2024届河北省保定市九县一中三模联考数学试题

高三数学考试参考答案 1.A【解析】本题考查椭圆的定义，考查数学抽象的核心素养 由椭圆的定义可知，|PF,|十|PF2=2a=8. 2.D【解析】本题考查集合的补集，考查数学运算的核心素养。 因为A={x.x2-3x-10>≥0}={xx≥5或x≤-2}，所以CA=(-2,5). 3.B【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养。 设=a十ba,b∈R),则=a一i,所以一=2沉由一=，得2(3一D=n十i,则2b 2b=m, 61 6 +6bi=m十i,所以 解得 6b=1, m3 4.C【解析】本题考查三角函数图象的变换，考查数学运算的核心素养 由题可知，g(x)=f(x+)=sin(2x+号). 5.B【解析】本题考查计数原理，考查数学运算的核心素养. 根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有CC一360种. 6.C【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养. 由f(x)=c-3.x,得f(x)=e-3,则f(0)=1,f(0)=-2,所以曲线f(x)=e-3.x在点 (0,(0)处的切线方程为y=一2x十1.令y=0,得x=号，故该切线与两坐标轴所围成的三 角形的面积为2×号×1=子 7.D【解析】本题考查等差数列的性质和数列的递推公式，考查逻辑推理的核心素养」 由bn=a+1十an,得bm+1=a+2十an+1,则bn+1一b,=aw+2一au=3,从而a2i=a21一a19十a9一 a1:+…十a3-a1十a=3×10+1=31. 8.A【解析】本题考查四棱锥的体积，考查直观想象的核心素养。 在长方体ABCD-A,BCD中，BC1⊥平面CDDC,因为CMC平面CDDC,所以B,C ⊥CM.又CM⊥BD,BC∩BD=B,所以CM⊥平面BCD,则CM⊥CD.由CC=2,CD =1,得DM-CM.则点M到平面ABCD的距离d=号AA=号，故四棱锥M-ABCD的体 积V=号5m·d=}×1x号=忌 9.AB【解析】本题考查百分位数，考查数据分析的核心素养 将这组数据除去m后，按从小到大的顺序排序：7,8,9,10,11,12,14,15,17.因为10×65%= 6.5,所以m≤12.故选AB. 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 10.ACD【解析】本题考查双曲线的性质，考查逻辑推理、直观想象的核心素养】 如图，由4PQ=3PF2,可设PQ=3m,PF2|=4m.因为PQ1 PF2,所以|QF2|=5m.设1PF1|=x,|QF|=y,则4-x=2a,5m -y=2a,x+y=3m,解得m=号，则x=号y=号，所以PQ=2a, Q=2F立在△PRR中，由PR+PE:=RR,得g +g=,则后-号从面C的离心率为孕.又m∠PFR,=路=4，所以直线PQ 9 的斜率为士4.故选ACD 11.AC【解析】本题考查不等式与导数的应用，考查逻辑推理的核心素养. 若0<x1,则lnx0,从而xlny=1一ylnx>0,则lny>0,即y>1.令f(r)=xlny+ nx(0<<1),则f(x)=兰+lny>0f(x)在(0,1)上单调递增，所以f1)>1,即lny +ylnl1>l,则lny>l,即y>e,A正确.若1<x<e,y≥e,则xlny+ylnx≥x+elnx>l, 不符合题意，若1<x<e,y≤l,则xlny十ylnx≤lnx<1,不符合题意，若1<x<e,ly e,则lnx<xlny+ynx<x+elnx,xlny+ylnx二(0,2e),所以3xa∈(1，e),%∈(1，e), xoln%十lnxo=1,符合题意，此时2x十3y<5e,B不正确.若x一y<e一1，x=y,则 2nx=1,即nx=令gx)=znx,则gx)=lnx+1,当x∈(0,1门时，g(x)<0,不 符合题意，当x∈1，十∞)时g'(x)>0,g(x)单调递增，由g1)=0<号，g(e)=e>号，可 得1<x<e,则2<x+y=2x<2e若x≠y,则不妨设x<y,若0<x<1,则y>e,此时 |x一y>e一1，不符合题意，若x=1,则y=e,此时|x一y=e一1，不符合题意，若1<x<e, 则1<y<e,此时|x一yl<e一1，符合题意，则2<r+y2e,C正确.若1<x√e,则1<y< e,则f(x)在(1w)上单调递增，则f)>1,即elny+兰>1.令h(y)=√lny+兰，显然 )在1，心)上单调递增，因为hw@)=nE+受=>1，所以由@ny叶>1，可知n <ye,其中h(y)=1,且1<y<√e,D不正确. 12.一6【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查数学运算的核心素养。 因为a⊥b,所以12+2x=0,解得x=一6. 13.号【解析】本题考查圆锥的面积，考查直观想象的核心素养 设圆锥的底面半径为r,母线为l,则πrl=3π2，所以l=3r.在△SAB中，由余弦定理知 Cos/ASB-AS+BS-AB2F-4r27 2AS·BS 22 9 14.4【解析】本题考查函数的图象与性质，考查直观想象、逻辑推理的核心素养， 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 因为函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为偶函数，f(x一1)为奇函数，所以f(1一x)= f(1十x),f(一x一1)=一f(x一1)，则f(x)的图象关于直线x=1对称，也关于点（一1,0）对 称，所以f(-x)=f(x十2)，f(-x)=一f(.x-2),所以f(x十2)=一f(x-2),则f(x+8) =一f(x十4)=f(x),故函数f(x)是周期为8的周期函数.根据函数的对称性和周期性，可 以画出函数f(x和g(x)=(号r在[0,8]上的图象（图略），可知g(x)=(2r与f(x)的图 象在[0,8]上有4个交点. 15.解：1)z=1+2+3+4+5=3,y=1040+980+860+770+700=870.…2分 5 则6=-2)X170+(-1)×110+0X(-10)+1×(-100)+2×(-170) 22+12+02+12+29 =-89,…5分 所以à=y-bx=870+89X3=1137,… 6分 故y关于x的回归直线方程为y=一89x十1137. 7分 41 (2)由题可知，每名行人通过该路口闯红灯的概率p=200一0' 8分 则X~B(10000,50 10分 所以E(X)=10000 50=200. 13分 评分细则： 【1】第(1)问求出x,y各得1分： 【2】第(1)问求出(x-)(y-),(x-x)各得1分. 16.(1)证明：过点E作EF∥AD,并与PA相交于点F,连接BF 因为P=8励.所以需焉是 …2分 则EF=子AD=6. …3分 因为BC∥AD,所以BC∥EF.…4分 又BC=6=EF,所以四边形BCEF为平行四边形，则CE∥BF 5分 因为CE过平面PAB,BFC平面PAB,所以CE∥平面PAB. 7分 (2)解：取AD的中点O,连接OP. 因为侧面PAD是等边三角形，所以OP⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平 面ABCD=AD,所以OP⊥平面ABCD,…8分 故以O为坐标原点，OD,OP所在直线分别为y轴，x轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AB⊥AD,AB=BC=6,AD=8,所以P(0,0,43),A(0,-4,0),C(6,2,0),E(0,3, √5)，…9分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 则A市=(0,4,43)，AC=(6,6,0),CE=(-6,1,W3).…10分 设平面PAC的法向量为m=(x,y,x), .m=0得+3=0. 由at,m=0, 11分 6.x+6y=0, 令=1，得m=(3,一3,1). 12分 cos(m,CE)= m·CE -6√/3 3√210 mICE√7×2√/10 70 14分 故直线CE与平面PAC所成角的正弦值为3严 15分 评分细则： 【1】第(1)问也可在AD上取点G,连接EG,CG(图略)，使得EG∥AP,进而求得平面EGC∥ 平面PAB,从而得到CE∥平面PAB; 【2】第(2)问若学生采用不同的位置建系，则按步骤的情给分 17.解：(1)由a=-2,得f(x)=-2.x十ln(x+1),定义域为(-1，+o∞)，则f(x)=-2+1 +1 =-2x-1 x+1 …2分 当xe(-1,-)时f(x)>0,当x∈(-号，+∞)时，f(x)<0, …4分 故fx)的单调递增区间为(-1，一)，单调递减区间为（一2，十©）。 …6分 (2)由f(x)=a.x十ln(x十1)，x∈(-1，十oo),得(x)=a+ x+1 …7分 若a≥0，则显然f(2)=2a十ln3>0,不符合题意.…9分 若4<0，令fx)=0,解得x=-a1>-1,则当x∈(-1，-a十1)时，(x)>0,f(x)单 调递增，当x(一十，十∞)时，(x)<0,心x)单调递减。…11分 a 当-a+1>0,即-1<a<0时，由f0)=0,可得当x∈(0，-a十)时，(x)>0,不符合题 a 意 12分 当-a+士<0，即4<-1时，由f(0)=0,可得当x∈(-a士.0)时，(x)>0,不符合题意. 13分 当-a十1=0，即4=-1时，可知f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0，十∞)上单调递减，则 f(x)≤f(0)=0,符合题意。… 14分 综上所述，a的取值集合为{一1.… …15分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 评分细则： 【1】第(1)问若学生写的单调区间在一 处取闭区间，不扣分： 【2】第(2)问若学生采用参变分离法并结合洛必达法则求参数的取值集合，则按步骤给分 |OH引=√(-4)+%=4√2， 18.解：(1)由题可知 …1分 16=2py0· 0%=4, 解得 3分 p=2, 故C的方程为x2=4y. 4分 (2)由题意得1的方程为y=kx十2，设A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx十2， 联立方程组 消去y整理得x2一4k.x一8=0，则x1十x2=4k,x1x2=一8.… x2=4y, 6分 因为MA⊥l,NB⊥l,所以MA∥NB,所以△APM△BPN.又|PN|=4|PM,所以|PB =4PA,则x2=一4x1.… 8分 x1=-√2， 又k>0,新所以 …9分 x2=4V2, 则k=西十=32 4 4 10分 (3)根据对称性，不妨令y<2<.由(2)中A(x1,y),B(x2,y2),得直线NB的方程为y一 为=-(x-),令x=0,得N(0,是十).同理可得M0,是十)，…11分 则5=2(2--(-)S=2(受+为-2)且十0=4，=-8，… …12分 故S十S=-(m十)十（+x)+2(xy十)=-（红十）十元(+)+ g+) 13分 =-(x+x)+[十x)P-2x]+g（a+x)[十x)-3x] =一4+2元16+16)+冬16k2+24)=8k*+16k+8 …14分 令f)=8k+16k+受1<k≤2)，则f)=24+16-是，显然了(k)>0在[1,2]上恒 成立，所以f(k)在[1,2]上单调递增.… 16分 由f(1)=32.f(2)=100,可得S,+Sg的取值范围为[32,100]. …17分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 评分细则： 本题若学生按别的方法作答，则按步骤给分 1B花调：1设方阵K=MXN-(发)，则a=@a十（一m（一血》 k2 cos(a-B), knz=cos asin B+(-sin a)cos B=sin(B-a), ka=sin acos B+cos a(-sin B)=sin(a-B), k22=sin asin B+cos acos B=cos(a-B), 2分 则K= cos(a-B)sin(B-a) 3分 sin(a-B)cos(a-B) 所以det(MXN)=det(K)=cos2(a-B)-sin(a-B)sin(B-a)…4分 =c0s2(a-B)十sin2(a-3)=1.…5分 因为det(E)=1×1-0X0=1,所以det(MXN)=det(E),证毕.…6分 ),则由AXB=E 可得a1b1十a12b21=1,① a11b12十a12b22=0,② a2b11十a2zb21=0,③ a21b12十a22b22=1,④ 7分 由①X④，得amb1a21b12十a1b1a22b22十a12b1a2b12十a12b21a22b22=1,⑤ 9分 由②×③，得a11b2a21b11十a11b12a2b21+a12b22a21b11十a12b2ea2b21=0,⑥ 11分 由⑤-⑥，可得a11b1a2zb2十a1zb21a21b12一a11b12a2b21-a12b2a21b1=1, 12分 整理得(a11Q2一a12a21)(b11b2一b12b21)=1,… 13分 即det(A)Xdet(B)=l. ……+…… 14分 (det(A)=1,(det(A)=-1, 由det(A),det(B)∈Z,可得 或 15分 det(B)=1 det(B)=-1, 则|det(A)十det(B)|=2. 16分 又det(M)=det(N)=l,所以|det(A)+det(B)|=det(M)+det(N),证毕.…l7分 评分细则： 本题若学生按别的方法作答，则按步骤给分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】绝密★启用前 二、迭择题：本显共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得·分， 高三数学考试 9若-一组数据14,17,11,9,12,15，m,8,10,7的第65百分位数为12，则m的值可能为 A.8 B.10 C.13 D,14 10已知取曲线C号一言-1e>0,b>0)的左右焦点分别为R,F,过点R,的直线与C的左 注意事项： 1答恶道，考生务必将自已的娃名、考生号，考杨号，座位号填写在答题卡上， 支相交于P,Q两点，若PQ⊥PF,且4PQ1一3引PF,l,则 BP时=一2QF 2.回答选拜感时，迭出每小答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号徐 A.IPQI-24 县。如俯议动，用像皮接干净后，再涂其他答案标号，回答非选择恩时，将答案写在 CC的离心率为平 D.直线PQ的斜率为士4 答四卡上，写在本试卷上无效。 11,已知正实数xy满足xlny十y血x=1,则下列结论正确的是 3考试结束后，特本试卷和答题卡一并交回， A若<x<,则y>e 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 B若1<x<c.则2x+3y>5e C,若引x-y<e-1,则2<x十y<2e 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小盟给出的四个选项中，只有一项是符合 D.若1<x<E,则6<y< 题口要求的， 三，填空愿：本题共3小通，每小题5分，共15分. 1已知P是轴圆E希十号-1上一点R,R分别为E的左右焦点，则|P5+1PR引- 12已知向量a=(3,2),b=(4,x),若aLb,则x-▲ A.8 B.6 C4 D,3 13.已知S为风维的顶点，AB为该圆锥底面的一条直径，若该图锥的侧面积为底面积的3倍， 2.已知金集U-R,集合A={xlx2-3x-100),划C4= 则o5∠ASB=▲ A.[-5,2] B[-2,5] C.(-5,2) D.(-2,5) 14定义在R上的两数f代x满足f八x十1)为偶函数，f(x一1)为青函数，且当x∈（一1,1]时， 3若复致：病足一一吉当，则实数m一 x=xl.当xE[0,8]时，函数g(x)=(分r与fx)图象的交点个数为▲- 四，解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步惠 A号 a号 c- 15.(13分】 行人阅红灯对自己和他人都可能造成极大的危客，某碎口监控设备连续5个月狐拍到行人 么将西数f八)一n(2红一号)的图象向左平移晋个单位长度，得到函数g(x的图象，则g(x)= 阅红灯的统计数据如下 A.sin 2x B.-sin 2x Cn(2z+5) D.coa(2) 月母座号： 3 4 5 5,某地下雪异致路面积雪，现安排9名男志服者，5名女志驱者整与扫雪和铲首工作，其中3名 衡红灯人数y 1040 如 80 770 700 女志瓜者，2名男志愿者参与扫雷工作，其余志驱者参与的前工作，则不同的安排方法共有 (1)视据表中的数据，求y关于x的回归直线方程少-x十4： A240种 B350种 C720种 D.2002种 (2)某组织观察200名行人通过该路口时，发现有4人风红灯，以这2心0名行人周红灯的频 6.曲线f(x)=心一3x在点(0，f八0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 率作为通过该路口行人闯红灯的概率，若某段时间内共有10000名行人通过该路口，记 A音 B音 c n号 阿红灯的行人人数为X,求E(X), 7.设{6}是公差为3的等差数列，且4=a+1十a,若1=1，则a= 红-%- 那，回归直线方程y=x+à中，6-回 -,-y-b A.21 B.25 C.27 D.31 - 8如图，在长方体ABCD-ABCD,中，AA,=2,AB=AD=1,M是C:D上 一点，且CM⊥BD,则四校幢M-ABCD的体积为 A B号 c是 n号 【高三数学第1页（共4页]】 【高三数学第2页（共4页】 16.(15分) 18.(17分) 如图，在四陵锥P-ABCD中，AB⊥AD,BC/AD,侧面PAD是边长为8的等边三角形，AB 已知抛物线C:=2y(>0)上一点H(一4，为》到坐标原点O的距离为42.过点P(0, =BC-6,PE-3ED. 2)且斜率为(>0)的直战1与C相交于A,B两点，分别过A,B两点作1的垂线，并与y (1)证明：CE∥平面PAB. 轴相交于M,N两点 (2)若平面PAD⊥平面ABCD,求直线CE与平面PAC所成角的正弦值. (1)求C的方程： (2)若IPW-4PM川，求k的值： (3)若k∈[1,2幻，记△PAM,△PBW的国积分别为S,S,求S十的最值范图. 19.(17分) 17.(15分) 已知函数f代x)=ax+n(x+1. 对于任意给定的四个实致a,如0a我们定文方阵A-(),方库A对应的行 (1)若a=一2，求f代x)的单调区间： (2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值柴合。 对试记为如.且如0一a如一aa,方降A与任意方降日-你)的柔法运并 定义如下A×日=C,其中方阵C-(),且&一存b.ane1.2》.设M (:2.-(9-62 sin a cos a (1Di证明：det(MXN)=det(E). (2若方阵A,B读足A×B-E,且det(A),det(B)∈Z,证明：ldt(A)+det(B)川=de:(M0 +det(N). 【高三数学第3页共4页)】 【商三数学第4页（共4页）】