专题01-02 整式的乘除、平行线（考点压轴，压轴必刷14种题型45题）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

专题01-02 整式的乘除与平行线（压轴必刷14种题型45题） 一．规律型：数字的变化类（共1小题） 1．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（　　） A．52013﹣1 B．52013+1 C． D． 二．幂的乘方与积的乘方（共1小题） 2．（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值． （2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值． 三．多项式乘多项式（共1小题） 3．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片　 　张． 四．完全平方公式（共6小题） 4．若a+b＝3，则2a2+4ab+2b2﹣6的值是（　　） A．12 B．6 C．3 D．0 5．观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯． 请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 　 　． 6．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图： （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝　 　，并说出第7排的第三个数是　 　． 7．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）： 根据前面各式的规律，则（a+b）6＝　 　． 8．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2． 例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方； （2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）； （3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值． 9．阅读理解： 若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值． 解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80 解决问题： （1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝　 　； （2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　 　平方单位． 五．完全平方公式的几何背景（共2小题） 10．如图所示，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为 　 　． 11．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示） （2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积． （3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系． 六．平方差公式（共2小题） 12．（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 13．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝　 　． 七．平方差公式的几何背景（共2小题） 14．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　 　． 15．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． ②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 八．整式的混合运算（共3小题） 16．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　） A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b 17．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为　 　． 18．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26， 则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是 　 　． 九．余角和补角（共3小题） 19．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题： （1）如图（1）：当∠DCE＝30°时，∠ACB+∠DCE＝　 　，若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由． （2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由． 20．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝2∠AOC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转45°至图2的位置，此时∠MOC＝　 　°； （2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转一周的过程中，若三角板绕点O按5°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值． 21．如图1，点O为直线AB上点，过点O作射线OC，使∠BOC＝50°．现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图2． （1）∠EOC＝　 　； （2）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的角平分线，求∠BOD的度数； （3）将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC＝∠AOE，求此时∠BOD的度数． 一十．相交线（共1小题） 22．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字． 则n条直线最多有　 　个交点． 一十一．对顶角、邻补角（共1小题） 23．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE． （1）求∠BOD的度数； （2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）． ①当t为何值时，直线EF平分∠AOB； ②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值． 一十二．垂线（共1小题） 24．如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B． （1）填空：∠OBC+∠ODC＝　 　； （2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF： （3）如图2：若BF、DG分别平分∠CBM、∠NDC，判断BF与DG的位置关系，并说明理由． 一十三．平行线的判定（共3小题） 25．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 26．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝　 　． 27．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°． （1）若∠1＝25°，则∠2的度数为 　 　； （2）直接写出∠1与∠3的数量关系：　 　； （3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　 　； （4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值 　 　． 一十四．平行线的性质（共18小题） 28．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 29．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 30．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H＝27°，则∠K＝（　　） A．76° B．78° C．80° D．82° 31．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（　　） A．170° B．160° C．150° D．140° 32．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝　 　度． 33．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝　 　． 34．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝　 　度． 35．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　度． 36．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　 　°． 37．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论　 　（填编号）． 38．已知直线AB∥CD． （1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　； （2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝　 　． 39．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度数．（直接写出结果） 40．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数． 41．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM． （1）求证：∠ABD＝∠C； （2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN， ①求证：∠ABF＝∠AFB； ②求∠CBE的度数． 42．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点． （1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由． （2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF，求的值． （3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数． 43．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F． （1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数； （2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； （3）如图③，当点P在线段EF的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明． 44．已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E． （1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝72°，直接写出∠BED的度数； （2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ADC＝x，∠ABC＝y，求∠BED的度数（用含有x，y的式子表示）． 45．（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01-02 整式的乘除与平行线（压轴必刷14种题型45题） 一．规律型：数字的变化类（共1小题） 1．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（　　） A．52013﹣1 B．52013+1 C． D． 【答案】D 【解答】解：令S＝1+5+52+53+…+52012， 则5S＝5+52+53+…+52012+52013， 5S﹣S＝﹣1+52013， 4S＝52013﹣1， 则S＝． 故选：D． 二．幂的乘方与积的乘方（共1小题） 2．（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值． （2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵10x＝3，10y＝2， ∴代数式103x+4y＝（10x）3×（10y）4 ＝33×24 ＝432； （2）∵3m+2n﹣6＝0， ∴3m+2n＝6， ∴8m•4n＝23m•22n＝23m+2n＝26＝64． 三．多项式乘多项式（共1小题） 3．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片　3　张． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 则需要C类卡片3张． 故答案为：3． 四．完全平方公式（共6小题） 4．若a+b＝3，则2a2+4ab+2b2﹣6的值是（　　） A．12 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【解答】解：∵2a2+4ab+2b2﹣6＝2（a+b）2﹣6， ∴原式＝2×32﹣6＝18﹣6＝12． 故选：A． 5．观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯． 请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 　﹣220　． 【答案】﹣220． 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3， （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， …… 依据规律可得到： （a+b）2倒数第三项的系数为1， （a+b）3倒数第三项的系数为3＝1+2， （a+b）4倒数第三项的系数为6＝1+2+3， … ∵（2x﹣1）11展开式有12项，其中含有x2的是第10项为：1+2+3+…+9+10＝55， ∴含有x2项的系数为：22×（﹣1）9×55＝﹣220， 故答案为：﹣220． 6．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图： （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝　a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5　，并说出第7排的第三个数是　15　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； 第7排的第三个数是15， 故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15； 7．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）： 根据前面各式的规律，则（a+b）6＝　a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 8．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2． 例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方； （2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）； （3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为： x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， x2﹣4x+2＝（x+）2﹣（2+4）x， x2﹣4x+2＝（x﹣）2﹣x2； （2）a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab， a2+ab+b2＝（a+b）2+b2； （3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4， ＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1）， ＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1）， ＝（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2＝0， 从而有a﹣b＝0，b﹣2＝0，c﹣1＝0， 即a＝1，b＝2，c＝1， ∴a+b+c＝4． 9．阅读理解： 若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值． 解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80 解决问题： （1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝　12　； （2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　384　平方单位． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4， 所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12； 故答案为：12； （2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3， 所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣； 答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣； （3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x）， ∵长方形CEPF的面积为160， ∴（20﹣x）（12﹣x）＝160， ∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160， ∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2， 设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8， 所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384； 故答案为：384． 五．完全平方公式的几何背景（共2小题） 10．如图所示，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：图中阴影部分的面积为： b（a+b）﹣a（b﹣a）﹣a（a+b）﹣b2 ＝ab+b2﹣+a2﹣a2﹣﹣b2 ＝b2 故答案为：． 11．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示） （2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积． （3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b （2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积， ∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49， 又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24， ∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25 （3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积 即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab． 六．平方差公式（共2小题） 12．（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1 ＝（24﹣1）（24+1）…（232+1）﹣1 ＝264﹣1﹣1 ＝264﹣2， ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16， 25＝32，26＝64，27＝128，28＝256， ∴2n的个位数字为2，4，8，6四个数字的循环． ∵64÷4＝16， ∴264﹣2的个位数字是4． 故选：B． 13．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+， ＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+， ＝（532﹣1）+， ＝． 七．平方差公式的几何背景（共2小题） 14．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　2m+4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x， 则4x＝（m+4）2﹣m2＝（m+4+m）（m+4﹣m）， 解得x＝2m+4． 故答案为：2m+4． 15．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　B　；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． ②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案是B； （2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）， ∴12＝4（x﹣2y） 得：x﹣2y＝3； ②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+） ＝××××××…×××× ＝× ＝． 八．整式的混合运算（共3小题） 16．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　） A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b 【答案】B 【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a， ∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC， ∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a， ∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab， 则3b﹣a＝0，即a＝3b． 解法二：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展， 设向右伸展长度为X，左上阴影增加的是3bX，右下阴影增加的是aX，因为S不变， ∴增加的面积相等， ∴3bX＝aX， ∴a＝3b． 故选：B． 17．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为　7或　． 【答案】7或． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13． ∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG， ∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10． ∵BE＝BA＝10， ∴LG＝EC＝3， ∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3． 当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4， 解得DG＝9或． 当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4， ∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG＝1×4+1×3＝7； 当DG＝时，AF＝CG＝，AJ＝， ∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG ＝ ＝． 故答案为7或． 18．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26， 则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是 　8　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝449为奇数应先进行F①运算， 即3×449+5＝1352（偶数）， 需再进行F②运算， 即1352÷23＝169（奇数）， 再进行F①运算，得到3×169+5＝512（偶数）， 再进行F②运算，即512÷29＝1（奇数）， 再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数）， 再进行F②运算，即8÷23＝1， 再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），…， 即第1次运算结果为1352，…， 第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…， 可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8， 从第6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数， 这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8． 故本题答案为：8． 九．余角和补角（共3小题） 19．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题： （1）如图（1）：当∠DCE＝30°时，∠ACB+∠DCE＝　30°　，若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由． （2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠ACB+∠DCE＝180°； 若∠DCE为任意锐角时，∠ACB+∠DCE＝180°， 理由如下：∵∠ACE+∠DCE＝90°， ∠BCD+∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝90°+90°＝180°； （2）∠ACB+∠DCE＝180°． 理由如下：∵∠ACD＝90°＝∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE＝360°， ∴∠ECD+∠ACB＝360°﹣（∠ACD+∠ECB）＝360°﹣180°＝180°． 故答案为30°． 20．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝2∠AOC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转45°至图2的位置，此时∠MOC＝　75　°； （2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转一周的过程中，若三角板绕点O按5°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠BOC+∠AOC＝180°，∠BOC＝2∠AOC， ∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°， 由旋转可知∠BOM＝45°， ∵OB平方∠MON， ∴∠MOC＝120°﹣45°＝75°． 故答案为：75． （2）由（1）得∠AOC＝60°， ∵∠MON＝90°， ∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON， ∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°， ∴∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°． （3）由（1）得∠AOC＝60°， ①如图，延长NO， 当直线ON恰好平分锐角∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD＝30°， 即逆时针旋转60°时NO延长线平分∠AOC， 由题意得，5t＝60， ∴t＝12； 如图，当NO平分∠AOC， ∴∠AON＝30°， 即逆时针旋转240°时NO平分∠AOC， ∴5t＝240， ∴t＝48， ∴三角板绕点O的运动时间为12秒或48秒． 21．如图1，点O为直线AB上点，过点O作射线OC，使∠BOC＝50°．现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图2． （1）∠EOC＝　40°　； （2）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的角平分线，求∠BOD的度数； （3）将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC＝∠AOE，求此时∠BOD的度数． 【答案】（1）40°； （2）10°； （3）30°或60°． 【解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∠DOC＝50°， ∴∠EOC＝90°﹣50°＝40°， 故答案为：40°； （2）设∠BOD＝α， ∴∠COD＝50°﹣α， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COE＝90°﹣∠COD， ∵OC是∠EOB的角平分线， ∴∠COE＝∠BOC＝50°， ∴90°﹣∠COD＝90°﹣（50°﹣α）＝50°， ∴α＝10°， ∴∠BOD＝10°； （3）设∠COD＝β，则∠AOE＝3β， 当OD在射线OC的右边， ∵∠BOC＝50°， ∴∠BOD＝50°﹣β， ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOE+∠BOD＝90°， ∴3β+50°﹣β＝90°， ∴β＝20°， ∴∠BOD＝50°﹣20°＝30°． 当OD在射线OC的左边， 同理可得∠BOD＝50°+10°＝60° 一十．相交线（共1小题） 22．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字． 则n条直线最多有　　个交点． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵两条直线相交，最多有1个交点，即1＝， 三条直线两条直线相交，最多有3个交点，即3＝ 四条直线相交，最多有6个交点，即6＝ 5条直线相交，最多有10个交点，即5＝， ∴n条直线相交，最多的交点个数是， 故答案为：． 一十一．对顶角、邻补角（共1小题） 23．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE． （1）求∠BOD的度数； （2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）． ①当t为何值时，直线EF平分∠AOB； ②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE， ∴∠AOC＝30°， 又∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°； （2）①分两种情况： ①当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°， 即9°t+30°﹣3°t＝45°， 解得t＝2.5； ②当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°， 即9°t﹣150°﹣3°t＝45°， 解得t＝32.5； 综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB； ②t的值为12s或36s． 分两种情况： ①当OE平分∠BOD时，∠BOE＝∠BOD， 即9°t﹣60°﹣3°t＝（60°﹣3°t）， 解得t＝12； ②当OF平分∠BOD时，∠DOF＝∠BOD， 即9°t﹣300°＝（3°t﹣60°）， 解得t＝36； 综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s． 一十二．垂线（共1小题） 24．如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B． （1）填空：∠OBC+∠ODC＝　180°　； （2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF： （3）如图2：若BF、DG分别平分∠CBM、∠NDC，判断BF与DG的位置关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵OM⊥ON， ∴∠MON＝90°， 在四边形OBCD中，∠C＝∠BOD＝90°， ∴∠OBC+∠ODC＝360°﹣90°﹣90°＝180°； 故答案为180°； （2）证明：延长DE交BF于H，如图1， ∵∠OBC+∠ODC＝180°， 而∠OBC+∠CBM＝180°， ∴∠ODC＝∠CBM， ∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM， ∴∠CDE＝∠FBE， 而∠DEC＝∠BEH， ∴∠BHE＝∠C＝90°， ∴DE⊥BF； （3）解：DG∥BF．理由如下： 作CQ∥BF，如图2， ∵∠OBC+∠ODC＝180°， ∴∠CBM+∠NDC＝180°， ∵BF、DG分别平分∠CBM、∠NDC， ∴∠GDC+∠FBC＝90°， ∵CQ∥BF， ∴∠FBC＝∠BCQ， 而∠BCQ+∠DCQ＝90°， ∴∠DCQ＝∠GDC， ∴CQ∥GD， ∴BF∥DG． 一十三．平行线的判定（共3小题） 25．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8， ∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8， ∴l2⊥l8． ∵l1⊥l2， ∴l1∥l8． 故选：A． 26．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝　秒或秒　． 【答案】 秒或秒． 【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°， ∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°， 分二种情况： 如图①，AB与CD在EF的两侧时， ∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC， 即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°， 解得t＝； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时， ∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°， 解得t＝； 综上所述，当时间t的值为 或秒时，CD与AB平行． 故答案为： 秒或秒． 27．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°． （1）若∠1＝25°，则∠2的度数为 　65°　； （2）直接写出∠1与∠3的数量关系：　∠1＝∠3　； （3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　∠2+∠ACB＝180°　； （4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值 　30°或45°或120°或135°或165°　． 【答案】（1）65°； （2）∠1＝∠3； （3）∠2+∠ACB＝180°； （4）30°或45°或120°或135°或165°． 【解答】解：（1）∵∠1＝25°，∠ACD＝90°， ∴∠2＝∠ACD﹣∠1＝65°， 故答案为：65°； （2）∵∠1+∠2＝∠ACD＝90°，∠2+∠3＝∠BCE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠2+∠3， ∴∠1＝∠3， 故答案为：∠1＝∠3； （3）∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠ACB+∠2 ＝∠1+∠2+∠3+∠2 ＝∠ACD+∠BCE ＝180°， 即∠2+∠ACB＝180°， 故答案为：∠2+∠ACB＝180°； （4）存在， ①当BC∥AD时， ∵BC∥AD， ∴∠BCD＝∠D＝30°， ∴∠ACB＝90°+30°＝120°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°； ②当BE∥AC时，如图， ∵BE∥AC， ∴∠ACE＝∠E＝45°； ③当AD∥CE时，如图， ∵AD∥CE， ∴∠DCE＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝90°+30°＝120°； ④当BE∥CD时，如图， ∵BE∥CD， ∴∠DCE＝∠E＝45°， ∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°； ⑤当BE∥AD时，如图， 过点C作CF∥AD， ∵BE∥AD，CF∥AD， ∴BE∥AD∥CF， ∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°， ∴∠DCE＝30°+45°＝75°， ∴∠ACE＝90°+75°＝165°． 综上所述：当∠ACE＝30°或45°或120°或135°或165°时，有一组边互相平行． 故答案为：30°或45°或120°或135°或165°． 一十四．平行线的性质（共18小题） 28．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α， ∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β， ∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°， 而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD， ∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°， ∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β， 在△AEF中，80°+2α+180°﹣2β＝180° 故β﹣α＝40°， 而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°， 故选：B． 29．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 【答案】B 【解答】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N， 则∠CDE＝∠E+∠CNE， 即∠CNE＝y﹣z ∵CM∥AB，AB∥EF， ∴CM∥AB∥EF， ∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE， ∵∠BCD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴x+y﹣z＝90°． 故选：B． 30．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H＝27°，则∠K＝（　　） A．76° B．78° C．80° D．82° 【答案】B 【解答】解：如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥RS∥MN， ∴∠RHB＝∠ABE＝∠ABK，∠SHC＝∠DCF＝∠DCK，∠NKB+∠ABK＝∠MKC+∠DCK＝180°， ∴∠BHC＝180°﹣∠RHB﹣∠SHC＝180°﹣（∠ABK+∠DCK）， ∠BKC＝180°﹣∠NKB﹣∠MKC＝180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）＝∠ABK+∠DCK﹣180°， ∴∠BKC＝360°﹣2∠BHC﹣180°＝180°﹣2∠BHC， 又∠BKC﹣∠BHC＝27°， ∴∠BHC＝∠BKC﹣27°， ∴∠BKC＝180°﹣2（∠BKC﹣27°）， ∴∠BKC＝78°， 故选：B． 31．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（　　） A．170° B．160° C．150° D．140° 【答案】B 【解答】解：如图，过点B作BD∥AE， 由已知可得：AE∥CF， ∴AE∥BD∥CF， ∴∠ABD＝∠A＝130°，∠DBC+∠C＝180°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝150°﹣130°＝20°， ∴∠C＝180°﹣∠DBC＝180°﹣20°＝160°． 故选：B． 32．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝　20　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过点C作CF∥AB， 已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同， ∴AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠BCF+∠ABC＝180°， ∴∠BCF＝60°， ∴∠DCF＝20°， ∴∠CDE＝∠DCF＝20°． 故答案为：20． 33．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝　16°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°， ∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G， ∴∠DEF＝∠GEF＝49°， ∴∠2＝2×49°＝98°， ∴∠1＝180°﹣98°＝82°， ∴∠2﹣∠1＝98°﹣82°＝16°． 故答案为16°． 34．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝　155　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE， ∴∠A′EF＝∠AEF． ∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF． ∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF． 由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME， ∴∠A′ED＝∠A″ED． ∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF， ∴∠A′ED＝105°+∠DEF． ∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF． ∴∠DEF＝25°． ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝25°． ∴∠CFE＝180°﹣∠EFB ＝180°﹣25° ＝155°． 故答案为：155． 35．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　度． 【答案】（1）（x+y）；（2）（）n﹣1（x+y）． 【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴＝． ． 以此类推：，，...，． 故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 36．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　72　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD∥CB， ∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF， 即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°， ∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°． ∵∠H＝∠D＝90°， ∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°． 由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°， ∴∠GMN＝72°． 故答案为：72． 37．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论　①②③　（填编号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①∵AB∥CD， ∴∠BOD＝∠ABO＝a°， ∴∠COB＝180°﹣a°＝（180﹣a）°， 又∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COB＝（180﹣a）°．故①正确； ②∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴∠BOF＝90°﹣（180﹣a）°＝a°， ∴∠BOF＝∠BOD， ∴OF平分∠BOD所以②正确； ③∵OP⊥CD， ∴∠COP＝90°， ∴∠POE＝90°﹣∠EOC＝a°， ∴∠POE＝∠BOF； 所以③正确； ∴∠POB＝90°﹣a°， 而∠DOF＝a°，所以④错误． 38．已知直线AB∥CD． （1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　∠E＝∠END﹣∠BME　； （2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠END＝∠EFB， ∵∠EFB是△MEF的外角， ∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME， 故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME； （2）如图2，∵AB∥CD， ∴∠CNP＝∠NGB， ∵∠NPM是△GPM的外角， ∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA， ∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE， ∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA， ∵AB∥CD， ∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP， ∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°， ∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°， 即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°， ∴∠E+2∠NPM＝180°； （3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H， ∵AB∥CD， ∴∠CDG＝∠AGE， ∵∠ABE是△BEG的外角， ∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，① ∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE， ∴∠ABM＝∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝∠CDE＝∠FDH， ∵∠CHB是△DFH的外角， ∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），② 由①代入②，可得∠F＝∠E， 即． 故答案为：． 39．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度数．（直接写出结果） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN， ∵MG⊥NG， ∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°； （2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α， ∵GK∥AB，AB∥CD， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝α， ∵GK∥AB，∠BMG＝40°， ∴∠MGK＝∠BMG＝40°， ∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP， ∴∠GMP＝∠BMG＝40°， ∴∠BMP＝80°， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝80°， ∵ND平分∠GNP， ∴∠DNP＝∠GND＝α， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠DNP＝α， ∴∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α， ∴∠MGN+∠MPN＝40°+α+80°﹣α＝120°； （3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y， ∵AB，FG交于M，MF平分∠AME， ∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x， ∴∠AME＝2x， ∵GK∥AB， ∴∠MGK＝∠BMG＝x， ∵ET∥AB， ∴∠TEM＝∠EMA＝2x， ∵CD∥AB∥KG， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝y， ∴∠MGN＝x+y， ∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG， ∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y， ∵ET∥AB∥CD， ∴ET∥CD， ∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y， ∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y， ∵2∠MEN+∠G＝102°， ∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝102°， ∴x＝26°， ∴∠AME＝2x＝52°． 40．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°， 又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（∠ABP+∠PBN）＝∠ABN＝60°． （2）不变．理由如下： ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， 又∵BD平分∠PBN， ∴∠ADB＝∠DBN＝∠PBN＝∠APB，即∠APB：∠ADB＝2：1． （3）∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 又∵∠ACB＝∠ABD， ∴∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝∠CBN﹣∠CBD＝∠DBN， ∴∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN， ∴∠ABC＝∠ABN＝30°． 41．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM． （1）求证：∠ABD＝∠C； （2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN， ①求证：∠ABF＝∠AFB； ②求∠CBE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过B作BG∥CN， ∴∠C＝∠CBG ∵AB⊥BC， ∴∠CBG＝90°﹣∠ABG， ∴∠C＝90°﹣∠ABG， ∵BG∥CN，AM∥CN， ∴AM∥BG， ∴∠DBG＝90°＝∠D， ∴∠ABD＝90°﹣∠ABG， ∴∠ABD＝∠C； （2）①如图2，设∠DBE＝∠EBA＝x，则∠BCN＝2x，∠FCB＝5x， 设∠ABF＝y，则∠BFC＝1.5y， ∵BF平分∠DBC， ∴∠FBC＝∠DBF＝2x+y， ∵∠AFB+∠BCN＝∠FBC， ∴∠AFB+2x＝2x+y， ∴∠AFB＝y＝∠ABF； ②∵∠CBA＝90°，AF∥CN， ∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF＝180°， ∴， ∴， ∴∠CBE＝3x+2y＝3×15°+2×30°＝105°． 42．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点． （1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由． （2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF，求的值． （3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）； （3）75°． 【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2， 证明：过C作l∥MN，如图所示， ∵l∥MN， ∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等）， ∵l∥MN，PQ∥MN， ∴l∥PQ， ∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等）， ∴∠3+∠4＝∠1+∠2， ∴∠C＝∠1+∠2； （2） ∵∠BDF＝∠GDF， ∵∠BDF＝∠PDC， ∴∠GDF＝∠PDC， ∵∠PDC+∠CDG+∠GDF＝180°， ∴∠CDG+2∠PDC＝180°， ∴∠PDC＝90°﹣∠CDG， 由（1）可得，∠PDC+∠CEM＝∠C＝90°， ∴∠AEN＝∠CEM， ∴＝； （3）过C作CE∥PQ，过D作DF∥PQ． ∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC＝25°， ∴∠PBD＝2∠PBC＝50°，∠CAM＝∠MAD， ∵PQ∥MN， ∴∠BDF＝∠PBD＝50°， ∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝50°﹣∠MAD， 由（1）可得，∠ACB＝∠PBC+∠CAM， ∴∠ACB+∠ADB＝∠PBC+∠CAM+50°﹣∠CAM＝25°+50°＝75°． 43．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F． （1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数； （2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； （3）如图③，当点P在线段EF的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】 （1）解：过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∵∠A＝20°， ∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO， ∵∠APC＝70° ∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°； （2）∠A+∠C＝∠APC， 证明：过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO， ∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C； （3）解：不成立，关系式是：∠A﹣∠C＝∠APC， 理由是：过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO， ∴∠A﹣∠C＝∠APO﹣∠CPO＝∠APC， 即∠A﹣∠C＝∠APC． 44．已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E． （1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝72°，直接写出∠BED的度数； （2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ADC＝x，∠ABC＝y，求∠BED的度数（用含有x，y的式子表示）． 【答案】（1）66°； （2）180°﹣y+x． 【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠EBA， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED＝∠EDC， ∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC，即∠BED＝∠EBA+∠EDC， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝36°， ∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝66°； （2）过点E作EF∥AB，如图2， 则∠BEF+∠EBA＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠EBA， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED＝∠EDC， ∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠EBA＝∠ABC＝y，∠EDC＝∠ADC＝x， ∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣y+x． 45．（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）． 【答案】（1）∠EPF的度数为64°； （2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA，理由见解答； （3）∠G的度数为α． 【解答】解：（1）过点P作PG∥AB， ∴∠BEP＝∠EPG＝36°， ∵AB∥CD， ∴GP∥CD， ∴∠FPG＝180°﹣∠CFP＝28°， ∴∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝64°， ∴∠EPF的度数为64°； （2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA， 理由：过点P作PG∥AB， ∴∠EPG＝∠PEA， ∵AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠PFC＝∠FPG， ∵∠EPF＝∠FPG﹣∠EPG， ∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA； （3）∵FG平分∠PFC，EG平分∠AEP， ∴∠GFC＝∠PFC，∠GEA＝∠AEP， 由（2）可得：∠G＝∠GFC﹣∠GEA， ∵∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝α ∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA ＝∠PFC﹣∠AEP ＝（∠PFC﹣∠PEA） ＝α， ∴∠G的度数为α． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/29 9:52:47；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$