2024年广东省东莞市清溪中学中考数学一模试卷

2024年广东省东莞市清溪镇清溪中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）第19届亚运会于10月8日在杭州闭幕．我国体育健儿在本届亚运会上奋力拼搏，以201枚金牌遥遥领先，圆满谢幕．下列体育运动图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知一滴水的质量约是0.000051千克，这个数据用科学记数法表示为（　　） A．51×10﹣4千克 B．51×10﹣5千克 C．5.1×10﹣4千克 D．5.1×10﹣5千克 3．（3分）如图，已知a∥b，直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则∠1＝50°，∠2＝（　　） A．40° B．52° C．26° D．34° 4．（3分）将抛物线y＝3x2+1向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝3（x+2）2﹣4 B．y＝3（x﹣2）2﹣5 C．y＝3（x﹣2）2﹣4 D．y＝3（x+2）2﹣5 5．（3分）下列语句中，不是命题的是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．作角A的平分线 D．内错角相等 6．（3分）化简的结果是（　　） A．﹣2a+b B．﹣2a﹣b C．2a+b D．2a﹣b 7．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠OBC＝56°，则∠A的度数是（　　） A．28° B．30° C．34° D．56° 8．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约一千五百年前．卷中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”设木条长x尺，绳子长y尺，则根据题意所列方程组是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则AC的长为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 10．（3分）已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①△OEF始终是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是1； ③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+； ④四边形OECF的面积始终是1． 所有正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若a+b＝8，ab＝10，则a2b+ab2＝　 　． 12．（3分）计算：0＝　 　． 13．（3分）已知圆锥的母线长为6，底面圆的半径4，则它的侧面积为 　 　． 14．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则＝　 　． 15．（3分）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为 　 　． 16．（3分）如图，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝2，AB＝，若点P是AB上的一个动点，则CP+AP的最小值为 　 　． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）解方程：x2﹣2x+1＝4． 18．（4分）如果m2﹣4m﹣6＝0，求代数式（+1）÷的值． 19．（6分）甲、乙两人玩转转盘游戏，如图所示的转盘被平均分成三个面积相等的扇形区域．颜色分别为红、黄、蓝，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次），甲转动转盘两次，乙不看甲转出的结果猜测两次转出的颜色相同．若乙的猜测与甲转出的结果相同，则乙获胜；若乙的猜测与甲转出的结果不同，则甲获胜． （1）甲转出的结果为“两次转出的颜色中没有红色”是 　 　事件；（填“确定”或“随机”） （2）请用列表或画树状图的方法求乙获胜的概率． 20．（6分）某单位为响应政府号召，准备购买A、B两种型号的分类垃圾桶．购买时发现，A种型号的单价比B种型号的单价少50元，用2000元购买A种垃圾桶的个数与用2200元购买B种垃圾桶的个数相同． （1）求A，B两种型号垃圾桶的单价各是多少元？ （2）若单位需要购买分类垃圾桶6个，总费用不超过3100元，求出所有不同的购买方式． 21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB． （1）求反比例函数y＝的表达式和点B的坐标． （2）点P是反比例函数y＝图象上的点，若△BOP的面积是15，求点P的坐标． 22．（10分）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是多少米（结果保留根号）． 23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF． 24．（12分）已知正方形ABCD，将边AB绕点A顺时针旋转α至线段AE，∠DAE的平分线所在直线与直线BE相交于点F． 【探索发现】 （1）如图1，当α为锐角时，请先用“尺规作图”作出∠DAE的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：EF＝DF； 【深入探究】 （2）在（1）的条件下， ①∠DEB的度数为 　 　； ②连接CF，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明； 【拓展思考】 （3）若正方形的边长AB＝6，当以点C，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度． 25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作MN∥y轴，交AC于点N，过N作ND∥BC交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线y＝ax2+bx+2沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线y'，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作PQ∥y轴交射线MK于点Q，连接PK，当△PQK为等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1． 解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意； C中的图形是轴对称图形，故C符合题意． 故选：C． 2． 解：0.000051＝5.1×10﹣5， 故选：D． 3． 解：如图． ∵a∥b， ∴∠2+∠3+∠1＝180°． 由题意得，∠3＝90°，∠1＝50°． ∴∠2＝40°． 故选：A． 4． 解：将抛物线y＝3x2+1向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：y＝3（x﹣2）2+1﹣5，即y＝3（x﹣2）2﹣4． 故选：C． 5． 解：A、两点确定一条直线，是命题，不符合题意； B、垂线段最短，是命题，不符合题意； C、没有做出任何判断，不是命题，符合题意； D、内错角相等，是命题，不符合题意； 故选：C． 6． 解：原式＝ ＝ ＝ ＝2a+b． 故选：C． 7． 解：∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC＝56°， ∴∠BOC＝180°﹣56°﹣56°＝68°， ∴∠A＝∠BOC＝34°， 故选：C． 8． 解：由题意可得， ， 故选：A． 9． 解：根据题意可知： △ADE的最大面积是8（cm2）， 此时点D与点C重合， 如图， 在Rt△ADE中，∠A＝30°， 设DE＝x，则AE＝x， ∴S△ADE＝AE•DE ＝×x•x ＝x2， ∴x2＝8， 解得x＝4（负值舍去）， ∴DE＝4， ∴AD＝AC＝2DE＝8． 故选：C． 10． 解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O， ∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°， 在△OBE和△OCF中， ， ∴△OBE≌△OCF（SAS）， ∴OE＝OF， ∵∠BOE＝∠COF， ∴∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴△OEF是等腰直角三角形； 故①正确； ②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1， ∴△OEF面积的最小值是×1×1＝， 故②错误； ③∵BE＝CF， ∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2， 假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+， 则EF＝， 由①得△OEF是等腰直角三角形， ∴OE＝＝． ∵OB＝，OE的最小值是1， ∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+． 故③正确； ④由①知：△OBE≌△OCF， ∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1， 故④正确； 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11． 解：∵a+b＝8，ab＝10， ∴原式＝ab（a+b）＝80， 故答案为：80 12． 解：原式＝6+1＝7， 故答案为：7． 13． 解：依题意知母线长l＝6，底面半径r＝4， 则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×6×4＝24π， 故答案为：24π． 14． 解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根， ∴，x1+x2＝﹣1， ∴， ∴ ＝x1（﹣x1+3）+4x2﹣12+20 ＝4（x1+x2）+5 ＝﹣4+5 ＝1； 故答案为：1． 15． 解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上， ∴k＝2×4＝8． ∴反比例函数的解析式为y＝． ∵点E在反比例函数图象上， ∴可设E（a，）． ∴AD＝a﹣2＝ED＝． ∴a1＝4，a2＝﹣2． ∵a＞0， ∴a＝4． ∴E（4，2）． 故答案为：（4，2）． 16． 解：过点A在△ABC外作射线AD，使得∠BAD＝30°，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接CQ，则PQ＝AP， ∴CP+AP＝CP+PQ≥CQ， 当C、P、Q三点共线，且CQ⊥AD时，CP+AP＝CP+PQ＝CQ的值最小， ∵∠CAQ＝30°+30°＝60°， ∴∠ACQ＝30°， ∴AQ＝＝1， ∴CQ＝， 故CP+AP的最小值为：， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17． 解：方程变形得：（x﹣1）2＝4， 开方得：x﹣1＝±2， 解得：x1＝3，x2＝﹣1． 18． 解：原式＝ ＝ ＝ ＝（m﹣1）（m﹣3） ＝m2﹣4m+3， ∵m2﹣4m﹣6＝0， ∴m2﹣4m＝6， ∴原式＝6+3＝9． 19． 解：（1）∵一共有3种颜色，每一种颜色被转出的可能性相同， ∴两次转出的颜色种可能有红色，也有可能没有红色， ∴甲转出的结果为“两次转出的颜色中没有红色”是随机事件， 故答案为：随机； （2）画树状图如下： 由图可知共有9种等可能的结果，其中两次转出的颜色相同的结果有3种， ∴乙获胜的概率为． 20． 解：（1）设A种型号垃圾桶的单价为x元，则B种型号垃圾桶的单价为（x+50）元， 由题意得：＝， 解得：x＝500， 经检验，x＝500是原方程的解， 则x+50＝550， 答：A种型号垃圾桶的单价为500元，则B种型号垃圾桶的单价为550元； （2）设购买A种型号的垃圾桶m个，则购买B种型号的垃圾桶为（6﹣m）个， 由题意得： 解得：4≤m≤6， ∵m为非负整数， ∴当m＝4时，6﹣m＝2； 当m＝5时，6﹣m＝1； 当m＝6时，6﹣m＝0； ∴共有3种购买方式： ①购买A种型号的垃圾桶4个，B种型号的垃圾桶2个； ②购买A种型号的垃圾桶5个，B种型号的垃圾桶1个； ③购买A种型号的垃圾桶6个，B种型号的垃圾桶0个． 21． 解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝4×3＝12， ∴反比例函数解析式为y＝； ∵OA＝＝5，OA＝OB，点B在y轴负半轴上， ∴点B（0，﹣5）． （2）设点P（a，）， ∵B（0，﹣5）， ∴OB＝5， ∵△BOP的面积是15， ∴OB•|a|＝15，即＝15， ∴a＝±6， ∴点P的坐标为（6，2）或（﹣6，﹣2）． 22． 解：过点B作BE⊥AB于点E， 在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15米， ∴CE＝BE×tan45°＝BE＝15米， 在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15米， ∴AE＝BE×tan30°＝15×＝15（米）． ∴教学楼AC的高度是AC＝AE+CE＝（15+15）（米）． 答：教学楼AC的高度为（15+15）米． 23． （1）解：如图： 过B作BF⊥AB，交CE于F，直线BF即为所求直线； （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵AB∥CE， ∴∠ABC＝∠BCF， ∴∠BCF＝∠ACB， ∵点D在以AB为直径的圆上， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∵BF为⊙O的切线， ∴∠ABF＝90°， ∵AB∥CE， ∴∠BFC+∠ABF＝180°， ∴∠BFC＝90°， ∴∠BDC＝∠BFC， 在△BCD和△BCF中， ， ∴△BCD≌△BCF（AAS）， ∴BD＝BF． 24． 解：（1）“尺规作图”补全图形如图： 证明：如图，连接DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB， 由旋转知，AB＝AE， ∴AE＝AD， ∵AF平分∠DAE， ∴∠EAF＝∠DAF， 在△EAF和△DAF中， ， ∴△EAF≌△DAF（SAS）， ∴EF＝DF； （2）①设∠EAB＝α， ∵AB＝AE， ∴∠AEB＝＝＝， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝90°+α， ∵AE＝AD， ∴＝＝， ∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝＝45°； 故答案为：45°； ②，理由如下： 如图，连接DE、DB和DF， ∵EF＝DF，∠DEB＝45°， ∴△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝45°， ∴DE：DF＝：1， ∵四边形ABCD为正方形， ∴△BDC为等腰直角三角形， ∴∠BDC＝45°，BD：CD＝：1， ∴， ∴∠EDF﹣∠BDF＝∠BDC﹣∠BDF，即∠EDB＝∠FDC， ∴△DEB∽△DFC， ∴， ∴BE＝CF； （3）当CE为对角线时，如图， 此时，BE＝BA+AE＝6+6＝12； 当CD为对角线时，如图，连接DB， ∵四边形ABCD为边长为6的正方形， ∴BD＝， 同（1）可证：△EAF≌△DAF， ∴EF＝DF， ∵AD＝AE＝AB， ∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE， ∴， ∴∠DEF＝45°， ∴△DEF是等腰直角三角形， 同（2）②可证：△DEB∽△DFC，且， 设DF＝EF＝x，则DE＝， ∵四边形DECF为平行四边形， ∴DE＝CF， ∴BE＝CF＝DE＝＝2x， ∴BF＝BE+EF＝2x+x＝3x， 在Rt△DBF中，DF2+BF2＝BD2， ∴， 解得：或（舍去）， ∴BE＝2x＝． 综上，BE＝12或． 25． 解：（1）把A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得： ， 解得， ∴y＝﹣x2﹣x+2， ∵﹣＝﹣1，＝， ∴顶点坐标为（﹣1，）； （2）延长MN交x轴于R，如图： 在y＝﹣x2﹣x+2令x＝0得y＝2， ∴C（0，2），OC＝2＝OB， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝45°， ∵ND∥BC， ∴∠RDN＝45°， ∵MN∥y轴， ∴△RDN是等腰直角三角形， ∴NR＝ND， 由A（﹣4，0），C（0，2）可得直线AC解析式为y＝x+2， 设M（t，﹣t2﹣t+2），则N（t，t+2），R（t，0）， ∴MN＝﹣t2﹣t+2﹣（t+2）＝﹣t2﹣t，NR＝t+2， ∴MN﹣ND＝MN﹣NR＝﹣t2﹣t﹣（t+2）＝﹣t2﹣t﹣2＝﹣（t+3）2+， ∵﹣＜0， ∴当t＝﹣3时，MN﹣ND取最大值， 此时M（﹣3，）； （3）∵A（﹣4，0），C（0，2）， ∴AC＝2， ∴OC：OA：AC＝1：2：， 将抛物线y＝﹣x2﹣x+2沿射线AC方向平移个单位，相当于把抛物线向右移6个单位，再向上移3个单位， ∴新抛物线y'＝﹣（x﹣5）2+＝﹣x2+x﹣1， ∵新抛物线与y轴交于点K， ∴K（0，﹣1）， ∵M（﹣3，）， ∴直线MK解析式为y＝﹣x﹣1， 设P（m，﹣m2+m﹣1），则Q（m，﹣m﹣1）， ∴PK2＝m2+（﹣m2+m）2，QK2＝m2+（﹣m）2＝m2，PQ2＝（﹣m2+m）2， 当PK＝QK时，m2+（﹣m2+m）2＝m2， 解得m＝0（与K重合，舍去）或m＝7或m＝13（P，Q重合，舍去）， ∴P（7，）； 当PK＝PQ时，m2+（﹣m2+m）2＝（﹣m2+m）2， 解得m＝0（舍去）或m＝， ∴P（，）， 当QK＝PQ时，m2＝（﹣m2+m）2， 解得m＝0（舍去）或m＝8或m＝18， ∴P（8，3）或（18，﹣37）， 综上所述，P的坐标为（7，）或（，）或（8，3）或（18，﹣37）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$