专题03-04 三角形、变量间的关系（考点压轴，压轴必刷6种题型40题）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

专题03-04 三角形与变量间关系（压轴必刷6种题型40题） 一．函数的图象（共6小题） 1．如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（　　） A．B点表示此时快车到达乙地 B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地 C．快车的速度为km/h D．慢车的速度为125km/h 2．在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 3．均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（　　） A． B． C． D． 4．甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（　　） A．甲队率先到达终点 B．甲队比乙队多走了200米路程 C．乙队比甲队少用0.2分钟 D．比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快 5．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法： ①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米； ②兔子和乌龟同时从起点出发； ③乌龟在途中休息了10分钟； ④兔子在途中750米处追上乌龟． 其中正确的说法是　 　．（把你认为正确说法的序号都填上） 6．小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡的速度保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是　 　分钟． 二．动点问题的函数图象（共2小题） 7．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPQ的面积是（　　） A．10 B．16 C．20 D．36 8．已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB＝6cm，则下列四个结论中正确的个数有（　　） ①图1中的BC长是8cm，②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2， ③图1中的CD长是4cm，④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三．三角形的面积（共5小题） 9．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 10．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是　 　． 11．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积　 　． 12．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为　 　． 13．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BC＝3DC，S△GEC＝3，S△GBD＝8，则△ABC的面积是　 　． 四．三角形内角和定理（共6小题） 14．已知△ABC， （1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A； （2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A； （3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A． 上述说法正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝　 　度． 16．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，则∠AIB＝　 　． （2）如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D． ①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝　 　°． ②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由． （3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数． 17．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8”字型．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 18．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　 　°； （2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D． ①若∠BAO＝60°，则∠D＝　 　°； ②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由； （3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数． 19．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有　 　个，以点O为交点的“8字型”有　 　个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 五．全等三角形的判定（共2小题） 20．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有　 　（填序号）． 21．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 六．全等三角形的判定与性质（共19小题） 22．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　） A．50 B．62 C．65 D．68 23．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 24．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论： ①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC， 其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 27．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝108°．连接AC、BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝108°，②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠BMC．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 28．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，下列结论：①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD＝2S△DNE．其中正确的结论有 　 　．（填写序号即可） 29．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为　 　，线段CF、BD的数量关系为　 　； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由． 30．（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．） 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 31．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状． 32．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N． （1）求证：AE＝CD； （2）求证：AE⊥CD； （3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有　 　（请写序号，少选、错选均不得分）． 33．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　 　°，∠AED＝　 　°； （2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 34．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 35．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　； 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 36．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G．E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）． （1）分别写出当0＜t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）． （2）在点F从点C返回点B过程中，当BF＝AE时，求t的值． （3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值． 37．阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化到△ADF中即可判断． （1）AB、AD、DC之间的等量关系为　 　； （2）完成（1）的证明． 问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论． 38．在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），且∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE． （1）如图1，若点D在BC边上（点D与B、C不重合），求∠BCE的度数； （2）如图2，若点D在CB的延长线上，连接BE，若DB＝5，BC＝7，求△ADE的面积． 39．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． （1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE （2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC． 40．（1）如图，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得到如下两个结论：①DC＝BC；②AD+AB＝AC． 请你证明结论②． （2）如图，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC+∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＝∠ADC，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，直接写出你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03-04 三角形与变量间关系（压轴必刷6种题型40题） 一．函数的图象（共6小题） 1．如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（　　） A．B点表示此时快车到达乙地 B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地 C．快车的速度为km/h D．慢车的速度为125km/h 【答案】C 【解答】解：A、B点表示快车与慢车出发4小时两车相遇；故本选项错误； B、B﹣C﹣D段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地，慢车继续行驶，慢车共用了12小时到达甲地故本选项错误； C、快车的速度＝﹣＝（km/h）；故本选项正确； D、慢车的速度＝＝（km/h）；故本选项错误； 故选：C． 2．在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度． 则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变． 故选：C． 3．均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为水面高度开始增加的慢，后来增加的快， 所以容器下面粗，上面细． 故选：B． 4．甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（　　） A．甲队率先到达终点 B．甲队比乙队多走了200米路程 C．乙队比甲队少用0.2分钟 D．比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快 【答案】C 【解答】解：A、由函数图象可知，甲走完全程需要4分钟，乙走完全程需要3.8分钟，乙队率先到达终点，本选项错误； B、由函数图象可知，甲、乙两队都走了1000米，路程相同，本选项错误； C、因为4﹣3.8＝02分钟，所以，乙队比甲队少用0.2分钟，本选项正确； D、根据0～2.2分钟的时间段图象可知，甲队的速度比乙队的速度快，本选项错误； 故选：C． 5．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法： ①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米； ②兔子和乌龟同时从起点出发； ③乌龟在途中休息了10分钟； ④兔子在途中750米处追上乌龟． 其中正确的说法是　①③④　．（把你认为正确说法的序号都填上） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据图象可知： 龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确； 兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误； 乌龟在30﹣﹣40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确； y1＝20x﹣200（40≤x≤60），y2＝100x﹣4000（40≤x≤50），当y1＝y2时，兔子追上乌龟， 此时20x﹣200＝100x﹣4000， 解得：x＝47.5， y1＝y2＝750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确． 综上可得①③④正确． 故答案为：①③④． 6．小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡的速度保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是　37.2　分钟． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图中可以看出：上坡速度为：＝2百米/分，下坡速度为：＝5百米/分， 返回途中，上下坡的路程正好相反，所用时间为：+＝7.2+30＝37.2分． 故答案为：37.2． 二．动点问题的函数图象（共2小题） 7．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPQ的面积是（　　） A．10 B．16 C．20 D．36 【答案】C 【解答】解：∵x＝4时，及R从N到达点P时，面积开始不变， ∴PN＝4， 同理可得QP＝5， ∴矩形的面积为4×5＝20． 故选：C． 8．已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB＝6cm，则下列四个结论中正确的个数有（　　） ①图1中的BC长是8cm，②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2， ③图1中的CD长是4cm，④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了4cm，因而CG＝4cm，BC＝8cm； P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD＝4cm，面积y＝＝24cm2． 图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，△ABP的面积是18cm2．四个结论都正确． 故选：D． 三．三角形的面积（共5小题） 9．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解答】解：满足条件的C点有5个，如图平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是． 故选：A． 10．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】方法1 解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G， ∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF， ∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6， ∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2， ∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4． 故答案为4． 方法2 设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6② 由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故阴影部分的面积为4． 故答案为：4． 11．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积　7　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1， ∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点， ∴S△ABB1＝S△ABC＝1， S△A1AB1＝S△ABB1＝1， ∴S△A1BB1＝S△A1AB1+S△ABB1＝1+1＝2， 同理：S△B1CC1＝2，S△A1AC1＝2， ∴△A1B1C1的面积＝S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC＝2+2+2+1＝7． 故答案为：7． 12．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点， ∴AE＝DE＝AD，EF＝CF＝CE，BD＝DC＝BC， ∵△ABC的面积等于36， ∴S△ABD＝S△ACD＝＝18， S△ABE＝S△BED＝＝9，S△AEC＝S△CDE＝S△ACD＝9， ∴S△BEC＝S△BDE+S△CDE＝9+9＝18， ∴S△BEF＝S△BCF＝S△BEC＝＝9， 故答案为：9． 13．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BC＝3DC，S△GEC＝3，S△GBD＝8，则△ABC的面积是　30　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BC＝3DC， ∴BD＝2DC， ∴S△CDG＝S△GBD＝4， ∵S△GEC＝3， ∴S△BCE＝S△BDG+S△GEC+S△CDG＝8+3+4＝15， ∵E是AC的中点， ∴S△ABC＝2S△BCE＝2×15＝30． 故答案为：30． 四．三角形内角和定理（共6小题） 14．已知△ABC， （1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A； （2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A； （3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A． 上述说法正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解答】解：（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， 则∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB 则∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A） 在△BCP中利用内角和定理得到： ∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A， 故成立； （2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°时，结论不成立； （3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点， 则∠PBC＝∠FBC＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC， ∠BCP＝∠BCE＝90°﹣∠ACB ∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A ∴∠PBC+∠BCP＝90°+∠A， 在△BCP中利用内角和定理得到： ∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A， 故成立． ∴说法正确的个数是2个． 故选：C． 15．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝　　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD， ∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD， ∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC， 即∠ACD＝∠A1+∠ABC， ∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A+∠ABC＝∠ACD， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∴∠A1＝∠A， ∴∠A1＝m°， ∵∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A， … 以此类推∠A2013＝∠A＝°． 故答案为：． 16．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，则∠AIB＝　135°　． （2）如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D． ①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝　45　°． ②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由． （3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数． 【答案】（1）135°；（2）①45°，②不变．∠ADB＝45° （3）60°或45°． 【解答】解：（1）∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO， ∴， ∴∠BIC＝180°﹣∠IBA﹣∠IAB ＝ ＝ ＝ ＝ ＝90°+α， ∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O， ∴∠BOA＝90°， ∴， 故答案为：135°． （2）①∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O， ∴∠BOA＝90°， ∵∠BAO＝30°， ∴∠ABM＝120°， ∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM， ∴，∠BAD＝＝15°， ∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝60°﹣15°＝45°， 故答案为：45． ②不变，∠ADB＝45°． 设∠BAO＝α， ∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM， ∴，∠MBA＝90°+α，， ∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝45， ∴不变，∠ADB＝45°． （3）∵∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF， ∴∠DAF＝90°， ∵一个角是另一角的3倍， ∴分两种情况讨论： ①当∠DAF＝3∠ADF时，∠ADF＝30°， ∵OF为∠BOP的平分线， ∴∠DOA＝135°， ∴∠OAI＝15°， ∴∠OAB＝30°， ∴∠OBA＝90°﹣30°＝60°； ②当∠AFD＝3∠ADF时，∠ADF＝22.5°， ∵OF为∠BOP的平分线， ∴∠DOA＝135°， ∴∠OAI＝22.5°， ∴∠OAB＝45°， ∴∠OBA＝90°﹣45°＝45°． ∴∠OBA等于60°或45°． 17．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8”字型．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　∠A+∠D＝∠C+∠B　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　6　个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B， 故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”； ②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”； ③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”； ④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个， 故答案为：6； （3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，① ∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， ①+②得： ∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P＝∠D+∠B， 又∵∠D＝50度，∠B＝40度， ∴2∠P＝50°+40°， ∴∠P＝45°； （4）关系：2∠P＝∠D+∠B． ∠D+∠1＝∠P+∠3① ∠B+∠4＝∠P+∠2② ①+②得： ∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P， ∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∴2∠P＝∠D+∠B． 18．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　135　°； （2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D． ①若∠BAO＝60°，则∠D＝　45　°； ②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由； （3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°， ∴∠AEB＝135°； 故答案为：135°； （2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∴∠ABN＝150°， ∵BC是∠ABN的平分线， ∴∠OBD＝∠CBN＝150°＝75°， ∵AD平分∠BAO， ∴∠DAB＝30°， ∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°， 故答案为：45； ②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化， 设∠BAD＝α， ∵AD平分∠BAO， ∴∠BAO＝2α， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α， ∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC＝45°+α， ∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD， ∴∠D＝180°﹣∠BAD﹣∠OBD﹣∠ABO＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°， 故答案为：45； （3）∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E， ∴∠AOE＝135°， ∴， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线， ∴， 在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍， 则①当∠EAF＝3∠E时，得∠E＝30°，此时∠ABO＝60°； ②当∠EAF＝3∠F时，得∠E＝60°， 此时∠ABO＝120°＞90°，舍去； ③当∠F＝3∠E时，得， 此时∠ABO＝45°； ④当∠E＝3∠F时，得， 此时∠ABO＝135°＞90°，舍去． 综上可知，∠ABO的度数为60°或45°． 19．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有　3　个，以点O为交点的“8字型”有　4　个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】（1）见解答过程； （2）3，4； （3）见解答过程． 【解答】解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）解：①3；4； 故答案为：3，4； ②以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC， ∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP， ∴2∠P＝∠B+∠C， ∵∠B＝100°，∠C＝120°， ∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°； ③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是： ∵∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP， ∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB， 以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB）， ∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）． ∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B． ∴3∠P＝∠B+2∠C． 五．全等三角形的判定（共2小题） 20．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有　①②③　（填序号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAF＝90°，∠B＝∠C ∴∠1＝∠2（①正确） ∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF ∴△ABE≌△ACF（ASA） ∴AB＝AC，BE＝CF（②正确） ∵∠CAN＝∠BAM，∠B＝∠C，AB＝AC ∴△ACN≌△ABM（ASA）（③正确） ∴CN＝BM（④不正确）． 所以正确结论有①②③． 故填①②③． 21．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3， 又∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）． ∴∠ACP＝∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°． ∴∠CPQ＝90°， 即线段PC与线段PQ垂直． （2）存在， 理由：①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ， 则， 解得； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP， 则， 解得：； 综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等． 六．全等三角形的判定与性质（共19小题） 22．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　） A．50 B．62 C．65 D．68 【答案】A 【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH， ∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°， ∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°， ∴∠EAF＝∠ABG， 在△EFA和△AGB中， ， ∴△EFA≌△AGB（AAS）， ∴AF＝BG，AG＝EF． 同理证得△BGC≌△CHD得GC＝DH，CH＝BG． 故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16 故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50． 故选：A． 23．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 【答案】D 【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， 又∵∠EPM＝∠EQN＝90°， ∴∠PEQ＝90°， ∴∠PEM+∠MEQ＝90°， ∵三角形FEG是直角三角形， ∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°， ∴∠PEM＝∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°， ∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中， ， ∴△EPM≌△EQN（ASA） ∴S△EQN＝S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴AC＝a， ∵EC＝2AE， ∴EC＝a， ∴EP＝PC＝a， ∴正方形PCQE的面积＝a×a＝a2， ∴四边形EMCN的面积＝a2， 故选：D． 24．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论： ①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC， 其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形， ∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC， ∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°， 在△ABE和△DBC中，， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴①正确； ∵△ABE≌△DBC， ∴∠BAE＝∠BDC， ∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°， ∴②正确； 在△ABP和△DBQ中， ， ∴△ABP≌△DBQ（ASA）， ∴BP＝BQ， ∴△BPQ为等边三角形， ∴③正确； ∵∠DMA＝60°， ∴∠AMC＝120°， ∴∠AMC+∠PBQ＝180°， ∴P、B、Q、M四点共圆， ∵BP＝BQ， ∴， ∴∠BMP＝∠BMQ， 即MB平分∠AMC； ∴④正确； 综上所述：正确的结论有4个； 故选：D． 25．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解答】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC， 即∠CAE＝∠BAG， ∵在△ABG和△AEC中， ， ∴△ABG≌△AEC（SAS）， ∴BG＝CE，（故①正确）； 设BG、CE相交于点N， ∵△ABG≌△AEC， ∴∠ACE＝∠AGB， ∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°， ∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°， ∴BG⊥CE，（故②正确）； 过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q， ∵AH⊥BC， ∴∠ABH+∠BAH＝90°， ∵∠BAE＝90°， ∴∠EAP+∠BAH＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABH＝∠EAP， ∵在△ABH和△EAP中， ， ∴△ABH≌△EAP（AAS）， ∴∠EAM＝∠ABC，（故④正确）， EP＝AH， 同理可得GQ＝AH， ∴EP＝GQ， ∵在△EPM和△GQM中， ， ∴△EPM≌△GQM（AAS）， ∴EM＝GM， ∴AM是△AEG的中线，（故③正确）． 综上所述，①②③④结论都正确． 故选：A． 26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC， ∵∠BAE＝∠GAE， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC＝∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE， ∴②是正确的； ∵AG＝AE， ∴∠G＝∠AEG＝∠AED， ∴AE平分∠BED， 当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE， ∴①是不正确的； 设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x， ∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x， ∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°， ∴AE⊥AD， ∴③是正确的； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG＝DE， ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE， ∴④是正确的， 故选：B． 27．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝108°．连接AC、BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝108°，②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠BMC．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝108°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确； ∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得： ∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝108°，故①正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示， 则∠OGA＝∠OHB＝90°， ∵△AOC≌△BOD， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC，故④正确； ∴∠BMO＝∠CMO， ∵∠AMB＝∠DMC， ∴∠AMO＝∠DMO， 假设OM平分∠AOD，则∠AOM＝∠DOM， 在△AMO与△DMO中， ， ∴△AMO≌△DMO（ASA）， ∴AO＝OD， ∵OC＝OD， ∴OA＝OC， 而OA＜OC，故③错误； 所以其中正确的结论是①②④，共3个． 故选：B． 28．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，下列结论：①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD＝2S△DNE．其中正确的结论有 　①②③　．（填写序号即可） 【答案】①②③． 【解答】解：①∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴BD＝CD， ∵BM⊥AC， ∴∠AMB＝∠ADC＝90°， ∴∠A+∠DBN＝90°，∠A+∠DCM＝90°， ∴∠DBN＝∠DCM， ∵DN⊥MD， ∴∠CDM+∠CDN＝90°， ∵∠CDN+∠BDN＝90°， ∴∠CDM＝∠BDN， ∴△BDN≌△CDM（ASA）， ∴DN＝DM， ∵∠MDN＝90°， ∴△DMN是等腰直角三角形， ∴∠DMN＝45°， ∴∠AMD＝90°﹣45°＝45°， 故①正确； ②如图1，由（1）知，DN＝DM， 过点D作DF⊥MN于点F，则∠DFE＝90°＝∠CME， ∵DN⊥MD， ∴DF＝FN， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△DEF和△CEM中， ， ∴△DEF≌△CEM（AAS）， ∴ME＝EF，CM＝DF， ∴FN＝CM， ∵NE﹣EF＝FN， ∴NE﹣EM＝MC， 故②正确； ③由①知，∠DBN＝∠DCM， 又∵∠BED＝∠CEM， ∴△BDE∽△CME， ∴＝＝2， ∴CM＝2EM，NE＝3EM， ∴EM：MC：NE＝1：2：3， 故③正确； ④如图2，∵CD⊥AB， ∴∠BDE＝∠CDA＝90°， 由①知：∠DBN＝∠DCM，BD＝CD， ∴△BED≌△CAD（ASA）， ∴S△BED＝S△CAD， 由①知，△BDN≌△CDM， ∴BN＝CM， ∵CM＝FN， ∴BN＝FN， ∴BN＜NE， ∴S△BDN＜S△DEN， ∴S△BED＜2S△DNE． ∴S△ACD＜2S△DNE． 故④不正确， 故答案为：①②③． 29．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为　垂直　，线段CF、BD的数量关系为　相等　； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF， 又∵AB＝AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF＝BD，∠B＝∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD． ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度． ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAF＝∠BAC， ∴∠DAB＝∠FAC， 又∵AB＝AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD． ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ACF＝45°， ∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度． 即CF⊥BD． （2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）． 理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G， 则∠GAC＝90°， ∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB， ∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ACB＝∠AGC＝45°， ∴AC＝AG， ∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF， ∴△GAD≌△CAF， ∴∠ACF＝∠AGC＝45°， ∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC． 30．（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．） 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）①∵∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°， ∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°． ∴∠CAD＝∠BCE． ∵AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ②∵△ADC≌△CEB， ∴CE＝AD，CD＝BE． ∴DE＝CE+CD＝AD+BE． 解：（2）∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE． 又∵AC＝BC， ∴△ACD≌△CBE（AAS）． ∴CE＝AD，CD＝BE． ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE． （3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE＝BE﹣AD（或AD＝BE﹣DE，BE＝AD+DE等）． ∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， 又∵AC＝BC， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 31．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）成立． ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）△DEF是等边三角形． 由（2）知，△ADB≌△CEA， BD＝AE，∠DBA＝∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF＝∠CAF＝60°， ∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF＝∠FAE， ∵BF＝AF 在△DBF和△EAF中 ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°， ∴△DEF为等边三角形． 32．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N． （1）求证：AE＝CD； （2）求证：AE⊥CD； （3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有　②　（请写序号，少选、错选均不得分）． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE， 即∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD， ∴AE＝CD． （2）∵△ABE≌△CBD， ∴∠BAE＝∠BCD， ∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB， 又∠CNM＝∠ANB， ∵∠ABC＝90°， ∴∠NMC＝90°， ∴AE⊥CD． （3）结论：② 理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J． ∵△ABE≌△CBD， ∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB， ∴•AE•BK＝•CD•BJ， ∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J， ∴BM平分∠AMD． 不妨设①成立，则△CBM≌△EBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误． 故答案为②． 33．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　25　°，∠AED＝　65　°； （2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝40°， ∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°， ∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°， ∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°， 故答案为：25；65； （2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE， 理由：∵AB＝2，DC＝2， ∴AB＝DC， ∵∠C＝40°， ∴∠DEC+∠EDC＝140°， ∵∠ADE＝40°， ∴∠ADB+∠EDC＝140°， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形， ①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°， ∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°； ②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°， ∴∠DAE＝100°， 此时，点D与点B重合，不合题意； ③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°， ∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝40°+40°＝80°； 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形． 34．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接BO，如图1所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC， 在△OBD和△OCD中， ， ∴△OBD≌△OCD（SAS）， ∴OB＝OC， 又∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO， 又∵∠BAC＝120°， ∠ABC＝∠ACB＝30°， 又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°， ∴∠APO+∠DCO＝30°； （2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示： ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠HAO＝∠CAD＝60°， 又∵OH⊥BP， ∴∠OHA＝90°， ∴∠HOA＝30°， ∴AO＝2AH， 又∵BO＝PO，OH⊥BP， ∴BH＝PH， 又∵HP＝AP+AH， ∴BH＝AP+AH， 又∵AB＝BH+AH， ∴AB＝AP+2AH， 又∵AB＝AC，AO＝2AH， ∴AC＝AP+AO． 35．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　EF＝BE+DF　； 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF， ∴BE＝DG，EF＝GF， ∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD． 故答案为：EF＝BE+FD． 探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立． 理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 又∵AB＝AD， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， 又∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF， ＝∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠GAF． 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， 又∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+FD． 实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C， 在四边形AOBC中， ∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB， 又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件， ∴结论EF＝AE+FB成立． 即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为320海里． 36．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G．E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）． （1）分别写出当0＜t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）． （2）在点F从点C返回点B过程中，当BF＝AE时，求t的值． （3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当0＜t≤2时，BF＝4t， 当2＜t≤4时，BF＝16﹣4t； （2）由题意得，16﹣4t＝2t， 解得t＝； （3）当0＜t≤2时，△ADE≌△CDF， 则AE＝CF，即8﹣4t＝2t， 解得t＝， 当2＜t≤4时，△ADE≌△CDF， 则AE＝CF，即4t﹣8＝2t， 解得t＝4， 则t＝或4时，△ADE≌△CDF． 37．阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化到△ADF中即可判断． （1）AB、AD、DC之间的等量关系为　AD＝AB+DC　； （2）完成（1）的证明． 问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F， ∵AB∥DC， ∴∠BAF＝∠F， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， 在△AEB和△FEC中， ∵， ∴△AEB≌△FEC， ∴AB＝FC， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠F， ∴DF＝AD， ∴AD＝DC+CF＝DC+AB， 故答案为：AD＝AB+DC； （2）AB＝AF+CF， 如图②，延长AE交DF的延长线于点G， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB∥DC， ∴∠BAE＝∠G， 在△AEB和△GEC中， ， ∴△AEB≌△GEC， ∴AB＝GC， ∵AE是∠BAF的平分线， ∴∠BAG＝∠FAG， ∵AB∥CD， ∴∠BAG＝∠G， ∴∠FAG＝∠G， ∴FA＝FG， ∴AB＝CG＝AF+CF． 38．在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），且∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE． （1）如图1，若点D在BC边上（点D与B、C不重合），求∠BCE的度数； （2）如图2，若点D在CB的延长线上，连接BE，若DB＝5，BC＝7，求△ADE的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）∵∠BAC＝90°，∠DAE＝90° ∴∠BAD+∠DAC＝90°，∠EAC+∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠EAC 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE （SAS） ∴∠ACE＝∠B， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90° ∴∠ACE+∠ACB＝90°， 即∠BCE＝90°； （2）过点A作AF⊥DE于点F． ∵AD＝AE， ∴点F是DE的中点， ∵∠DAE＝90°， ∴AF＝， 同理可证△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC，DB＝EC， ∵DB＝5，BC＝7， ∴EC＝5，DC＝12， ∵∠DAE＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∴∠ADC+∠CDE+∠AED＝90°， ∴∠AEC+∠AED+∠CDE＝90°， 即∠CED+∠CDE＝90°， ∴∠ECD＝90°， ∴DE2＝CE2+CD2＝25+144＝169， ∵DE＞0， ∴DE＝13， ∴AF＝， ∴△ADE的面积为＝＝． 39．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． （1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE （2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图1： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， 而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE， ∴AB+BD＝AE+CE＝AC； （2）延长AE、BC交于F， ∵AB＝BF，BE平分∠ABF， ∴AE＝EF， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AD＝CF， ∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD． 40．（1）如图，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得到如下两个结论：①DC＝BC；②AD+AB＝AC． 请你证明结论②． （2）如图，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC+∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＝∠ADC，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，直接写出你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AC平分∠MAN， ∴∠DAC＝∠BAC＝60°， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AC为公共边， ∴△ADC≌△ABC（AAS）， ∴AD＝AB，DC＝BC①； ∵∠DCA＝30°， ∴AC＝2AD＝AD+AB②；（3分） （2）如图：作辅助线CF⊥AB，CE⊥AD， ∵AC平分∠MAN， ∴∠DAC＝∠BAC＝60°， 又∵CF⊥AB，CE⊥AD，且AC为公共边， ∴△ACF≌△ACE（AAS），即CF＝CE①； ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠MAN＝120°， ∴∠DCB＝180°﹣120°＝60°， ∵在直角三角形AFC中∠ACF＝30°， ∴∠DCA+∠FCB＝30°， ∵在直角三角形AEC中∠DCA+∠DCE＝30°， ∴∠FCB＝∠DCE②； 由CE⊥AD，CF⊥AB，且已证得条件①②， ∴△CED≌△CFB（ASA）， ∴DC＝BC；ED＝FB； ∵在直角△ACF中，AC＝2AE，在直角△ACB中，AC＝2AB，即AC＝AE+AB， 已证得ED＝FB， ∴AC＝AD+AB；（5分） （3）①DC＝BC成立；（1分） ②不成立，AB﹣AD＝AC．（1分） 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/29 10:13:12；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$