湖南省湘楚名校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2023-2024学年度湘楚名校高二下学期5月联考 的大是 A.: 七子一10,点为点下上一A” 2 D7 数学试卷 2025 &N的,而C的高心年是 注意: 一.,本共3小题,每小题6分,共13分,在每小题给出的选项中,有符题目要求 上这题这择题两分。项凸1)30,考这间10 上.生,在是上。是小是,)5题 全选的6分,分对分分, 点,题用日在题卡上题 中十二时生认,子时的家一天至子是2)点次1 是,出答题区道有的答无效,在题、上作答无效。 .关去,入时晚,时问少, 3.本破题院用,高注面。 % ,早次的整,对败 的底线计用,下说法 一、连理,本题共小题,每小题5分,共40分在小题出的个选项中,只有一项是符合题 的 是 1A--n,An A.在开数[40、》的人中,早人数多干一 n0,] n(n] C[. A.[o.1] 随人数 元早人眠主要中在 .一数按题从小大时排时如下1117.227163.该数的 _一- 一_ 现0 1110 D了 23%数为9.则 C. 人眨指致的比人野眠的小 D.22 A.ō D人随清数主要集中在, 上已如线C过在0真心为,的标准方程为 图这00y是平内交成角的两承数,分是与4正方的 一在文数对叫在中的,记 A7语 则下说正确的是 .指期间某校5名学计去安,体拉北与玩互地的风与文,现有黄山、宏。 八时三个区可选,若三少有2人往山,其余小是区都分至少在1人首,则不 Ao-12)一 间方的神拉为 B-11-1)AC三共 A0 C0 o000 1段5是比面。项和若5-)一5.是 -00-1240为 1.1)是定又为0的非整数,对义内的意实数23均有f(2)(多) 5. 古学家一””大旨】中立了长了太天0” -下是 的去,是上上正,三,长!等 1A 子高与大后大了上对一””,第一次二次 也的减为计 -() 大天为第二次”“”是“一十一,。” D是数 三.填空题,本题共3小题,每小题5分,共15分。 心数,一1一是虚败单校),陪一的共复数是 - 10的是A昆DA示-A欧CD-200, .△ABC中.BC5ACA-D与AC的笑8 AD-1.0C-~5 部在球◇的表面上记而0的体积口的体配为期是一__. 【高二,整学:第1言(共本习1 【高二·三共七习】 14.已知定义在B上的涵数行2)可:且(2)不恨为0.(十2)为奇函数f(2r+10为偶数。 17.(15分) 则下列说法证确的是。 .(墙序) ①y->的周期为本.②y的图象关于直线-1对称;③2-nEN) 知数()-1+” ④10 )若)-明0 (1时论x)的单调性。 四、解答题:本大题共5小题,共77分,答应写出必要的文字说期,证明过程及演算步 15.(011分) 如图,已知正三柱ABC-A.BCAB-AA.D.E.F分到为A.B.DBC.BB.的中点。选 接A.F. (球A平面ACD. ()二面角ACD-E的正 18.(17分) 已知尸为物线Ey2.上的动点,0为C-十y-1(a>1)上的动点,且PQ的 最小值为/一1. (1。的值: (2)若动点P在2上方,过P作器C的两条切线分别交抛物线E于另外两 15.(15分) 点A.B.若PA-PB,求直线AB的方程. 时下流行的直暗帝货与主的学历题次有某些幅关性,调查小组就两者的关系选行调查, 网红的直播中母到容量为200的样本,将所得直播带货程主播的学历层次的样本观测数据整 理如 直评 i 的学陪次 19.(17分) 好 在平面直角坐标系O中,利用公式 本科正: 10 y-+ly 科及以下 1 换为点P(,y)的标,我们称该交为线性变是,也称为生公式,该变接公可 10 由bd组成的正方形数表 (1】)依握小概率值一D.00!的殖立姓拉验,分析直暖琴货的评封主生所法次是否有关! 英文字母A.B表示. (2)现从主插学历层次为本料及以上的样本中,按比例分配分层陪机抽样的方法选出5人组成 一个小组,从抽取的5人中再抽取2人参加主播培讲,求这2人中,主播带货优的人数 (1)在平面直角坐标系O中.将点P3,4绕原点0按送时针转碍到点P(到原点距离 的概分布栏数学期望: 不变),求点的半标。 一P表示在事件A条件下事件B发生的优势,称为似然比。 (3)计中常R(BA)一 (2)加图,在平面直角坐标系tOy中,将点Pr:y)原点0按道时针旋转。角到点Pr” 当R(BA)I.35时,我们认为事件A条件下8发生有优势,现从这200人中任选1人.A y)(到原点距离不变),求生标变换公式及对应的二阶期阵; 表示”选到的主播带真好”,B表示”选到的主播学历层次为专科及以下”,请利用样本数 (3)向0-(2,y(称为行向量形式),也可以写成.这静形式的向量称为列向量,线性变 ,估计R(BA)的值,并列新事件A新件下日发生是否有优势 换生标公式①可以表示为: -[^是二 附n)0,a十. afa-hr 积,设A是一个二阶矩阵,.w是平面上的任意两个量,求证:A(一n). -A 1rm0r 1m 6 n 【高二考·整学 第1页(共本页)】 【高二联考:数学 第4(共4】 12023-2024学年度湘楚名校高二下学期5月联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D由x2-x-2=(x-2)(x十1)≤0，解得-1≤r≤2，所以A=[-1,2].由y=lnx得x>0,所以B=(0,十o∞)， 所以A∩B=(0,2]. 2.A这组数据有10个数，所以10×35%=3.5，则该组数据的35%分位数为a,故a=19. 3.C 由题意知，双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为兰一荐=1(。>0，>0)，因为双曲线C经过点(0,1， 所以a=1.因为e=￡=√2，所以c=2,所以=2一a2=2-1=1,所以双曲线的标准方程为y2一x2=1. 4.B将6名同学分成三组，其中有三种方案：4,1,1：3,2,1：2,2,2.则不同方案的种数和为CA十CCCA+ CCC=360(种). 5.B设等比数列a.}的公比为4，则=4十@=2.S-S[=4]_3x二，22=45.Sw=S-y)门 S 1一 1-2 1-w 3X=93,故学-器-0 1-2 6.A由已知得tang=2,易得cos2a-9 sa-sina=}=iarg,sin2a=2 sinacos cos'a+sina 1+tan'a' 2tang,所以cos2a十 cos'a+sin a 1+tan2a s如2a1十2m。e=-号，解得tma=3或am。=一号（含去）.故am（a一》=骨ana号 tan atan B 1 1十tana 7· 7.C由BC=5AC一=5=an∠BAC可知，△ABC是∠ABC-音，∠ACB-号的直 角三角形，如图所示.设AC=x,BC=√x,∠ADC=0.则由余弦定理，得AC=AD十 GD-2AD·CD·cos0,即2=4+3-43cos=7-43cos.由正弦定理得n2C -S)所以xim∠ACD=2snL连接BD,在△BCD中，由余弦定理，得BD=BC十 CD-2BC·CD·cos∠BCD.即BD=3r+3-2/3XV3.xcos(+∠ACD)=3x2+3+6 5.rsin∠ACD=3x2+ 3+12sin0-3(7-4v3cos0)+3+12sin0=24+12sin0-123cos0=24+24sin(0-号)≤48.当0-受+号= 要时，BD的长度取得最大值，为4V5。 8.D根据题意可得A(-a,0),B(a,0),F(一c,0),则1AB=2a,|FB=a+c,由 PF⊥AB得∠PFB=90°.设P点坐标为P(一c,%),如图所示.将P(一c,%)代 人椭圆方程可得。+普-1，解得为-名可得加。二。。 a-ca(a-c,直线 PA方程为y a。u+a).联立aua-a+a解得M(a,2%）,即 r=a: M(a,2(a+c)),易知∠PFB的角平分线倾斜角为45°，斜率为k=1,直线FN方 程为y=x十c,联立二“解得Na,a+),所以△MAB的面积为S6w 是1 ABIBMI=a·2a+c)=2a(a+c,△NFB面积为SAm=FB|BN 0 a+e,即2aa+o)=号×2 (a+e)=-平a+o0,即2a=a+e),所 1 以离心率e=￡-3 a 5 9.ACD由图知，每一组中的早睡人群占比与晚睡人群占比都是以早睡与晚睡各自的总人数为基数的，所以每一 组中的早睡人数与晚睡人数不能从所占的百分比来判断，故选项A错误：早睡人 群睡眠指数主要集中在[80,90)，晚睡人群睡眠指数主要集中在[50,60)，选项B正 确，选项D错误；早睡人群睡眠指数的极差和晚睡人群睡眠指数的极差的大小无 法确定，故选项C错误. 10.ABD对于A,由题意得OP=-1+2e,故OP=(-e+2e)2=G-4e·e+ 46=1-4X1×1X号十4=3，故0亦=3，正确：对于B,由题意得A店=20 c,C-一。十之，所以A=-2C,所以A,B,C三点共线，正确：对于C,由 【高二联考·数学参考答案第1页（共4页）】 9215B 题意得0P=3e,十4e,OP,=-4e+3e2,所以OP.OP2=(3e,十4e)·(-4e+3e2)=-12e-7e·e+ 12e:2=-12-7X1X1X×号+12=号≠0，故O示与O不垂直，错误：对于D.连接0C,在△04C中，OA边 上的高为sn60-2,3,所以Sk=号×3×25=33：在△0C中，0B边上的高为15n60°=3，所 以Sm=专X2X,B=,故Sm=S十Sm=43,正确， 11.AC对于A,令y=1,则f(1)f(x)=f(.x)+f(x),可得f(1)f(x)=2f(.x),且f(x)不恒为0，所以f(1)=2, 故A正确：对于B,例如f()=x+,可知x)是定义域为xx≠0)的非常数函数，且f(x)f(y) (x+)(+)=(y+号)+(5+兰)=f)+f(号).可知)=x+是符合题意，但f-1) -2<0,故B错误：对于C,令x=1,则f)f)=f)+f(号），可得f)=f(),即x)=(),故C 正确：对于D.例如f(x)=+,可知f(x)是定义域为xx≠0)的非常数函数，且x))= x+叶-()+（+兰儿，注意到，之同号，可得0f) (+)+(5+)+++ =f)+f(号），可知fx)=x+1 符合题意，但 -x)=-x+=x+ =f(x),即f(x)为偶函数，故D错误。 12-1计i因为=1-i所以2=1-0=-2，-=名=2D=1+i所以之-是=-2-1- 2(1+i) 一1一3i,则其共轭复数为一1+3i, 13.7+53 32 不妨令AB=2,则CD=23,OO,=√3+1，则圆台上、下底面半径分别为 B n=1,r=3,高h=3+1,设OO,=x,则十x2=十(W3十1-x),解得x=3,则 R=V下+=2.W=日65+11+3+3)=7=专R-警，放 3 _7+53 V: 32 14.①③f(x+2)为奇函数，则f(x)的图象关于(2,0)对称.又f(2.x+1)为偶函数，则 的图象关于直线=1对称，所以君4可得2-)三一4一P)=-+22 f(x)=f(x+4),则f(x)的周期为4，故①正确：又f(1+x)=f(1一x)→f(1+x)=一f(1一x),则f(x)的图 象关于(1,0)对称，故②借误：又0=f(2)=f(0)=f(4)=f(6)…,所以f(2")=0,n∈N°，故③正确：由以上可 知，f2)=f4)=0,f1)十f(3)=0,但是不知道f(1)等于多少，函数f(x)的周期为4，则登f(i) 506[f(1)+f2)+f(3)+f(4)]一f(1)-f(2)=-f(1),故④错误. 15.(1)证明：，△ABC为等边三角形，D为AB中点，.CD⊥AB 又三棱柱ABC-A1BC为正三棱柱，.CD⊥平面ABBA. 又AFC平面ABB1A,AF⊥CD.…2分 在△AAD和△A1BF中， (AA:=A:B, ∠AAD=∠ABF, AD=BF. ∴.△AAD≌△ABF,∴.∠AAD=∠BAF,∴.∠ADA+∠BAF=∠ADA+ ∠DAA=90°，A1F⊥AD.…4s分 又AD∩CD=D.ADC平面ACD,CDC平面ACD, .AF⊥平面ACD.… …6分 (2)解：取AB中点D1,连接DD.由正三棱柱性质得，AB,DC1,DD互相垂直，以D 为原点，分别以DB,DC,DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AA=2.则A(-1.00.A(-1.0,2.B1.02.C(0n5.0).E(分号.2.F1.01D. 由(1)可知A下=(2,0.1)为平面ACD的一个法向量.…7分 设n=(.x,y,z)为平面CDE的法向量， n.DC=0, 2y+2=0, (x,y,z)·(0W3,0)=0, y=0. 【高二联考·数学参考答案第2页（共4页）】 9215B 令=1，得平面CDE的个法向量为n=(一4,0,1). 9分 设二面角A-CD-E的平面角为0， A F.n 7 则cos0= 11分 AF1lnl√85 所以二面角A-CD-E的正弦值为需 6 故二面角A-CD-E的正切值为号.四 13分 16.解：1)由题意得X=20X60X650X35≈12.53. 100×100×95×105 由于12.53>10.828，依据小概率值a=0.001的独立性检验， 可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联。…………5分 (2)按比例分配分层随机抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人， 随机变量X的可能取值为0,1,2， PX-08-0P0X-1-9-是，PX-2-是-品， C 所以X的分布列为： X 0 1 2 1 10 高 所以数学期望50=0X品+1×号+2X品-号， 10分 P(AB) P(BA) (3)R(BA)= P(A) P(BIA)P(AB) PAB)_n(AB》_6点=1.625， P(AB)n(AB)40 P(A) 因为1.625>1.35，所以认为在事件A条件下B发生有优势.…15分 .解：(1)f八x)的定义域为R,由题意，得∫(x)=1一=，ER,…1 当m≤0时，(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增；…2分 当m>0,且当x∈（一o∞，lnm)时，子(x)<0,f(x)单调递减：3分 当x∈(n,十∞)时，(x)>0,f(x)单调递增.…4分 综上，当m≤0时，f(x)在R上单调递增：当m>0时，f(x)在区间（一∞，lnm)上单调递减，在区间(nm,十o∞） 上单调递增.……5分 (2)证明：由f()=f()=2,得x,2是方程x+”=2的两个实数根， 即1，x2是方程m=(2一x)的两个实数根.…6分 令g(x)=c(2-x),则g'(x)=e(1-x), 所以当x∈（一o∞，1）时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(1，十oo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x) =g(1)=沧…8分 因为当x→-o∞时，g(x)→0：当r→十o∞时，g(x)→-o∞，g(2)=0,所以0me. 不妨设<x2,因为1是方程m=e(2一x)的两个实数根，则x<1<2<2. …10分 要证x十2<2，只需证1<2-，因为x1<1,2一x2<1,所以只需证g(x1)<g(2一)， 因为g(.x)=g(),所以只需证g(x2)<g(2一入.…11分 令h(x)=g(x)-g(2-x),1<x<2,则h'(x)=g'(x)+g'(2-x)=e(1-x)+c(x-1)=(1-x)(e-e2) =(1一），二0在（1.2)恒成立。。13 e 所以h(x)在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)<h(1)=0,即当1<x<2时，g(x)<g(2一x).所以g(x2)< g(2一2)，即x十x<2成立.… …15分 18.解：(1)设P(x,),|PQ的最小值为3-1，即PC的最小值为3， 则|PC|=√/(am一a)2+%=√(x-a)+2x=√(x0+1-a)+2a-1(xw≥0). 当=a-1时，PCmn=√2a1=3,a=2.…4分 (2)连接AB,CP,设A(x,),B(x2,2),P(0), 直线PA的斜率k4=当二业=当二=2 工一业亚十为 22 2(x一)： 直线PA的方程为：y一%一 【高二联考·数学参考答案第3页（共4页）】 9215B 即直线PA的方程为：2x一(y十%)y+%(y十)一2x=0,化简得2x一(y十%)y十y=0,…7分 同理直线AB的方程为：2x一(y十2)y十y2=0. ……8分 则点C(2,0)到直线PA的距离为一14+ =1即(6-1)y+6w+12-6=0, √4+(y+%) 同理（号一1）5+60十12-=0， 则y1是方程（后一1）y2十6y十12-=0的两根， 所以十为=则直线AB的斜率心=子= …1】分 y1十y23y% 因为PA,PB与圆C均相切，所以由对称性可知PC平分∠APB,又|PA|=|PB引，所以PC⊥AB, 兰一1注意到 解得x=5,则%=√10或物=一√0（舍去）.… 13分 此时方程(%-1)y2+6%y+12-后=0变为了9y+6√10y十2=0， 显然满足4=360-72=288>0，且y+为=-2D, 2 3y2= …15分 因为直线AB的方程为：2一6十+为=0.即2+2严，+号-0， 即直线AB的方程为9x十30y十1=0.…17分 19.(1)解：可求得0P=OP'-5,设∠P0r=0,则cos0=号，sin0=青， 设点Pd,y∠P0r=0计吾，故x=5os(+号)=5(2os0-号in0)=号-23， 寸=5sn(o+号)=5（安m0叶号s）=2+35.所以P(号-2g,2+3} …2分 (2)解：设OP=OP=r,∠POx=0,则x=rcos0,y=rsin0,∠P'Ox=0十a, =rcos (0+a)=rcos 0cos a-rsin Osin a=xcos a-ysin a, y=rsin (0+a)=rsin Ocos a+rcos Osin a=.rsin a+ycos a. …4分 所以坐标变换公式为。十：该变换所对应的二阶矩车为 C05 -sin a 6分 cosa (3)证明：设矩阵A-(任)向量m=(）n-(）,则m+n= …7分 y十y2 公（十）十(y十为），… 对应变换公式为：{-+)十a+: 10分 …11分 所以m十Am=（ 一)+(m十)-（十）+》 c(x1+x2)+d(y+) 故对应变换公式也为：了=（十）+d十： t=a（十）十b4十）………. 14分 所以A(m十n)一山m十n得证.…17分 【高二联考·数学参考答案第4页（共4页）】 9215B