精品解析：2024年新疆维吾尔自治区九年级中考三模数学试题

2024年初中学业水平检测第三次模拟考试 数 学 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分为试卷和答题卡两部分． 3．试卷共4页，答题卡共2页，所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效． 4．答题前，考生必须在答题卡规定位置认真填写姓名、准考证号、座位号，并按照考试要求粘贴条形码． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下图中用量角器测得的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形可直接得出． 【详解】解：由题意，可得， 故选：C． 【点睛】本题考查角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键． 2. 在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可． 【详解】解：设第三边长度为， 则第三边的取值范围是， 只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键． 3. 二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 在数轴上表示如下： 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项的法则，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项的法则对各选项进行解答即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：B． 5. 如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对顶角相等及平行线的性质即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质是关键． 6. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 7. 如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示， 则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 8. 如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确． 【详解】∵中，，， ∴， 由作图知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，②正确； 设，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，③错误； 当时，， ∵， ∴, ∴，④正确 ∴正确的有①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质． 9. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ， ． ， ∵， ． 当，时，直线经过第一、三、四象限， 当，时，直线经过第一、二、四象限， 综上所述，一定经过一、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 分解因式：x3y﹣xy3=_____． 【答案】xy（x+y）（x﹣y）． 【解析】 【详解】分析：首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解． 详解：x3y﹣xy3=xy（x2﹣y2）=xy（x+y）（x﹣y）． 点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加：或或或， 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD， 故答案为AC⊥BD（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 12. 一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出两次标号之和为3的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有4种，其中，两次标号之和为3的结果有2种， 则两次标号之和为3的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． 13. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据零次幂、负整数指数幂和立方根的性质化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零次幂、负整数指数幂和立方根的性质是解题的关键． 14. 小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当时，x越小，函数值越小； ②当时，x越大，函数值越小； ③当时，x越小，函数值越大； ④当时，x越大，函数值越大． 其中正确的是_____________（只填写序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可． 【详解】解：列表， x 1 2 y 3 3 5 描点、连线，图象如下， 根据图象知： ①当时，x越小，函数值越大，错误； ②当时，x越大，函数值越小，正确； ③当时，x越小，函数值越大，正确； ④当时，x越大，函数值越大，正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，属于中考常考题型． 15. 已知，，，，……都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点，，，……都在轴正半轴上，且，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键．根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点横坐标为1，点横坐标为2，点横坐标为3，点横坐标为4，因此点横坐标为2024，再根据这些正三角形的排列规律得出点在x轴上，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点，，，，，分别作轴的垂线， 是边长为2正三角形， ，， 点横坐标为1， 由题意可得，点横坐标为2，点横坐标为3，点横坐标为4， 因此点横坐标为2024， ∵，，，，，；分布在第一、四象限，其余的分布在x轴上，所以每隔六个作为一循环， ， 点在x轴上， ∴点， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程组： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减乘除混合运算，解二元一次方程组， （1）首先计算二次根式的乘除然后计算加减； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： 由②得：③ ①得：④ ④③得：，解得：． 把代入①得：，解得：． 故原方程组的解是． 17. （1）先化简，再求值：，其中． （2）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，刘老师从少年宫带回来两条信息：信息一：按原来报名参加的人数，共需交费340元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费480元； 信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用会比原来少5元． 根据以上信息，求原来报名参加活动的学生有多少人？在没有享受优惠的情况下每人需交费多少元？ 【答案】（1），；（2）原来报名参加活动的学生有20人，在没有享受优惠的情况下每人需交费17元． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，分式方程的应用， （1）根据分式的混合运算法则化简，然后将代入求解即可； （2）设原来报名参加的学生有人，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． 当时，原式． （2）解：设原来报名参加的学生有人， 依题意得：，解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 在没有享受优惠的情况下每人需交费：（元）． 答：原来报名参加活动的学生有20人，在没有享受优惠的情况下每人需交费17元． 18. 某服装店的某款衣服最近销售火爆．现有两家供应商到该服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家供应商的服装．检查人员从两家供应商提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：%），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下： Ⅰ．A供应商供应材料的纯度如下： A 72 73 74 75 76 78 79 频数 1 1 5 3 3 1 1 Ⅱ．B供应商供应材料的纯度如下： Ⅲ．A，B两家供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 A 75 75 74 3.07 B 75 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______，______，______； （2）你认为服装店应选择哪家供应商供应服装？为什么？ 【答案】（1）75；75；6； （2）选A供应商供应服装，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉相关统计量的计算公式和意义是解题的关键． （1）根据平均数，众数和方差的计算公式分别进行解答即可； （2）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案． 【小问1详解】 B供应商供应材料纯度的平均数为： ， 75出现的次数最多，故众数 方差． 故答案为：75；75；6． 【小问2详解】 选A供应商供应服装，理由如下： 平均值一样，B的方差比A的大，A更稳定， 选A供应商供应服装． 19. 如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝127°．已知小华的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（参考数据：，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F，根据∠CDE=127°，可得∠DEF=37°，设DF为x米，则EF=米，DE=米，再证得△ABC∽△EFC，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F， ∵∠CDE=127°， ∴∠EDF=53°， ∴∠DEF=37°， ∴， 设DF为x米，则EF米， ∴DE≈米， ∵∠B=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECD， ∴△ABC∽△EFC， ∴， ∴， 解得：x=16.8， ∴DE的长度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 20. 如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）如图，过点C作轴于点D，证明，利用相似三角形的性质得到，求出点C的坐标，代入可得反比例函数解析式，设的表达式为，将点代入即可得到直线的表达式； （2）先求得直线l的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标． 【小问1详解】 如图，过点C作轴于点D， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点， 将点C代入中， 可得， ∴， 设的表达式为， 将点代入可得， 解得：， ∴的表达式为； 【小问2详解】 直线l的解析式为， 当两函数相交时，可得， 解得,, 代入反比例函数解析式， 得， ∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识． 21. 如图，中，，垂足为D，点E、F、G分别是中点，直线交点G． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，，可得，即可得结论； （2）通过证明是等边三角形，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵点E、G分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 22. 如图，是的直径，弦于E，与弦交于G，过点F的直线分别与的延长线交于M，N，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，可得，再由，可得，然后根据等腰三角形的性质及切线的判定定理可得结论； （2）连接，先证得，再根据可得，然后由勾股定理可得答案． 【小问1详解】 证明：连接．则． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．即． ∴是的切线． 【小问2详解】 连接．由（1），． 可设，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∵是直径， ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题主要考查了圆的综合题目，熟练掌握切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理解锐角三角函数是解题的关键． 23. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C． （1）求直线的函数表达式及点C的坐标； （2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值． 【答案】（1），点的坐标为 （2）①2或3或；②，S的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可； （2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可； ②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由得，当时，． 解得． ∵点A在轴正半轴上． ∴点A的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将两点的坐标分别代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将代入，得． ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 ①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为． ∴点的坐标分别为． ∴． ∵点的坐标为， ∴． ∵， ∴． 如图，当点在直线上方时，． ∵， ∴． 解得． 如图2，当点在直线下方时，． ∵， ∴． 解得， ∵， ∴． 综上所述，的值为2或3或； ②解：如图3，由（1）得，． ∵轴于点，交于点，点B的坐标为， ∴． ∵点在直线上方， ∴． ∵轴于点， ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵轴， ∴四边形为矩形． ∴． 即． ∵， ∴当时，S的最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平检测第三次模拟考试 数 学 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分为试卷和答题卡两部分． 3．试卷共4页，答题卡共2页，所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效． 4．答题前，考生必须在答题卡规定位置认真填写姓名、准考证号、座位号，并按照考试要求粘贴条形码． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下图中用量角器测得的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 8. 如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 分解因式：x3y﹣xy3=_____． 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形． 12. 一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为_______________． 13. 计算：___________． 14. 小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当时，x越小，函数值越小； ②当时，x越大，函数值越小； ③当时，x越小，函数值越大； ④当时，x越大，函数值越大． 其中正确的是_____________（只填写序号）． 15. 已知，，，，……都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点，，，……都在轴正半轴上，且，则点的坐标是______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程组： 17. （1）先化简，再求值：，其中． （2）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，刘老师从少年宫带回来两条信息：信息一：按原来报名参加的人数，共需交费340元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费480元； 信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用会比原来少5元． 根据以上信息，求原来报名参加活动的学生有多少人？在没有享受优惠的情况下每人需交费多少元？ 18. 某服装店的某款衣服最近销售火爆．现有两家供应商到该服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家供应商的服装．检查人员从两家供应商提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：%），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下： Ⅰ．A供应商供应材料的纯度如下： A 72 73 74 75 76 78 79 频数 1 1 5 3 3 1 1 Ⅱ．B供应商供应材料的纯度如下： Ⅲ．A，B两家供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 A 75 75 74 3.07 B 75 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______，______，______； （2）你认为服装店应选择哪家供应商供应服装？为什么？ 19. 如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝127°．已知小华的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（参考数据：，） 20. 如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 21. 如图，中，，垂足为D，点E、F、G分别是中点，直线交点G． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 22. 如图，是的直径，弦于E，与弦交于G，过点F的直线分别与的延长线交于M，N，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C． （1）求直线的函数表达式及点C的坐标； （2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $