专题02实数全章复习攻略（3个概念1个关系3个性质1种运算1个技巧2种思想专练）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）

专题02 实数全章复习攻略（3个概念1个关系3个性质1种运算1个技巧2种思想专练） 3个概念 【考查题型一】算术平方根与平方根 一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【例1】（2023秋•鹤壁期末）9的平方根是　　 A．3 B． C． D．没有平方根 【变式1-1】．（2023秋•任城区期末）的算术平方根是 　　． 【变式1-2】（2023春•扎赉特旗期末）一个正数的的平方根是与，求和的值． 【变式1-3】（2023秋•承德县期末）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【考查题型二】立方根 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 【例2】．（2023秋•西安期末）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根． 【变式2-1】（2023秋•高青县期末）已知，，那么下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2-2】．（2023春•海林市期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的立方根是 　　． 【变式2-3】．（2023春•鄂伦春自治旗期末）若，，则　 　． 【考查题型三】实数 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 【例3】．（2023春•巢湖市校级期中）下列说法中正确的是　　 A．带根号的数都是无理数 B．无限小数都是无理数 C．无理数是无限不循环小数 D．无理数是开方开不尽的数 【变式3-1】．（2023秋•射阳县期末）将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合： 　　 整数集合： 　　 负分数集合： 　　 无理数集合： 　　 【变式3-2】．（2022春•连平县校级期末）我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数； ⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数； ⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数． 其中说法错误的有　　（注填写出所有错误说法的编号） 【变式3-3】．（旌阳区校级期末）把下列各数填入相应的集合中： 、、0、、、、、、 ①无理数集合　 　 ②整数集合　　 ③有理数集合　　 ④负数集合　　 ． 1个关系 【考查题型四】实数与数轴的对应关系 要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 【例4】．（2023秋•邯郸期末）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画圆，交数轴于点．则点所表示的数为　　 A． B． C． D． 【变式4-1】．（2023秋•河北期末）实数在数轴上对应的点的大致位置是　　 A． B． C． D． 【变式4-2】．（2023秋•湛江期末）实数，和原点在数轴上的位置如图所示，下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 3个性质 【考查题型五】平方根的性质 平方根的性质 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【例5】（2023秋•斗门区期末）已知，若，则的值　　 A．86.2 B．0.862 C． D． 【变式5-1】．（2023秋•任城区期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式5-2】．（2021春•大余县期末）计算：　　． 【变式5-3】．（2023春•滨海新区校级期末）已知，，则的值是　 　． 【考查题型六】立方根的性质 立方根的性质 要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【例6】．（2023春•巴东县期末）已知，，那么下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 【变式6-1】．（2023秋•柯桥区期末）　　． 【变式6-2】．（2023春•鄂伦春自治旗期末）若，，则　 　． 【变式6-3】（2023春•莆田期末）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ （1）【发现与思考】 ，； 又； 是两位数； 的个位数字是9； 的个位数字是 　　． ，； 的十位数字是 　　． 　　． （2）【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出110592的立方根． 【考查题型七】实数的性质 实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 【例7】．（2023春•鸡西期末）的算术平方根的相反数是　　 A．2 B． C．4 D． 【变式7-1】．（2023春•西青区期末）的绝对值是　　 A． B． C． D． 【变式7-2】．（2023秋•榕城区期末）已知，． （1）已知的算术平方根为3，求的值； （2）如果一个正数的平方根分别为，，求这个正数． 【变式7-3】．（2023春•长垣市期末）已知的立方根是，的算术平方根是2，是的相反数． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 1种运算 【考查题型八】实数的运算 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 【例8】．（2023秋•仪征市期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【变式8-1】．（2023春•长沙期末）计算：． 【变式8-2】（2023春•科左中旗期末）计算：． 【变式8-3】．（2023春•铁锋区期末）计算：． 1个技巧 【考查题型九】比较实数大小的技巧 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 考向1.比较绝对值法 【例9】.比较与的大小． 考向2.开方法 【例10】.比较与的大小。 【变式】.比较大小－6 ______． 考向3.平方法或立方法 【例11】.比较和的大小． 【变式】．比较下列各组数的大小：（1）与2.5；（2）与． 考向4.取近似值法 【例12】．比较和的大小． 考向5.放缩法 【例13】．一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（       ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【变式13-1】．比较大小： ______﹣1．（填＞、=或＜）； 【变式13-2】.比较与的大小。 【变式13-3】．比较下列各组数中两个数的大小． （1）和12；          （2）和． 【变式 13-4】．比较与的大小． 考向6.作差法 【例14】.比较大小：1- ______ 1- （ 填＞或＜ ） 【变式14-1】.比较和的大小． 【变式14-2】．通过估算，比较与的大小． 考向7.特殊值法 【变式14-3】．如果实数，那么，，，自小到大顺序排列正确的是（       ） A． B． C． D． 2种思想 【考查题型十】数形结合思想 【例15】（2023秋•献县期末）正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2021对应的点是　　 A． B． C． D． 【变式15-1】．（2023秋•巴中期末）如图，数轴上有，，，四点，则这四点中所表示的数最接近的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【变式15-2】．（2023春•敦化市期末）表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值． 【变式15-3】．（2023春•咸安区期末）已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： （1）化简：； （2）若实数，满足，求的平方根． 【变式15-4】（2023春•无为市期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为的正方形，试求出这个正方形的边长； （2）小强的手中有两块边长都为的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 【考查题型十一】分类讨论思想 【例16】.（2022春•如皋市校级月考）已知，是11的平方根，且，求的值． 【变式】（2023秋•邯郸期末）的平方根是，的立方根是，则的值为　　 A． B．0 C．0或 D．6或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数全章复习攻略（3个概念1个关系3个性质1种运算1个技巧2种思想专练） 3个概念 【考查题型一】算术平方根与平方根 一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【例1】（2023秋•鹤壁期末）9的平方根是　　 A．3 B． C． D．没有平方根 【分析】根据平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：9的平方根是， 故选：． 【点评】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式1-1】．（2023秋•任城区期末）的算术平方根是 　　． 【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：，则其算术平方根为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式1-2】（2023春•扎赉特旗期末）一个正数的的平方根是与，求和的值． 【分析】根据平方根的定义得出，进而求出的值，即可得出的值． 【解答】解：一个正数的的平方根是与， 或 解得：或， 或． 或． 【点评】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键． 【变式1-3】（2023秋•承德县期末）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【分析】（1）设长方形信封的长为 ，宽为 ，由长方形的面积可求出的值，从而求出长方形信封的长和宽； （2）先计算出正方形贺卡的边长，然后与长方形信封的宽进行比较，得出结论． 【解答】解：（1）设长方形信封的长为 ，宽为 ， 由题意得， ， ，， 答：长方形信封的长为，宽为； （2）面积为的正方形贺卡的边长是， ， ， ，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， 小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的运算是解题的关键． 【考查题型二】立方根 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 【例2】．（2023秋•西安期末）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根． 【分析】根据平方根的定义，即可得到，然后即可求得的值；同理可以得到，即可得到的值，进而求得答案． 【解答】解：的平方根为， ， ， 的算术平方根为4， ， ， ， ， ， 的立方根是2． 【点评】本题主要考查了平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根，算术平方根的定义． 【变式2-1】（2023秋•高青县期末）已知，，那么下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据立方根的规律解答即可． 【解答】解：； 故选：． 【点评】本题考查立方根的意义，根据立方根的规律解答是解决问题的前提． 【变式2-2】．（2023春•海林市期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的立方根是 　　． 【分析】根据平方根的定义求出的值，进而求出的值，再根据立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得， ， 的立方根是， 故答案为：3． 【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【变式2-3】．（2023春•鄂伦春自治旗期末）若，，则　 　． 【分析】将变形为，再代入计算即可求解． 【解答】解： ． 故答案为：293.8． 【点评】考查了立方根，关键是将变形为 【考查题型三】实数 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 【例3】．（2023春•巢湖市校级期中）下列说法中正确的是　　 A．带根号的数都是无理数 B．无限小数都是无理数 C．无理数是无限不循环小数 D．无理数是开方开不尽的数 【分析】根据无理数的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：、带根号的数不都是无理数，例如：是有理数，故不符合题意； 、无限不循环小数都是无理数，故不符合题意； 、无理数是无限不循环小数，故符合题意； 、无理数不都是开方开不尽的数，例如：也是无理数，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了实数，熟练掌握无理数的意义是解题的关键． 【变式3-1】．（2023秋•射阳县期末）将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合： 　　 整数集合： 　　 负分数集合： 　　 无理数集合： 　　 【分析】先根据绝对值的定义及化简符号的法则去掉绝对值的符号及多重符号，再根据正数、整数、负分数、无理数的定义求解即可． 【解答】解：，，． 正数集合：③④ 整数集合：②③ 负分数集合：①⑥ 无理数集合：⑤⑦． 故答案为：①④；②③；①⑥；⑤⑦． 【点评】本题主要考查了实数的分类及实数的意义，掌握正数、整数、负分数、无理数的定义与特点．特别注意整数和正数的区别，0是整数，但不是正数． 【变式3-2】．（2022春•连平县校级期末）我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数； ⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数； ⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数． 其中说法错误的有　　（注填写出所有错误说法的编号） 【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案． 【解答】解：①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的； ②带根号的数不一定是无理数是正确的，如； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的； ⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，原来的说法错误； ⑥没有最大的正整数，有最小的正整数，原来的说法正确． 故答案为：⑤． 【点评】此题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键． 【变式3-3】．（旌阳区校级期末）把下列各数填入相应的集合中： 、、0、、、、、、 ①无理数集合　 　 ②整数集合　　 ③有理数集合　　 ④负数集合　　 ． 【分析】根据无理数、整数、有理数、负数的定义选出即可． 【解答】解：①无理数集合，，，； ②整数集合，，，； ③有理数集合，0，、，，，； ④负数集合，，，； 故答案为：，，；0，，；，0，、，，；，，． 【点评】本题考查了无理数、整数、有理数、负数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力． 1个关系 【考查题型四】实数与数轴的对应关系 要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 【例4】．（2023秋•邯郸期末）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画圆，交数轴于点．则点所表示的数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据正方形的面积得出边长，得到，再根据点表示的数为，即可得到答案． 【解答】解：正方形的面积为3， ， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ， 点表示的数为， 点所表示的数为， 故选：． 【点评】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积得出边长是解此题的关键． 【变式4-1】．（2023秋•河北期末）实数在数轴上对应的点的大致位置是　　 A． B． C． D． 【分析】估算的取值范围，即可在数轴上表示它的大致位置． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查了数轴表示数的意义，正确的对一个无理数进行估算是得出答案的关键． 【变式4-2】．（2023秋•湛江期末）实数，和原点在数轴上的位置如图所示，下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由图可知，，且，由此条件逐一判断选项即可． 【解答】解：、由图可知，，故选项不符合题意； 、由图可知，，且，，故选项不符合题意； 、由图可知，，，故选项符合题意； 、由图可知，，，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了实数与数轴的知识点，解题的关键是根据图中的已知条件逐一判断选项． 【变式4-3】．（2023春•浦东新区校级期末）数轴上的点表示的数是，那么它到原点的距离是 　　． 【分析】点到原点的距离就是的绝对值，进而作答． 【解答】解：点表示的数是， ， 所以它到原点的距离为：． 【点评】本题考查点到原点的距离即绝对值，解题的关键是会正确求出绝对值． 3个性质 【考查题型五】平方根的性质 平方根的性质 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【例5】（2023秋•斗门区期末）已知，若，则的值　　 A．86.2 B．0.862 C． D． 【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出的值． 【解答】解：，， ， 则． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 【变式5-1】．（2023秋•任城区期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意； 、没有意义，不可以计算，原计算错误，故此选项不符合题意； 、，原计算错误，故此选项不符合题意； 、，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义和性质． 【变式5-2】．（2021春•大余县期末）计算：　3　． 【分析】根据算术平方根概念的性质化简即可求出结果． 【解答】解：． 故填3． 【点评】本题主要考查了算术平方根概念的运用，其中利用了． 【变式5-3】．（2023春•滨海新区校级期末）已知，，则的值是　144.9　． 【分析】把的被开方的小数点向右移动4位，则其平方根的小数点向右移动2位，即可得到． 【解答】解：， 而， ． 故答案为144.9． 【点评】本题考查了算术平方根：若一个正数的平方等于，那么这个数叫的算术平方根，记作． 【考查题型六】立方根的性质 立方根的性质 要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【例6】．（2023春•巴东县期末）已知，，那么下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据立方根的规律解答即可． 【解答】解：； 故选：． 【点评】本题考查立方根的意义，根据立方根的规律解答是解决问题的前提． 【变式6-1】．（2023秋•柯桥区期末）　　． 【分析】根据立方根的定义即可求出答案． 【解答】解：， ， 故答案为： 【点评】本题考查立方根的定义，解题的关键是正确理解立方根的定义，本题属于基础题型． 【变式6-2】．（2023春•鄂伦春自治旗期末）若，，则　 　． 【分析】将变形为，再代入计算即可求解． 【解答】解： ． 故答案为：293.8． 【点评】考查了立方根，关键是将变形为 【变式6-3】（2023春•莆田期末）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ （1）【发现与思考】 ，； 又； 是两位数； 的个位数字是9； 的个位数字是 　　． ，； 的十位数字是 　　． 　　． （2）【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出110592的立方根． 【分析】（1）根据一个数的立方的个位数字与原数个位数字的关系，确定个位数字，再根据特殊数的立方确定十位数字即可； （2）先确定结果是两位数，再确定个位数字，最后确定十位数字即可． 【解答】解：（1），； 又； 是两位数； 的个位数字是9； 的个位数字是9， ，； 的十位数字是3； ， 故答案为：3，9，39； （2），； 又； 是两位数； 的个位数字是2； 的个位数字是8， ，； 的十位数字是4． ． 【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义以及立方根的计算方法是正确解答的前提． 【考查题型七】实数的性质 实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 【例7】．（2023春•鸡西期末）的算术平方根的相反数是　　 A．2 B． C．4 D． 【分析】先求得的值，然后再利用算术平方根和相反数的定义求解即可． 【解答】解：， 4的算术平方根是2． 2的相反数是． 故选：． 【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质、相反数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式7-1】．（2023春•西青区期末）的绝对值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据绝对值的代数意义进行取绝对值即可． 【解答】解：， ． 的绝对值是它本身． 故选：． 【点评】本题考查了无理数的估算，熟记一些常用的无理数的近似值有助于提升计算和判定的速度． 【变式7-2】．（2023秋•榕城区期末）已知，． （1）已知的算术平方根为3，求的值； （2）如果一个正数的平方根分别为，，求这个正数． 【分析】（1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数． 【解答】解：（1）的算术平方根为3， ， 即， ； （2）根据题意得：， 即：， ， ， 这个正数为． 【点评】本题考查了算术平方根，平方根的定义，注意二次根式与平方的联系． 【变式7-3】．（2023春•长垣市期末）已知的立方根是，的算术平方根是2，是的相反数． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【分析】（1）的立方根是，可得，的算术平方根是2，可得，进而可求出，的值；是的相反数，可得； （2）计算出的值，再求其平方根即可． 【解答】解：（1）的立方根是， ，即； 的算术平方根是2， ，即， ； 是的相反数， ， ，，； （2），，， ， 的平方根为． 【点评】本题考查了估算无理数的大小以及平方根与立方根，熟练掌握无理数的相关运算是解本题的关键． 1种运算 【考查题型八】实数的运算 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 【例8】．（2023秋•仪征市期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减； （2）先移项，再通过开平方进行求解． 【解答】解：（1） ； （2）移项，得， 开平方，得， 解得或． 【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 【变式8-1】．（2023春•长沙期末）计算：． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式8-2】（2023春•科左中旗期末）计算：． 【分析】由绝对值、立方根、算术平方根、乘方的运算法则进行化简，然后计算加减即可得到答案． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了绝对值、立方根、算术平方根、乘方的运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 【变式8-3】．（2023春•铁锋区期末）计算：． 【分析】先计算立方根、算术平方根与绝对值，再合并即可得到答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查的是实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键． 1个技巧 【考查题型九】比较实数大小的技巧 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 考向1.比较绝对值法 【例9】.比较与的大小． 解：因为；，[ 又因为，根据两个负数，绝对值大的反而小，可知． 【解读】利用“两个负数，绝对值大的反而小”，即可通过比较绝对值的方法来比较两个实数的大小。 考向2.开方法 【例10】.比较与的大小。 解：， 因为，所以． 即． 【解读】将一正数写成带根号的形式，根据“两个正无理数，被开方数大的那个数大”，即可与另一个含根号的数比较大小。 【变式】.比较大小－6 ______． 【答案】＜ 【解析】， ， . 考向3.平方法或立方法 【例11】.比较和的大小． 解：因为， 而， 所以，所以． 【解读】通过“两个正数，平方大的那个数就大”，即可通过比较两个正数的平方的形式来比较这两个正数的大小。 【变式】．比较下列各组数的大小：（1）与2.5；（2）与． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1），9＜15.625， ，， （2），， ，． 考向4.取近似值法 【例12】．比较和的大小． 【答案】＞ 【详解】因为≈－1.0308， ≈－1.0472， 故－1.0308＞－1.0472， 所以＞． 31.比较与的大小． 解：因为， 又因为， 所以． 【解读】通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小。 考向5.放缩法 【例13】．一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（       ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【详解】∵正方形的面积是18， ∴它的边长是， ∵， ∴， 即它的边长的大小在4与5之间． 故选：C 【变式13-1】．比较大小： ______﹣1．（填＞、=或＜）； 【答案】＜． 【解析】∵2<<3， ∴－3<－<－2， ∵－2<－1 ∴<﹣1 【变式13-2】.比较与的大小。 解：因为， 所以， 即． 【解读】将一个实数取比它大的整数，而另一个实数取比它小的整数，通过这两个整数的大小即可比较两个实数的大小 【变式13-3】．比较下列各组数中两个数的大小． （1）和12；          （2）和． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）∵，∴，即； （2）∵，，∴． 【变式 13-4】．比较与的大小． 【答案】＜． 【详解】因为，， ∴，， 即，． 故：＜ 考向6.作差法 【例14】.比较大小：1- ______ 1- （ 填＞或＜ ） 【答案】＞ 【解析】解：∵ ∴ 【变式14-1】.比较和的大小． 解：因为， 而． 所以． 即， 所以． 【解读】将这两个数列减法算式并求差，然后根据差的正负性来判断是被减数大还是减数大，即可比较出两个实数的大小。 【变式14-2】．通过估算，比较与的大小． 【答案】． 【详解】， ， ， ． 考向7.特殊值法 【变式14-3】．如果实数，那么，，，自小到大顺序排列正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若a＝﹣， ﹣a＝， a2＝， ＝﹣2， ∵﹣2＜﹣＜＜， ∴＜a＜a2＜﹣a， 故选：C． 2种思想 【考查题型十】数形结合思想 【例15】（2023秋•献县期末）正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2021对应的点是　　 A． B． C． D． 【分析】由图可知正方形边长为1，顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转则点落在1，点落在2，点落在3，点落在4，可知其四次一循环，由此可确定出2021所对应的点． 【解答】解：当正方形在转动第一周的过程中，点落在1，点落在2，点落在3，点落在4，四次一循环， ， 所对应的点是， 故选：． 【点评】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 【变式15-1】．（2023秋•巴中期末）如图，数轴上有，，，四点，则这四点中所表示的数最接近的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】利用“夹逼法”求得的取值范围，可得答案． 【解答】解：因为， 所以． 所以． 所以，这四点中所表示的数最接近的是点． 故选：． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题时，利用了“夹逼法”求得无理数的取值范围． 【变式15-2】．（2023春•敦化市期末）表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值． 【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：由数轴可得：，， 则，，， 故原式 ． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确得出各式的符号是解题关键． 【变式15-3】．（2023春•咸安区期末）已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： （1）化简：； （2）若实数，满足，求的平方根． 【分析】（1）首先根据实数，在数轴上对应点的位置，得：，，进而得，，然后根据平方根的意义进行化简即可得出答案； （2）首先根据非负数的性质得且，由此解得，，进而再求出，据此即可得出答案． 【解答】解：（1）根据实数，在数轴上对应点的位置，得：，， ，， ． （2），， 又， 且， ，， ， 的平方根为． 【点评】此题主要考查了实数与数轴，平方根与绝对值的意义，非负数的性质等，解答（1）题的关键是根据实数，在数轴上对应点的位置，判断出，，解答（2）题的关键是理解非负数的性质：几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0． 【变式15-4】（2023春•无为市期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为的正方形，试求出这个正方形的边长； （2）小强的手中有两块边长都为的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 【分析】（1）根据正方形面积的计算方法进行计算即可； （2）由拼图可知大正方形的面积为，再根据正方形面积公式得出答案． 【解答】解：（1）面积为的正方形，其的边长为， 答：面积为的正方形，这个正方形的边长为； （2）由拼图可知，大正方形的面积为， 所以边长为， ，，而， ， 答：这个大正方形的面积为，边长为，不是整数，． 【点评】本题考查算术平方根，估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 【考查题型十一】分类讨论思想 【例16】.（2022春•如皋市校级月考）已知，是11的平方根，且，求的值． 【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案． 【解答】解：， ， 是11的平方根， ， ， 当，则， 故， 当，则， 故， 综上所述：的值为或． 【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键． 【变式】（2023秋•邯郸期末）的平方根是，的立方根是，则的值为　　 A． B．0 C．0或 D．6或 【分析】根据平方根及立方根的定义分别求得，的值后代入中计算即可． 【解答】解：，则其平方根为， 的立方根是， ， 则或， 故选：． 【点评】本题考查算术平方根，平方根及立方根，熟练掌握相关定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$