精品解析：贵州省印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

智成中学2023~2024学年度高二上学期第四次月考数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 过点的等轴双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6. 已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ） A. B. C. 12 D. 14 10. 已知向量，若，则实数m的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 11. 从盒子中摸出一个黑球的概率是，从盒子中摸出一个黑球的概率是，从两个盒子中各摸出一个球，则下列说法中正确的是（ ） A. 个球都不是黑球的概率为 B. 个球中恰有个黑球的概率为 C. 个球至多有个黑球的概率为 D. 个球中至少有个黑球的概率为 12. 设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 4 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 14. ______． 15. 已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为______． 16. 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 18. 求符合下列条件的直线的方程： （1）过点，且斜率为； （2）过点，； （3）过点且在两坐标轴上的截距相等． 19. 已知焦点位于x轴的抛物线C过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 20. 已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． （1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； （2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 21. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 22. 已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，． （1）求的值； （2）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 智成中学2023~2024学年度高二上学期第四次月考数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程即得. 【详解】因为圆的圆心为， 则圆的圆心坐标是. 故选：C． 2. 过点的等轴双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设出双曲线的方程为（），代点进行求解即可. 【详解】设双曲线的方程为（）， 代入点，得， 故所求双曲线的方程为， 其标准方程为． 故选：A． 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，由交集的定义即可得出答案. 【详解】，， 则. 故选：A. 4. 已知直线，直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】由直线，则其斜率， 设直线的倾斜角为，则有，故， 由，故. 故选：D. 5. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得，由此得到共轭复数，再利用复数模的运算即可求解. 【详解】因为，则的共轭复数， 所以，故． 故选：C. 6. 已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点D的坐标为．结合平行四边形的一组对边平行且相等的性质和空间向量的相等向量的计算即可求解. 【详解】设设点D的坐标为， 由题意得 ， 因为四边形是平行四边形，所以， 所以，解得， 故选：A 7. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解. 【详解】解：直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即为， 所以直线过定点， 所以点P到直线l的距离的最大值为， 故选：D 8. 已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，的最小值为，的最小值为，可求的最小值. 【详解】圆：，圆心坐标，半径为1， 抛物线：的焦点为，准线方程，如图所示， 点到直线的距离比点到准线的距离大2，即， 的最小值为，当三点共线时的最小值为， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】BD 【解析】 【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 10. 已知向量，若，则实数m的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量垂直列出方程，求出实数m的值. 【详解】因为，所以， 解得或0或． 故选：ABC 11. 从盒子中摸出一个黑球的概率是，从盒子中摸出一个黑球的概率是，从两个盒子中各摸出一个球，则下列说法中正确的是（ ） A. 个球都不是黑球的概率为 B. 个球中恰有个黑球的概率为 C. 个球至多有个黑球的概率为 D. 个球中至少有个黑球的概率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用独立事件、互斥事件、对立事件的概率公式逐项计算每个选项中事件的概率，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，个球都不是黑球的概率为，A对； 对于B选项，个球中恰有个黑球的概率为，B对； 对于C选项，个球至多有个黑球的概率为，C对； 对于D选项，个球中至少有个黑球的概率为，D错. 故选：ABC. 12. 设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】首先设点，得到，，结合点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解， 则有，解出其范围结合选项即得. 【详解】设，∵，，∴，，由可得，又∵点在椭圆上，即， ∴，要使得成立的点恰好是4个，则，解得. 故选：BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【解析】 【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2. 14. ______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意结合诱导公式运算求解. 【详解】由题意可得： ． 故答案为：0. 15. 已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设点C的坐标，求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，得直线BC的倾斜角为，而点B的横坐标为6，则， 又直线BH的斜率，， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 16. 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】依题为直角三角形，又由，可得点在底面的射影为的外心，故球心在直线上，易求出半径得解. 【详解】如图，由，可得， 所以的外心为的中点，又由， 点在底面的射影为H， 则平面，连接， 则， ，所以点H与点D重合， 点在底面的射影为的外心， 显然三棱锥外接球的球心在直线上， 设， 在中，有，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可； （2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值. 【小问1详解】 方程可化为， ∵此方程表示圆， ∴，即，即. 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 由弦长公式及，得，解得， ∴，得． 18. 求符合下列条件的直线的方程： （1）过点，且斜率为； （2）过点，； （3）过点且在两坐标轴上的截距相等． 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用点斜式写直线方程即可； （2）利用斜率公式求出斜率，再用点斜式写直线方程； （3）利用斜截式和截距式待定系数求直线方程. 【小问1详解】 ∵所求直线过点，且斜率为，∴，即； 【小问2详解】 ∵所求直线过，，∴， ∴，即； 【小问3详解】 当直线过原点时，设直线方程为， ∵直线过点，∴，直线方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为， 将点代入上式，得，解得， 故直线的方程为，综上，直线方程为或． 19. 已知焦点位于x轴的抛物线C过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 【答案】（1），准线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）设出抛物线方程，代入，得到，得到抛物线方程和准线方程； （2）设出直线AB：，联立抛物线方程，得到两根之和，由抛物线焦点弦长公式进行求解. 【小问1详解】 由题意可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴， 设抛物线的方程为， ∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为，直线AB的倾斜角为， 则直线AB：，设，， 由，得：， 则， 则． 20. 已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． （1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； （2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解. （2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解. 【小问1详解】 ∵点是双曲线的一个焦点，∴， 又∵且，解得， ∴双曲线的方程为， ∴双曲线的渐近线方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为且， 联立,可得， 则，∴，即， ∴ 解得，即由可得， 故双曲线的离心率为． 21. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由，，有 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 22. 已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程，利用韦达定理求点的坐标，结合两点间距离公式运算求解； （2）根据（1）中韦达定理可得，且直线与轴的交点为椭圆的右焦点，进而可求面积. 【小问1详解】 设两点的坐标分别为， 联立方程，消去得． 由，且，可得， 则， 可得点的坐标为， 又因为，解得或（舍去）， 所以的值为. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， 可得， 由椭圆方程可知：， 由直线与轴的交点为椭圆的右焦点， 则， 所以的面积为． 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 （1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． （2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解． （3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $