黑龙江省大庆市大庆中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

大庆中学2023---2024学年度下学期期中 高一年级数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．已知向量且，则 A． B． C． D． 4．在四边形中，，，则该四边形的面积是（    ） A．40 B．20 C．10 D．5 5．函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸 8．在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 9．已知球O的半径为2cm，平面α截球O产生半径为1cm的圆面，A，B，C，D均在圆面的圆周上，且为正四棱锥，则该棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 二、多选题 11．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列命题正确的为（　　） A．若α∥β，γ∥β，则α∥γ B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α∥β，l⊂α，则l∥β D．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n 12．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 13．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数具有以下哪些性质（    ） A．最大值为，图象关于直线对称 B．图象关于轴对称 C．最小正周期为 D．图象关于点成中心对称 14．已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 第II卷（非选择题） 三、填空题 15．已知为复数，且，则的最大值为 ． 16．若向量在向量上的投影向量为，则等于 ． 17．已知棱长均相等的正三棱柱，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 18．如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是 .    四、解答题 19．已知，，且与的夹角为，求： (1)的值； (2)与夹角的余弦值. 20．如图，已知在长方体中，，点E是的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的表面积． 21．在中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，求的面积． 22．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB=4，BC=6． (1)证明：平面； (2)若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B－EPF的体积． 23．已知的内角所对的边分别为且与垂直. (1)求大小； (2)若边上的中线长为，求的面积的最大值. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页 大庆中学 2023---2024 学年度下学期期中 高一年级数学试题 满分：150 分 考试时间：120 分钟 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题） 一、单选题 1．已知复数 z满足 2 i 1 iz   ，则 z （ ） A． 1 i  B．1 i C．1 i D． 1 i  2．如图所示是水平放置的 ABC 的直观图，其中 1A O BO CO        ，则原 ABC 是一个（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．已知向量 (1, 2), ( , 4),a b x     且 / / ,a b   ，则 a b    A．5 3 B．3 5 C． 2 5 D．2 2 4．在四边形 ABCD中， ( 3,1)AC    ， (2,6)BD   ，则该四边形的面积是（ ） A．40 B．20 C．10 D．5 5．函数  2 221 55y x xx   的最小值为（ ） A．2 B．5 C．6 D．7 6．若 π 3cos 4 5       ，则 sin2 （ ） A． 7 25 B． 7 25  C． 9 25 D． 9 25  7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接 雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸， 则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸 8．在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，棱 1 1,BC A B 的中点分别为 E，F ，则直线 EF 与平面 1 1ABB A所 成角的正弦值为（ ） A． 5 5 B． 2 5 5 C． 6 6 D． 30 6 9．已知球 O的半径为 2cm，平面α截球 O产生半径为 1cm的圆面O，A，B，C，D均在圆面O 的圆周上，且O ABCD 为正四棱锥，则该棱锥的体积为（ ） A． 33 cm 3 B． 32 3 cm 3 C． 33cm D． 32 3cm 10．在 ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 23 12ABC S b△ ，则 2 2a c ac  最大值（ ） A．2 B．4 C． 2 3 D． 4 2 二、多选题 11．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列命题正确的为（ ） A．若α∥β，γ∥β，则α∥γ B．若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α∥β，l⊂α，则 l∥β D．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则 m∥n 12．下列函数是偶函数的是（ ） A． ( ) 2 2x xf x   B． ( ) ln | |f x x C． 4( ) 1f x x  D． ( ) sinf x x x 13．将函数   π3 cos 2 3 f x x      的图象向右平移 π 3 个单位长度，得到函数  g x 的图象，则函 数  g x 具有以下哪些性质（ ） A．最大值为 3，图象关于直线 π 3 x   对称 B．图象关于 y轴对称 C．最小正周期为 π D．图象关于点 π ,0 4       成中心对称 14．已知三角形 ABC满足 3, 4AB AC  ，则下列结论正确的是（ ） 第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页 A．若点 O为 ABC 的重心，则 1 1 3 3 AO AB AC     ， B．若点 O为 ABC 的外心，则 7 2 AO BC    C．若点 O为 ABC 的垂心，则 4 3 5 5 AO AB AC     ， D．若点 O为 ABC 的内心，则 1 1 3 4 AO AB AC           ． 第 II 卷（非选择题） 三、填空题 15．已知 z为复数，且 1z  ，则 iz  的最大值为 ． 16．若向量  3, 4a    在向量  2,1b    上的投影向量为 b  ，则 等于 ． 17．已知棱长均相等的正三棱柱 ABC A B C   ，则异面直线BC与 A C 所成角的余弦值为 ． 18．如图，从正四面体的 4个顶点处截去 4个相同的正四面体，得到一个 由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是14 3，则该 多面体外接球的表面积是 . 四、解答题 19．已知 4a   ， 2b   ，且 a与b  的夹角为120，求： (1) a b  的值； (2)a与a b  夹角的余弦值. 20．如图，已知在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 11 2DA DC AA  ， ， 点 E是 1DC的中点． （1）求证： 1 //AD 平面 EBD； （2）求三棱锥 1D ADC 的表面积． 21．在 ABC 中，已知角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 2 cos 2c A b a  ． (1)求角 C的大小； (2)若 2 3, 2c b  ，求 ABC 的面积． 22．如图，四边形 ABCD是圆柱 1OO 的轴截面，EF是圆柱的母线，P是 线段 AD的中点，已知 AB=4，BC=6． (1)证明： BF 平面 EPF； (2)若直线 AB与平面 EPF所成角为 60°，求三棱锥 B－EPF的体积． 23．已知 ABC 的内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c且  , cos3 Am a  与  i ,s nn cC 垂直. (1)求A大小； (2)若 BC边上的中线长为 21 2 ，求 ABC 的面积的最大值. 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 大庆中学2023--2024学年下学期期中考试 高一年级数学试题答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 客观题(1~10为单选题;11~14为多选题) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 填空题 15. 16. 17. 18. 解答题 19. 20. 21. 22. 23. 请勿在此区域作答或 者做任何标记 参考答案： 1-10. ACBCD BCCBB 11．ACD 12．BD 13．AC 14．ABD 15．2 16． 17．/ 18． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，由此可得； （2）根据向量夹角公式直接求解即可. 【详解】（1）， ，. （2）， . 20．（1）证明见解析；（2）4. 【分析】（1）连接交于点O，连接，可证，从而可证平面. （2）利用公式可求三棱锥的表面积和体积. 【详解】（1）连接交于点O，连接， ∵点E是的中点，点O是的中点 ∴为的中位线，故． 又平面，平面，∴平面. （2）在长方体中，均直角三角形， 其面积分别为1，1，． 而在中，， 故等腰底边上的高， 得的面积为， 所以三棱锥的表面积为． 21．(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理与两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助余弦定理与面积公式计算即可得. 【详解】（1）由，以及正弦定理可得：， 即， 即， 又在中，，所以， 又，所以， （2）由余弦定理， 得，因为，所以， 所以的面积． 22．(1)证明见解析 (2)是定值 【分析】（1）根据圆的性质得到，根据圆柱的性质得到，然后根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据平面EPF得到AB与平面EPF所成角为，然后根据线面角得到，，最后根据锥体的体积公式求体积即可. 【详解】（1） 连接AF， ∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AB为圆O的直径，∴， 又EF是圆柱的母线，∴平面ABF， ∵平面ABF，∴， 又∵，，平面，∴平面ADEF， 又∵P是线段AD的中点，∴平面ADEF即为平面EPF，∴平面EPF. （2）由（1）知平面EPF，∴BF为三棱锥B－EPF的高，且AF为AB在平面EPF内的射影， ∴AB与平面EPF所成角为，由已知，AB=4，BC=6， ∴，，， ∴. 23．(1)； (2). 【分析】（1）利用垂直的向量表示进行化简，再根据正弦定理结合条件即可得到结果； （2）利用余弦定理与边上的中线有进行化简，在利用基本不等式即可得到结果. 【详解】（1）因为，垂直， 所以. 由正弦定理，得，因为， 所以，， 所以. （2）设边上的中线为， 在中，由余弦定理得：， 即①. 在和中，， 所以， 即，，， 化简得， 代入①式得，， 由基本不等式， ∴，当且仅当取到“”； 所以的面积最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$