江苏省无锡市江阴长泾中学2023-2024学年高二下学期5月阶段检测数学试卷

高二数学5月阶段检测试卷 一．单选题（8小题,每小题5分） 1．已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于(　　) A． {－1,4} B．{1,4} C．{1,2} D．{－1,2} 2．某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线．若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为　　 参考：， A．558 B．651 C．456 D．584 3．如图，函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是l，则 =（　　） A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．2 4. 设，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知，则等于　　 A．1 B．121 C．122 D．243 6．现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为　　 A．1080 B．864 C．432 D．216 7．设，若，则实数的最大值为　　 A． B． C． D．4 8．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 二．多选题（3小题，每小题6分） 9．下列说法正确的是　　 A．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为16 B．若随机变量服从正态分布，，则 C．若随机变量服从二项分布：，则 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则 10．已知，，，则　　 A．的最小值为 B．的最小值为9 C．的最大值为 D．的最小值为6 11．已知函数则下列结论正确的有　　 A．当时，有2个零点 B．当时，是的极值点 C．当时，恒成立 D．若，是关于的方程的2个不等实数根，则 三．填空题（3小题，每小题5分） 12．已知是定义在上的可导函数，若，则=________. 13．一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔支数为，则　　． 14．已知，若存在，使得，则的取值范围是_________. 四．解答题（5小题，共77分） 16．（13分）已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是． （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中系数绝对值最大的项； （3）求的值． 16．（15分）“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克在正常环境下服从正态分布． （1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于的牡蛎的可能性有多大？ （2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量（人与年收益增量（万元）的数据如下： 人工投入增量（人 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了与的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：； ( 人工投入增量 (人） )模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量做变换，令，则，且有，，，． 根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程（精确到； 根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附：若随机变量，则，； 样本，，2，，的最小二乘估计公式为：. 17．（15分）为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，某省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有级旅游景区免首道门票，鼓励非国有级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来，游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到不完整的列联表：单位：人 年龄 不满意 满意 总计 50周岁及以下 _____ 55 _____ 50周岁以上 15 _____ _____ 总计 _____ _____ 100 （1）根据统计数据完成以上列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联． （2）现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率作为概率，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18．（17分）是由人工智能研究实验室于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术．在测试时，如果输入的问题没有语法错误，则的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，的回答被采纳的概率为． （1）在某次测试中输入了8个问题，的回答有5个被采纳．现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为． 求的回答被采纳的概率； 若已知的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率． 19．（17分）记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，． （1）若函数为上的凸函数，求的取值范围； （2）若函数在上有极值，求整数的最小值． （参考数据） 高二数学阶段检测试卷 参考答案与试题解析 1． 选择题（共8小题,每小题5分） 1．已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于(　　) A． {－1,4} B．{1,4} C．{1,2} D．{－1,2} 【解答】由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选C. 2．某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线．若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为　　 参考：， A．558 B．651 C．456 D．584 【分析【解答】】根据正态分布的概率分布即可求解． 【解答】解：抽测结果在及格线与优秀线之间的学生所占的比例为， 故人数为． 故选：A． 【点评】本题考查正态分布相关知识，属于基础题． 3．如图，函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是l，则 ＝（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣2 D．2 【分析】本题结合函数图像，可求出切线方程，根据点P既在曲线f（x）上，也在切线l上，即可求得f（2），根据导数的几何意义，f'（2）是切线l的斜率，即可求出结果． 【解答】解：由图象可得：函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是l与x轴交于（4，0），与y轴交于（0，4）， 则可知直线l：x+y＝4， ∴f（2）＝2，f′（2）＝﹣1 ∴代入则可得f（2）+f′（2）＝1， 故选：B． 【点评】本题考查导数性质的基本应用，导数的几何意义，属于基础题． 4.设，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的性质，其中充分性中，等价于，得到后两边同乘即可；必要性中，取特殊值，，按照必要性的定义进行判断即可． 【解答】解：充分性：由，可得，则，即，两边同乘，可得，不满足充分性； 必要性：取特殊值，，满足，但不满足，也不满足必要性； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题． 5.已知，则等于　　 A．1 B．121 C．122 D．243 【分析】直接利用二项式的展开式及赋值法求出结果． 【解答】解：， ，，，，， 令，得， ． 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 6．现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为　　 A．1080 B．864 C．432 D．216 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合分组分配列式计算得解． 【解答】解：求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有种方法， 再把4名语文教师按分成3组，并分配到三所学校，有种方法， 最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有种方法， 由分步乘法计数原理得不同的安排种数为． 故选：C． 【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 7．设，若，则实数的最大值为　　 A． B． C． D．4 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【解答】解：因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：C． 【点评】本题考查换元法及基本不等式的应用，属于中档题． 8．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】将问题转化为使得成立，通过求得导数和单调性，可得最值，再根据不等式成立，结合参数分离可得的范围． 【解答】解：，，使得成立，等价为使得成立． 则． 当时，，此时单调递增． 当时，，此时单调递减． （1），，故（1）． 则存在，，使得成立． 当时，不成立． 当时，． 设，，则． 设，得． 所以在，递减，所以． 则在，递减，所以的最小值为（1）． 则，所以． 故选：B． 【点评】本题主要考查利用导函数解决恒成立问题，属于难题． 二．多选题（共3小题，每小题6分） 9．下列说法正确的是　　 A．若随机变量服从二项分布：，则 B．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为16 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则 【分析】对于，根据方差的性质求解即可，对于，利用正态分布的性质求解，对于，利用二项分布的性质和期望的性质求解判断，对于，将样本中心点坐标代入回归方程可求出． 【解答】解：对于，因为随机变量服从二项分布：，所以， 所以，所以A正确， 对于，因为样本数据，，，的方差为2， 所以数据，，，的方差为，所以B错误， 对于，因为随机变量服从正态分布，， 所以，所以C正确， 对于，由题意得，解得，所以正确． 故选：ACD． 【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题． 10．已知，，，则　　 A．的最小值为 B．的最小值为9 C．的最大值为 D．的最小值为6 【分析】根据题意，利用基本不等式与“1的代换”，对各项中的结论逐一加以验证，即可得到本题的答案． 【解答】解：由，得，所以， 因此，当且仅当时，的最小值为， 所以的最小值为，故A项正确； ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为9，故项正确； 根据，，且，可得， 当且仅当时，的最大值为，所以C项不正确； ． 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为6，故项正确． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 11．已知函数则下列结论正确的有　　 A．当时，有2个零点 B．当时，是的极值点 C．当时，恒成立 D．若，是关于的方程的2个不等实数根，则 【分析】对于，代入后对求导，利用导数与函数极值的关系即可得证；对于，构造函数，利用导数求得，从而可证得；对于，举反例排除即可；对于，利用极值点偏移的证明方法即可证得． 【解答】解：对于A，令，则，令，解得，故只有1个零点，故A错误； 对于B，当时，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，故B正确； 对于C，令，得， 令，则， 令，解得， 故当单调递增；当单调递减； 所以， 因为，所以，故，整理得，即恒成立，故C正确； 对于D，因为，是关于的方程的2个不等实数根， 所以，即， 所以问题等价于有两个零点，，证明， 不妨设，则由得到， 要证，只需要证明， 即只需证明：， 只需证明：，即， 令， 只需证明：， 令， 则，即在上单调递增， 又（1），所以（1），即恒成立， 综上所述，原不等式成立，即成立，故D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题． 三．填空题（共3小题，每小题5分） 12．已知是定义在上的可导函数，若，则（2）=_________. 【分析】根据极限与导数的定义计算． 【解答】解：． 故答案为：-1． 【点评】本题主要考查导数的定义，属于基础题． 13．一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔支数为，则　　． 【分析】根据题意可知，的可能取值是1，2，3，4，5，计算对应概率，求出期望即可． 【解答】解：根据黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次可知， 的可能取值是1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题． 14．已知，若存在，使得，则的取值范围是_________. 【分析】求出的导数，问题等价于存在，成立，求出，设，根据函数的单调性求出的范围即可． 【解答】解：， ， 由，整理得． 存在，使成立， 等价于存在，成立， ，， 设， 则， ，恒成立， 在上是增函数， （1）， ，即的取值范围为， 故答案为： 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题． 四．解答题（6小题，共77分） 15．(13分)已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是． （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中系数绝对值最大的项； （3）求的值． 【分析】先根据第6项的系数与第4项的系数之比是列出方程，求出的值． （1）利用通项公式找到的的值，则系数可求； （2）要求绝对值最大的系数，只需将改成2，再构造不等式组求解即可； （3）构造法，可以先对原式整个乘以9，前面加个1，然后整个式子除以9，减去，再逆用二项式定理结合赋值法求解． 【解答】解：通项① ，化简得，即，或（舍 所以．.............................................2分 （1）由①式令，解得，故系数为．.............................................4分 （2）各项系数的绝对值， 设第项的系数绝对值最大，则，即，解得，.................7分 ． 故第7项的系数绝对值最大，此时．.................9分 （3）， 将代入得原式的值为．.................13分 【点评】本题考查了利用通项法研究二项展开式系数的性质，以及赋值法的应用．第（3）问用到了构造法，有一定的技巧性． 16．(15分)“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克在正常环境下服从正态分布． （1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于的牡蛎的可能性有多大？ （2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量（人与年收益增量（万元）的数据如下： 人工投入增量（人 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了与的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：； ( 人工投入增量 (人） )模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量做变换，令，则，且有，，，． 根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程（精确到； 根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附：若随机变量，则，； 样本，，2，，的最小二乘估计公式为：. 【分析】（1）根据正态分布的对称性得到，购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于的牡蛎为只，故，由间接法列式得到结果即可； （2）根据公式计算得到回归直线方程；通过比较的大小可得到拟合效果的差异，将代入回归方程可得到预测值． 【解答】解：（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量，则，， 由正态分布的对称性可知， ，.................2分 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于的牡蛎为只，故，...............3分 故, 所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于的牡蛎的可能性为．.................5分 （2） 由，，，， 有，且，.................9分 所以，模型②中关于的回归方程为．.................10分 由表格中的数据，有，即，模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．.................13分 当时，模型②的收益增量的预测值为（万元），这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．.................15分 【点评】本题主要考查回归分析以及线性回归直线过样本中心点，属于中档题． 17．(15分)为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，某省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有级旅游景区免首道门票，鼓励非国有级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来，游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到不完整的列联表：单位：人 年龄 不满意 满意 总计 50周岁及以下 _____ 55 _____ 50周岁以上 15 _____ _____ 总计 _____ _____ 100 （1）根据统计数据完成以上列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联． （2）现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率作为概率，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【分析】（1）由题意补全列联表后计算出，与10.828比较即可求解； （2）根据随机变量的所有取值计算出对应概率，列出分布列，再求出期望即可得． 【解答】解：（1）由题意抽取的100名游客中年龄在50周岁及以下的有60人， 则年龄在50周岁以上的有40人，补全的联表如下： 不满意 满意 总计 50周岁及以下 5 55 60 50周岁以上 15 25 40 总计 20 80 100 .................2分 设：对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄无关联，.................3分 ，.................6分 根据小概率值的独立性检验， 我们推断不成立，即认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.001．.................7分 （2）由题意可得一位游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9， 则的所有可能取值为0，1，2，3，且，.................9分 则， ， ， ，.................13分 所以的分布列为 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 数学期望．.................15分 【点评】本题考查了独立性检验、二项分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．(17分)是由人工智能研究实验室于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术．在测试时，如果输入的问题没有语法错误，则的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，的回答被采纳的概率为． （1）在某次测试中输入了8个问题，的回答有5个被采纳．现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为． 求的回答被采纳的概率； 若已知的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率． 【分析】（1）由题意可知，服从超几何分布，直接用公式求解； （2）利用全概率公式求解的回答被采纳的概率； 利用条件概率公式求解该问题的输入没有语法错误的概率即可． 【解答】解：（1）易知的所有可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 .................6分 （2）记“输入的问题没有语法错误”为事件，记“输入的问题有语法错误”为事件，记“的回答被采纳”为事件， 则（A），（B），，，.................9分 所以（C）（B）（A）；.................12分 若的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为．.................17分 【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，考查了全概率公式和条件概率公式，属于中档题． 19．(17分)记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，． （1）若函数为上的凸函数，求的取值范围； （2）若函数在上有极值，求整数的最小值． （参考数据） 【分析】（1）求出函数导数以及，由题意可得，令，利用导数判断其单调性，即可求得答案； （2）函数在上有极值，即在上有变号零点，转化为在上有解，构造函数，利用导数判断其单调性，求出函数的值域，即可求得答案． 【解答】解：（1）由，得，， 由于函数为上的凸函数，故， 即，................2分 令，则， 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，所以， 故的取值范围为；................5分 （2）由，得， 函数在上有极值，即在上有变号零点， 即在上有解，................6分 令，， 令，则，， 即在上单调递增， 且当无限趋近于1时，无限接近于，（2）， 故存在，使得，...............8分 且时，，时，， 故在上单调递减，在，上单调递增， 故，...............10分 由于，， 故，，...............12分 又 由零点存在定理知，................14分 因为在上单调递减，且 故 因为，则................16分 又，的最小值为1.................17分 【点评】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，属于难题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$