第01讲直线的斜率与倾斜角（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第01讲 直线的斜率与倾斜角 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的斜率 3 题型02 直线的倾斜角 5 题型03 倾斜角和斜率的应用 7 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 18 创新拓展 24 一、直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，______________是一个定值，我们将其称为直线l的斜率．k＝(x1≠x2)． (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在． 注意点： (1)当直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式． (2)当直线与y轴垂直时，斜率公式依然成立，此时k＝0. (3)直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关． 二、直线的倾斜角 直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按__________方向旋转到与直线重合时，所转过的最小________α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角． (2)与x轴平行或重合的直线的倾斜角为________． (3)直线的倾斜角α的取值范围为________________． 注意点： (1)用倾斜角可表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度． (2)由直线上一点及它的倾斜角，可确定该直线的位置． 三、倾斜角和斜率的应用 1．设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 不存在 k的增减性 随α的增大而____ 随α的增大而____ 2.直线的斜率与倾斜角之间的关系 当直线与x轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k＝tan α. 注意点： 正切函数在[0，π)上不单调． 题型01直线的斜率 【解题策略】 (1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”． (2)由例题中图可以看出：①当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；②当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；③当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合． 【典例分析】 【例1】如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)． (1)试计算直线l1，l2，l3的斜率； (2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．4 C． D． 【变式2】．下列选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5) 【变式3】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）经过下列各组中两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)，； (2)，． 题型02 直线的倾斜角 【解题策略】 　直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的取值范围． 【典例分析】 【例2】已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·河南洛阳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 题型03 倾斜角和斜率的应用 【解题策略】 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 【典例分析】 【例3】已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 【变式演练】 【变式1】（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 易错点1 对直线的斜率和倾斜角的关系理解不透彻致错 【例1】（多选）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有 （ ） A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C.若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 D.若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 易错点2 忽略直线的斜率不存在致错 【例2】求经过两点的直线的斜率. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高二上·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 二、多选题 5．（22-23高二上·湖北黄冈·期中）已知点，，直线上存在点P满足，则直线l的倾斜角可能为（    ） A．0 B． C． D． 6．（23-24高二上·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：经过点，则直线l倾斜角的大小为 . 8．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角 ． 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xOy中，经过两点，的直线倾斜角为45°，则实数m的值为 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 11．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2024高二·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 6．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为 ． 8．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 四、解答题 9．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，已知点、、，点是线段上任意一点，求直线的斜率的取值范围．    11．（23-24高二上·全国·课后作业）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 2．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 三、填空题 3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 四、解答题 4．（23-24高二上·天津西青·阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，，求第三颗小星的一条边所在直线的倾斜角？    【下节预览】 一、解答题 1．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l过点，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 直线的斜率与倾斜角 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的斜率 3 题型02 直线的倾斜角 5 题型03 倾斜角和斜率的应用 7 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 18 创新拓展 24 一、直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率．k＝(x1≠x2)． (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在． 注意点： (1)当直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式． (2)当直线与y轴垂直时，斜率公式依然成立，此时k＝0. (3)直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关． 二、直线的倾斜角 直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角． (2)与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. (3)直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)． 注意点： (1)用倾斜角可表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度． (2)由直线上一点及它的倾斜角，可确定该直线的位置． 三、倾斜角和斜率的应用 1．设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 2.直线的斜率与倾斜角之间的关系 当直线与x轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k＝tan α. 注意点： 正切函数在[0，π)上不单调． 题型01直线的斜率 【解题策略】 (1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”． (2)由例题中图可以看出：①当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；②当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；③当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合． 【典例分析】 【例1】如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)． (1)试计算直线l1，l2，l3的斜率； (2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率． 【详解】　(1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在． 设它们的斜率分别为k1，k2，k3. 则由斜率公式得k1＝＝， k2＝＝－4，k3＝＝0. (2)当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，其斜率不存在；当a≠3时，其斜率k＝＝. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合直线的斜率公式，即可求解. 【详解】由点，，根据斜率公式，可得． 故选：A. 【变式2】．下列选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5) 【答案】　D 【详解】　D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 【变式3】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）经过下列各组中两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)，； (2)，． 【答案】(1)存在， (2)存在， 【分析】根据点的坐标判断直线的斜率是否存在，再根据斜率公式求出直线的斜率即可． 【详解】（1）因为，两点的横坐标不相等， 所以斜率存在，； （2）因为，两点的横坐标不相等， 所以斜率存在，. 题型02 直线的倾斜角 【解题策略】 　直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的取值范围． 【典例分析】 【例2】已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角． 【详解】∵直线l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B， ∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·河南洛阳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设倾斜角为，由题意可得，即可求出． 【详解】直线的斜率为，设直线倾斜角为， 则，，． 故选：C． 【变式2】(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 【答案】AB 【详解】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 【答案】 【分析】根据给定图形，结合倾斜角的定义求解. 【详解】设直线的倾斜角为，结合图形及三角形外角与内角的关系， 得， 所以直线的倾斜角为. 题型03 倾斜角和斜率的应用 【解题策略】 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 【典例分析】 【例3】已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 【详解】如图，由题意可知 kPA＝＝－1， kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 【变式演练】 【变式1】（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故 选：D． 【变式2】（23-24高二上·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用斜率公式，分别求得线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由题意，点，直线过点， 可得直线的斜率为，直线的斜率为， 如图所示，要使得直线与线段有交点， 则直线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2). 【分析】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角； （2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得. 【详解】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 易错点1 对直线的斜率和倾斜角的关系理解不透彻致错 【例1】（多选）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有 （ ） A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C.若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 D.若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 【错因分析】对直线的倾斜角和斜率的定义理解不透彻，忽略倾斜角的范围及倾斜角与斜率的对应关系. 【解析】平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故正确； 倾斜角是的直线没有斜率，故错误； 若一条直线的斜率为，因为，即斜率为，则该直线的倾斜角为，故错误； 若一条直线的倾斜角为（不等于），则该直线的斜率为，故正确. 故选. 【答案】 易错点2 忽略直线的斜率不存在致错 【例2】求经过两点的直线的斜率. 【解析】当，即时，直线垂直于轴，其斜率不存在； 当，即时，直线的斜率. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【详解】由得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故选：A 2．（2023高二上·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线和的斜率，结合图形判断直线l与线段AB相交时斜率k的取值范围. 【详解】因为， . 由图可知，直线l与线段AB相交时，直线l的斜率k的取值范围是. 故选：D 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的倾斜角为，由题意得，可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为，， 由直线的一个方向向量为，得， 则. 故选：C． 4．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【分析】解：直线方程为转化为， 所以直线过定点，且与线段相交，如图所示， 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或. 故选：A． 二、多选题 5．（22-23高二上·湖北黄冈·期中）已知点，，直线上存在点P满足，则直线l的倾斜角可能为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BD 【分析】将、两点代入直线的方程，可知点、不可能同时在直线上，又，可判断出点的轨迹即为线段，把原问题转化为直线与线段恒有公共点问题，再求出两个临界值，即可判断. 【详解】将点代入直线得，再将点代入直线得，故点、不可能同时在直线上， 又，且， 点的轨迹为线段，即直线与线段恒有交点， 又直线， 直线恒过定点，作出示意图： 此时，， 故直线的斜率的取值范围为：，且直线的斜率存在， 故直线的倾斜角的取值范围为：， 故选：BD. 6．（23-24高二上·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【分析】先作出直线与线段的延长线，再结合图像观察即可得解. 【详解】由图像可知：要使直线与线段的延长线有公共点， 则， 又， 则直线的斜率的取值范围是. 故选：ABC. 三、填空题 7．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：经过点，则直线l倾斜角的大小为 . 【答案】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】将代入解析式得，解得， 故直线l倾斜角为 故答案为： 8．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率，而， 所以. 故答案为： 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xOy中，经过两点，的直线倾斜角为45°，则实数m的值为 ． 【答案】4 【分析】由直线斜率的定义及由两点坐标求斜率公式即可得到. 【详解】设直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又，解得. 故答案为：4. 四、解答题 10．（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可 （2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【详解】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，，所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 11．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得. （2）倾斜角为钝角时，斜率小于，再利用斜率公式可得. 【详解】（1）由题意得，得. （2）由题意得，得， 故实数的取值范围为 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角的定义可判断. 【详解】由直线，可得该直线的倾斜角为. 故选：D. 2．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，再结合图形即可得解. 【详解】因为，， 所以直线的斜率分别为， 由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交， 所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为. 故选：A. 3．（2024高二·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式求出，再根据斜率与倾斜角的关系判断即可. 【详解】因为，，所以， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以，即直线的倾斜角为. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：ABC. 6．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围，进而选择正确答案. 【详解】设的倾斜角分别为，直线的斜率， ，又， 直线的倾斜角的取值范围是. 故选：AD. 三、填空题 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率关系计算即可. 【详解】由已知得直线的斜率为：. 故答案为： 8．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合，观察倾斜角的变换情况确定斜率的变换情况. 【详解】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，已知点、、，点是线段上任意一点，求直线的斜率的取值范围．    【答案】 【分析】利用点的坐标并结合图形可知，分别计算出和之间的斜率即可. 【详解】根据题意可知，两点之间的斜率为， 两点之间的斜率为， 又点是线段上任意一点，由倾斜角与斜率之间的关系可知， 即直线的斜率的取值范围为. 10．（23-24高二上·全国·课后作业）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围． 【答案】或 【分析】作出图形，根据直线与线段的关系及斜率的定义即可得解. 【详解】设点，由题意作出图形，如图，    因为，, 若要使直线与线段相交，则或， 所以直线的斜率满足或. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率. 【详解】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为； ②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为. 综上，直线的斜率为或. 故选：C. 二、多选题 2．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】CD 【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可. 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错； B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，对； D：过，两点的斜率为：，对. 故选：CD. 三、填空题 3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 【答案】/ 【分析】根据直线斜率的求法及斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由直线l经过，两点， 则直线的斜率， 所以直线的斜率， 由，所以. 故答案为： 四、解答题 4．（23-24高二上·天津西青·阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，，求第三颗小星的一条边所在直线的倾斜角？    【答案】 【分析】根据5颗星的位置情况知，过作轴的平行线并确定的大小，即可知所在直线的倾斜角. 【详解】都为五角星的中心点， 平分第三颗小星的一个角， 又五角星的内角为知：， 过作轴的平行线，如下图，则，    直线的倾斜角为. 【下节预览】 一、解答题 1．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l过点，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程. 【答案】 【分析】由题意可求出直线的倾斜角，即可求得其斜率，继而可得答案. 【详解】∵直线的斜率为， ∴直线的倾斜角为， ∵直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， ∴直线l的倾斜角为，即直线l的斜率为， 又直线l过点， ∴直线l的点斜式方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$