基础知识梳理-【王朝霞系列丛书】2023-2024学年七年级下册数学期末真题精选(北师大版 河南专版)

期末复习第1步·过课本 王朝 基础知识梳理 第一章整式的乘除 分本章配套练习见P13 ≈高频考点梳理岁 1.幂的运算 运算 逆用 同底数幂的乘法 a"·a"=a*(m,n都是正整数) a"+=a·a(m,n都是正整数) 幂的乘方 (a)=am(m,n都是正整数) am=(a")(m,n都是正整数) 积的乘方 (ab)"=ab(n是正整数) ab=(ab)(n是正整数) 基 a÷a=a-"(a≠0，m,n都是正整 同底数幂的除法 a"=a÷a(a≠0，m,n都是正整 数，且m>n) 数，且m>n) 识梳 2.零指数幂与负整数指数幂 =1(a≠0)：a7=(a≠0，p是正整数 3.小于1的正数的科学记数法：一般地，一个小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10 的形式，其中1≤a<10,n是负整数 【方法指导】确定n的两种方法：①等于原数中左起第一个非0数字前面0的个数（包括 小数点前面的那个0)；②小数点向右移动到左起第一个非0数字后，小数点移动了几位， nl就等于几. 4.整式的乘法 (1)单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不 变，作为积的因式。 (2)单项式乘多项式：根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. (3)多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 相加 5.整式的除法 (1)单项式相除：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字 母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 (2)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 6.乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2 河南专版数学七年级下册北师 【考点归纳】(a+b)2,(a-b)2,a2+b2之间的关系 -4ab -2ab -2ab (a+b)2 a2+6 (a-b)2 +2ab +2ab +4ab ≈常考题型梳理因 题型一：幂的运算法则的逆用 精选典例1已知x“=2,x=-3,则x=（ A号 B.o G、 D.- 变式训练1若2"=a,32”=b,m,n为正整数，则2w+a= 基 题型二：科学记数法 知 精选典例2某种计算机完成一次基本运算的时间约为1ns,已知1ns=0.000000001s, 理 该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为( A.1.5×109s B.15×109s C.1.5×108s D.15×108s 变式训练2一次抽奖活动特等奖的中奖率为。 00o把00用料学记数法表示为 A.5×10 B.5×105 C.2×104 D.2×103 题型三：整式的化简求值 精选典例3先化简，再求值：(a-b)2-2a(a+3b)+(a+2b)(a-2b),其中a=1,b=-3. 变式训练3先化简，再求值：x+2)户-(3x+(y+3x)-5列÷之，其中(x-1户+ 12y-1l=0. 题型四：乘法公式的几何意义 精选典例4如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿 虚线剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.a(a-b)=a2-ab C.(a-b)2=a2-b2 D.a2-b2=(a+b)(a-b) 河南专版数学七年级下册北师 变式训练4如图，点C是线段BG上的一点，分别以BC,CG为边向BG两边作正方形，面积 分别是S和S,两正方形的面积和S,+S,=40.若BG=8,则图中阴影部分的面积为() A.6 B.8 C.10 D.12 S2 E 第二章相交线与平行线 安本章配套练习见P16 ≈高频考点梳理兰 1.对顶角的性质：对顶角相等 2.补角、余角的性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等. 3.垂线的性质 (1)平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 基础知识梳理 4.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 注意：垂线段是一条线段，点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度， 5.平行线的判定与性质 同位角相等 判定 内错角相等 两直线平行 性质 同旁内角互补 6.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 推论：平行于同一条直线的两条直线平行 7.平行线中的“拐点”问题 已知 图例 角之间的数量关系 A B E ∠B+∠BED+∠D=360 D A- B E---F ∠B+∠D=∠BED C D AB∥CD LB-∠D=∠BED ∠D-∠B=∠BED 河南专版数学七年级下册北师 3 ≈常考题型梳理兰 题型一：利用对顶角、垂直求角的度数 精选典例1如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥LCD.若∠BOE:∠BOD=3:2,则∠AOC E 的度数为( A.30 B.36 C.54 D.60 变式训练1如图，直线AB与直线CD相交于点O,且∠BOD=2∠BOC.若以点O为端点的 射线OE⊥CD,则∠BOE的度数为( A.30 B.150°或30 C.150 D.以上都不对 题型二：添加条件判定两直线平行 基 础 精选典例2如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判定AB∥CD的是( 知 A.∠3=∠4 理 B.∠D+∠ACD=180 C.∠D=∠DCE D.∠1=∠2 变式训练2如图，AB和CD相交于点O,E是DB延长线上一点，要使A AC∥DE,需再添加一个条件为 (写出一个即可) 题型三：平行线中的“拐点”问题 精选典例3如图，直线l∥m,将直角三角尺ABC(∠ABC=45°)的直角顶点C放在直线m 上.若∠2=24°，则∠1的度数为( A.21 B.22 C.239 D.24 变式训练3如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光 心O的光线相交于点P,点F为焦点（注：经过光心的光线不发生折射）.若∠1=155°，∠2= 30°，则∠3的度数为( A.45° B.50° P主光轴 C.55 D.60 变式训练4如图，已知AB∥FE,∠ABC=70°，∠CDE=150°，则∠BCD的度数为( A.40 B B.30 DE C.20 D.80 4 河南专版数学七年级下册北师 变式训练5知图，AB/BP,∠ABD=号ABC,∠BD=EFC.若∠BCP=120.则∠BDF 的度数为( A A.60 B.80 D C.90 D.100 题型四：平行线的判定与性质的综合应用 精选典例4如图，已知BC∥DE,BF平分LABC,DC平分LADE,连接DF,则下列说法：①∠ACB= ∠E:②DF平分∠ADC:③∠BFD=∠BDF:④∠ABF=∠BCD.其中正确的有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式训练6如图，AE∥CF,∠ACF的平分线交AE于点B,G是CF上 的一点，∠GBE的平分线交CF于点D,且BD⊥BC,下列结论：①BC 基 平分LABG:②AC/BG;③若∠1=a,则∠BDF=180°-受：④与 识梳 ∠DBE互余的角有2个.其中正确的有 (把你认为正确结论的序号都填上)》 第三章 变量之间的关系 行本章配套练习见P19 ≈高频考点梳理兰 1.变量与常量 在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量. 2.自变量与因变量 自变量是一定范围内主动变化的量，因变量是随着自变量的变化而被动发生变化的量· 3,表示变量间关系的三种方法：表格法、关系式法、图象法 【方法指导】从图象中获取信息：①自变量和因变量对应的横轴、纵轴的含义；②抓住特殊 点，如起点、最高点、最低点、拐点、终点等 ≈常考题型梳理 题型一：变量的判断 精选典例①骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中， 因变量是( A.沙漠 B.体温 C.时间 D.骆驼 变式训练1圆的周长C与直径d满足C=d,其中的自变量是 (用字母表示)： 题型二：从表示变量间关系的图象中获取信息 精选典例2如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火 河南专版数学七年级下册北师 5 车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是( 隧道 A B C D 变式训练2均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满，瓶子的高度为H.在注水过程中，水 面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状可能是( B C D 精选典例3甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自 础 到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(单位：km),甲行驶的时间为（单位：h),s与t之 间的关系如图所示，有下列结论：①出发1h时，甲、乙在途中相遇：②乙开车速度是80km: 理 ③出发1.5h时，乙比甲多行驶了60km:④出发3h时，甲、乙同时到达终点.其中正确结论 的个数是( s(km) 120 A.1个 B.2个 60 C.3个 D.4个 0 11.53(h) 变式训练3如图1，在长方形ABCD中，AB=2,动点P从点B出发，沿路线B→C→D→A做 匀速运动，图2是运动过程中，△PAB的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象的一部 分.当BP=BC时，四边形APCD的面积为 B- 0 6x 图1 图2 第四章 三角形 ?本章配套练习见P22 ≈高频考点梳理兰 1.三角形的内角和：三角形三个内角的和等于180°， 2.直角三角形中两个锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余 3.三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 【方法指导】已知三条线段的长度，判断能否构成三角形时，只需满足三条线段中较短两 6 河南专版数学七年级下册北师 条线段长度的和大于第三条线段的长度，或满足最长线段与最短线段之差小于第三条线 段的长度就能构成三角形，否则不能构成三角形. 4.三角形的高、中线、角平分线的特点 (1)三角形的高、中线、角平分线都是线段： (2)三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 5.全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同 6.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 注意：周长、面积分别相等的两个三角形（或图形）不一定是全等三角形（或全等图形）. 7.三角形具有稳定性 8.全等三角形的判定 找夹角→用SAS 已知两边 找第三边→用SSS 边为角的对边→找边的任一邻角→用AAS 基础知识梳理 三角形 已知一边 找边的对角→用AAS 全等 和一角 边为角的邻边找边的另一邻角→用ASA 找角的另一邻边→用SAS 找夹边→用ASA 已知两角 找任一角的对边→用AAS 注意：AAA,SSA不能用来判定三角形全等， 9.全等三角形中常见模型 (1)“一线三等角”模型 条件及图形 结论 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BD⊥直线 m,垂足为，点D,CE⊥直线m,垂足为点E 一线三垂直（特殊）】 DE =BD+CE B D E m 在△ABC中，AB=AC,A,D,E三点都在直线m 上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC 一线三等角（一般）】 DE BD+CE m 河南专版数学七年级下册北师 (2)“手拉手”模型 模型特点：△OCD与△OAB为顶角相等的等腰三角形，且△OCD绕点O旋转（简记为共 顶点，等线段) 旋转 结论：①△OAC≌△OBD:②AC=BD:③AC与BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补， ≈常考题型梳理兰 础 题型一：三角形边关系的应用 知 精选典例1以下列长度的线段为边，能构成三角形的是( 理 A.2,5,8 B.3,3,6 C.3,4,5 D.4,5,9 变式训练1已知三角形的三边长分别为3，x,14.若x为正整数，则这样的三角形个数 为( ) A.2个 B.3个 C.5个 D.7个 题型二：利用三角形的中线解决周长与面积问题 精选典例2如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长 大3cm,BC=8cm,则AC的长为( A.6 cm B.5 cm B C.4 cm D.3cm 变式训练2如图，已知△ABC的周长为21cm,AB=6cm,BC边上的中 线AD=5cm,△ABD的周长为15cm,则AC的长为 D 精选典例3如图，在△ABC中，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且SAc=16cm2,则 △DEF的面积为( A.2 cm2 B.4 cm2 B C.6 cm2 D.8 cm2 变式训练3如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上一点，且BE=3EC,CD与AE相交 于点F.若△ADF的面积为6，则△ABC的面积为( D A.16 B.18 C.20 D.22 8 河南专版数学七年级下册北师 题型三：三角形的内角和与角平分线的综合应用 精选典例4如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC 边于点E,∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的度数是( A.15 B.20 C.25° D.30° 变式训练4如图，已知△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于 点E,BD,CE交于点F,∠FBC,∠FCB的平分线交于点O,则∠BOC的度 数为 题型四：全等三角形的判定与性质 精选典例5如图，D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.若AB=4,CF=3,则 BD的长是( A.2 B.1.5 D C.1 D.0.5 基 变式训练5如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是 点D,E,BE=4cm,AD=7cm,则DE的长是( 知 A.3 cm B.3.5 cm 理 C.4 cm D.4.5 cm 第五章 生活中的轴对称 含本章配套练习见P26 ≈高频考点梳理兰 1.轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 轴对称图形，这条直线叫做对称轴 2.成轴对称 如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直 线叫做这两个图形的对称轴， 3.轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段 相等，对应角相等 4.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形是轴对称图形：(2)“三线合一”：(3)等腰三角形的两个底角相等 【方法指导】①涉及到等腰三角形的边长时，要根据该边是底边还是腰进行分类讨论；②涉 及到等腰三角形的角时，要根据该角是顶角还是底角进行分类讨论 5.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 6.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【方法指导】当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线， 构造相等的线段 河南专版数学七年级下册北师 7.尺规作图的几种常见类型 作一个角 作线段的 作一个角的 作一个三角形 等于已知角 垂直平分线 平分线 已知：∠AOB. 已知：线段a,c,∠a 已知：线段AB. 已知：∠AOB. 求作：∠A'OB',使 求作：△ABC,使BC=a,AB= 求作：AB的垂直平 求作：射线OC,使 ∠A'O'B'=∠AOB. c,∠ABC=∠a. 分线 ∠AOC=∠BOC. 依据：SSS。 依据：SAS. 依据：SSS,等腰三角 依据：SSS. B 形的性质。 D B E A B D B 一A 础 8.利用轴对称解决最值问题 最值问题通常以直线、角、等腰（边）三角形等为背景，借助轴对称和两点之间线段最短来 理 解决。 ≈常考题型梳理 题型一：线段垂直平分线的性质 精选典例1如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 4C的长为半径作弧，两弧相交于点M,N,直线MN与4C,BC分别 E 交于点E和D,连接AD.若AE=3cm,△ABC的周长为I3cm,则 B △ABD的周长是( A.7 cm B.10cm C.16cm D.19 cm B 变式训练1如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线分别交边AB, AC于点D,E,BC边的垂直平分线分别交边BC,AC于点F,G,连接 D BE,BG.若△BEG的周长为16，GE=1,则AC的长为( A.13 B.14 C.15 D.16 题型二：角平分线的性质 精选典例2如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当 长为半径作弧，分别交AB,BC于点D和E;②分别以点D,E为圆心，以 H 大于)DE的长为半径作弧，两弧相交于点F③作射线BF交AC于点G; B ④过点G作GH∥BC交AB于点H.若∠BHG=110°，则∠HGB=( A.25 B.30° C.35 D.40 10 河南专版数学七年级下册北师期末复习小助手 答案精解精析 竭力使答案更美好 期末复习第1步·过课本 变式训练1.B 2. C= D(答案不唯一) 基础知识梳理 3.C 4.A 第一章 整式的乘除 5.B【解析】如图,过点C作CO/AB,过点D 精选典例1.B 2.C 作DP/AB.因为AB/EF,所以AB/EF//CO/ 3.解:原式=q^}-2a b+b}-2a^-6ab+- DP. 所以 ABC+ BCO=180{* EFC+ FC 4=-8ab-36. =180*.所以乙ABC+BCF+乙EFC=360* 当a=1,b=-3时. 因为 BCF=120*},所以/ABC+ EFC=360^$}- 原式=-8t1x(-3)-3x(-3) BCF=240{}.因为 ABD= -24-27 _-3. 4.D 变式训练 EF/DP,所以 BDP= ABD, FDP= EFD 1.} 所以 BDF=$ BDP+ FDP= ABD+ EFD= 2.D 80{*,故选B. 3.解:原式=(+4xy+4-9+-5+$ A #2) E =(-8{4-)(-) 6.①②③ =16x-8y. 第三章 变量之间的关系 因为(x-1)+12v-11=0. 所以x-1-0,2y-1=0.解得x=1.y=2 1 精选典例1.B 2.C 3.C【解析】由图象可得,出发1h时,甲、乙 一时# 当x=1,y= 在途中相遇,①正确,甲的速度是120:3= 1 40(km/h).乙的速度是120-1-40=80(km/h). ②正确,出发1.5h时,乙比甲多行驶1.5x 4.A 【解析】设BC=a.CG=b,则S$=^},$ = (80-40)=60(km).③正确.出发1.5h时,乙 $#*$BG=a+b=8. 到达终点,出发3h时,甲到达终点.④错误 所以a}+b=40.因为$(a+b){}=a^}+$}+$ 综上所述,正确结论为①②③,共3个.故选C. 2ab=64. 变式训练1.d 2.B 所以2ab=64-40=24 3.7 【解析】因为AB=2,点P运动的路程为 所以ah三12.所以阴影部分的面积为 x.所以当BP= 1BC时,s= -x12=6.故选A 由题图2可知,BC=4.所以BP= 第二章 相交线与平行线 所以S=1.所以四边形APCD的面积为2×4 精选典例1.B 2.D 3.A 4.B -1-7. 河南专版 数学 七年级 下册 北师 第四章 三角形 BDO +乙DBA + ABE = BDO + DBA+ 精选典例1.C 2.B 3.A 4.B 5.C ADC= ADB+ DBA=120{*$ 故选C 变式训练1.C 2.7cm 5.C 6.C 3.C【解析】如图,连接BF 变式训练1.B 2.4 3.30*} 4.105^{}【解析】因为△ABC是等边三角形,所以 BAC=60^{}因为AD是BC边上的中线,所以 乙BAD= C E 因为D是AB的中点,Sar=6,所以Sao= S△or=6,Sacn=Saco-所以S△ca=S△car+ 以DE=CD.所以△DEC是等腰直角三角形. S.=12.设Scr=x. 因为BE=3EC,所 所以 DEC=$ DCE=45^*}. 所以$ AEF= 以Sar=3Scer=3x.所以S△cu=Scar= DEC=45^{*}.所以 AFE=180^{*}-$ BAD- SAr-+Scrs=4x.所以Se:Scer=AF: 乙AEF=105{*} EF=4:1.所以Sa:Sar=4:1.所以 5.6 $=3.所以3x=3.所以x=1.所以$ 6.C 【解析】如图,连接AD.AG Sa=4x=4.所以Sc=2$=2x(6+ 4)=20.故选C. 因为△ABC是等腰三角形,D是BC边的中点, 4.150^{}【解析】因为/ A=60^{},BD1AC于点D. 所以AD1BC,CD= CE1AB于点 E,所以乙ACE=乙ABD=90^{*}-$ AD.因为BC三4.等腰三角形ABC的面积是18 A=30^{, ABC+ ACB=18 0{*}- A= 0*$$$ 所以/FBC+FCB=ABC +ACB LACE- ABD=60*.因为 FBC, FCB的平 段AC的垂直平分线,所以CG=AG.所以CG+ DG=AG+DG AD.当A.G.D三点共线时. AG+DG取得最小值,为AD的长.此时△CDC FCB)=30*$所以 B0C=180{*}-(乙0BC+$$ 0CB)=150{ ×4=11故选C. 5.A 第五章 生活中的轴对称 精选典例1.A 2.C 3.C 4.C 【解析】因为△ABD,△AEC都是等边三角 形,所以AD=AB.AE=AC. CAE= DAB= ADB= DBA =60*}.所以 DAB+ BAC=$$$ CAE+ BAC,即/DAC= BAE.所以△DAC 第六章 概率初步 ABAE 所以/ADC三ABE. 所以/BOC三 $$8 {*}- B0D=180^*}-($180*- BD0- DB$$$ 3.D =乙BDO+/DBO. 因为乙DBO=乙DBA+ ABE,所以乙BOC= 河南专版 数学 七年级 下册 北师