学考专题02 函数的性质与函数的应用（浙江省数学2024年7月学业水平考试专用）

学考专题02 函数的性质与函数的应用 （浙江省2024年7月学考专用） 1. 定义域 ①分式函数定义域： ②偶次根式函数的定义域： ③次幂型函数的定义域： ④对数函数的定义域： ⑤正切函数的定义域： 2. 单调性 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 3. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的四则运算 4. 周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 5. 对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 6. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 7. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 8. 函数的零点 对于函数，我们把的实数叫做函数的零点 9. 函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标 方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴有交点 10. 零点存在性定理 如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解 一、单选题 1．（2023高二下·浙江·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2023高二·浙江·学业考试）函数的定义域为（　　） A．且 B． C．且 D． 4．（2023高二下·浙江温州·学业考试）设实数a为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（2023高二下·浙江·学业考试）已知函数的定义域是R，值域为，则下列函数中值域也为的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023高二下·浙江·学业考试）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来研究函数图象的特征，已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（    ）    A． B． C． D． 8．（2023高二下·浙江温州·学业考试）定义在R上且图象连续不断的函数，若存在常数使得对任意实数x都成立，我们称是R上“m相伴函数”.下列关于“m相伴函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常数函数是“m相伴函数” B．是“m相伴函数” C．“2023相伴函数”至少有一个零点 D．“相伴函数”至少有一个零点 9．（2023高二下·浙江·学业考试）已知函数则函数的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2023高二下·浙江温州·学业考试）对于连续函数，若，则称为的不动点．下列所给的函数中，没有不动点的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2023高二下·浙江温州·学业考试）下列函数在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 12．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 13．（2023高二下·浙江·学业考试）已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则（    ） A．函数是周期函数 B．函数为上的偶函数 C．函数为上的单调函数 D．函数的图像关于点对称 14．（2023高二下·浙江绍兴·学业考试）关于x的方程，给出下列四个判断：其中正确的为（    ） A．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； B．存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； C．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根； D．存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； 15．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）已知函数，若关于的方程有两解，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）已知函数，则 ， . 17．（2023高二下·浙江温州·学业考试）是定义在上单调递增的奇函数，则 ；若，则x的取值范围为 . 18．（2023高二下·浙江温州·学业考试）已知函数．则 ；若，则实数m的值为 ． 19．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）已知函数，则使得成立的的取值范围是 . 20．（2023高二·浙江温州·学业考试）设函数，则 ，若，则实数的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学考专题02 函数的性质与函数的应用 （浙江省2024年7月学考专用） 1. 定义域 ①分式函数定义域： ②偶次根式函数的定义域： ③次幂型函数的定义域： ④对数函数的定义域： ⑤正切函数的定义域： 2. 单调性 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 3. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的四则运算 4. 周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 5. 对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 6. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 7. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 8. 函数的零点 对于函数，我们把的实数叫做函数的零点 9. 函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标 方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴有交点 10. 零点存在性定理 如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解 一、单选题 1．（2023高二下·浙江·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数中真数大于0与零次幂中底数不等于0列式求解即可. 【详解】由题意知，且， 故函数的定义域为. 故选：B. 2．（2023高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的定义域求解即可. 【详解】因为， 所以，解得且， 所以的定义域为. 故选：D. 3．（2023高二·浙江·学业考试）函数的定义域为（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据具体函数的定义域即可求解. 【详解】由题意得且， 解得且． 所以定义域为且. 故选：A 4．（2023高二下·浙江温州·学业考试）设实数a为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数与二次方程之前的关系，以及根的分布列出关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为函数存在零点，等价于方程在上存在零点， 注意到的图像开口向上，对称轴为，且， 故上述条件等价于，即，解得. 所以函数存在零点的充分必要条件是. 故选：A. 5．（2023高二下·浙江·学业考试）已知函数的定义域是R，值域为，则下列函数中值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义及定义域求解即可. 【详解】根据函数的定义域为，值域为， 可知，的值域为，的值域为， 的值域为，的值域为， 故选：B 6．（2023高二下·浙江·学业考试）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性判断BC错误，再由函数自变量趋向正无穷大时，函数值的变化趋势判断AD. 【详解】因为定义域为， 且， 所以函数为奇函数，故图象关于原点成中心对称，故BC错误； 当趋向正无穷时，显然的分子增长快于分母增长，趋向正无穷，故A正确B错误. 故选：A 7．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来研究函数图象的特征，已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法与导数研究函数的单调性，结合图像的单调性判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以，，， 显然，， 所以在上并不单调递减，故A错误； 对于B，因为， 所以，，， 显然，， 所以在上并不单调递增，故B错误； 对于D，因为， 所以，， 显然，， 所以在上并不单调递减，故D错误； 对于C，因为， 当时，，由复合函数的单调性易知在上单调递增； 当时，，则， 令，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，则在上恒成立， 所以在上单调递减； 综上：的单调性满足题意，又排除了ABD，故C正确. 故选：C. 8．（2023高二下·浙江温州·学业考试）定义在R上且图象连续不断的函数，若存在常数使得对任意实数x都成立，我们称是R上“m相伴函数”.下列关于“m相伴函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常数函数是“m相伴函数” B．是“m相伴函数” C．“2023相伴函数”至少有一个零点 D．“相伴函数”至少有一个零点 【答案】C 【分析】对于A举反例即可判断，对于B根据定义得到关于的方程组，解出即可判断；对于C，利用赋值法结合零点存在定理即可判断，对于D代入分析即可. 【详解】对于A，令，，则， 所以，解得，，函数有无数个，故A错误； 对于B，对恒成立， 化简得对恒成立， 则无解，则不是“m相伴函数”，故B错误； 对于C，， 令，， 当时，有实根0， 当时，， 因为函数在上的图象连续不断，则函数在上必有实根， 所以“2023相伴函数”至少有一个零点，故C正确； 对于D，， 当，， 若，， 不能判定此区间内是否有根，由于的任意性，则不能确定在上有无零点，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解“m相伴函数”的定义，通过举反例、列方程组、零点存在定理以及赋值法即可判断. 9．（2023高二下·浙江·学业考试）已知函数则函数的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】通过换元，，则可以转化为与的交点的个数，画出图像既可以解决. 【详解】设，则， 令，即， 转化为与的交点，画出图像如图所示：    由图像可知，，所以函数有一个解， 有三个解，故的零点个数是4个. 故选： 10．（2023高二下·浙江温州·学业考试）对于连续函数，若，则称为的不动点．下列所给的函数中，没有不动点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，令，通过导数研究函数单调性，结合零点存在性定理判断各选项有无不动点即可. 【详解】，令 A选项，，则.在上单调递增，在上单调递减，则，即有不动点1，故A错误； B选项，，则.在上单调递增，在上单调递减，则，即有不动点0，故B错误； C选项，.则. 在上单调递增， 或在上单调递减，注意到，时，，则 存在使，即有不动点，故C错误； D选项，，则，得在上单调递减，又，则此时方程无解，即函数无不动点，故D正确. 故选：D 二、多选题 11．（2023高二下·浙江温州·学业考试）下列函数在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由各选项对应函数在上的单调性判断正误即可. 【详解】A选项，函数为在R上递增函数，故A错误； B选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； C选项，函数在，上单调递减，故C正确； D选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确. 故选：BCD 12．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 【答案】AD 【分析】由函数图象和复合函数的性质依次判断即可. 【详解】由可得， 对于A，，结合图象可得，或， 结合的图象可得，，，各有一个解，即方程有且仅有三个解，A正确； 对于B，，结合图象可得，结合的图象可得， 有一个解，即方程有且仅有一个解，B错误； 对于C，，结合图象可得，或，又有3个解，，各有一个解， 即方程有且仅有五个解，C错误； 对于D，，结合图象可得，又有一个解，即方程有且仅有一个解，D正确. 故选：AD. 13．（2023高二下·浙江·学业考试）已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则（    ） A．函数是周期函数 B．函数为上的偶函数 C．函数为上的单调函数 D．函数的图像关于点对称 【答案】ABD 【分析】对于A，由可得，即可判断；对于B，由函数为奇函数可得，从而可得，即可判断；对于C，根据函数为上的偶函数可判断；对于D，由，从而有即可判断. 【详解】对于A，由可得， 所以函数是周期为4的周期函数，故A正确； 对于B，因为函数为奇函数， 所以， 则，所以函数为上的偶函数，故B正确； 对于C，根据B的解析可知函数为上的偶函数，所以函数在上没有单调性，故C错误； 对于D，因为，且函数周期为， 所以，即 的图像关于点对称，故D正确. 故选：ABD 14．（2023高二下·浙江绍兴·学业考试）关于x的方程，给出下列四个判断：其中正确的为（    ） A．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； B．存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； C．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根； D．存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； 【答案】ABC 【分析】令，作出的函数图象，根据函数图象即可判断的解的个数，再结合方程的解的个数从而得出原方程的解的个数，分类讨论即可判断. 【详解】由得①，设，则， 设作出的函数图象如图所示：    由图象可知：当或时，关于t的方程只有1解，不妨设为，显然或， 而关于x的方程有两解，故方程①有2个解; 当或时，关于t的方程有两解，不妨设为，，显然， 而关于x的方程有两解，故方程①有4个解; 当时，关于t的方程有三解，且其中一解为，不妨设三个解为，，，且， 而关于x的方程只有1解，关于x的方程有两解，故方程①有5个解; 当时，当关于t的方程有三解，不妨设为，，，显然， 而关于x的方程有两解，故方程①有6个解. 综上所述，存在实数k，满足选项ABC 故选：ABC 【点睛】求解方程根的个数有关问题常见方法：1.代数法，利用根的分布列不等式组求解；2数形结合，转化为图像交点个数问题. 15．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）已知函数，若关于的方程有两解，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意分析可得方程的根的个数可以转化为与的交点个数，结合的单调性与值域以及图象分析判断. 【详解】①当时，在内单调递增，且，所以； ②当时，则， 可知在内单调递增，且， 所以，且. 方程的根的个数可以转化为与的交点个数，可得： 当时，与没有交点； 当时，与有且仅有1个交点； 当时，与有且仅有2个交点； 当时，与有且仅有1个交点； 若关于的方程有两解，即与有且仅有2个交点， 所以实数的取值范围为， 因为，而A、C不在相关区间内， 所以A、C错误，B、D正确. 故选：BD.    三、填空题 16．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）已知函数，则 ， . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：； 17．（2023高二下·浙江温州·学业考试）是定义在上单调递增的奇函数，则 ；若，则x的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用奇函数性质求出a值；再利用奇函数定义结合单调性解不等式作答. 【详解】依题意，，解得； 因此函数是上单调递增的奇函数，由，得， 于是，解得， 所以x的取值范围为. 故答案为：； 18．（2023高二下·浙江温州·学业考试）已知函数．则 ；若，则实数m的值为 ． 【答案】 或 【分析】第一空，直接代入即可求解；第二空，对参数的取值范围进行分类讨论，结合函数解析式和函数值，即可求得结果. 【详解】因为，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，满足题意； 综上：的值为或. 故答案为：；或. 19．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）已知函数，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，则的图象是由的图象向右平移个单位得到，分析的奇偶性与单调性，即可得到的单调性与对称性，则等价于，解得即可. 【详解】因为，则， 令，则的图象是由的图象向右平移个单位得到， 又，即为偶函数， 且当时，所以在上单调递增，则在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，且关于对称， 所以时，有，解得. 故答案为： 20．（2023高二·浙江温州·学业考试）设函数，则 ，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式求得正确答案. 【详解】. 由解得或； 由解得； 所以或或， 当时，，无解 当时，，解得或； 当时，或， 解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$