小专题3 勾股定理及其逆定理的应用-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(人教版)

小专题 3　 勾股定理及其逆定理的应用 1. 如图,校园内的一块草坪是长方形 ABCD,已知 AB= 8 m,BC= 6 m,从点 A 到点 C,同 学们为了抄近路,常沿线段 AC 走,那么同学们少走了 (　 　 ) A. 2 m B. 4 m C. 6 m D. 8 m 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图是一个饮料罐,下底面半径为 5,上底面半径为 8,高为 12,上底面盖子的中心 有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分 a 的长度的取值范围是(罐壁 的厚度和小圆孔的大小忽略不计) (　 　 ) A. 12≤a≤13 B. 12≤a≤15 C. 5≤a≤12 D. 5≤a≤13 3. 如图,一棵大树在离地面 6 米高的 B 处断裂,树顶 A 落在离树底部 C 的 8 米处,则大 树断裂之前的高度为 米. 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 　 第 5 题图 4. 医院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪(如图),测温仪离地面的距离 AB = 2. 2 米,当人体进入感应范围内时,测温仪就会自动测温并报告人体体温. 当身高为 1. 7 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 1. 2 米的地方(即 BC= 1. 2 米)时,测温仪自 动显示体温,则人头顶离测温仪的距离 AD 等于 米. 5. 如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地 1 米;将它往前推 5 米时,踏板离地 2 米, 此时秋千的绳索是拉直的,ON=OM′,则秋千 ON 的长度为 米. 32 6. 如图,在 O 处的海防哨所发现在它的北偏东 60°方向相距 1 000 米的 A 处有一艘快 艇正在向正南方向航行,经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处. 问:此时 快艇航行了多少米(即 AB 的长)? 7. 图 1 是某品牌婴儿车,图 2 为其简化结构示意图. 根据安全标准需满足 BC⊥CD,现 测得 AB=CD= 6 dm,BC= 3 dm,AD= 9 dm,其中 AB 与 BD 之间由一个固定为 90°的 零件连接(即∠ABD= 90°),通过计算说明该车是否符合安全标准. 图 1 　 　 图 2 8. 台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气 候,有极强的破坏力. 如图,有一台风中心沿东西方向由 A 向 B 行驶,台风的速度为 20 km / h,已知点 C 为一海港,且点 C 与直线 AB 上的两点 A,B 的距离分别为 AC = 300 km,BC= 400 km,AB = 500 km,以台风中心为圆心周围 250 km 以内为受影响 区域. (1)求∠ACB 的度数; (2)海港 C 是否受台风影响? 若受台风影响,求台风影响该海港持续的时间有 多长. 42 【随堂小测】 1. C 2. C　 【解析】A. 52 +62 ≠72,故不能作为直角三 角形的三边长度;B. 42 +82 ≠102,故不能作为 直角三角形的三边长度;C. 102 +242 = 262,故 能作为直角三角形的三边长度;D. 92 +152 ≠ 172,故不能作为直角三角形的三边长度. 故选 C. 3. C　 【解析】①因为 0. 32 +0. 42 = 0. 52,所以以 0. 3,0. 4,0. 5 为边长的三角形是直角三角形. 但是 0. 3,0. 4,0. 5 不是整数,所以 0. 3,0. 4, 0. 5 不是勾股数. 故该说法错误;② 虽然以 0. 5,1. 2,1. 3 为边长的三角形是直角三角形, 但是 0. 5,1. 2,1. 3 不是整数,所以 0. 5,1. 2, 1. 3 不是勾股数. 故该说法错误;③若 a,b,c 是勾股数,且 c 最大,则一定有 a2 +b2 = c2 . 故 该说法正确;④若三个整数 a,b,c 是直角三 角形的三边长,则 2a,2b,2c 一定是勾股数. 故该说法正确. 综上所述,正确的是③④. 故选 C. 4. 直角 5. 45　 【解析】如图,连接 AD. 设图中每个小正 方形的边长为 x,则 AD = 10 x,CD = 10 x, AC= 2 5 x. ∴ AD2 +CD2 =AC2,AD=CD. ∴ ∠ADC= 90°. ∴ ∠DAC = ∠ACD = 45°. 由题 意,得 AB∥DE. ∴ ∠BAD + ∠ADE = 180°. ∴ ∠BAC+ ∠DAC + ∠ADC + ∠CDE = ∠BAC + 45° + 90° + ∠CDE = 180°. ∴ ∠BAC + ∠CDE = 45°. 6.解:如图,连接 AC. ∵ AB=BC= 1,∠B= 90°, ∴ △ABC 是等腰直角三角形. ∴ AC= AB2 +BC2 = 2 ,∠BAC= 45°. 又∵ CD= 3 ,AD= 1, ∴ AD2 +AC2 =CD2 . ∴ △ACD 是直角三角形. ∴ ∠CAD= 90°. ∴ ∠BAD= ∠BAC+∠CAD= 135°. 7.解:∵ AB=BD= 5 厘米,动点 P 从点 A 出发沿 A→B→D 的路线到点 D,速度为 2 厘米 /秒, ∴ 5 秒时点 P 的运动路程为 2×5 = 10(厘米) . ∵ AB+BD= 10 厘米, ∴ 此时点 P 与点 D 重合. ∵ AB=BC= CD = 5 厘米,动点 Q 从点 D 出发 沿 D→C→B→A 的路线到点 A,速度为 2. 8 厘 米 /秒, ∴ 5 秒时点 Q 的运动路程为 2. 8×5=14(厘米). ∵ DC+CB+BA= 15 厘米, ∴ 点 Q 在边 AB 上,且 BQ= 4 厘米. 如图. 在△BPQ 中,∵ BQ = 4 厘米,PQ = 3 厘米,BP = 5 厘米,∴ BQ2 +PQ2 =BP2 . ∴ △BPQ 是直角三角形,且∠BQP= 90°. ∴ ∠AQP= 180°-∠BQP= 90°. ∴ 5 秒时△APQ 是直角三角形. 小专题 3　 勾股定理及其逆定理的应用 1. B 　 【解析】 由勾股定理,得 AC = 82+62 = 10(m). ∴ 同学们少走了 8+6-10=4(m). 故选 B. 2. A　 【解析】如图,过点 A 作 AB⊥BC 于点 B. ∴ ∠ABC = 90°. ∵ 下底面半径为 5,高为 12, ∴ AB = 12, BC = 5. ∴ AC = AB2 +BC2 = 122 +52 = 13. ∴ a 的长度的取值范围是 12≤ a≤13. 故选 A. 3. 16　 【解析】由题意,得 BC = 6 米,AC = 8 米. 在 Rt △ABC 中, 根 据 勾 股 定 理, 得 AB = BC2+AC2 = 62+82 =10(米). 所以大树断裂之 前的高度为 AB+BC=10+6=16(米). 4. 1. 3　 【解析】如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. ∵ AB= 2. 2 米,BE =CD = 1. 7 米,DE =BC = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 19 1. 2 米,∴ AE = AB-BE = 2. 2-1. 7 = 0. 5(米) . 在 Rt △ADE 中, 根 据 勾 股 定 理, 得 AD = AE2 +DE2 = 0. 52 +1. 22 = 1. 3(米) . 5. 13　 【解析】设 ON = OM′ = x 米,则 OM = ( x- 1)米. 在 Rt△OMN 中,根据勾股定理,得 ON2 =OM2 +MN2,即 x2 = (x-1) 2 +52 . 解得 x = 13, 即秋千 ON 的长度为 13 米. 6.解:在 Rt△AOC 中, ∠AOC= 90°-60° = 30°,OA= 1 000 米, ∴ AC= 1 2 OA=500 米,OC= OA2-AC2 =500 3米. 在 Rt△BOC 中,∠BOC= 90°-45° = 45°, ∴ Rt△BOC 是等腰直角三角形. ∴ BC=OC= 500 3米. ∴ AB=AC+BC= (500+500 3 )米. 答:此时快艇航行了(500+500 3 ) 米(即 AB 的长) . 7.解:在 Rt △ABD 中,BD2 = AD2 -AB2 = 92 - 62 = 45. 在△BCD 中,BC = 3 dm,CD = 6 dm,BC2 +CD2 = 32 +62 = 45, ∴ BC2 +CD2 =BD2 . ∴ ∠BCD= 90°. ∴ BC⊥CD. 故该车符合安全标准. 8.解:(1)∵ AC=300 km,BC=400 km,AB=500 km, 3002+4002 =5002,即 AC2+BC2 =AB2, ∴ △ABC 是直角三角形. ∴ ∠ACB= 90°. (2)如图,过点 C 作 CD⊥AB. ∴ S△ABC = 1 2 AC·BC= 1 2 CD·AB. ∴ 300×400 = 500×CD. 解得 CD= 240 km. ∵ 240 km < 250 km,以台风中心为圆心周围 250 km 以内为受影响区域, ∴ 海港 C 受台风影响. 当 CE= 250 km,CF = 250 km 时,正好影响海 港 C. ∵ DE = CE2 -CD2 = 2502 -2402 = 70( km), DF = CF2 -CD2 = 2502 -2402 = 70 ( km), ∴ EF=DE+DF= 140 km. ∵ 台风的速度为 20 km / h, ∴ 140÷20 = 7(h) . 答:台风影响该海港持续的时间有 7 h. 第十八章　 平行四边形 18. 1　 平行四边形 18. 1. 1　 平行四边形的性质 【边学边练】 1. C 2. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB = CD,AB∥CD,OA = OC. ∴ ∠1 = ∠2. ∴ 选项 A,B,D 不符合题意;AC⊥BD 不一定 成立,∴ 选项 C 符合题意. 故选 C. 3. A　 【解析】∵ 点 A(0,0),B(5,0),∴ AB = 5. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ CD∥AB, CD= AB = 5. ∵ ▱ABCD 的顶点 D 的坐标为 (2,3),∴ 点 C 的横坐标为 5+2 = 7,纵坐标与 点 D 的纵坐标相等,为 3. ∴ 顶点 C 的坐标为 (7,3) . 故选 A. 4. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠A+∠B = 180°,∠A = ∠C. ∵ 2∠A+∠B = 225°,∴ ∠A = 225° - 180° = 45°. ∴ ∠C = 45°. 故选 A. 5. C 【随堂小测】 1. B　 【解析】∵ AB∥CD,∴ △ABC 与△ABD 的 面积相等. ∵ AE∥BD,∴ △BED 与△ABD 的 面积相等. DE∥BC,找不到与△ABD 等底等 高的三角形,∴ 和△ABD 面积相等的三角形 有△ABC,△BED,共 2 个. 故选 B. 2. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠A= ∠C,∠B= ∠D. ∴ 选项 D 正确. 故选 D. 3. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD. ∴ ∠F = ∠FCD. ∵ CE 平分∠BCD, ∴ ∠BCE= ∠FCD. ∴ ∠F = ∠BCE. ∴ BF =BC = 8. ∴ AF=BF-AB= 8-6 = 2. 故选 A. 4. 14　 【解析】如图,过点 B 作 BM⊥x 轴于点 M,∴ ∠AMB= 90°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 29