黑龙江省大庆市大庆中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

第1页 共4页 第2页 共4页 大庆中学 2023----2024 学年度下学期期中考试 高二年级数学试题 考试时间：120 分钟；试卷总分：150 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分） 1．“四书五经”是我国 9 部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼 记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲 座，每部名著安排 1 次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A． 6 3 6 5A A B． 6 3 9 7A A C． 6 2 2 6 7 2A A A D． 6 3 6 7A A 2．已知等比数列 na 的前 n项和为 1 2, 12nS a a  且 1 2 3, 6,a a a 成等差数列，则 10 5 S S 为（ ） A．245 B．244 C．242 D．241 3．已知函数   exf x a x  （ 0a  ）在点   0, 0f 处的切线为直线 l，若直线 l与两坐标轴围成的 三角形的面积为 2 3 ，则实数 a （ ） A． 1 2 B．1 C．2 D． 2 3 4．小张、小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球、绘画、书法、游泳、钢琴”这五个随 机选择一个，记事件A：“两人至少有一人选择篮球”，事件 B：“两人选择的兴趣班不同”，则概率  P A B （ ） A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 5．设 na 是等比数列，前 n项和为 nS ，若 2 2 4 1 5 S S S   ，则 2 2 4 a a a   （ ） A． 1 5 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 6．若函数 21( ) ln 2 2 h x x ax x   在 1( , 2) 2 上存在单调递减区间，则实数 a的取值范围为（ ） A．  1,  B．  1,  C．  0,  D．  0,  7．设 ( )y f x 是函数 ( )y f x 的导函数， ( )y f x 的图象如图所示，则 ( ) ( ) 0f x f x  的解集是（ ） A． (2,3) (5, ) B． ( ,0) (1,3)  C． ( 1,1) (2,3) (5, )   D． ( , 1) (1,2) (3,5)    8．定义 1 2 n n p p p   为 n个正数 1 2, , np p p 的“均倒数”，若已知数列 na 的前 n项的“均倒数” 为 1 3 2n  ，又 1 6 n n ab  ，则 1 2 2 3 19 20 1 1 1 b b b b b b     （ ） A． 1 9 B． 9 11 C． 9 20 D． 19 20 二、多选题（本题共 3 个小题，每题 6分，共 18 分） 9．某工厂生产的 200 个零件中，有 198 件合格品，2 件不合格品，从这 200 个零件中任意抽出 3 件，则抽出的 3 个零件中（ ） A．至多有 1 件不合格品的抽法种数为 1 2 2 198C C B．都是合格品的抽法种数为 3 200C C．至少有 1 件不合格品的抽法种数为 1 2 2 1 2 198 2 198C C C C D．至少有 1 件不合格品的抽法种数为 3 3 200 198C C 10．等比数列 na 的公比为 ( 0)q q  ，且 4 3 5, ,a a a 成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A． 2q   B．若 1 1a  ，则 2 8 256a a  C．若 2 1S   ，则 4 4S   D． 9 6 6 3 2S S S S     第3页 共4页 第4页 共4页 11．若 e e 1 0x y    , Rx y ，则下列结论正确的有（ ） A． ln 2x y  B． 2 2 ln 2x y  C． lny x D． e yx y   三、填空题（本题共 3 个小题，每题 5分，共 15 分） 12．已知二项式  *1 2 n x n x        N 的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常 数项为 . 13．洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．洛卡斯数列就是以他的名字命 名，洛卡斯数列 nL 为：1,3, 4,7,11,18, 29, 47,76,，即 1 21 3L L , ，且  2 1n n nL L L n     N ．设 数列 nL 各项依次除以 4 所得余数形成的数列为 na ，则 2024a  . 14．已知定义在R 上的偶函数  f x ，其导函数为  f x ，若    2 0xf x f x   ，   11 2 f   ，则不 等式   22 f x x 的解集是 . 四、解答题（本题共 5 个小题，共 77 分） 15．（本题 13 分） 在 ABD△ 中，角A， B ，C所对的边分别为 a，b， c，且 2 cos 2a C c b  . （1）求角A的大小； （2）设D是边 AC 的中点，若 1c  ， 3BD  ，求 a . 16．（本题 15 分） 四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD是正方形， 2PA AB  ，点 E是棱 PC上一 点． （1）求证: 平面 PAC 平面 BDE； （2）当 E为PC中点时， 求 A BE D  所成二面角锐角的大小． 17．（本题 15 分） 已知 nb 为正项数列 na 的前 n项积，且 1 1 2 2 2 1nn na b a b a b     ， 2log 1n nc a  ． （1）证明：数列 nc 是等比数列； （2）若  2logn n nd a b ，求 1n nc d  的前 n项和 nT ． 18．（本题 17 分） 已知 A，B 分别是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左、右顶点， P 是C上异于 A，B的一点，直线 PA，PB 的斜率分别为 1 2,k k ，且 1 2 | | 4k k AB  . （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点 (4 , 0 ) 的直线 : 4l x m y  ,交C 的右左两支于 ,D E 两点（异于 ,A B ）， (ⅰ)求m 的取值范围； (ⅱ)设直线 AD与直线 BE 交于点Q，求证:点Q在定直线上. 19. （本题 17 分） 已知 ( ) ln 1( ) , ( ) ( 1)xf x x a x a R g x x e      （1）求 ( )g x 的单调区间及极值； （2） (ⅰ) ( ) 0f x  恒成立，求 a的取值范围； (ⅱ)证明 0x  时， 1ln 1xx e   ； （3） 0x  时， ( ) ( )f x g x 恒成立，求a的取值范围. 第1页 共6页 第2页 共6页 大庆中学 2023----2024 学年度下学期期中考试 高二年级数学答案 一、单选题（本题共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分） 1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、多选题（本题共 3 个小题，每题 6 分，共 18 分） 9．CD 10．AB 11.BCD 三、填空题（本题共 3 个小题，每题 5 分，共 15 分） 12． 21 16 13．3 14．  1,1 四、解答题（本题共 5个小题，共 77分） 15．解：(1) 2 cos 2a C c b  ，由正弦定理得 2sin cos sin 2sinA C C B  ， 所以 2sin cos sin 2sin( ) 2sin cos 2cos sinA C C A C A C A C     ， 1sin 2cos sin , sin 0, cos 2 C A C C A     ，又 (0, ), 3 A A    ； （2）在 ABD△ 中， 由余弦定理有 2 2 22 cosAB AD AB AD BAD BD     ，  1c  ， 3BD  ，D是边 AC的中点， 1 2 AD b ， 整理得： 2 2 8 0b b   解得 2b   （舍去）或 4b  ∴ 2 2 2 cos60 13a b c bc     16．解：（1）底面 ABCD是正方形， BD AC  ， PA  平面 ABCD， BD 平面 ABCD， PA BD  ，又 BD AC ， PA AC A ， ,PA AC 平面 PAC， BD 平面PAC，又 BD 平面 BDE， 平面 PAC 平面 BDE． （2）如图建立空间直角坐标系，则  0,0,0A ，  2,0,0B ，  0,2,0D ，  2,2,0C ，  0,0,2P ，  1,1,1E ， 所以  2,0,0AB   ，  1,1,1BE    ，  2,2,0BD    ， 设平面 ABE的法向量为  , ,n x y z ，则 2 0 0 n AB x n BE x y z              ，取  0,1, 1n    ， 设平面DBE的法向量为  , ,m a b c ，则 2 2 0 0 m BD a b m BE a b c                ，取  1,1,0m   ， 设二面角 A BE D  为 ，由图可知二面角 A BE D  为锐二面角， 所以 1 1cos 22 2 m n m n            ，所以，锐二面角为 60度 17．解：（1）由题意知 1 1 2 2 2 1 n n na b a b a b     ①， 当 1n  时， 21 1 1 1a b a  ，∵ 0na  ，∴ 1 1a  ． 当 2n  时， 11 1 2 2 1 1 2 1 n n na b a b a b        ②． ①－②得 12 ( 2)nn na b n   ， 1 1 1a b  适合上式，  1 *2nn na b n  N ③，则 1 1 2nn na b   ④． ④ ③ 得 2 1 1 1 2n n n n n n a b a a b a      ，∴ 2 1 2n na a  ， 两边同时取以 2为底的对数，得 2 1 22log log 1n na a   ， 则  2 1 2 1log 1 log 1 2n n a a    ， 1 1 2n n c c  ，又 1 1c   ， 数列 nc 是首项为 1 ，公比为 12 的等比数列． （2）由题意及（1）知 1 1 2n n c   ，   1 2 2 1log log 2 n n n nd a nb     ，则 1 12n n n nc d    ， 所以 0 1 1 1 2 2 2 2n n nT            ， 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2n n n n nT             ， 两式相减得 1 111 1 1 221 212 2 2 2 2 21 2 n n n n n n n n nT                           ， ∴ 1 24 2n n nT      ． 第3页 共6页 第4页 共6页 18．解：（1）由题意可知 ( ,0), ( ,0)A a B a ， 因为 2 4AB a = ，所以 2a  . 设 ( , )P m n ，则 2 2 2 14 m n b   ，所以   2 2 2 4 4 bn m  ， 又   2 2 2 2 1 2 2 2 4 4 4 2 2 4 4 4 b mn n n bk k m m m m            ， 所以 2 16b  . 所以双曲线C的方程为 2 2 1 4 16 x y   . （2）(ⅰ)若直线 l 的斜率为 0，则直线 l 与双曲线交于点 ,A B，与条件矛盾， 所以直线 l的斜率不能为 0， 设 l 的方程为    1 1 2 24, , , ,x my D x y E x y  . 联立 2 2 1 4 16 4 x y x my        ，化简得  2 24 1 32 48 0,m y my    所以     2 2 2 4 1 0 32 192 4 1 0 m m m        ， 所以 1 2 m   ， (ⅱ) 1 2 1 22 2 32 48, 4 1 4 1 my y y y m m       ， 直线 AD的方程为  1 1 2 2 yy x x    ， 直线 BE的方程为 2 2 ( 2) 2 yy x x    . 联立直线 AD与 BE的方程，得 1 2 1 2 ( 2) ( 2) 2 2 y yx x x x      ， 所以 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 6 6 2 y y y yx my my my my           ， 所以  2 1 1 2 1 26 2 4 4 12y y x my y y y    ， 所以     1 2 1 2 21 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 42 2 6 3 4 my y y y ymy y y yx y y y y y           22 2 22 48 322 2 4 4 1 4 1 32 4 4 1 mm y m m m y m              22 22 32 4 4 1 132 4 4 1 m y m m y m      . 所以点Q的横坐标始终为 1，故点Q在定直线 1x  上. 第5页 共6页 第6页 共6页 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 大庆中学2023----2024学年度下学期期中考试 高二年级数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 客观题(1~8为单选题;9~11为多选题) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. （本题13分） 16. （本题15分） 17. （本题15分） 18. （本题17分） 19. （本题17分） 请勿在此区域作答或 者做任何标记