，可解得，所以，，然后证明∽得到，再利用比例性质求出FG即可． 本题考查了中心投影：由同一点点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影；中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大即位似变换的关系．解决本题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质． 25.【答案】解：过P作于点D， 且， ， 海里 答：此时轮船与小岛P的距离是7海里．  【解析】先过P作AB的垂线PD，在直角中可以求得的度数是，即可证明是等腰三角形，即可求解． 此题考查的是解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明是等腰三角形是解决本题的关键． 26.【答案】  【解析】解：如图，即为所求； 如图，即为所求； 若M是线段AB上的一个动点可以与两端点重合，的面积为S， 的最大值，最小值，则S的取值范围， 故答案为： 利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． 把的边长扩大2倍，作出即可． 求出的最大值以及最小值，可得结论． 本题考查作图-相似变换，旋转变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 27.【答案】解：直线轴，垂足为D，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 顶点A在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； ，点E恰为AB的中点， ， ， 中，， ， ， ， 轴， ， ， ，   【解析】根据题意求得，然后代入，求得k的值，即可求得反比例函数的解析式； 根据时，点E恰为AB的中点，得出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出，从而求得 本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，证得是解题的关键． 28.【答案】证明：， ， 等边三角形ABC的内角为， ， ， ， ∽ 解：为正三角形， ， ∽， ≌， ，， 解：， ， ∽， ， ， ， 时，  【解析】由知道，然后利用等边三角形的内角为知，从而得到，再结合，得证三角形相似； 由为正三角形知，结合所得的三角形相似，得到三角形全等，从而得到的值； 利用平行线的性质得到，再利用相似三角形的性质列出关于BD和BP的比例关系，再化简得到结果，最后利用二次函数的性质求最大值． 本题考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是利用二次函数的性质求得BD的最大值． 29.【答案】    【解析】  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$