第十九章 一次函数 复习讲义-2023-2024学年人教版数学八年级下册

学生： 姓名 年级科目： 高三物理 教师： 姓名 上课时间： 2018.05.02 14:00 第19章 一次函数复习 ★题型： 1. 函数概念基础 2. 函数图象应用 3. 一次函数定义 4. 一次函数性质：图象分布（k、b）、增减性、取值范围、与坐标轴交点 5. 平移 6. 解析式求解 7. 一次函数与方程不等式 8. 一次函数的应用 题型一：函数概念基础 知识讲解：函数通常被定义为在某个变化过程中，如果存在两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之相对应，那么我们就说y是x的函数。这种关系可以用数学表达式y=f(x)来表示，其中f表示对应法则，即x的每一个值对应一个唯一的y值。 例题： 1 . 下列图像不能反映y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 2. 下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ） A、y= B、y= C、y= D、y=· 3 . “白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（       ） A．r是因变量 B．是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量 4. 已知一个长方形的周长为14，写出长b与宽a的函数解析式，并求自变量a的取值范围． 练习 1. 下列各图y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 2．求下列函数中自变量的取值范围： (1) y＝2x＋5 (2) y＝(x-1)0 (3) y＝ 3．(1)试求等腰三角形顶角y与底角x之间的函数式，并写出x的取值范围. (2)某油桶有油20升，现在有一进油管和一出油管，进油管每分钟进油4升，出油管每分钟出油6升，现同时打开两管。写出油桶中剩油量Q(升)与开管时间t(分)之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围。 题型二：函数图象的应用 知识讲解：注意分析x轴、y轴、函数折点、交点所代表的实际意义 例题 1．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；其中正确的说法有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 题1图 题2图 2．如图，函数图象反映的过程是：小强从家里去菜地浇水，有去玉米地除草，然后回家，如果菜地到玉米地的距离为a千米，小强在玉米地除草比在菜地浇水多用的时间为b分钟，则a，b的值分别是( ) A．1.1，8 B．1.1，12 C．0.9，3 D．0.9，8 3．在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是( ) A．10 B．16 C．18 D．20 题3 图1 题3 图2 4．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系式用图象表示大致是 ( ) A． B． C． D． 5．如图，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿着A，D，B以1cm/s的书读匀速运动到点B，图2 是点F运动时，△FBC的面积y随着时间x的变化关系图像，则a的值为 ． 练习 1．如图正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着C→B→A的方向运动(点P与A不重合)．设P的运动路程为x，则下列图象中表示△ADP的面积y关于x的函数关系( ) A． B． C． D． 2．如图，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿着“A→B→C→D→A”的路径运动一周，线段AP长度y(cm)与点P运动路程x(cm)之间的函数图象如图所示，则矩形的面积是( ) A．32cm2 B．48cm2 C．16cm2 D．32cm2 3．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发沿B→C→A运动．如图（1）所示，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则图（2）中Q点的坐标是( ) A．(4，4) B．(4，3) C．(4，12) D．(4，6) 图（1） 图（2） 题型三：一次函数定义 知识讲解：一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数 例题 1.下列函数：①y=x；②；③；④y=kx+b；⑤；⑥；⑦其中是一次函数的有： 2.(1)如果是一次函数，则m的值是 。 (2)若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值是 。 (3)已知是一次函数，且当x增大时，y也随之增大，则m为 练习 1 . 已知关于x的函数y=(m-2)x-n+m2-4是正比例函数，则(m-n)2023的值为（       ） A．0 B．1 C．-1 D．3 2 . 下列函数中：①1-x；②；③y=x(1-x)；④y=(1-2x)(1+2x)，其中y是x的一次函数有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四：图象与性质 主要考点：图象分布（k、b）、增减性、取值范围、与坐标轴交点 例题 1. 关于一次函数y=-2x-5，下列说法错误的是（       ） A．函数图象不经过第一象限 B．y随自变量x的增大而减小 C．函数图象与y轴交于（0，5） D．当x＜-时，y＞0 2. 在同一平面直角坐标系中，函数y=与y=ax+3的图象大致是（       ） A． B． C． D． 3. (1)已知y=3x+b，点A(3，y1)，点B(4，y2)在一次函数图像上，那么y1___y2（填“<，=，>”） (2)点A（x1，y1）、B（x2，y2）是正比例函数y＝-2x图象上不同的两点，若t＝(x1-x2)(y1-y2)，则t 0. （用“≤、≥、＜、＞、＝”符号表示） (3)如果一次函数y＝kx＋b的图像经过点（m，1）和点（1，m），其中m＞1，那么k、b应满足的条件是_____ 4．点A(m1，n1)，B(m2，n2) (m1＜m2)在直线y＝kx＋b上，若m1＋m1＝3b，n1＋n2＝kb＋4，b＞2，试比较n1和n2的大小，并说明理由． 5．一次函数y=3x+1，若-2＜x＜3，则y的取值范围为 ；若-4＜y≤1，则x的取值范围为 ； 6. 设0＜k＜2，关于x的一次函数y＝kx＋2(1-x)，当1≤x≤2时的最大值是（ ） A. 2k-2 B. k-1 C. k D. k＋1 7．已知函数，该函数与x轴的交点坐标分别为________；与y轴的交点坐标分别为________； 与坐标轴围成的三角形的面积为________； 练习 1．一次函数y＝kx＋b和正比例函数y＝kbx在同一坐标系内的大致图象是( ) A． B． C． D． 2．若正比例函数y＝(2m-1)x的图象经过点A(x1，y1)和点B (x2， y2)，当x1＜x2时y1＞y2，则m的取值范围是 ． 3．一次函数y=-3x+1，若-2＜x＜3，则y的取值范围为 ；若-4≤y＜1，则x的取值范围为 ； 4．已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数. (1)求m的值；(2)当x取何值时，0≤y＜4？ 5．已知点A(m，n)，B(p，q) (m＜p)在直线y＝kx＋b上，m＋p＝2，n＋q＝2b2＋6b＋4．试比较n和q的大小，并说明理由． 6．一次函数y=2x+6与一次函数y=-x+3的交点坐标为 ，两直线与x轴围成的三角形面积为 ；两直线与y轴围成的三角形面积为 ； 题型五：平移 知识讲解：将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向左平移n格，函数解析式为y=k（x+n）+b，将函数向右平移n格，函数解析式为y=k（x-n）+b。口诀：上加下减，左加右减。 例题： 1．在同一直角坐标系内，直线y＝mx＋5可由直线y＝-2x＋8向下平移得到，则m＝ ． 2．一次函数y＝2x-3的图象向上平移4个单位得到的函数解析式为 ；向下平移2个单位得到的函数解析式为 ． 3．在同一直角坐标系内，直线y＝-2x与y＝-2x-3的位置关系为 ． 4．当m满足 时，一次函数y＝-2x＋2m-5的图象与y轴交于负半轴． 练习： 1 . 平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC在x轴的正半轴，点B(6,2)、C(4,0)，直线y=2x＋1以每秒1个单位的速度向下平移，经过______秒，该直线将平行四边形OABC面积平分． 知识点六：解析式 知识讲解：一次函数解析式的求解主要采用待定系数法，这种方法通过设定函数的一般形式，然后根据已知条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式。 例题： 1.已知y-1与x+3成正比例，当x=-1,y=3时，． (1)求出y与x的函数关系式，并在平面直角坐标系中画出该函数图象； (2)设点（a,-2)在这个函数的图象上，求a的值． (3)试判断点(-2,5)是否在此函数图像上，并说明理由． 2．若直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2，求直线的表达式，并作图．若-3≤x≤6，求作其图象. 3．一次函数y＝kx＋b的自变量的取值范围是-3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2，求函数的解析式． 4 . 周长为10cm的等腰三角形，腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系为______，自变量范围为______． 练习： 1 . 图中表示的是某汽车行驶的路程与时间的函数关系图，观察图由所提供的信息，解答下列问题： （1） 汽车在前9分钟内的平均速度是______． （2）求出当16≤x≤30时，s与t的函数关系式为______； （3）汽车前25分钟走了______千米． 2 . 如图，在平面直角坐标系中A(-2,1)，B(3,4)，若x轴上有一点，使得PA+PB的值最小，则P点坐标为__________． 3. 如图，在平面直角坐标系中，AC∥y轴，BC∥x轴，点A在直线y=kx+1上，点B的坐标是（9，2），∠ABC=90°AC＝5，BC=3，将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移m个单位长度，此时点B恰好落在直线l上，则m的值是___________． 题型七：一次函数与方程不等式 知识讲解： 1. 一次函数与一元一次方程 △ y=ax+b与x轴的交点横坐标←→方程ax+b=0的解 补充拓展：y=ax+b与y=1的交点横坐标←→方程ax+b=1的解 或y=ax+b-1与x轴的交点横坐标←→方程ax+b=1的解 ①函数角度：一次函数y=ax+b的函数值为0时，自变量x的值是一元一次方程ax+b=0的解，任意一个关于x的方程都可以化为ax+b=0的形式 ②几何角度：一次函数y=ax+b与x轴的交点横坐标为ax+b=0的解 2. 一次函数与二元一次方程组 ①函数角度：(a1≠a2）的解是函数y=a1x+b1与y=a2x+b2当x为何值时，函数值相同 ②图象角度：(a1≠a2）的解是函数y=a1x+b1与y=a2x+b2图象的交点 举例：两直线相交于点P（m，n），方程的解为 3.一次函数与不等式 ①函数角度：一次函数y=ax+b（a≠0），当y＞0或y＜0时，自变量x的取值范围是ax+b＞0或ax+b＜0时的解集 ②图象角度：一次函数y=ax+b（a≠0）图象在x轴上方或下方时，x的取值范围是ax+b＞0或ax+b＜0的解集 举例： 如图，可得结论 ①当ax+b＞0，解集x＞m ②当ax+b＜0，解集x＜m ③当kx+c＞0，解集x＜n ④ 当kx+c＜0，解集x＞n 例题 1. 直线y＝x＋2与直线y＝2x-1的交点坐标是 ． 2．如图1，已知直线y＝ax＋b，由图象可知方程ax＋b＝0的解为__________；方程ax＋b＝1的解为__________． 图1 图2 图3 3．如图2，一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图3，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是 4．如图3，直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图3所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为（ ） A．x＞-1 B．x＜-1 C．x＜-2 D．无法确定 5 . 【数学活动回顾】：七年级下册教材P109中我们曾探究过“以方程x-y=0的解为坐标(x的值为横坐标、y的值为纵坐标)的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程x-y=0的解为坐标的所有点的全体叫做方程x-y=0的图象； 结论：一般的，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线 示例：如图1，我们在画方程x-y=0的图象时，可以取点A(-1,-1)和B（2，2）作出直线AB．     【解决问题】请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程中的两个二元一次方程的图象． (2)观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______； (3)【拓展延伸】 ①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程y=x+3的图象l1和y=x-1的图象l2，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况__________． ②已知以关于x、y的方程组的解为坐标的点在方程x+y=5的图象上，当t＞m时，化简-|1-7t|． 练习 1. 直线y＝2x＋2与直线y＝x-1的交点坐标是 ． 2．如图，两个一次函数y1＝-x＋a与y2＝bx-4的图像交于点P，则下列结论错误的是（     ） A．方程-x+a＝bx-4的解是x＝1 B．不等式-x+a＜-3和不等式bx-4＞-3的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组bx-4＜-x+a＜0的解集是-2＜x＜1 3．如图，直线y=kx＋b经过A(-1，-2)、B(-2，0)两点，直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为 ． 4．如图，函数和的图像的两个交点坐标为 ；当时，x的取值范围是 题3图 题4图 知识点八：一次函数应用 应用一：分段函数 例题 ( x （分钟） 0 y （米） 1000 800 600 400 200 2 4 5 6 8 10 A B )1. 小文家与学校相距1000米．某天小文上学时忘了带一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校．下图是小文与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图象．请你根据图象中给出的信息，解答下列问题： (1) 小文走了多远才返回家拿书？ (2) 求线段所在直线的函数解析式； (3) 当分钟时，求小文与家的距离. 2. 2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港． (1) 哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ (2) 在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？ 练习 1．甲、乙从同一个地点出发，甲乘坐电动观光车，乙步行，沿着同一条山路上山游玩，两人相约在电动车终点站会合．设乙出发x分钟后行走的路程为y米，图中的折线表示在整个行走过程中y与x的函数关系．甲乘坐的电动观光车平均速度为180米/分． （1）乙行走的总路程是 米；他在中途休息了 分钟； （2）①当25≤x≤35时，求y关于x的函数关系式； ②若甲在乙出发后20分钟乘车，求乙出发后几分钟甲能追上乙？ 2．保护生态环境，实行“节能减排”的理念已深入人心．我市某工厂从2014年1月开始，进行机器设备更新，产业转型换代的改造，改造期间利润明显下降，从1月份利润60万元逐月等额下降，到5月份利润为20万元；5月底改造完成，从这时起，该厂每个月的利润都比上个月增加15万元．设第x个月的利润为y（万元），函数图像如图．当月利润少于50万元时，为该厂的资金紧张期，问该厂的资金紧张期为那几个月？ 应用二：方案问题 1. 某中学初一年级300名同学在“爱心包”活动中，集资购买一批学习用品（书包和文具盒），捐赠给灾区90名学生，所买的书包每个54元，文具盒每个12元．现每名同学只购买一种学习用品，而且每2人合买一个文具盒，每6人合买一个书包．若x名同学购买书包，全年级共购买了y件学习用品．  (1) 求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；  (2) 若捐赠学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，问：同学们如何设 计购买方案，才能使所购买的学习用品件数最多？学习用品最多能买多少件？ 练习 1. 现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨． (1) 设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A B (2) 设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式； (3) 怎样调运蔬菜才能使运费最少? 2．福建某乡A、B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨，现将这些柑橘运到C，D两个保鲜仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的柑橘为x吨，A，B两村运往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元． （1）设计表格，求出yA，yB分别与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，A村的运费较少？ （3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值． 3 随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中x表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题： （1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按　 元收取；超过5吨的部分，每吨按　 　元收取； （2）请写出y与x的函数关系式； （3）若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月人均用了多少吨生活用水？ 　 4．现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元． （1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值； （2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完． ①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式； ②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本． （注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$