四川省广元外国语学校2023-2024学年高二下学期第三次阶段性测试（5月）数学试题

试卷第 1 页，共 4 页 四川省广元外国语学校高中分校 2023-2024 学年下学期第三次阶段性考试 高二年级数学试题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．某地区高考改革实施“3+1+2”模式，“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、 历史两门科目中必选一门科目，“2”指在化学、生物、政治、地理这四门科目中任意选择两门 科目，则一名学生的不同选科组合有（ ） A．8 种 B．12 种 C．16 种 D．20 种 2．下列函数的求导正确的是（ ） A． ( )e ex x− − = B． 2 2(ln )x x  = C． ( ) 1 e ln 3 e 3 x x+ = + D． ( )2 2x−  = − 3．如图所示，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的 两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（ ）种． A．480 B．600 C．360 D．750 4．已知随机变量 ~ ( , )X B n p ，若 4 8 ( ) , ( ) 3 9 E X D X= = ，则 ( 1)P X = =（ ） A． 32 81 B． 4 81 C． 1 3 D． 2 3 5．某同学进行投篮练习，若他第 1 球投进，则第 2 球投进的概率为 3 4 ；若他第 1 球投不进， 则第 2 球投进的概率为 1 4 . 若他第 1 球投进的概率为 2 3 ，则他第 2 球投进的概率为（ ） A． 7 12 B． 1 2 C． 5 12 D． 2 3 6．函数 ( ) e 4 1xf x x= − − 的图象大致为（ ） A B C D 试卷第 2 页，共 4 页 7．甲、乙等 5 名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”、“计分组”、“宣传组” 三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的 概率为（ ） A． 3 20 B． 9 50 C． 6 25 D． 12 25 8．已知 1 2ln2 2 a = + ， 1 ln9 3 b = + ， 1 2 e c = + ，则 , ,a b c的大小关系为（ ） A． c a b  B． c b a  C． a c b  D．a b c  二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．每小题的四个选项中，有多个符合 要求，全选得 6分，部分选对得部分分，有错选的得 0分． 9．已知随机变量 X 的分布列如下，则正确的是（ ） X 2− 1− 1 2 P 1 9 m n 2 9 A． 2 3 m n+ = B． 7 ( 2) 9 P X  = C．若 1 9 m = ，𝑌 = 3𝑋 + 2 , 则𝐸(𝑌) = 2 D． ( )2 2D X = 10．已知 3 21( ) 2 3 1 3 f x x x x= − + + ，则下列结论正确的是（ ） A． ( )f x 有三个零点 B． ( )f x 有两个极值点 C．若方程 ( )f x a= 有三个实数根，则 7 1, 3 a       D．曲线 ( )y f x= 关于点 7 1, 3       对称 11．以下说法正确的是（ ） A．把 8 个相同的小球放到编号为 1, 2, 3, 4 的 4 个盒子中，恰有 1 个空盒的放法共有 84 种 B． 3 3 3 4 5 9C +C + +C =210   C． 6 1 2x x   +    的二项展开式中系数最大的项为 2240x D．已知 ( )f x 是定义在 R 上的函数， ( )f x 是 ( )f x 的导数，当 0x  时，若 ( ) ( ) 0xf x f x −  ， 则 ( ) ( )e ln2 ln2 ef f 试卷第 3 页，共 4 页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．从 1，2，3，4，5 中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同 点的个数为 ．（用数字作答） 13． ( ) 6 2 1 1 1 x x   + +    的展开式中 2x 的系数为 ．（用数字作答） 14．已知函数 ( ) ( ) 2 1 ln , 2 f x x g x x m= = + .若曲线 ( )y f x= 与曲线 ( )y g x= 有公切线，则实数 m 的取值范围为 ．（用区间作答） 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事.某高中为了解本校高 一年级学生体育锻炼情况，随机抽取体育锻炼时间在 20,80 （单位：分钟）的 50 名学生，统 计他们每天体育锻炼的时间作为样本并绘制成如下的频率分布直方图，已知样本中体育锻炼时 间在 )60,70 的有 5 名学生. (1)求 a，b的值； (2)若从样本中体育锻炼时间在 60,80 的学生中随机抽取 4 人，设 X表示在 70,80 的人数， 求 X的分布列和均值. 16．（15 分） 已知数列 na 的前 n项和为 1 1, 2, 2n n nS a S a += = − . (1)求数列 na 的通项公式； (2)令 21 logn nb a= + ，求数列 n na b 的前 n项和 nT . 试卷第 4 页，共 4 页 17．（15 分） 在四棱锥 P ABCD− 中，PD ⊥底面 , , 1, 2, 3ABCD CD AB AD DC CB AB DP= = = = =∥ ． (1)证明： BD PA⊥ ； (2)求 PD与平面 PAB所成的角的正弦值． 18．（17 分） 五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量， 展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由 A、B、C三名老师负责．首 先由 A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不 通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师 C进行复审，复审合格才能通过筛选．已 知每篇征文通过 A、B、C三位老师审核的概率分别为 3 4 3 , , 4 5 7 ，且各老师的审核互不影响． (1)求每篇征文通过筛选的概率； (2)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率； (3)从投稿的征文中随机抽出 4 篇，设其中通过筛选的篇数为 X，求 X的分布列、均值和方差. 19．（17 分） 已知函数 ( ) e 1xf x ax= − − . (1)讨论函数 ( )f x 的单调性； (2)当 0a  时，若满足 ( ) ( )( )1 2 1 2f x f x x x=  ，求证： 1 2 2lnx x a+  ； (3)若函数 ( ) ( ) sing x f x x= + ，当 0x  时， ( ) 0g x  恒成立，求实数 a 的取值范围. 答案第 1 页，共 10 页 月考参考答案 1．B 【详解】分两步完成，第一步：在物理和历史中选一门，有 12 2C = 种； 第二步：在化学、生物、政治、地理这四门科目中任意选择两门，有 24 6C = 种， 根据分步乘法计数原理得，共有2 6 12 = 种组合. 2．B 【详解】对于 A 项，因 ( )x x− − = −e e ，故 A 项错误； 对于 B 项， 2 2 2 2 (ln ) x x x x  = = ，故 B 项正确； 对于 C 项， ( )e ln 3 ex x+ = ，故 C 项错误； 对于 D 项， ( ) 2 3 3 2 2x x x − − = − = − ，故 D 项错误. 3．D 【详解】首先给最左边的一个格子涂色，有 6 种选择，左边第二个格子有 5 种选择，第三个格子有 5 种选 择，第四个格子也有 5 种选择， 根据分步乘法计数原理得，共有6 5 5 5 750   = （种）涂色方法． 4．A 【详解】随机变量 ~ ( , )X B n p ，则有 4 8 ( ) , ( ) (1 ) 3 9 E X np D X np p= = = − = ，解得 1 , 4 3 p n= = ， 所以 3 1 4 1 2 32 ( 1) C 3 3 81 P X   = =   =    . 5．A 【分析】由已知条件，直接使用全概率公式即可得到结果. 【详解】设 ,A B分别代表事件“第 1 球投进”和“第 2 球投进”，则由已知条件知 ( ) 3 4 P B A = ， ( ) 1 4 P B A = ， ( ) 2 3 P A = ，所以𝑃(𝐴) = 1 3 显然 𝛺 = 𝐴 ∪ 𝐴 ，𝐵 = 𝐴𝐵 ∪ 𝐴𝐵，由于𝐴𝐵与𝐴𝐵互斥 所以𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴𝐵) + 𝑃( 𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) + 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴 ) = 3 4 ⋅ 2 3 + 1 4 ⋅ 1 3 = 7 12 . 6．D 【分析】根据函数的奇偶性排除 B，利用导数判断函数的单调性排除 AC，从而得出答案. 【详解】函数 ( ) e 4 1xf x x= − − 的定义域为R ， ( ) ( )e 4 1 e 4 1x xf x x x f x−− = − − − = − − = ，则 ( )f x 是偶函数，排除选项 B， (已经知道奇偶性了，利用图象的对称性，于是只研究 0x  时的单调性就足够了) 当 0x  时，函数 ( ) e 4 1xf x x= − − ，可得𝑓 ′(𝑥) = 𝑒𝑥 − 4，令𝑓 ′(𝑥) = 0，解得𝑥 = 𝑙𝑛4 答案第 2 页，共 10 页 当 (0, ln 4)x 时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 是减函数； 当 ( )ln 4,x + 时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 是增函数，排除选项 A，C， 7．C ①先不考虑甲、乙两人恰选择同一岗位这一要求，让 5 个人去三个岗位，每个岗位至少一人， “先分组，再分配” 第一步：把 5 个人分成三组 “113”型： 𝐶5 1𝐶4 1𝐶3 3 𝐴2 2 = 10 种 “122”型： 𝐶5 1𝐶4 2𝐶2 2 𝐴2 2 = 15 种 所以，把 5 个人分成三组，共有 25 种分法 第二步：把三组人分配到 3 个岗位上，有𝐴3 3 = 6 种 根据分步乘法计数原理，共 25× 6 = 150 种 ②现在考虑甲、乙两人恰选择同一岗位这一要求. （同一岗位内不讲顺序） 把甲、乙两人“捆绑”，视为一人，相当于让 4 个人去三个岗位，每个岗位至少一人， “先分组，再分配” 第一步：把 4 个人分成三组，只能是“112”型： 𝐶4 1𝐶3 1𝐶2 2 𝐴2 2 = 6 种 第二步：把三组人分配到 3 个岗位上，有𝐴3 3 = 6 种 根据分步乘法计数原理，共 6 × 6 = 36 种 所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为 36 6 150 25 P = = . 8．C 【分析】观察 , ,a b c 的形式非常相似，故考虑把 , ,a b c 化为完全相同的形式，构造函数，利用函数的单调 性来比较大小， 1 2ln2 2 a = + ， 1 ln9 3 b = + = 1 3 + 2𝑙𝑛3 ， 1 2 e c = + = 1 𝑒 + 2𝑙𝑛𝑒 【详解】令𝑓(𝑥) = 1 𝑥 + 2 𝑙𝑛 𝑥 , (𝑥 > 1)，求导得 2 2 1 2 2 1 ( ) 0 x f x x x x −  = − + =  ， 因此函数 ( )f x 在 (1, )+ 上单调递增，则 (2) (e) (3)f f f  ，即 1 1 1 2ln2 2 2ln3 2 e 3 +  +  + ，所以 a c b  . 9．ABD 【详解】对于 A，因为 1 2 1 9 9 m n+ + + = ，所以 2 3 m n+ = ，故 A 正确； 对于 B， 2 7 ( 2) 1 ( 2) 1 9 9 P X P X = −  = − = ，故 B 正确； 对于 C，因为 1 9 m = ，所以 5 9 n = ， 答案第 3 页，共 10 页 所以 ( ) ( ) 1 1 5 2 2 2 1 1 2 9 9 9 9 3 E X = −  + −  +  +  = ，𝐸(𝑌) = 𝐸(3𝑋 + 2) = 3𝐸(𝑋) + 2 = 4 , 故 C 错误； 对于 D， ( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 3 P X P X P X m n= = = − + = = + = ， ( ) ( ) ( )2 1 4 2 2 3 P X P X P X= = = − + = = 则 2X 的分布列如下： 所以 ( )2 2 1 1 4 2 3 3 E X =  +  = ，则 ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 2 4 2 2 3 3 D X =  − +  − = .故 D 正确 10．BC 【详解】 2( ) 4 3f x x x = − + ， 令 ( ) 0f x  解得1 3x  ，令 ( ) 0f x  解得 1x  或 3x  ， 所以 ( )f x 在 ( ),1− 单调递增， ( )1,3 单调递减， ( )3, + 单调递增， 极大值 7 (1) 0 3 f =  ，且极小值 1(3) 0f =  ，且 x → − 时， ( )f x →−， x →+时， ( )f x →+， 作出 ( )f x 的大致图象，易知 ( )f x 在 R 上有一个零点，A 错误； 由 A 知，函数有1,3两个极值点，故 B 正确； 由 A 知，要使方程 ( )f x a= 有三个实数根，需满足 (3) (1)f a f  ，即 7 1, 3 a       ，故 C 正确； 三次函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 (𝑎 ≠ 0)的对称中心为(− 𝑏 3𝑎 , 𝑓(− 𝑏 3𝑎 )) ,易知 D 错误. 11．ACD 【分析】对于 A：第一步取出一个空盒，第二步利用隔板法将 8 个球放到 3 个盒子即可； 对于 B：利用组合数的性质 1 1 1C C C r r r n n n + + ++ = 来计算； 对于 C：令第 1r + 项的系数最大，根据第 1r + 项的系数不小于第 r 项和第 2r + 项的系数列不等式求解即可； 对于 D：令 ( ) ( )f x h x x = ，求导，利用条件确定其单调性，利用单调性来比较函数值的大小. 【详解】恰有一个空盒的放法共有𝐶4 1𝐶7 2 = 84种，A 正确． 3 3 3 4 3 3 3 4 4 5 9 4 4 5 9 4C C C C C C C C+ + + = + + + + − 4 3 3 4 4 3 4 4 3 4 4 4 5 5 9 4 6 9 4 9 9 4 10 4C C C C C C C C C C C C 209= + + + − = + + − = + − = − = ，故 B 错误； 6 1 2x x   +    的展开式的通项为 ( ) 6 6 6 2 1 6 6 1 C 2 2 C r rr r r r rT x x x − − − +   = =    ， X 1 4 P 2 3 1 3 答案第 4 页，共 10 页 假设第 1r + 项的系数最大，则 6 1 7 6 6 6 1 5 6 6 C 2 C 2 C 2 C 2 r r r r r r r r − − − − + −     ，且 0,1,2, ,6r =  ，解得 2r = ， 第三项展开式系数最大，且系数最大的项为 2 4 2 2 6C 2 240x x= ，故 C 正确． 由选项 D 中 ( ) ( )e ln2 ln2 ef f 可知，两边同时除以𝑒𝑙𝑛2，可得 ( ) ( )ln2 e ln2 e f f  ，两边是相同的结构 于是令 ( ) ( )f x h x x = ，则 ( ) ( ) ( ) 2 xf x f x h x x − =   ，因为当 0x  时 ( ) ( ) 0xf x f x−  ， 所以 ( ) ( ) ( ) 2 0 xf x f x h x x  − =   ，即 ( ) ( )f x h x x = 在 ( )0, + 上单调递减， 所以 ( ) ( )ln2 eh h ，即 ( ) ( )ln2 e ln2 e f f  ，即 ( ) ( )e ln2 ln2 ef f ，故 D 正确． 12．20 【详解】相当于从 5 个元素中取 2 个元素的排列，即𝐴5 2 = 20． 13．𝟑𝟎 【详解】 ( ) 6 2 1 1 1 x x   + +    展开式中含 2x 的项为 2 2 4 4 2 6 62 1 1 C C 30x x x x  +  = ，即含 2x 项的系数为30 . 14． 1 , 2   − +   【详解】∵ ( ) lnf x x= ，则 ( ) 1 f x x  = ， 设切点坐标 ( )( )1 1 1, ln 0A x x x  ，则切线斜率 ( )1 1 1 1 k f x x = = ， 故切线方程为 ( )1 1 1 1 lny x x x x − = − ，整理得 1 1 1 ln 1y x x x = + − ① 又∵ ( ) 2 1 2 g x x m= + ，则 ( )g x x = ， 设切点坐标 2 2 2 1 , 2 B x x m   +    ，则切线斜率 ( )2 2 2k g x x= = ， 故切线方程为 ( )22 2 2 1 2 y x m x x x   − + = −    ，整理得 2 2 2 1 2 y x x x m=  − + ② 显然①②是同一条切线，可得 2 1 2 1 2 1 1 ln 1 2 x x x x m  =   − = − +  ，整理得 2 2 2 2 1 ln 1 , 0 2 x x m x− − =  ，（双变量化为单变量） 令 ( ) ( )2 1 ln 1 0 2 F x x x x= − −  ，则 ( ) ( )( )1 11 x x F x x x x + −  = − = ， ∵ 0x  ，可得 1 0x +  ， 令 ( ) 0F x  ，解得 1x  ；令 ( ) 0F x  ，解得0 1x  ； ∴ ( )F x 在 ( )1,+ 上单调递增，在 ( )0,1 上单调递减，则 ( ) ( ) 1 1 2 F x F = − ， 当 x趋近于 0 时， ( )F x 趋近于正无穷大，当 x趋近于正无穷大时， ( )F x 趋近于正无穷大， 可得 ( )F x 的值域为 1 , 2   − +   ，即实数 m的取值范围为 1 , 2   − +   . 15．(1) 0.02a = ， 0.01b = (2)分布列见解析， ( ) 3 2 E X = 答案第 5 页，共 10 页 【分析】（1）体育锻炼时间在 )60,70 的频率为 5 0.1 50 = ，可求b ，利用面积之和等于1，可求a ； （2）样本中体育锻炼时间在 )60,70 的有 5 名学生，在 70,80 的有 3 名学生，可得 0,1,2,3X = ，利用超几 何分布可求分布列与数学期望. 【详解】（1）因为体育锻炼时间在 )60,70 的频率为 5 0.1 50 = ，所以 0.1 0.01 10 b = = ， 又因为 ( )0.006 0.01 0.018 0.022 0.024 10 1a+ + + + +  = ，所以 0.02a = （2）样本中体育锻炼时间在 )60,70 的有 5 名学生，在 70,80 的有 3 名学生 则随机变量X 的可能取值为 0,1,2,3 ( ) 4 5 4 8 C 1 0 C 14 P X = = = ， ( ) 3 1 5 3 4 8 C C 3 1 C 7 P X = = = ， ( ) 2 2 5 3 4 8 C C 3 2 C 7 P X = = = ， ( ) 1 3 5 3 4 8 C C 1 3 C 14 P X = = = ， 所以 X的分布列为 所以 ( ) 1 3 3 1 3 0 1 2 3 14 7 7 14 2 E X =  +  +  +  = . 16．(1) 2nna = (2) 12nnT n +=  【详解】（1）𝑆𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 2 当 2n  时， 1 2n nS a− = − ，两式相减得𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛 ，即 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 2 (𝑛 ≥ 2) 当 1n = 时, 𝑎1 = 𝑎2 − 2, ∵ 𝑎1 = 2， ∴ 𝑎2 = 4 ， 𝑎2 𝑎1 = 2 满足上式 ∴ 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 2 (𝑛 ∈ 𝑁∗)， 数列 na 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 2 n na = （2）由（1）可知 21 log 1n nb a n= + = + ，𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 = (1 + 𝑛) ⋅ 2 𝑛 ∴ 𝑇𝑛 = 2 ⋅ 2 1 + 3 ⋅ 22 + 4 ⋅ 23 + ⋯ + 𝑛 ∙ 2𝑛−1 + (1 + 𝑛) ⋅ 2𝑛， 2𝑇𝑛 = 2 ⋅ 2 2 + 3 ⋅ 23 + 4 ⋅ 24 + ∙ ∙ ∙ + 𝑛 ∙ 2𝑛 + (1 + 𝑛) ⋅ 2𝑛+1， (前三后二，错项对齐) 两式相减得 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 1 1 1 2 1 2 4 2 2 2 1 2 4 1 2 2 1 2 n n n n n nT n n n − + + + − − = + + + + − +  = + − +  = −  − . 12nnT n + =  X 0 1 2 3 P 1 14 3 7 3 7 1 14 答案第 6 页，共 10 页 17．(1)证明见解析； (2) 5 5 . 【分析】（1）作DE AB⊥ 于E ，CF AB⊥ 于F ，利用勾股定理证明 AD BD⊥ ，根据线面垂直的性质可得 PD BD⊥ ，从而可得BD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【详解】（1）证明：在四边形 ABCD中，作DE AB⊥ 于E ，CF AB⊥ 于F ， 因为 / / , 1, 2CD AB AD CD CB AB= = = = ， 所以四边形 ABCD为等腰梯形， 所以 1 2 AE BF= = ， 故 3 2 DE = ， 2 2 3BD DE BE= + = ， 所以 2 2 2AD BD AB+ = ， 所以 AD BD⊥ ， 因为PD ⊥平面 ABCD，BD 平面 ABCD， 所以PD BD⊥ ， 又 =PD AD D ， 所以BD ⊥平面PAD ， 又因为PA平面PAD ， 所以BD PA⊥ ； （2）解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系， 3BD = ， 则 ( ) ( ) ( )1,0,0 , 0, 3,0 , 0,0, 3A B P ， 则 ( ) ( ) ( )1,0, 3 , 0, 3, 3 , 0,0, 3AP BP DP= − = − = ， 设平面PAB的法向量 ( ), ,n x y z= ， 则有 3 0 { 3 3 0 n AP x z n BP y z  = − + =  = − + = ，可取 ( )3,1,1n = ， 则 5 cos , 5 n DP n DP n DP  = = ， 所以PD与平面PAB所成角的正弦值为 5 5 . 答案第 7 页，共 10 页 18．(1) 1 5 ； (2)分布列见解析， ( ) 3E X = . 【详解】（1）设事件 {A A= 老师审核通过}，事件 {B B= 老师审核通过}，事件 {C C= 老师审核通过}， 事件 {D = 征文通过筛选}，事件 {E = 征文经过复审}，则 3 4 3 ( ) , ( ) , ( ) 4 5 7 P A P B P C= = = ， 3 4 1 4 3 3 1 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 4 5 7 4 5 7 4 P D P AB P ABC P ABC= + + =  +   +   = ， 所以，每篇征文通过筛选的概率为 3 4 （2） 因此 ( ) ( ) ( ) 1 5 P DE P E D P D = =| ， 已知某篇征文通过筛选，则它经过了复审的概率为 1 5 ； （3）依题意，随机变量 X 的可能取值为0,1,2,3,4，则 3 (4, ) 4 X B: ， ( )0 4 1 34 4 1 1 3 1 12 3 ( 0) C ( ) 1 C ( ) 4 256 4 4 256 64 P X P X= = = = =  = =, 2 2 2 3 3 4 4 3 1 54 27 3 1 108 27 ( 2) C ( ) ( ) 3) C ( ) 4 4 256 128 4 4 256 64 (P X P X= = = = = =  = =, ， 4 4 4 6 3 ( 81 ( 4) C 2 ) 4 5 P X = = = ， 所以 X 的分布列如下： ( ) 3 4 3 4 E X =  = , 𝐷(𝑋) = 4 × 3 4 × 1 4 = 3 4 19．(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3) ( , 2− . 【分析】（1）对 ( )f x 求导，分类讨论 0a  和 0a  ，判断 ( )f x 的正负即可得出答案； （2）要证 1 2 2lnx x a+  ，只需证 ( ) ( )2 22ln 0f x f a x− −  ，令 ( ) ( ) ( )2lnh x f x f a x= − − ，对 ( )h x 求导，结合 基本不等式得出 ( )h x 在R 上单调递增，即可得证； （3）法一：对 ( )g x 求导，分类讨论 2a  和 2a  ，得出 ( )g x 的单调性证明 ( ) min 0g x  即可； 法二、法三：分类讨论 0x = 和 0x  ，分离参数可得 e sin 1x x a x + −  ， 分别由洛必达法则和拉格朗日中值定理求出 min e sin 1x x x  + −     即可. X 0 1 2 3 4 P 1 256 3 64 27 128 27 64 81 256 答案第 8 页，共 10 页 【详解】（1）解：𝑓(𝑥)的定义域为R ， ( ) exf x a = − ， 当 0a  时， ( ) ( )0,f x f x  在R 上单调递增， 当 0a  时，令 ( ) e 0xf x a = − = ，解得 lnx a= ， ( ) ( ) ( ), ln , 0,x a f x f x   −  单调递减， ( ) ( ) ( )ln , , 0,x a f x f x   +  单调递增， 综上：当 0a  时， ( )f x 在R 上单调递增； 当 0a  时， ( )f x 在 ( ), lna− 上单调递减， ( )f x 在 ( )ln ,a + 上单调递增. （2）证明：由题意 1 2x x ，则 ( ) ( )1 2, ln , ln ,x a x a −  + . 要证 1 2 2lnx x a+  ，只需证 1 22lnx a x − ， 而 1 22ln lnx a x a −  ，且函数 ( )f x 在 ( ), lna− 上单调递减， 故只需证 ( ) ( )1 22lnf x f a x − ， 又 ( ) ( )1 2f x f x= ，所以只需证 ( ) ( )2 22lnf x f a x − ， 即证 ( ) ( )2 22ln 0f x f a x− −  ， 令 ( ) ( ) ( )2lnh x f x f a x= − − ， 即证ℎ(𝑥) > 0， ( ) ( )2ln 2e 1 e 2ln 1 e e 2 2 ln ,x a x x xh x ax a a x a ax a a− − = − − − − − − = − − +  ( ) 2e e 2x xh x a a−= + − ， 由基本不等式可得 ( ) 2 2e e 2 2 e e 2 0x x x xh x a a a a− −= + −   − = (当且仅当 2e ex xa −= ,即 lnx a= 时,等号成立). 所以ℎ′(𝑥) > 0 , ( )h x 在 上单调递增. 即ℎ(𝑥) > 0，证毕. 答案第 9 页，共 10 页 （3）法一： ( ) e sin 1xg x ax x= − + − ，则 ( ) e cos ,xg x x a= + − ， 令 ( ) e cos ,xm x x a= + − ( ) e sinxm x x= − ， 当 0x  时， ( ) 0m x  ， ( )g x 在 ( )0, + 上单调递增，且 ( )0 2g a = − . ①当 2a  时， ( ) ( ) ( )0 2 0,g x g a g x = −   在 ( )0, + 上单调递增， ( ) ( )0 0g x g = ，符合题意， 2a  . ②当 2a  时，又 ( )g x 在 ( )0, + 上单调递增，且 ( )0 2 0,g a= −  当 x 趋近正无穷， ( )g x 趋近正无穷， ( )0 0,x  + ，使得 ( )0 0g x = ， ( ) ( ) ( )00, , 0,x x g x g x   在 ( )0, + 上单调递减， ( ) ( ) ( )0 , , 0,x x g x g x   +  在 ( )0, + 上单调递增， 而 ( ) ( )min 0( ) 0 0g x g x g=  = ，所以不合题意. 综上： 2,a  实数a 的取值范围为 ( , 2− . 法二： ( ) ( ) sin e sin 1xg x f x x ax x= + = − + − ， 当 0x = 时， ( )0 0 0g =  恒成立， 当 0x  时，由 ( ) 0g x  得 e sin 1 0x ax x− + −  ， 即 e sin 1 , ( 0) x x a x x + −   ， 令 ( ) e sin 1x x x x  + − = ，即 ( ) min[ ] , ( 0)a x x  ， 则 ( ) ( ) ( ) 2 2 e cos e sin 1 e cos e sin 1 x x x xx x x x x x x x x x  + − + − + − − + = = ， 令 ( ) e cos e sin 1, ( 0)x xs x x x x x x= + − − +  ， 则 ( ) ( )e e cos sin e cos e sin e sinx x x x xs x x x x x x x x x x x= + + − − − = − = − . ( ) ( )0,e sin 0, 0,xx x s x s x −   在 ( )0, + 上单调递增， ( ) ( )0 0s x s  = ， 即 ( ) ( )0,x x   在 ( )0, + 上单调递增，而 ( ) 0 0 0  = ，所以符合洛必达法则. 答案第 10 页，共 10 页 由洛必达法则得： ( ) 0 0 e sin 1 lim lim e cos 2, 2, x x x x x x a x→ → + − = + =   实数a 的取值范围为 ( , 2− . 法三： ( ) ( ) sin e sin 1xg x f x x ax x= + = − + − ， 当 0x = 时， ( )0 0 0g =  恒成立， 当 0x  时，由 ( ) 0g x  得 e sin 1 0x ax x− + −  ， 即 e sin 1 , ( 0) x x a x x + −   ， 设 ( ) e sin 1xp x x= + − ，又 ( )0 0p = ， 则由拉格朗日中值定理可知： 令 ( ) ( ) ( ) ( ) 0e sin 1 , 0, 0 x p x px p x x x   −+ − = =  − ， 即 ( ) ( ) min , 0,a p x      又 ( ) ( )e cos , e sin 0p p     = −= +  ， ( )p   在 ( )0, x 上单调递增， ( ) ( )0 2p p   = ， 2,a  实数a 的取值范围为 ( , 2− . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，常用方法有如下几种： 方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极 值点偏移问题的基本处理策略； 方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不 等式即可，例如对数平均不等式的证明； 方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立.