学考专题03 指数对数幂函数（浙江省数学2024年7月学业水平考试专用）

学考专题03 指数对数幂函数 （浙江省2024年7月学考专用） 1. 指数的基本知识 （1） 根式的基本性质 ①的定义域为,的定义域为 ②，定义域为 ③，定义域为 ④，定义域为 ⑤，定义域为 （2） 指数的基本性质 ①零指数幂:; ②负整数指数幂: ③正分数指数幂:; ④负分数指数幂: （3） 指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 2. 指数函数 （1） 指数函数的定义及一般形式 一般地，函数，叫做指数函数 （2） 指数函数的图象和性质 图 象 定义域 值域 性质 过定点 当时，； 时, 当时，； 时, 在上是增函数 在上是减函数 3. 对数的运算 （1） 对数的定义 如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数 （2） 对数的分类 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为，即： 自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即： （3） 对数的性质与运算法则 ①两个基本对数：①，② ②对数恒等式：①，②。 ③换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 ④积的对数：； ⑤商的对数：； ⑥幂的对数：❶，❷， ❸，❹ 4. 对数函数 （1） 对数函数的定义及一般形式 形如：的函数叫做对数函数 （2） 对数函数的图象和性质 图象 性质 定义域： 值域： 当时，即过定点 当时，； 当时， 当时，； 当时， 在上为增函数 （5）在上为减函数 5. 幂函数 （1） 幂函数的定义及一般形式 形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 （2） 幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 一、单选题 1．（2023高二·浙江温州·学业考试）（    ） A． B．3 C． D． 2．（2023高二下·浙江温州·学业考试）下列算式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（2023高二下·浙江·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·浙江杭州·期末）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 6．（2022高三上·浙江·学业考试）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2023高二下·浙江·学业考试）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有一物体放在的空气中冷却，物体的温度为， 再过后物体的温度为，则该物体的初始温度约为（    ）（结果精确到个位） A． B． C． D． 9．（2022高二下·浙江·学业考试），则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（2022高二下·浙江台州·学业考试）已知幂函数上单调递增，则（    ） A．0 B． C． D． 11．（2022高二下·浙江温州·学业考试）函数（且）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 12．（2023高二下·浙江温州·学业考试），，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 13．（2023高二·浙江温州·学业考试）已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（    ）      A．   B．       C．       D．     14．（2023高二下·浙江·学业考试）当时，则有（    ） A． B． C． D． 15．（2022高二下·浙江·学业考试）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 16．（高二上·浙江·学业考试）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 17．（高三下·浙江·学业考试）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是减函数 C．是偶函数，且在上是增函数 D．是偶函数，且在上是减函数 18．（高二下·浙江·学业考试）设；，则p是q成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 19．（2023高二下·浙江·学业考试）以下函数中，图象经过第二象限的函数是（    ） A． B． C． D． 20．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）已知函数，则（   ） A．为偶函数 B．是增函数 C．不是周期函数 D．的最小值为 21．（2022高二下·浙江·学业考试）图象经过第三象限的函数是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 22．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）已知，，，则实数a的取值范围是 ． 23．（2023高二下·浙江·学业考试）计算 ， . 24．（2022高二下·浙江温州·学业考试）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增，的值可以是 .（写一个即可） 25．（2023高二下·浙江温州·学业考试）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学考专题03 指数对数幂函数 （浙江省2024年7月学考专用） 1. 指数的基本知识 （1） 根式的基本性质 ①的定义域为,的定义域为 ②，定义域为 ③，定义域为 ④，定义域为 ⑤，定义域为 （2） 指数的基本性质 ①零指数幂:; ②负整数指数幂: ③正分数指数幂:; ④负分数指数幂: （3） 指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 2. 指数函数 （1） 指数函数的定义及一般形式 一般地，函数，叫做指数函数 （2） 指数函数的图象和性质 图 象 定义域 值域 性质 过定点 当时，； 时, 当时，； 时, 在上是增函数 在上是减函数 3. 对数的运算 （1） 对数的定义 如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数 （2） 对数的分类 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为，即： 自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即： （3） 对数的性质与运算法则 ①两个基本对数：①，② ②对数恒等式：①，②。 ③换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 ④积的对数：； ⑤商的对数：； ⑥幂的对数：❶，❷， ❸，❹ 4. 对数函数 （1） 对数函数的定义及一般形式 形如：的函数叫做对数函数 （2） 对数函数的图象和性质 图象 性质 定义域： 值域： 当时，即过定点 当时，； 当时， 当时，； 当时， 在上为增函数 （5）在上为减函数 5. 幂函数 （1） 幂函数的定义及一般形式 形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 （2） 幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 一、单选题 1．（2023高二·浙江温州·学业考试）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算可求得答案. 【详解】原式 . 故选：C. 2．（2023高二下·浙江温州·学业考试）下列算式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数幂运算法则与对数运算法则求解即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：C. 3．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合对数函数运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域是. 故选：C. 4．（2023高二下·浙江·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真数大于0，即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D 5．（22-23高一上·浙江杭州·期末）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为. 故选：B. 6．（2022高三上·浙江·学业考试）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式可得函数是以为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案. 【详解】解：由，得函数是以为底数的指数函数， 且函数为减函数，故D选项符合题意. 故选：D. 7．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出即可求解. 【详解】， 所以 故选：A. 8．（2023高二下·浙江·学业考试）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有一物体放在的空气中冷却，物体的温度为， 再过后物体的温度为，则该物体的初始温度约为（    ）（结果精确到个位） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，求解即可. 【详解】由题意可知， ， 所以，， 故选：B 9．（2022高二下·浙江·学业考试），则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解. 【详解】解： , 故选：C 10．（2022高二下·浙江台州·学业考试）已知幂函数上单调递增，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得且，从而可求出的值 【详解】因为幂函数上单调递增， 所以且， 解得， 故选：A 11．（2022高二下·浙江温州·学业考试）函数（且）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数，对数函数的性质，令，求出函数恒过的点的坐标. 【详解】当时，恒等于0，恒等于1， 故恒等于，所以的图象恒过的定点是. 故选：B 12．（2023高二下·浙江温州·学业考试），，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质求得，，根据对数函数的性质求得，即可得到答案. 【详解】根据指数函数的性质，可得，， 由对数函数的性质，可得，所以. 故选：B. 13．（2023高二·浙江温州·学业考试）已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（    ）      A．   B．       C．       D．     【答案】A 【分析】根据指数函数的图象与性质结合函数的图象可求得的范围，再根据二次函数的图象即可得解. 【详解】函数的图象是由函数的图象向下或向上平移个单位得到的， 由函数的图象可得函数为单调递减函数，则， 令得，则， 则函数的大致图象为A选项. 故选：A. 14．（2023高二下·浙江·学业考试）当时，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，利用对数函数的单调性即可判断；对于B，令，分别求解后即可判断；对于C，利用作商比较法即可判断；对于D，令，分别求解后即可判断. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，令，， 则，故B错误； 对于C，，， 即，故C正确； 对于D，令，故D错误. 故选：C 15．（2022高二下·浙江·学业考试）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇偶性可排除D；由幂函数性质可排除AC，由此可得结果. 【详解】的定义域为，且，为偶函数，图象关于轴对称，可排除； ，由幂函数性质知：在上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC. 故选：B. 16．（高二上·浙江·学业考试）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象性质即可得出. 【详解】，， 由幂函数的性质可得，其图象在第一象限“上凸递增”，故BC错误， 又D选项的图象不是函数图象，故D错误. 故选：A. 17．（高三下·浙江·学业考试）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是减函数 C．是偶函数，且在上是增函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【答案】B 【分析】结合幂函数的单调性可判断的单调性，然后检验与的关系即可判断奇偶性. 【详解】解：根据幂函数的性质可知在上单调递减， 又， 故为奇函数. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了幂函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础试题. 18．（高二下·浙江·学业考试）设；，则p是q成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意结合幂函数的性质可转化条件得，由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由得解得， 因为不能推出，可推出， 所以p是q成立的必要不充分条件. 故选：B． 【点睛】本题考查了幂函数性质的应用及充分条件、必要条件的判断，属于基础题. 二、多选题 19．（2023高二下·浙江·学业考试）以下函数中，图象经过第二象限的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指对幂函数图象性质逐项分析即可. 【详解】幂函数图象位于第一、三象限，故A不符合； 对数函数的图象位于第一、四象限，函数与函数关于轴对称，所以函数图象位于第二、三象限，故B符合； 幂函数的定义域为，所以是偶函数，故图象位于第一、二象限，故C符合； 指数函数的图象位于第一、二象限，故D符合. 故选：BCD. 20．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）已知函数，则（   ） A．为偶函数 B．是增函数 C．不是周期函数 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】根据奇偶性、单调性、周期性分别判断ABC，分类讨论确定函数的最小值判断D． 【详解】选项A，由得，函数定义域是，关于原点对称， ，所以函数为偶函数，正确； 选项B，定义域是，，即是奇函数，易知是R上的增函数，函数值域为R，，所以存在，值得，从而，于是，，但，所以不是增函数，B错； 选项C，定义域是R，，因此是函数的一个周期，C错； 选项D，由上推理知是奇函数，时， ， 时，，易知函数为增函数，所以，综上函数最小值是1，D正确． 故选：AD． 21．（2022高二下·浙江·学业考试）图象经过第三象限的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合常见的幂函数图象，数形结合得到答案. 【详解】由幂函数的图象可知， A中，过第一、二象限； B中，过第一、三象限； C中，且定义域为R，过第一、二象限； D中，过第一、三象限. 故选：BD 三、填空题 22．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）已知，，，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据求出，分，，三种情况，结合求出实数a的取值范围，利用来验证，最终求出答案. 【详解】，而单调递减， 故， 若，由可得，故， 此时，满足要求， 若，此时，不合要求， 若，由可得，故，此时，不合要求. 故答案为： 23．（2023高二下·浙江·学业考试）计算 ， . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则计算可得. 【详解】， . 故答案为：； 24．（2022高二下·浙江温州·学业考试）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增，的值可以是 .（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的性质确定出值作答. 【详解】由偶函数在上单调递增，得在上单调递减， 而是幂函数，则，取，符合题意. 故答案为： 25．（2023高二下·浙江温州·学业考试）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】法一：将问题转化为与的值域有交集，并考虑其反面即可得解. 法二：利用的单调性得到，从而得解. 【详解】法一： 因为存在，使得成立， 所以与的值域有交集， 因为， 当时，，则，即的值域为， 当时，为使有意义， 则能成立，即能成立，即， 因为，所以， 此时，故的值域为， 当与的值域没有交集时，有或， 则或，即或. 所以当与的值域有交集时，. 法二： 因为在上是单调递增函数， 所以若存在，使得成立，则有，故， 因为，则，所以，故， 同时，在上能成立，即能成立，即， 因为，所以， 综上：. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$