专题04 锐角三角函数（四大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题04 锐角三角函数 题型一 构造母子三角形模型 1．（2024年辽宁省丹东市东港市中考数学二模试题）如图，在海岸线上有B、C两个观测点，B、C之间距离为，海上有一小岛A，在小岛A处分别测得观测点B在小岛A的南偏西方向，观测点C在小岛A的南偏西方向，求小岛A与海岸线的距离．（结果精确到．参考数据：，，，） 2．（2024年辽宁抚顺市顺城区九年级第二次模考数学试题）如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢的长，卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转．A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为，货厢对角线，的交点G可视为货厢的重心，测得，假设该车在水平地面上进行卸货作业． (1)若，求点B到的距离； (2)卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故，若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据：，，，） 3．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是和，如果斑马线的宽度米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离约是多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1米） 4．（2024·辽宁沈阳和平区·二模）如图，在学校处测得图书城在其北偏东方向（即），千米；测得运动馆在其北偏东方向（即），千米，求图书城到运动馆的距离． （参考数据：，，，，，．） 5．（2024·辽宁辽阳·二模）如图，三座山峰在同一水平线MN上，在两座小山峰的山顶A，B分别测得主峰C的仰角为和．已知两座小山峰的高度米，米，索道米．求索道的长度．（点A，B，C在同一平面上，参考数据：，，，） 题型二 构造直角三角形+矩形模型 6．（2024年辽宁省营口市中考适应性测试（二模）数学试题）半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具．如图是一种轻体侧翻自卸半挂车．图1是半挂车拉货状态截面示意图，其中，（为水平地面）图2是其卸货状态截面示意图，四边形为矩形，为2.5米，为2米，车板离地的距离为1米．该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为（即）时可全部卸完货物，求此时车身最高点D离地面的距离．（参考数据：，，，结果保留一位小数．） 7．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，)    8．（2024年辽宁省鞍山市中考二模数学试题）通过物理学知识知道：光从水射入空气时会产生折射现象，使得眼睛看到的水中物体的像比该物体的实际位置浅．小睿同学站在池塘边，看到池塘底有一块鹅卵石，他想知道鹅卵石的实际位置要比他看到的像深多少？小睿同学通过查阅相关资料及仪器测量数据来解决问题，并形成了具体研究方案如下： 问题 鹅卵石的像到其实际位置的距离 工具 纸、笔、计算器、测角仪等 图形 说明 如图，鹅卵石在池底点C处，其像在点C正上方点G处，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得 数据 ， 请你根据上述信息解决以下问题： 求鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离．（结果精确到0.1m；参考数据：，） 9．（2024·辽宁大连沙河口区·二模）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）      10．（2024·辽宁鞍山海城·二模）如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面． (1)当水桶在井里时，，求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）； (2)如图2，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 11．（2024年辽宁省沈阳市九年级中考二模数学试题）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A，B，C，D，O在同一平面内）． (1)求点O到楼的距离的长； (2)求两栋楼与的高度之差.（结果精确到） （参考数据：，，，） 12．（2024·辽宁沈阳皇姑区·二模）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． (1)求坐垫E到地面的距离； (2)根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 题型三 新阅读理解题型 13．（2024年辽宁省大连市九年级多校中考第二次模拟联考数学试题）如图所示为年月日我国陆军进行军事训练的一幕，全体官兵士气高昂，精神饱满．图所示为训练中远程火炮射击的简图．已知一门炮筒长约的远程火炮位于点，点为炮口，火炮与水平地面夹角约为．此时火炮进行了一次射击，炮弹在飞行后落在了斜坡上．已知的坡角为，炮弹的轨迹为圆弧，炮弹轨迹所对的圆的圆心恰为点，，斜坡的高，则：    (1)求的半径； (2)如图，在炮弹发射的同时，我军某参演部队检测到了炮弹，并自斜坡上射出一发拦截弹，已知发射点距坡底为，射出拦截弹的轨迹为直线且与水平方向夹角为．拦截弹恰好于点成功拦截炮弹．若拦截弹的速度约为，炮弹的速度约为，则求炮弹飞过的路径长．（结果取整数．参考数据：，，，） 14．（2024·辽宁沈阳多校联考·二模）居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏OB旋转到的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知三点在一条直线上，且（参考数据：）． (1)求散热架底边AC的长； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？ 15．（2024·辽宁大连联考·二模）如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点P，连接与相交于点．水面截线，，． (1)如图（1）求水深； (2)将图（1）中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长； (3)将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长． 16．（2024年辽宁省大连市九年级中考二模数学试题）平板电脑借助磁吸背板支架放置在水平桌面上（如图1），其侧面示意图如图2所示，，，支架张开角为，其范围是，求点A到桌面距离的范围（结果精确到）． （参考数据：，，，） 题型四 三角函数特殊值及其运算 17．（2024·辽宁大连·二模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18．（2024年辽宁省营口市中考适应性测试（二模）数学试题）（1）计算：； （2）化简：． 19．（2024年辽宁省葫芦岛市绥中县九年级中考二模数学试题）计算： (1) (2)化简 20．（2024年辽宁省铁岭市开原市中考二模数学试题）（1）， （2）先化简，再求值：的值，其中使分式值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 锐角三角函数 题型一 构造母子三角形模型 1．（2024年辽宁省丹东市东港市中考数学二模试题）如图，在海岸线上有B、C两个观测点，B、C之间距离为，海上有一小岛A，在小岛A处分别测得观测点B在小岛A的南偏西方向，观测点C在小岛A的南偏西方向，求小岛A与海岸线的距离．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】小岛到海岸线的距离约为57.1米． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用--方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义、一元一次方程的解法是解题的关键．先过点A作，垂足为D，设米，根据，然后代值计算即可求出小岛到海岸线的距离． 【详解】解：过点A作，垂足为D， 设米， ∵， ∴， 即， 解得：， 答：小岛到海岸线的距离约为米． 2．（2024年辽宁抚顺市顺城区九年级第二次模考数学试题）如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢的长，卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转．A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为，货厢对角线，的交点G可视为货厢的重心，测得，假设该车在水平地面上进行卸货作业． (1)若，求点B到的距离； (2)卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故，若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据：，，，） 【答案】(1)A，B两点在垂直方向上的距离为 (2)不会发生事故，理由见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）作，垂足为，解直角三角形即可求得； （2）作，，垂足分别为E，F，解直角三角形求得、，然后进而求得，即可求得结论． 【详解】（1）解：过点B作，垂足为H， ， 在中，， ， ， 答：A，B两点在垂直方向上的距离为． （2）不会发生事故，理由如下： 分别过点G，C作，，垂足分别为E，F， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 货车不会发生事故． 3．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是和，如果斑马线的宽度米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离约是多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1米） 【答案】1.2米 【分析】如图，过点作，垂足为点，先求出，，在中，，得出，在中，，得出，即可得出，求解即可． 【详解】如图，过点作， 垂足为点， 根据题意，得，， 在中，， 即， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 解得 所以，轿车车头与斑马线的距离约是1.2米． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题关键． 4．（2024·辽宁沈阳和平区·二模）如图，在学校处测得图书城在其北偏东方向（即），千米；测得运动馆在其北偏东方向（即），千米，求图书城到运动馆的距离． （参考数据：，，，，，．） 【答案】13千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，分别过点作于，于，过点作于，在中，解直角三角形得出千米，千米，在中，解直角三角形得出千米，千米，最后再由勾股定理计算即可得出答案，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，分别过点作于，于，过点作于， 在中，，千米， ∴，， ∴千米，千米， 在中，，千米， ∴，， ∴千米，千米， 在中，千米，千米， ∴（千米）. 答：图书城到运动馆的距离约为13千米． 5．（2024·辽宁辽阳·二模）如图，三座山峰在同一水平线MN上，在两座小山峰的山顶A，B分别测得主峰C的仰角为和．已知两座小山峰的高度米，米，索道米．求索道的长度．（点A，B，C在同一平面上，参考数据：，，，） 【答案】索道的长度为580米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 过点作，过点作，，过点作，设，勾股定理求出的长，进而表示出的长，解直角三角形，求出的长，根据，求出的值，进而求出的值，再利用勾股定理，求出的长即可． 【详解】解：过点作，过点作，，过点作，则：，，，， 在中，由勾股定理，得：， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 答：索道的长度为580米． 题型二 构造直角三角形+矩形模型 6．（2024年辽宁省营口市中考适应性测试（二模）数学试题）半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具．如图是一种轻体侧翻自卸半挂车．图1是半挂车拉货状态截面示意图，其中，（为水平地面）图2是其卸货状态截面示意图，四边形为矩形，为2.5米，为2米，车板离地的距离为1米．该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为（即）时可全部卸完货物，求此时车身最高点D离地面的距离．（参考数据：，，，结果保留一位小数．） 【答案】此时车身最高点D离地面的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，交于点，交BC于点，证明四边形为矩形，得，在中，求出，在中，求得，再由求解即可 【详解】解：过点作于点，交于点，交BC于点，则， 四边形为矩形， ，，， ， ． 四边形为矩形， ， ，， ． 在中，， ，， ， 在中，， ， （m）， 答：此时车身最高点D离地面的距离约为． 7．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，)    【答案】塔高约为米 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，垂足为，设米，在，中，分别求得，根据，建立方程，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，    由题意得：米，，， 斜坡的坡度：，米， ， 米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 8．（2024年辽宁省鞍山市中考二模数学试题）通过物理学知识知道：光从水射入空气时会产生折射现象，使得眼睛看到的水中物体的像比该物体的实际位置浅．小睿同学站在池塘边，看到池塘底有一块鹅卵石，他想知道鹅卵石的实际位置要比他看到的像深多少？小睿同学通过查阅相关资料及仪器测量数据来解决问题，并形成了具体研究方案如下： 问题 鹅卵石的像到其实际位置的距离 工具 纸、笔、计算器、测角仪等 图形 说明 如图，鹅卵石在池底点C处，其像在点C正上方点G处，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得 数据 ， 请你根据上述信息解决以下问题： 求鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离．（结果精确到0.1m；参考数据：，） 【答案】鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先证明四边形为矩形，解直角三角形，求出，根据，求出，即，设，求出x的值，由求解即可． 【详解】解：， 四边形为矩形 ，， 在中， 在中， 设 答：鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离为． 9．（2024·辽宁大连沙河口区·二模）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）      【答案】米 【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，    依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 10．（2024·辽宁鞍山海城·二模）如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面． (1)当水桶在井里时，，求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）； (2)如图2，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)点A到地面的距离为； (2)点A上升的高度为； 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知m，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解； 【详解】（1）作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴m ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， m ∴点A到地面的距离为． （2）记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， m， 在中， m ∴点A上升的高度为． 11．（2024年辽宁省沈阳市九年级中考二模数学试题）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A，B，C，D，O在同一平面内）． (1)求点O到楼的距离的长； (2)求两栋楼与的高度之差.（结果精确到） （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定： （1）根据直角三角形的性质求得； （2）过C作于H，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 答：点O到楼的距离的长为； （2）解：过C作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，， ∴两栋楼与的高度之差为． 12．（2024·辽宁沈阳皇姑区·二模）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． (1)求坐垫E到地面的距离； (2)根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1)坐垫到地面的距离约为 (2)的长约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义． （1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可； （2）根据坐㻗到的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为，求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， ， ， 在中，， 所以坐垫到地面的距离为， 答：坐垫到地面的距离约为； （2）如图，由题意得，当时，人骑行最舒服， 在中，， 所以， 答：的长约为． 题型三 新阅读理解题型 13．（2024年辽宁省大连市九年级多校中考第二次模拟联考数学试题）如图所示为年月日我国陆军进行军事训练的一幕，全体官兵士气高昂，精神饱满．图所示为训练中远程火炮射击的简图．已知一门炮筒长约的远程火炮位于点，点为炮口，火炮与水平地面夹角约为．此时火炮进行了一次射击，炮弹在飞行后落在了斜坡上．已知的坡角为，炮弹的轨迹为圆弧，炮弹轨迹所对的圆的圆心恰为点，，斜坡的高，则：    (1)求的半径； (2)如图，在炮弹发射的同时，我军某参演部队检测到了炮弹，并自斜坡上射出一发拦截弹，已知发射点距坡底为，射出拦截弹的轨迹为直线且与水平方向夹角为．拦截弹恰好于点成功拦截炮弹．若拦截弹的速度约为，炮弹的速度约为，则求炮弹飞过的路径长．（结果取整数．参考数据：，，，） 【答案】(1)的半径为 (2)炮弹飞过的路径长为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合圆的性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握知识点、数形结合、正确计算是解题的关键． （1）过点作于，根据含度角的直角三角形的性质，得出的长，勾股定理求出的长，结合，求出的长，最后根据勾股定理计算，即为的半径； （2）连接，过点作于，先计算得出，解直角三角形得出、的长，为的半径，根据勾股定理计算，根据，求出拦截弹的轨迹长度，根据“时间路程速度”求出时间，结合炮弹的速度，求出炮弹飞过的路径长即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于，    ∵炮筒长约的远程火炮位于点，点为炮口，火炮与水平地面夹角约为，， ∴，， ∴，，， ∴， 又∵炮弹的轨迹为圆弧，炮弹轨迹所对的圆的圆心恰为点， ∴的半径为， 答：的半径为； （2）解：如图，连接，过点作于，    ∵的半径为， ∴， ∵的坡角为，射出拦截弹的轨迹为直线且与水平方向夹角为， ∴， ∵于， ∴， 又∵发射点距坡底为，即， ∴， ∴， ∴， ∵拦截弹的速度约为， ∴时间， ∵炮弹的速度约为， ∴炮弹飞过的路径长， 答：炮弹飞过的路径长为． 14．（2024·辽宁沈阳多校联考·二模）居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏OB旋转到的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知三点在一条直线上，且（参考数据：）． (1)求散热架底边AC的长； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用计算即可； （2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解； 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 答：AC的长约为； （2）过点B作交的延长线于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 因为 所以显示屏顶部比原来升高了约． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 15．（2024·辽宁大连联考·二模）如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点P，连接与相交于点．水面截线，，． (1)如图（1）求水深； (2)将图（1）中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长； (3)将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长． 【答案】(1) (2) (3)圆心运动的路径长为的长度 【分析】本题考查圆的实际应用，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． （1）连接，由垂径定理及勾股定理求解即可得到答案； （2）连接，过点作，与的延长线相较于点，利用三角形全等的判定与性质，结合勾股定理求解即可得到答案； （3）根据题意可知，滚动过程中圆心运动的路径长为的长度，求出弧对的圆心角带入公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 半圆与相切于点P， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ； （2）如图，连接，过点作，与的延长线相较于点， ， ， 在和中， ， ， 由（1）知，， ，， ， 在中，由勾股定理可得； （3）如图所示： 由（1）可知，， 在中，， ， ， 由题意可得，圆心运动的路径长为的长度． 16．（2024年辽宁省大连市九年级中考二模数学试题）平板电脑借助磁吸背板支架放置在水平桌面上（如图1），其侧面示意图如图2所示，，，支架张开角为，其范围是，求点A到桌面距离的范围（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】点A到桌面距离的范围为 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用． 连接，易证，然后进行分类讨论：当时，当时，即可解答． 【详解】解：连接， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， 即点A到桌面距离的范围为． 题型四 三角函数特殊值及其运算 17．（2024·辽宁大连联考·二模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）按照实数的运算顺序进行运算即可． （2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再将的值代入即可解答本题． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当时， 【点睛】本题主要考查分式的混合运算和实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，实数和分式的混合运算顺序和运算法则． 18．（2024年辽宁省营口市中考适应性测试（二模）数学试题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的化简与求值． （1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． （2）先算括号，再算除法即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 19．（2024年辽宁省葫芦岛市绥中县九年级中考二模数学试题）计算： (1) (2)化简 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算及整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）先计算零次幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数，然后计算加减法即可； （2）先算括号里的加法，再算乘法，最后约分即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（2024年辽宁省铁岭市开原市中考二模数学试题）（1）， （2）先化简，再求值：的值，其中使分式值为． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算、分式的化简求值、分式的值等于零等．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算进行计算即可； （2）相加分式的混合运算化简原式，再求出使分式值为的的值，代入计算即可． 【详解】解： ； （2） ； ∵分式值为， 即且， 解得：； 当时，原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$