精品解析：甘肃省庆阳市庆城县陇东中学2024届高三第五次月考数学试题

陇东中学2024届高三第五次月考试卷 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数及其应用，平面向量，复数，三角函数，数列，立体几何，解析几何. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 6 C. 5 D. 3. 已知，是不同的平面，，是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则， C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数（）的图象大致为 A. B. C. D. 6. 已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线l：与曲线M：有两个不同交点，则k的取值范围是　　 A. B. C. D. 8. 已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 关于递减等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 10. 已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. C. D. 函数的图象的对称轴方程为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象经过坐标原点 B. 当时，函数有且仅有一个极小值点 C. 若关于的不等式恒成立，则 D. “”是“函数为增函数”的必要不充分条件 12. 如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线AB与CD为异面直线 B. C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 的值为______ 14. 若圆柱的高h和底面半径r之比，且圆柱的体积，则_________． 15. 已知数列满足，若，则数列的前项和______. 16. 已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点（点在轴的上方），则______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知等比数列的公比为2，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为. (1)求； (2)求的周长 . 19. 已知函数，其中. （1）若函数的最大值是最小值的5倍，求m的值； （2）当时，函数的正零点由小到大的顺序依次为，，，…，若，求的值. 20. 如图，在三棱柱中，底面为的中点，为棱的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 21. 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，该椭圆的左顶点A到直线的距离为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若线段MN平行于y轴，满足，动点P在直线上，满足证明：过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F. 22. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陇东中学2024届高三第五次月考试卷 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数及其应用，平面向量，复数，三角函数，数列，立体几何，解析几何. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算可化简所求复数. 【详解】. 故选：C. 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 6 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】若，则，代入集合可得答案. 【详解】若，则，即， 解得，此时， 满足，故. 故选：D. 3. 已知，是不同的平面，，是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则， C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】运用线面垂直的性质和面面垂直的判定定理即得A项；满足B项条件的图形有三种，故B项错误；利用线面垂直的判定方法即得C项；利用面面平行的判定方法即得D项. 【详解】对于A选项，由，可得，又因，故，故A项正确； 对于B选项，由，，可知有三种情况：①，②，③，，故B项错误； 对于C选项，显然正确； 对于D选项，显然正确. 故选：B. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可得，根据对数函数的单调性可得，从而可判断. 【详解】由，有，可得， 又由，可得. 故选：A. 5. 函数（）的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性排除选项；由,可排除选项,从而可得结果. 【详解】因为， 所以函数是偶函数，函数图象关于轴对称，可排除选项； 因为,可排除选项,故选A. 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 6. 已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据结合题意整理得，代入公式运算 【详解】向量，都是单位向量，则， ，即， ， 又因为，所以， 故选：B 7. 若直线l：与曲线M：有两个不同交点，则k的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由曲线方程可得半圆图形，利用数形结合，得解． 【详解】由， 得：，， 如图所示，符合题意得直线夹在OA，OB之间， 显然，OA的斜率为， 由， ， 结合二倍角正切公式可得： ， 故选B． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，数形结合等，难度适中．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理． 8. 已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得，再建立不等关系求出离心率的范围. 【详解】设该内切圆在、上的切点分别为、， 由切线长定理可得，，， 又，，则， 即，解得， 由，即，得，所以． 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 关于递减等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式判断即可 【详解】A．当，时，从第二项起，数列的每一项都小于前一项，所以数列递减，A正确； B．当，时，为摆动数列，故B错误； C．当，时，数列为递减数列，故C正确； D．，当时，，此时，当时，，，故D错误． 故选：AC． 10. 已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. C. D. 函数的图象的对称轴方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】整理可得，根据平移整理得，结合余弦函数得对称轴求解． 【详解】对于A，由已知得， 由，得为偶函数，故A正确； 对于B，C，可得，故C正确； 对于D，令，，可得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象经过坐标原点 B. 当时，函数有且仅有一个极小值点 C. 若关于的不等式恒成立，则 D. “”是“函数为增函数”的必要不充分条件 【答案】AB 【解析】 【分析】直接计算可判定A项，利用导数研究函数的极值、最值可判定B项，利用函数的性质与零点可判定C项，利用导数研究函数的单调性结合充分、必要条件的定义可判定D项. 【详解】由可知选项正确； 由， 令， 易知时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，， 又时，，且， 所以当时，方程有唯一根， 由单调性可知上，上，故选项正确； 由或， 又与均单调递增，且两函数零点分别为， 所以要满足恒成立，需，可知选项错误； 若函数为增函数，有，可得， 令，由上可知，可得， 又由，可知“”是“函数为增函数”的充分不必要条件， 可知D选项错误. 故选：AB. 12. 如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线AB与CD为异面直线 B. C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线、余弦定理、锥体体积、二面角、几何体外接球等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由异面直线的定义知A选项正确； 在中，，可知B选项正确； 如图，取BC的中点E，在AE上取点，使得， 取BD的中点G，并延长CG到点，使得， ，，可知C选项错误； 记O为三棱锥的外接球的球心，连接，，， 并延长，相交于点F. 由，可知为等边三角形， 又由，可知为的外心. 由，，，可得， 又由，可得，都为等边三角形， 可得，可得为的外心. 可得，， 可知为二面角的平面角，可得. 由，可得，，， 在中，，， 可得，， 由，在中， 可得， 在中，， 可得三棱锥的外接球的表面积为，可知D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 的值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式化简求值，可得结果. 【详解】因为. 故答案为： 14. 若圆柱的高h和底面半径r之比，且圆柱的体积，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据与列方程求解即可. 【详解】因为圆柱的高h和底面半径r之比， 所以，得． 故答案为：. 15. 已知数列满足，若，则数列的前项和______. 【答案】 【解析】 【分析】构造数列求出，再求出，证明它是等比数列，即得解. 【详解】因为， 所以数列是一个以2为首项，以2为公差的等差数列， 所以, 所以， 因为， 所以数列是一个以4为首项，以4为公比的等比数列， 所以数列的前项和. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）归纳法；（2）公式法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 16. 已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点（点在轴的上方），则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线AB的方程及点A，B的横坐标，再利用抛物线定义计算作答. 【详解】抛物线：的焦点为，准线方程为：， 直线AB的方程为：，由消去y并整理得：，解得，， 依题意，点A的横坐标，点B的横坐标， 由抛物线定义得：. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知等比数列的公比为2，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）当时，;当时，.（2） 【解析】 【分析】(1)先由等比数列的公比为2，推出与间的关系，从而证明数列是等差数列，再结合题中条件求出首项，即可求出结果; (2)由(1)求出时，的通项公式，进而可求出数列的通项公式，用裂项相消法处理，即可求出其前n项和. 【详解】（1）依题意可得：， 则， 从而数列是公差为1的等差数列. ∵， ∴或， 当时，， 当时，. （2）∵，∴ 则 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，熟记公式，即可求解，属于基础题型. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为. (1)求； (2)求的周长 . 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可； （2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可． 【详解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得. （2）∵，所以，，又，且 ，，的周长为 【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题. 19. 已知函数，其中. （1）若函数的最大值是最小值的5倍，求m的值； （2）当时，函数的正零点由小到大的顺序依次为，，，…，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，在结合正弦函数的性质求出的最值，即可得到关于m方程，解出即可； （2）依题意可得，令，求出，即可求出，，从而得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 当时，， 当时，， 由，解得. 【小问2详解】 当时，， 又函数的正零点由小到大的顺序依次为，，，…， 令，有，则或， 可得或， 取，可得，， 又由，即，解得． 20. 如图，在三棱柱中，底面为的中点，为棱的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） ． 底面平面 . 又 ， 平面， 平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，结合平行线的性质和线面垂直的判定定理即可求解； （2）根据已知条件及（1）的结论，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接． 由，可得平面， 又由，可得两两垂直， 以点为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示 由，可得， 则． 设平面的法向量为，则 由，有 取，可得． 又由，设直线与平面所成的角为．则 ． 故直线与平面所成角的正弦值为． 21. 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，该椭圆的左顶点A到直线的距离为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若线段MN平行于y轴，满足，动点P在直线上，满足证明：过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F. 【答案】（1）； （2）证明：设，，则，，即，解 ，，， 即：，得即 直线的方程为：，设过点且垂直于直线为， 直线的方程：，即直线过定点，即直线恒过椭圆的右焦点 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求出a的值，可得椭圆方程， （2）由题意M（m，n），N（m，），P（2，t），根据（2）•0，可得y1=2n，由2，可得2m+2nt=6，再根据向量的运算可得•0，即可证明. 【详解】（1）由题意：， 椭圆的标准方程为： （2）略. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题 22. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）证明：. 【答案】（1）时，的单调增区间为，无减区间；时，单增区间为上增，单调减区间为上递减． （2）证明：证法1： ，即证， 令，，，令，， 在，上单调递增，，，故存在唯一的使得，)在上单调递减，在上单调递增，，，当时， ， 时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，，得证. 证法2：要证： ，即证： ，令，，当时，，时，；所以在上单调递减，在上单调递增， ； 令，，，当 时，，时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，，，，得证. 【解析】 【分析】(1),分和两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式变形为，构造函数，证明即可；法二：将不等式变形为，分别设，求导证明即可. 【详解】(1) ， 当时，，函数的单调增区间为，无减区间； 当时，，当，， 单增区间为上增，单调减区间为上递减． (2)略 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值，证明不等式问题，第二问证明的方法比较灵活，对不等式合理变形，转化为函数问题是解题关键，是难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $