专题04 一次函数【8个考点知识梳理+题型解题方法+专题过关】-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点题型归纳+题型专训（人教版）

1 专题04 一次函数 【8个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】 考点一：变量与常量 1. 变量与常量的定义： 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 【考试题型1】对变量和常量的理解判断 【解题方法】根据定义以及已知条件进行判断。 例题讲解：1．（2024春•榕城区期中）小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（　　） A．金额是因变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．金额是随着数量的增大而减少 考点二：函数 1. 函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说是自变量，是的函数。若存在时，则就是自变量为时的函数值。 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 2. 函数的三种表达方式： ①解析式表达： 函数解析式即用式子来表达的函数关系。 通常情况下在等式右边的字母是函数关系的自变量，等式左边的字母是自变量的函数。 （1） 自变量的取值范围： 在函数解析式中必须使式子成立。 I：分母不能等于0； II：被开方数大于等于0； III：无意义。即中，与不能同时为0。 在实际应用中必须满足实际意义。 （2） 函数值： 将自变量的值带入函数解析式求解得函数值。自变量确定则函数值确定且唯一，若函数值确 定，可对应一个自变量，也可对应对个自变量。 ②列表法表达： 利用表格表达函数关系的方法。 ③图像法表达： 利用画图像表达函数关系的方法。 【考试题型1】判断函数关系 【解题方法】根据函数的定义进行判断。若是函数解析式，则表示函数的字母不能含有绝对值与偶次方，表示自变量的式子不能含有±。若判断图像，则作x轴的垂线，若直线与图像只存在一个交点则为函数，多个交点则不是函数。 例题讲解：2．（2024春•高坪区校级期中）已知y＝2x﹣7；；y＝5；以上各式中，y是x的函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•广州期中）下列图象中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【考试题型2】求自变量的取值范围与函数值 【解题方法】满足式子有意义，即分母不为0，被开方数大于等于零，以此建立方程与不等式求解自变量取值范围。若求函数值，只需把自变量的值带入函数解析式中求解。注意对于分段函数要带入自变量对应的解析式。 例题讲解：4．（2024春•长寿区校级期中）若函数在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　． 5．（2024春•沙坪坝区校级期中）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是﹣4，则输出y的值是﹣6，若输入x的值是6，则输出y的值是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【考试题型3】函数列表信息处理 【解题方法】根据列表表示的自变量与函数值之间的关系，直接判定或先计算在判断表格所表达的信息。 例题讲解：6．（2024春•南海区期中）弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如表：下列说法错误的是（　　） 物体的质量（kg） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（cm） 10 12.5 15 17.5 20 22.5 A．在没挂物体时，弹簧的长度为10cm B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是因变量，弹簧的长度是自变量 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度就增加2.5cm D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为4kg时，弹簧的长度为20cm 【考试题型4】函数图像信息处理 【解题方法】找到函数图像的关键点，即交点、拐点等以及他们所表示的实际意义，再结合实际问题解决题目。 例题讲解：7．（2024•南明区一模）贵阳市某中学举行了秋季学生运动会，甲、乙两人参加了800m长跑比赛，其路程S（m）与时间t（min）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．甲的平均速度为200m/min B．前2分钟，甲比乙每分钟快50m C．甲、乙两人同时达到终点 D．2分钟后，甲的速度比乙的速度快 8．（2024•常州模拟）匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 考点三：正比例函数的图像与性质 1. 正比例函数的概念： 一般地，形如的函数叫做正比例函数。其中，叫做比例系数。 注意：①自变量系数不能为0。 ②自变量次数一定是1。 ③正比例函数解析式中，自变量后面为0。 2. 正比例函数的图像与性质： 正比例函数的图像是一条过原点的直线。 当时。图像过一三象限，随的增大而增大； 当时。图像过二四象限，随的增大而减小。 【考试题型1】根据正比例函数的定义求值 【解题方法】根据正比例函数的定义，自变量系数不能为0，次数为1，自变量后面等于0建立方程进行求解。 例题讲解：9．（2024春•晋江市期中）已知函数是正比例函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 【考试题型2】正比例函数的性质与图像 【解题方法】根据正比例函数的常数与图像与性质的关系进行判断求解。 例题讲解：10．（2024春•东莞市期中）已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 11．（2024•西安校级模拟）若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．3 考点四：一次函数的图像与性质 1. 一次函数的定义： 一般地，形如的函数是一次函数。 注意：一次函数的结构中，≠0，自变量系数为1。为任意实数。当的值等于0时，一次函数变成正比例函数。 2. 一次函数的图像与性质： 一次函数的图像是一条直线。 （1） 当时，图像经过一三象限，随的增大而增大。若，则函数图像与轴交于正半轴， 此时函数的图像经过一二三象限；若，则函数与轴交于负半轴，此时函数的图像经过一三四象限。 （2） 当时，图像经过二四象限，随的增大而减小。若，则函数图像与轴交于正半轴， 此时函数的图像经过一二四象限；若，则函数与轴交于负半轴，此时函数的图像经过二三四象限。 3. 一次函数与坐标轴的交点坐标： 一次函数与横坐标的交点左边计算公式是。与纵坐标的交点坐标计算公式是。 【考试题型1】利用一次函数的定义求值 【解题方法】根据一次函数的定义自变量的系数不能为0，次数一定等于1建立方程求解。 例题讲解：12．（2024春•萨尔图区校级期中）已知y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是关于x的一次函数，则m＝　 　． 【考试题型2】一次函数的性质判断 【解题方法】根据一次函数的性质逐一进行判断即可。 例题讲解：13．（2024•无锡一模）下列四个选项中，不符合直线y＝x﹣3的性质与特征的是（　　） A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大 C．与x轴交于点（﹣3，0） D．与y轴交于点（0，﹣3） 【考试题型3】根据函数的图像或性质求待定系数的值 【解题方法】利用图像判断或性质判断一次函数的常数的取值范围从而建立不等式进行求值。 例题讲解：14．（2024春•兴宁区校级期中）若直线y＝（2﹣5m）x﹣8经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．（2024春•盐边县校级期中）若直线y＝mx﹣2m﹣3经过第二、三、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m＞0 【考试题型4】判断未知函数值的大小关系 【解题方法】根据一次函数的值判断函数是随的增大而增大还是减小。若随的增大而增大，则横坐标越大的函数值越大；若随的增大而减小，则横坐标越大的函数值越小。 例题讲解：16．（2024春•威远县校级期中）已知点A（﹣，y1），B（2，y2），C（﹣1，y3）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A． y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＞y3＞y2 【考试题型6】函数图像的共存问题 【解题方法】假定其中一个函数的图像成立判断另一个函数的图像是否也成立进行判断。 例题讲解：17．（2024•瑶海区二模）一次函数y＝abx﹣a和y＝ax﹣ab（a、b为非零常数）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 考点五：一次函数的几何变换 1. 一次函数的平移变换： ①一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在自变量上加减平移单位。左加右减。 I：若函数向左平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为。 II：若函数向右平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为。 ②一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在函数解析式上加减平移单位。上加下减。 I：若函数向上平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为。 II：若函数向下平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为。 2. 一次函数的对称变换： ①函数关于轴对称： 若函数关于轴对称，函数的自变量不发生变化，函数值变为原来的相反数。 即关于轴对称的函数解析式为。 ②函数关于轴对称： 若函数关于轴对称，函数的函数值不发生变化，自变量变为原来的相反数。 即关于轴对称的函数解析式为。 【考试题型1】函数的平移 【解题方法】通过函数的平移规则求出平移后的函数解析式，在根据求出的函数解析式的常数判断函数的图像与性质进而求解。 例题讲解：18．（2024春•惠阳区校级期中）在平面直角坐标系中，将直线y＝x+3沿y轴向下平移2个单位长度后的直线解析式为（　　） A．y＝x+1 B．y＝x+5 C．y＝﹣2x+3 D．y＝2x+3 19．（2024春•永春县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，点D和点B的坐标分别为（4，3）、（10，0），过点D的正比例函数y＝kx图象上有一点P，使得点D为OP的中点，将y＝kx的图象沿y轴向下平移得到y＝kx+b的图象，若点P落在长方形ABCD的内部，则b的取值范围是（　　） A．﹣6≤b＜﹣3 B．﹣6＜b＜﹣3 C．﹣6＜b≤﹣3 D．﹣6≤b≤﹣3 【考试题型1】函数的对称 【解题方法】根据函数的对称关系求出相应的函数解析式，在根据求出的函数解析式的常数判断函数的图像与性质进而求值。 例题讲解：20．（2024•西安二模）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一次函数y＝2x+1关于y轴对称，则一次函数y＝kx+b的表达式为（　　） A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣1 D． 21．（2024•碑林区校级模拟）在平面直角坐标系中，若直线y＝kx﹣1与直线y＝﹣7x+b关于y轴对称，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点六：一次函数与方程、与不等式 1. 一次函数与一次方程： ①若一次函数的图像经过点，则一元一次方程的解为。 ②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标，则一元一次方程的解为。 2. 一次函数与二元一次方程组： 若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则二元一次方程组的解为。 3. 一次函数与不等式： ①若一次函数的图像经过点，则不等式的解集取点上方所在图像所对应的自变量范围；不等式的解集取点下方所在图像所对应的自变量范围。 ②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则不等式的解集取函数的图像在图像上方的部分所对应的自变量的范围；不等式的解集取函数的图像在图像下方的部分所对应的自变量的范围。这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。 4. 求函数交点坐标： 求函数与函数的交点坐标，只需建立方程求解即可得到两 函数交点的横坐标，将所得的值带入任意函数值求得交点的纵坐标。 【考试题型1】一次函数与方程 【解题方法】若方程右边是常数，则找到纵坐标为此常数的点，该点横坐标即为方程的解。若方程是两个函数组成的一元一次方程或二元一次方程组，则求出交点坐标，交点横坐标为一元一次方程的解以及二元一次方程组的解，交点纵坐标为二元一次方程组的值。 例题讲解：22．（2024•阎良区二模）如图，已知直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0），则关于x的方程kx+b＝1的解是x＝（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．﹣2 23．（2024•庄浪县二模）如图，一次函数y＝kx+2（k为常数且k≠0）和y＝3x+1的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程kx+2＝3x+1的解是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【考试题型2】一次函数与不等式 【解题方法】若不等式右边是常数，则找到纵坐标为该常数的点，该点的横坐标即为不等式的解得边界。若k的值与不等式符号相同则解集为大于，不同则解集为小于。若不等式由两个函数组成，求其两个函数的交点，交点横坐标为不等式解集的边界，在判断需要哪个函数图像在上方的部分，并判断出该部分对应的图像在交点的左边还是右边，左边解集为小于，右边解集为大于。 例题讲解：24．（2024•绍兴模拟）根据图象，可得关于x的不等式k2x+kb＞﹣kx+3k的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1 25．（2024春•碑林区校级期中）如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，2），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣5，0），则不等式0＜k2x+b＜k1x的解集为（　　） A．x＜﹣3 B．﹣5＜x＜﹣3 C．﹣5＜x＜0 D．x＜0 考点七：待定系数法求函数解析式 1. 待定系数法求函数解析式的具体步骤： 具体步骤： ①设函数解析式——。 ②找点——经过函数图像上的点。 ③带入——将找到的点的坐标带入函数解析式中得到方程（或方程组）。 ④解——解③中得到的方程（或方程组），求出的值。 ⑤反带入——将求出的的值带入函数解析式中得到函数解析式。 【考试题型1】求函数解析式 【解题方法】根据待定系数法的具体步骤进行求函数解析式即可。 例题讲解：26．（2024春•兰考县期中）已知y﹣1与x+3成正比例，当x＝﹣1时，y＝3． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a的值． （3）试判断点（﹣2，5）是否在此函数图象上，说明理由． 27．（2024春•西山区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，它的图象经过（1，1），（6，﹣9）两点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当﹣1≤x≤3时，求函数值y的取值范围． 考点八：一次函数的实际应用 1. 分段函数： 在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。 关键点：①分段函数各段的函数解析式。 ②各个拐点的实际意义。 ③函数交点的实际意义。 2. 一次函数的综合： （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值。 （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题。 解决一次函数的实际应用题必须弄清楚自变量的取值范围。 【考试题型1】一次函数的实际应用 【解题方法】根据实际问题中常见的等量关系求得函数解析式，在利用一次函数的性质进行相应的求解 例题讲解：28．（2024•盐城二模）甲、乙两名工人分别加工a个同种零件．甲先加工一段时间，由于机器故障进行维修后继续按原来的工作效率进行加工，当甲加工1.5小时后乙开始加工，乙的工作效率是甲的工作效率的3倍．如图分别表示甲、乙加工零件的数量y （个）与甲工作时间x （时）的函数图象． （1）甲的工作效率为　 　个/时，维修机器用了 　小时； 乙的工作效率是　 　个/时； （2）乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同，并求此时乙加工零件的个数； （3）若乙比甲早1小时完成任务，求a的值． 29．（2024•南安市模拟）某学校、电影院、市体育馆依次在一条东西向的路上．某日，甲同学到距离学校200m的电影院看电影，在电影院内停留60min后，以70m/min的速度步行10min到达市体育馆．甲同学与学校的距离s（单位：m）与时间t（单位：min）的关系如图所示． （1）求甲同学与学校的距离s关于时间t的函数解析式； （2）乙同学在甲到达电影院53min后从学校出发，以50m/min的速度步行去市体育馆，他们会在路上相遇吗？请说明理由． 【考试题型2】一次函数的综合 【解题方法】结合一次函数的所有性质与图像，以及题目中所涉及到的几何的知识点进行求解。 例题讲解：30．（2024•桥西区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣3），直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与l1相交于D．点P为线段DE上一点（不与点D，E重合），作直线BP． （1）求直线l1的表达式及点D的坐标； （2）若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，求点P的坐标； （3）点P是否存在某个位置，使得点D关于直线PB的对称点D'恰好落在直线AB上方的坐标轴上．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【专题过关】 一．常量与变量（共2小题） 1．（2024春•吉安期中）圆的面积计算公式为S＝πR2（R为圆的半径），变量是（　　） A．π B．R，S C．π，R D．π，R，S 2．（2024春•榕城区期中）小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（　　） A．金额是因变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．金额是随着数量的增大而减少 二．函数的概念（共3小题） 3．（2024春•高坪区校级期中）已知y＝2x﹣7；；y＝5；以上各式中，y是x的函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024春•中山市校级期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•邢台期中）对于甲、乙两条折线，说法正确的是（　　） A．甲表示y是x的函数，乙不能表示y是x的函数 B．甲、乙均不能表示y是x的函数 C．甲、乙均表示y是x的函数 D．甲不能表示y是x的函数，乙表示y是x的函数 三．函数关系式（共3小题） 6．（2024春•沙坪坝区校级期中）长方形一条边的长度为x厘米，其周长为20厘米，面积为y平方厘米，则y与x的关系可以表示为（　　） A．y＝10﹣x B．y＝20x﹣x2 C．y＝20﹣x D．y＝10x﹣x2 7．（2024春•大埔县期中）佳佳爸爸计划用一根长为20m的铁丝围成一个长方形，那么这个长方形的长y（m）与宽x（m）之间的关系式为（　　） A．y＝﹣x+10 B．y＝x+5 C．y＝﹣x+20 D．y＝x+10 8．（2024春•埇桥区期中）七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书x（x＞30）本，则应付款y与购买数量x的关系式为 　 　． 四．函数自变量的取值范围（共3小题） 9．（2024春•沙坪坝区期中）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≠2 C．x＜2 D．x≠﹣1 10．（2024春•海口期中）已知函数，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x≥1且x≠2 C．x≥1 D．x≠2 11．（2024•青岛三模）在函数中，自变量x的取值范围是 　． 五．函数值（共3小题） 12．（2024春•威远县校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为2时，则输出y的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 13．（2024•杨浦区三模）已知，那么f（4）＝ 　． 14．（2024春•台江县校级期中）已知函数，则＝　 　． 六．函数的图象（共4小题） 15．（2024•常州模拟）匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 16．（2024•云岩区一模）如图1，某容器由A，B两个长方体组成，其底面积分别为25cm2，5cm2，容器B的容积是整个容器容积的（容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v（cm3/s）均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度h（cm）与注水时间t（s）的函数图象．下列判断中正确的是（　　） A．注满整个容器至少需要20s B．容器B的容积为40cm3 C．容器B的高度是容器A的高度的3倍 D．注水速度v为20cm3/s 17．（2024春•成都期中）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h（m）随飞行时间t（min）的变化情况，则下列说法错误的是（　　） A．风筝最初的高度为30m B．1min时高度和5min时高度相同 C．3min时风筝达到最高高度为60m D．2min到4min之间，风筝飞行高度h（m）持续上升 18．（2024•常州一模）小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（　　） A． B． C． D． 七．函数的表示方法（共3小题） 19．（2024•江岸区模拟）弹簧原长（不挂重物）12cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如表所示： 弹簧总长L（cm） 13 14 15 16 17 重物质量x（kg） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 当重物质量为7.5kg（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（cm）是（　　） A．27 B．27.5 C．20 D．19.5 20．（2024•武昌区模拟）预防高血压不容忽视，“千帕（kPa）”和“毫米汞柱（mmHg）”都是表示血压的单位，请你根据表格提供的信息判断，下列各组换算正确的是（　　） 千帕（kPa） … 10 12 14 … 毫米汞柱（mmHg） … 75 90 105 … A．8kPa＝70mmHg B．16kPa＝110mmHg C．20kPa＝145mmHg D．24kPa＝180mmHg 21．（2024春•市中区期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：下列说法错误的是（　　） 温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速/m/s 318 324 330 336 342 348 A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．在一定范围内，当温度每升高10°C，声速增加6m/s D．当空气温度为20°C时，声音5s可以传播1700m 八．一次函数的定义（共2小题） 22．（2024春•南宁期中）下列函数是一次函数的是（　　） A．y＝2 B．y＝2x+1 C． D．y＝x2+2 23．（2024春•萨尔图区校级期中）已知y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是关于x的一次函数，则m＝　 　． 九．正比例函数的定义（共2小题） 24．（2024春•南岗区校级期中）下列函数中是正比例函数的是（　　） A．y＝3x+2 B．y﹣3＝2x C． D． 25．（2024春•晋江市期中）已知函数是正比例函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 一十．一次函数的图象（共3小题） 26．（2024春•长沙期中）已知点（k，b）为第一象限内的点，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 27．（2024春•威远县校级期中）直线y1＝mx+n2+1和y2＝﹣nx﹣m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 28．（2024春•重庆期中）如图函数解析式“y＝﹣kx+b”，那么“y＝2bx﹣k”的图象可能是（　　） A． B． C． D． 一十一．一次函数的性质（共3小题） 29．（2024•无锡一模）下列四个选项中，不符合直线y＝x﹣3的性质与特征的是（　　） A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大 C．与x轴交于点（﹣3，0） D．与y轴交于点（0，﹣3） 30．（2024•静安区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 31．（2024春•杨浦区期中）A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝﹣3x+1图象上的不同的两点，则（　　） A．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0 B．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 C．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＝0 D．（x1﹣x2）（y1﹣y2）的符号无法判断 一十二．正比例函数的性质（共3小题） 32．（2024•灞桥区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象一定也经过点（　　） A．（﹣3，2） B．（，﹣1） C．（，﹣1） D．（﹣，1） 33．（2024春•东莞市期中）已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 34．（2024•西安校级模拟）若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．3 一十三．一次函数图象与系数的关系（共3小题） 35．（2024•榆中县二模）一次函数y＝（k﹣1）x+2的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k＞1 D．k＜1 36．（2024春•盐边县校级期中）若直线y＝mx﹣2m﹣3经过第二、三、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m＞0 37．（2024春•青山湖区校级期中）直线y＝（2m﹣1）x+n经过第一、三、四象限，则点P（﹣m，n）所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 一十四．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 38．（2024春•盐边县校级期中）已知直线y＝kx+b过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若k＜0，x1＜x2，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定 39．（2024春•萨尔图区校级期中）若（x1，y1），（x2，y2）这两个不同点在y关于x的一次函数y＝（a+1）x﹣1图象上，且y随x增大而减小，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1 40．（2024春•威远县校级期中）已知点A（﹣，y1），B（2，y2），C（﹣1，y3）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＞y3＞y2 一十五．一次函数图象与几何变换（共4小题） 41．（2024•蜀山区二模）若将直线y＝﹣x向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（　　） A．与y轴交于点（0，3） B．不经过第一象限 C．y随x的增大而增大 D．与x轴交于点（6，0） 42．（2024•修文县一模）已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）图象经过点（2，1），将该一次函数图象向右平移1个单位后得到一次函数y＝mx+n（m，n为常数）的图象，则下列关于一次函数y＝mx+n的说法，正确的是（　　） A．该函数图象与x轴交点的横坐标大于3 B．该函数图象有可能经过坐标原点 C．该函数图象与y轴交于负半轴 D．该函数图象不一定经过第二象限 43．（2024•碑林区校级模拟）若将一次函数y＝﹣2x﹣b的图象关于x轴对称，所得的图象经过点（2，1），则b的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5 44．（2024•船营区一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿x轴向右平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边AB有交点，则m的取值范围是（　　） A．4≤m≤8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．2≤m≤4 一十六．待定系数法求一次函数解析式（共5小题） 45．（2024春•新安县期中）一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），自变量的取值范围为﹣1≤x≤2，对应的函数值的取值范围为﹣5≤y≤﹣2，则这个函数的表达式为 　 　． 46．（2024•黔南州一模）直线y＝2x+1如图所示，过点P（2，1）作与它平行的直线y＝kx+b，则k，b的值是（　　） A．k＝2，b＝3 B．k＝2，b＝﹣3 C．k＝2，b＝﹣1 D．k＝﹣2，b＝﹣3 47．（2024春•惠阳区校级期中）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝﹣4时，y＝9，当x＝6时y＝﹣1． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求当﹣3＜y≤1时，自变量x的取值范围． 48．（2024•石家庄模拟）在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝（k﹣1）x+3与y轴交于点P，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣2，﹣2），C（3，﹣2）． （1）若点D在直线l上，求k的值； （2）若直线l将矩形面积分成相等的两部分，求直线l的函数表达式； （3）若直线l与矩形ABCD有交点（含边界），直接写出k的取值范围． 49．（2024•肇源县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线l2：与x轴交于点B（1，0），与l1相交于点C（m，4）． （1）求直线l2的解析式； （2）求四边形OBCD的面积； （3）若点M为x轴上一动点，过点M（t，0）作垂直于x轴的直线，与直线l2交于点Q．若S△AQC＝2S△ABC，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标． 一十七．一次函数与一元一次方程（共3小题） 50．（2024春•南宁期中）下表是一次函数y＝kx+b中x与y的几组对应值，则方程kx+b＝1的解为（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 1 7 13 19 … A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝7 D．x＝13 51．（2024•碑林区校级三模）若关于x的方程kx+b＝0的解是x＝﹣1，则直线y＝kx+2b一定经过点（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（0，﹣2） 52．（2024•凌河区校级一模）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一十八．一次函数与一元一次不等式（共3小题） 53．（2024•徐州二模）若函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx﹣2b＞0的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞3 C．x＜6 D．x＞6 54．（2024•绍兴模拟）根据图象，可得关于x的不等式k2x+kb＞﹣kx+3k的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1 55．（2024春•碑林区校级期中）如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，2），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣5，0），则不等式0＜k2x+b＜k1x的解集为（　　） A．x＜﹣3 B．﹣5＜x＜﹣3 C．﹣5＜x＜0 D．x＜0 一十九．一次函数的应用（共5小题） 56．（2024•松北区二模）现有两段长度相等的公路隔离护栏清洗任务，分别交给甲、乙两个环卫小组同时进行清洗．甲、乙两组清洗的长度y（米）与清洗时间x（时）之间的函数关系的部分图象如图所示．下列说法不正确的是（　　） A．甲组清洗速度每小时10米 B．清洗4小时，甲、乙两组施工的长度相同 C．乙组工作5小时共清洗护栏46米 D．清洗6小时时，甲组比乙组多完成了10米 57．（2024•松北区一模）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（　　） A．乙比甲提前出发1h B．甲行驶的速度为40km/h C．3h时，甲、乙两人相距60km D．0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km 58．（2024•沈阳二模）某超市的消费卡做促销活动，消费卡售价y（元）与面值x（元）之间满足一次函数关系，其图象经过原点和点A，如图所示，小张购买了该超市的一张面值是1000元的消费卡，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． （1）求小张购买这张消费卡实际花费的钱数为多少元； （2）小张使用这张消费卡在该超市购买了某种大米20公斤，超市规定这种大米使用消费卡购买，每公斤在原价的基础上还可以优惠0.4元．设小张购买的大米原价为m元/公斤，小张购买的20公斤大米实际花费的钱数为w元，求w与m的函数关系式． 59．（2024•西乡塘区模拟）在日常生活中，当手机剩余电量为20%时，张老师便会给手机充电，他发现单独使用快充充电器和单独用普通充电器对该手机充电，手机电量y（单位：%）与充电时间x（单位：分钟）的函数图象分别为图中的线段AB，AC．请根据图中信息，解答下列问题： （1）张老师单独用快充充电器充满电比用普通充电器少用 　80　分钟； （2）求线段AB对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）张老师若先用普通充电器充电m分钟后，再改用快充充电器直至充满，共用70分钟，请求出m的值． 60．（2024•南京模拟）A，B两地相距120km，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达B地后立即按原路原速返回，慢车到达A地后停止．快、慢两车离A地的距离y1，y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． （1）补全y1与x之间的函数图象； （2）若慢车的速度为30km/h． ①点P的坐标为 　 　； ②快车到达A地前，两车何时相距30km？ （3）若慢车在快车返回A地后的0.5h内到达，则慢车速度v的范围是 　 　． 1 / 1 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数 【8个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】 考点一：变量与常量 1. 变量与常量的定义： 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 【考试题型1】对变量和常量的理解判断 【解题方法】根据定义以及已知条件进行判断。 例题讲解：1．（2024春•榕城区期中）小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（　　） A．金额是因变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．金额是随着数量的增大而减少 【分析】根据常量和变量的定义即可作答． 【解答】解：∵金额随着数量的变化而变化， ∴数量是自变量，金额是因变量，单价是常量， ∴金额是随着数量的增大而增大． 故选：A． 考点二：函数 1. 函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说是自变量，是的函数。若存在时，则就是自变量为时的函数值。 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 2. 函数的三种表达方式： ①解析式表达： 函数解析式即用式子来表达的函数关系。 通常情况下在等式右边的字母是函数关系的自变量，等式左边的字母是自变量的函数。 （1） 自变量的取值范围： 在函数解析式中必须使式子成立。 I：分母不能等于0； II：被开方数大于等于0； III：无意义。即中，与不能同时为0。 在实际应用中必须满足实际意义。 （2） 函数值： 将自变量的值带入函数解析式求解得函数值。自变量确定则函数值确定且唯一，若函数值确 定，可对应一个自变量，也可对应对个自变量。 ②列表法表达： 利用表格表达函数关系的方法。 ③图像法表达： 利用画图像表达函数关系的方法。 【考试题型1】判断函数关系 【解题方法】根据函数的定义进行判断。若是函数解析式，则表示函数的字母不能含有绝对值与偶次方，表示自变量的式子不能含有±。若判断图像，则作x轴的垂线，若直线与图像只存在一个交点则为函数，多个交点则不是函数。 例题讲解：2．（2024春•高坪区校级期中）已知y＝2x﹣7；；y＝5；以上各式中，y是x的函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【解答】解：y是x的函数的有y＝2x﹣7；；y＝5；y不是x的函数的是． ∴y是x的函数的有3个． 故选：C． 3．（2024春•广州期中）下列图象中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【解答】解：A中的图象，y不是x的函数，故A符合题意； B、C、D中的图象，y是x的函数，故B、C、D不符合题意． 故选：A． 【考试题型2】求自变量的取值范围与函数值 【解题方法】满足式子有意义，即分母不为0，被开方数大于等于零，以此建立方程与不等式求解自变量取值范围。若求函数值，只需把自变量的值带入函数解析式中求解。注意对于分段函数要带入自变量对应的解析式。 例题讲解：4．（2024春•长寿区校级期中）若函数在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x＞1　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x﹣1＞0， 解得：x＞1， 故答案为：x＞1． 5．（2024春•沙坪坝区校级期中）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是﹣4，则输出y的值是﹣6，若输入x的值是6，则输出y的值是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【分析】先代入x＝﹣4，求得b的值，再输入x＝6计算即可． 【解答】解：若输入x的值是﹣4，则输出y的值是﹣6， ∵﹣4＜2 ∴﹣6＝2×（﹣4）+4b， 解得：， 若输入x的值是6， ∵6＞2， ∴， 故选：B． 【考试题型3】函数列表信息处理 【解题方法】根据列表表示的自变量与函数值之间的关系，直接判定或先计算在判断表格所表达的信息。 例题讲解：6．（2024春•南海区期中）弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如表：下列说法错误的是（　　） 物体的质量（kg） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（cm） 10 12.5 15 17.5 20 22.5 A．在没挂物体时，弹簧的长度为10cm B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是因变量，弹簧的长度是自变量 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度就增加2.5cm D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为4kg时，弹簧的长度为20cm 【分析】根据表格数据，自变量x所挂物体的重量与因变量y弹簧的长度的关系，依次判断正误即可． 【解答】解：根据条件，可列关系式为：y＝2.5x+10． A．在没挂物体时，弹簧的长度为10cm，根据图表，当质量x＝0时，y＝10，故此选项正确，不符合题意； B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意； C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度就增加2.5cm，故此选项正确，不符合题意； D、由关系式y＝10+2.5xm，x＝4，解得y＝20，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 【考试题型4】函数图像信息处理 【解题方法】找到函数图像的关键点，即交点、拐点等以及他们所表示的实际意义，再结合实际问题解决题目。 例题讲解：7．（2024•南明区一模）贵阳市某中学举行了秋季学生运动会，甲、乙两人参加了800m长跑比赛，其路程S（m）与时间t（min）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．甲的平均速度为200m/min B．前2分钟，甲比乙每分钟快50m C．甲、乙两人同时达到终点 D．2分钟后，甲的速度比乙的速度快 【分析】根据图象求出甲的平均速度即可判断A；算出前2分钟乙的速度然后与甲作比较即可判断B；根据图象可以判断C、D． 【解答】解：A．甲的平均速度为：800÷4＝200（米/分），故A说法正确，不符合题意； B．前2分钟时，乙的速度为：300÷2＝150（米/分）， 前2分钟时，小甲比乙每分钟快：200﹣150＝50（米），故B说法正确，不符合题意； C．根据图象可知，甲、乙两人同时达到终点，故C说法正确，不符合题意； D．根据图象可知，2分钟后，甲的速度比乙的速度慢，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 8．（2024•常州模拟）匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分， 所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高． 因为瓶子的上半部分是圆柱， 所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升． 故选：A． 考点三：正比例函数的图像与性质 1. 正比例函数的概念： 一般地，形如的函数叫做正比例函数。其中，叫做比例系数。 注意：①自变量系数不能为0。 ②自变量次数一定是1。 ③正比例函数解析式中，自变量后面为0。 2. 正比例函数的图像与性质： 正比例函数的图像是一条过原点的直线。 当时。图像过一三象限，随的增大而增大； 当时。图像过二四象限，随的增大而减小。 【考试题型1】根据正比例函数的定义求值 【解题方法】根据正比例函数的定义，自变量系数不能为0，次数为1，自变量后面等于0建立方程进行求解。 例题讲解：9．（2024春•晋江市期中）已知函数是正比例函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣8＝1，m﹣3≠0，继而即可求出m的值． 【解答】解：由正比例函数的定义可得m2﹣8＝1，m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3． 故选：A． 【考试题型2】正比例函数的性质与图像 【解题方法】根据正比例函数的常数与图像与性质的关系进行判断求解。 例题讲解：10．（2024春•东莞市期中）已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 【分析】由k＝﹣＜0，利用正比例函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合﹣2＞﹣5，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵k＝﹣＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，且﹣2＞﹣5， ∴y1＜y2． 故选：A． 11．（2024•西安校级模拟）若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．3 【分析】由正比例函数的定义可求得m的值，再由图象的位置进行取舍，可求得m的值． 【解答】解：∵函数是正比例函数， ∴m2﹣3＝1， 解得m＝±2， ∵图象经过第一、三象限， ∴m+1＞0， ∴m＞﹣1， ∴m＝2． 故选：A． 考点四：一次函数的图像与性质 1. 一次函数的定义： 一般地，形如的函数是一次函数。 注意：一次函数的结构中，≠0，自变量系数为1。为任意实数。当的值等于0时，一次函数变成正比例函数。 2. 一次函数的图像与性质： 一次函数的图像是一条直线。 （1） 当时，图像经过一三象限，随的增大而增大。若，则函数图像与轴交于正半轴， 此时函数的图像经过一二三象限；若，则函数与轴交于负半轴，此时函数的图像经过一三四象限。 （2） 当时，图像经过二四象限，随的增大而减小。若，则函数图像与轴交于正半轴， 此时函数的图像经过一二四象限；若，则函数与轴交于负半轴，此时函数的图像经过二三四象限。 3. 一次函数与坐标轴的交点坐标： 一次函数与横坐标的交点左边计算公式是。与纵坐标的交点坐标计算公式是。 【考试题型1】利用一次函数的定义求值 【解题方法】根据一次函数的定义自变量的系数不能为0，次数一定等于1建立方程求解。 例题讲解：12．（2024春•萨尔图区校级期中）已知y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是关于x的一次函数，则m＝　﹣2　． 【分析】由定义可得m﹣2≠0，|m|﹣1＝1，从而可得答案． 【解答】解：函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是关于x的一次函数， 则m﹣2≠0，|m|﹣1＝1， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【考试题型2】一次函数的性质判断 【解题方法】根据一次函数的性质逐一进行判断即可。 例题讲解：13．（2024•无锡一模）下列四个选项中，不符合直线y＝x﹣3的性质与特征的是（　　） A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大 C．与x轴交于点（﹣3，0） D．与y轴交于点（0，﹣3） 【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出直线y＝x﹣3经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，可判断A，B；令y＝0，求得x＝3，令x＝0，求得y＝﹣3，即可得出直线与x轴的交点为（3，0），与y轴的交点为（0，﹣3），可判断C，D． 【解答】解：A．∵k＝1＞0，b＝﹣3＜0， ∴直线y＝x﹣3经过第一、三、四象限，故选项A不符合题意； B．∵k＝1＞0， ∴y随x的增大而增大，故选项B不符合题意； C．∵当y＝0时，x＝3， 解得：x＝3， ∴与x轴交于点（3，0），故选项C符合题意； D．∵当x＝0时，y＝﹣3， ∴函数图象与y轴交于点（0，﹣3），故选项D不符合题意； 故选：C． 【考试题型3】根据函数的图像或性质求待定系数的值 【解题方法】利用图像判断或性质判断一次函数的常数的取值范围从而建立不等式进行求值。 例题讲解：14．（2024春•兴宁区校级期中）若直线y＝（2﹣5m）x﹣8经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】由x1＜x2时，y1＞y2，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数2﹣5m＜0，解不等式即可． 【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2， ∴2﹣5m＜0， ∴， 故选：D． 15．（2024春•盐边县校级期中）若直线y＝mx﹣2m﹣3经过第二、三、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m＞0 【分析】根据直线y＝mx﹣2m﹣3经过第二、三、四象限，得出则，解之得：． 【解答】解：直线y＝mx﹣2m﹣3经过第二、三、四象限， 则， 解之得：． 故选：B． 【考试题型4】判断未知函数值的大小关系 【解题方法】根据一次函数的值判断函数是随的增大而增大还是减小。若随的增大而增大，则横坐标越大的函数值越大；若随的增大而减小，则横坐标越大的函数值越小。 例题讲解：16．（2024春•威远县校级期中）已知点A（﹣，y1），B（2，y2），C（﹣1，y3）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＞y3＞y2 【分析】先根据题意判断出函数的增减性，再根据各点横坐标的大小即可得出结论． 【解答】解：∵m2+1＞0， ∴一次函数y＝（m2+1）x+m上y随x的增大而增大， ∵﹣＜﹣1＜2， ∴y1＜y3＜y2． 故选：C． 【考试题型6】函数图像的共存问题 【解题方法】假定其中一个函数的图像成立判断另一个函数的图像是否也成立进行判断。 例题讲解：17．（2024•瑶海区二模）一次函数y＝abx﹣a和y＝ax﹣ab（a、b为非零常数）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据所给函数解析式，发现两个函数图形过定点（﹣1，﹣ab﹣a），据此可解决问题． 【解答】解：将x＝﹣1代入y＝abx﹣a得， y＝﹣ab﹣a． 将x＝﹣1代入y＝ax﹣ab得， y＝﹣a﹣ab， 所以两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣a﹣ab）， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 考点五：一次函数的几何变换 1. 一次函数的平移变换： ①一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在自变量上加减平移单位。左加右减。 I：若函数向左平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为。 II：若函数向右平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为。 ②一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在函数解析式上加减平移单位。上加下减。 I：若函数向上平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为。 II：若函数向下平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为。 2. 一次函数的对称变换： ①函数关于轴对称： 若函数关于轴对称，函数的自变量不发生变化，函数值变为原来的相反数。 即关于轴对称的函数解析式为。 ②函数关于轴对称： 若函数关于轴对称，函数的函数值不发生变化，自变量变为原来的相反数。 即关于轴对称的函数解析式为。 【考试题型1】函数的平移 【解题方法】通过函数的平移规则求出平移后的函数解析式，在根据求出的函数解析式的常数判断函数的图像与性质进而求解。 例题讲解：18．（2024春•惠阳区校级期中）在平面直角坐标系中，将直线y＝x+3沿y轴向下平移2个单位长度后的直线解析式为（　　） A．y＝x+1 B．y＝x+5 C．y＝﹣2x+3 D．y＝2x+3 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将直线y＝x+3沿y轴向下平移2个单位长度后的直线解析式为y＝x+3﹣2，即y＝x+1． 故选：A． 19．（2024春•永春县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，点D和点B的坐标分别为（4，3）、（10，0），过点D的正比例函数y＝kx图象上有一点P，使得点D为OP的中点，将y＝kx的图象沿y轴向下平移得到y＝kx+b的图象，若点P落在长方形ABCD的内部，则b的取值范围是（　　） A．﹣6≤b＜﹣3 B．﹣6＜b＜﹣3 C．﹣6＜b≤﹣3 D．﹣6≤b≤﹣3 【分析】根据D点坐标得到直线OD解析式，过点P作PF⊥x轴，交CD于点E，则E（8，3），F（8，0），将点EF坐标代入y＝可得b的取值范围． 【解答】解：∵点D（4，3）在直线y＝kx上， ∴k＝，σ ∴直线OD的解析式为y＝x， ∵D是OP的中点，且D（4，3）， ∴P（8，6）， 过点P作PF⊥x轴，交CD于点E， ∴E（8，3），F（8，0）， 设直线OP平移后的解析式为y＝， 将点E（8，3）坐标代入y＝得，3＝， 解得b＝﹣3， 将点F（8，0）坐标代入y＝得，0＝， 解得b＝﹣6， ∴﹣6＜b＜﹣3， 故选：B． 【考试题型1】函数的对称 【解题方法】根据函数的对称关系求出相应的函数解析式，在根据求出的函数解析式的常数判断函数的图像与性质进而求值。 例题讲解：20．（2024•西安二模）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一次函数y＝2x+1关于y轴对称，则一次函数y＝kx+b的表达式为（　　） A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣1 D． 【分析】直接根据平面直角坐标系中，点关于y轴对称的特点得出答案． 【解答】解：一次函数y＝2x+1，则与该一次函数的图象关于y轴对称的一次函数的表达式为：y＝2（﹣x）+1，即y＝﹣2x+1． 故选：B． 21．（2024•碑林区校级模拟）在平面直角坐标系中，若直线y＝kx﹣1与直线y＝﹣7x+b关于y轴对称，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】找到直线y＝kx﹣1与坐标轴交点坐标，然后求其关于y轴对称的点的坐标，利用待定系数法求得k、b的值． 【解答】解：直线y＝kx﹣1与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， 点（，0）关于y轴的对称点为（﹣，0），点（0，﹣1）关于y轴的对称点为（0，﹣1）． 把（0，﹣1）代入y＝﹣7x+b，得b＝﹣1． 把（﹣，0）代入y＝﹣7x﹣1，得k＝7． 因为b＝﹣1，k＝7． 所以一次函数y＝kx+b的图象过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 考点六：一次函数与方程、与不等式 1. 一次函数与一次方程： ①若一次函数的图像经过点，则一元一次方程的解为。 ②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标，则一元一次方程的解为。 2. 一次函数与二元一次方程组： 若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则二元一次方程组的解为。 3. 一次函数与不等式： ①若一次函数的图像经过点，则不等式的解集取点上方所在图像所对应的自变量范围；不等式的解集取点下方所在图像所对应的自变量范围。 ②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则不等式的解集取函数的图像在图像上方的部分所对应的自变量的范围；不等式的解集取函数的图像在图像下方的部分所对应的自变量的范围。这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。 4. 求函数交点坐标： 求函数与函数的交点坐标，只需建立方程求解即可得到两 函数交点的横坐标，将所得的值带入任意函数值求得交点的纵坐标。 【考试题型1】一次函数与方程 【解题方法】若方程右边是常数，则找到纵坐标为此常数的点，该点横坐标即为方程的解。若方程是两个函数组成的一元一次方程或二元一次方程组，则求出交点坐标，交点横坐标为一元一次方程的解以及二元一次方程组的解，交点纵坐标为二元一次方程组的值。 例题讲解：22．（2024•阎良区二模）如图，已知直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0），则关于x的方程kx+b＝1的解是x＝（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．﹣2 【分析】根据题意知，当y＝1时，x＝﹣4，据此求得关于x的方程kx+b＝1的解． 【解答】解：∵点（﹣4，1）在直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）上， ∴当y＝1时，x＝﹣4． ∴关于x的方程kx+b＝1的解x＝﹣4． 故选：A． 23．（2024•庄浪县二模）如图，一次函数y＝kx+2（k为常数且k≠0）和y＝3x+1的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程kx+2＝3x+1的解是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【分析】由y＝3x+1求得交点A的横坐标，即可求得关于x的方程kx+2＝3x+1的解． 【解答】解：把y＝4代入y＝3x+1得，4＝3x+1， 解得x＝1， ∴点A的横坐标为1， ∴关于x的方程kx+2＝3x+1的解是x＝1， 故选：A． 【考试题型2】一次函数与不等式 【解题方法】若不等式右边是常数，则找到纵坐标为该常数的点，该点的横坐标即为不等式的解得边界。若k的值与不等式符号相同则解集为大于，不同则解集为小于。若不等式由两个函数组成，求其两个函数的交点，交点横坐标为不等式解集的边界，在判断需要哪个函数图像在上方的部分，并判断出该部分对应的图像在交点的左边还是右边，左边解集为小于，右边解集为大于。 例题讲解：24．（2024•绍兴模拟）根据图象，可得关于x的不等式k2x+kb＞﹣kx+3k的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1 【分析】根据函数图象，可以得到k＜0，从而可以将不等式k2x+kb＞﹣kx+3k可以化简为kx+b＜﹣x+3，将y＝2代入y＝﹣x+3求出x的值，再结合图象，即可得到不等式k2x+kb＞﹣kx+3k的解集． 【解答】解：由图象可得， 函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， ∴k＜0， ∴不等式k2x+kb＞﹣kx+3k可以化简为kx+b＜﹣x+3， 将y＝2代入y＝﹣x+3，得x＝1， 由图象可得，kx+b＜﹣x+3的解集是x＜1， 故选：C． 25．（2024春•碑林区校级期中）如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，2），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣5，0），则不等式0＜k2x+b＜k1x的解集为（　　） A．x＜﹣3 B．﹣5＜x＜﹣3 C．﹣5＜x＜0 D．x＜0 【分析】根据两个函数图象及交点坐标可以得到不等式k2x+b＜k1x的解集为x＜﹣3，再根据两个函数值大于零，得到﹣5＜x，继而得到不等式组的解集． 【解答】解：∵直线y1＝k1x和直线y2＝k2x+b都经过A（﹣3，2），且直线y2＝k2x+b与x轴交于点B（﹣5，0）， ∴不等式0＜k2x+b＜k1x的解集为：﹣5＜x＜﹣3． 故选：B． 考点七：待定系数法求函数解析式 1. 待定系数法求函数解析式的具体步骤： 具体步骤： ①设函数解析式——。 ②找点——经过函数图像上的点。 ③带入——将找到的点的坐标带入函数解析式中得到方程（或方程组）。 ④解——解③中得到的方程（或方程组），求出的值。 ⑤反带入——将求出的的值带入函数解析式中得到函数解析式。 【考试题型1】求函数解析式 【解题方法】根据待定系数法的具体步骤进行求函数解析式即可。 例题讲解：26．（2024春•兰考县期中）已知y﹣1与x+3成正比例，当x＝﹣1时，y＝3． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a的值． （3）试判断点（﹣2，5）是否在此函数图象上，说明理由． 【分析】（1）设y﹣1＝k（x+3），将x、y值代入求出k值即可求解； （2）将点（a，﹣2）代入（1）中函数关系式中求解即可； （3）将x＝﹣2代入（1）中函数关系式中求解判断即可． 【解答】解：（1）根据题意，设y﹣1＝k（x+3）， ∵当x＝﹣1时，y＝3， ∴3﹣1＝k（﹣1+3）， 解得：k＝1， ∴y﹣1＝x+3，即y＝x+4， ∴y与x的函数关系式为y＝x+4； （2）将点（a，﹣2）代入y＝x+4得：﹣2＝a+4， 解得：a＝﹣6； （3）当x＝﹣2时，y＝﹣2+4＝2≠5， 则点（﹣2，5）不在此函数的图象上． 27．（2024春•西山区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，它的图象经过（1，1），（6，﹣9）两点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当﹣1≤x≤3时，求函数值y的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）分别计算自变量为﹣1和3对应的函数值，然后根据一次函数的性质求解． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得， 所以一次函数解析式为y＝﹣2x+3； （2）当x＝﹣1时，y＝﹣2x+3＝2+3＝5， 当x＝3时，y＝﹣2x+3＝﹣6+3＝﹣3， 所以当﹣1≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣3≤y≤5． 考点八：一次函数的实际应用 1. 分段函数： 在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。 关键点：①分段函数各段的函数解析式。 ②各个拐点的实际意义。 ③函数交点的实际意义。 2. 一次函数的综合： （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值。 （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题。 解决一次函数的实际应用题必须弄清楚自变量的取值范围。 【考试题型1】一次函数的实际应用 【解题方法】根据实际问题中常见的等量关系求得函数解析式，在利用一次函数的性质进行相应的求解。例题讲解：28．（2024•盐城二模）甲、乙两名工人分别加工a个同种零件．甲先加工一段时间，由于机器故障进行维修后继续按原来的工作效率进行加工，当甲加工1.5小时后乙开始加工，乙的工作效率是甲的工作效率的3倍．如图分别表示甲、乙加工零件的数量y （个）与甲工作时间x （时）的函数图象． （1）甲的工作效率为　20　个/时，维修机器用了　0.5　小时； 乙的工作效率是　60　个/时； （2）乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同，并求此时乙加工零件的个数； （3）若乙比甲早1小时完成任务，求a的值． 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以分别得到甲的工作效率，甲维修机器用的时间和乙的工作效率； （2）根据（1）中的结果和题意，可以得到相应的方程，从而可以得到乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同和此时乙加工零件的个数； （3）根据甲、乙两名工人分别加工a个同种零件和乙比甲早1小时完成任务，可以得到关于a的方程，从而可以求得a的值． 【解答】解：（1）由图可得， 甲的工作效率为：10÷0.5＝20（个/小时）， 维修机器用了1﹣0.5＝0.5（小时）， 乙的工作效率是20×3＝60（个/小时）， 故答案为：20，0.5，60； （2）设乙加工x小时与甲加工的零件数量相同， 60x＝20（x+1.5﹣0.5）， 解得，x＝0.5， 60x＝30， 答：乙加工0.5小时与甲加工的零件数量相同，此时乙加工零件是30个； （3）+1+（1.5﹣0.5）＝， 解得，a＝60， 即a的值是60． 29．（2024•南安市模拟）某学校、电影院、市体育馆依次在一条东西向的路上．某日，甲同学到距离学校200m的电影院看电影，在电影院内停留60min后，以70m/min的速度步行10min到达市体育馆．甲同学与学校的距离s（单位：m）与时间t（单位：min）的关系如图所示． （1）求甲同学与学校的距离s关于时间t的函数解析式； （2）乙同学在甲到达电影院53min后从学校出发，以50m/min的速度步行去市体育馆，他们会在路上相遇吗？请说明理由． 【分析】（1）根据题意求出体育馆与学校的距离，再利用待定系数法解答即可； （2）先求出乙同学的s与t的关系式，再结合（1）的结论列方程组求解即可． 【解答】解：（1）由题可设lAB的解析式为s＝k1t+b1（k1≠0）， 依题意，体育馆与学校的距离为70×10+200＝900，所以B（70，900）． 把A（60，200），B（70，900）分别代入s＝k1t+b， 得， 解得， 所以lAB的解析式为s＝70t﹣4000（60≤t≤70）， 所以甲同学与学校的距离s关于时间t的函数解析式为 s＝； （2）他们会在路上相遇，理由如下： 由题可知，对于乙同学，s与t的关系为：s＝50（t﹣53）（53≤t≤71）． 即s＝50t﹣2650 （53≤t≤71）． 当53≤t＜60时，甲在电影院内，乙在路上行走，两人不会相遇． 当60≤t≤70时，解方程组 可得t＝67.5， 因为60≤67.5≤70，即在甲从电影院到体育馆的路上，两人会相遇． 所以他们会在路上相遇． 【考试题型2】一次函数的综合 【解题方法】结合一次函数的所有性质与图像，以及题目中所涉及到的几何的知识点进行求解。 例题讲解：30．（2024•桥西区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣3），直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与l1相交于D．点P为线段DE上一点（不与点D，E重合），作直线BP． （1）求直线l1的表达式及点D的坐标； （2）若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，求点P的坐标； （3）点P是否存在某个位置，使得点D关于直线PB的对称点D'恰好落在直线AB上方的坐标轴上．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设直线l1的表达式为y＝kx+b，解方程组即可得到结论； （2）如图1，连接BC，过D作DF⊥x轴于F，由已知得AC＝，DF＝6，上，（Ⅰ）当点P在线段CD上时，设点P的横坐标为xP（xP＜0），BE＝6，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（Ⅱ）当点P在线段CE上时，如图2，设直线BP与x轴交于Q，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）（Ⅰ）点D关于直线PB的对称点D'恰好落在x轴的负半轴上的D1′处是，如图3，（Ⅱ）点D关于直线PB的对称点D'恰好落在y轴上的D2′处时，如图4，过点P作PG⊥AD于G，PH⊥y轴于H，过D作DM⊥y轴于M，（Ⅲ）当点D关于直线PB的对称点D'恰好落在x轴正半轴上的D3′处时，如图5，根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）设直线l1的表达式为y＝kx+b， ∵点A（4，0），点B（0，﹣3）， ∴， 解得， ∴直线l1的表达式为y＝x﹣3， 令x+3＝x﹣3， 解得x＝﹣4， ∴y＝﹣6， ∴点D的坐标为（﹣4，﹣6）； （2）如图1，连接BC，过D作DF⊥x轴于F， 由已知得AC＝，DF＝6， ∴S△ACD＝AC•DF＝××6＝16， ∵A（4，0），B（0，﹣3），D（﹣4，﹣6）， ∴点B是线段AD的中点， ∴S△BDC＝S△ABC， ∵直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分， ∴点P在线段CD上或线段CE上， （Ⅰ）当点P在线段CD上时，设点P的横坐标为xP（xP＜0），be＝6， ∴S△BDP＝S△DBE﹣S△PBE＝×4×6﹣•|xp|×6＝12﹣3|xP|， ∴S△BDP＝S△ACD， ∴12﹣3|xP|＝×16， ∴|xP|＝， ∴xp＝﹣，代入直线l2得点P的坐标为（﹣，﹣）， （Ⅱ）当点P在线段CE上时，如图2，设直线BP与x轴交于Q， 此时有S△ABQ＝S△ACD， ∴AQ•BO＝×16， ∴AQ×3＝7， ∴AQ＝， ∴OQ＝﹣4＝， ∴Q（﹣，0）， ∴直线BQ的表达式为y＝﹣x﹣3， 令x+3＝﹣x﹣3， 解得x＝﹣， ∴点P的坐标为（﹣，1）， 综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，1）； （3）点D关于直线PB的对称点D'恰好落在直线AB上方的坐标轴上时，有以下三种情况 （Ⅰ）点D关于直线PB的对称点D'恰好落在x轴的负半轴上的D1′处是，如图3， ∴∠DBP＝∠D1′BP，BD＝BD1′， 由（2）知，点B是线段AD的中点， ∴BD＝AB， ∴BD1′＝AB， ∴∠OAB＝∠OD1′B， ∵∠DBD1′＝∠OAB+∠OD1′B， ∵∠DBD1′＝∠DBP+∠D1′BP， ∴∠OD1′B＝∠D1′BP， ∴BP∥x轴， ∵B（0，﹣3）， ∴P（﹣，﹣3）； （Ⅱ）点D关于直线PB的对称点D'恰好落在y轴上的D2′处时，如图4，过点P作PG⊥AD于G，PH⊥y轴于H，过D作DM⊥y轴于M， 则PB平分∠DBD2′， ∴PG＝PH， ∵S△DBE＝S△BPE， ∴， ∴×6×4＝×5PG+×6PH， 解得，PG＝PH＝， ∴P（﹣，﹣）； （Ⅲ）当点D关于直线PB的对称点D'恰好落在x轴正半轴上的D3′处时，如图5， ∵点B是线段AD的中点， ∴由轴对称的性质得此时点D3′与点A重合，不符合题意，舍去， 综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣3）或（﹣，﹣）． 【专题过关】 一．常量与变量（共2小题） 1．（2024春•吉安期中）圆的面积计算公式为S＝πR2（R为圆的半径），变量是（　　） A．π B．R，S C．π，R D．π，R，S 【分析】在圆的面积计算公式S＝πR2中，π是圆周率，是常数，变量为S，R． 【解答】解：在圆的面积计算公式S＝πR2中，变量为S，R． 故选：B． 2．（2024春•榕城区期中）小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（　　） A．金额是因变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．金额是随着数量的增大而减少 【分析】根据常量和变量的定义即可作答． 【解答】解：∵金额随着数量的变化而变化， ∴数量是自变量，金额是因变量，单价是常量， ∴金额是随着数量的增大而增大． 故选：A． 二．函数的概念（共3小题） 3．（2024春•高坪区校级期中）已知y＝2x﹣7；；y＝5；以上各式中，y是x的函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【解答】解：y是x的函数的有y＝2x﹣7；；y＝5；y不是x的函数的是． ∴y是x的函数的有3个． 故选：C． 4．（2024春•中山市校级期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，由此即可判断． 【解答】解：A、C、D中的曲线表示y是x的函数，故ACD不符合题意； B、曲线不能表示y是x的函数，故B符合题意． 故选：B． 5．（2024春•邢台期中）对于甲、乙两条折线，说法正确的是（　　） A．甲表示y是x的函数，乙不能表示y是x的函数 B．甲、乙均不能表示y是x的函数 C．甲、乙均表示y是x的函数 D．甲不能表示y是x的函数，乙表示y是x的函数 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【解答】解：由函数的定义可知：甲表示y是x的函数，乙不能表示y是x的函数． 故选：A． 三．函数关系式（共3小题） 6．（2024春•沙坪坝区校级期中）长方形一条边的长度为x厘米，其周长为20厘米，面积为y平方厘米，则y与x的关系可以表示为（　　） A．y＝10﹣x B．y＝20x﹣x2 C．y＝20﹣x D．y＝10x﹣x2 【分析】根据长方形周长公式，用含x的代数式将另一边长表示出来，再根据长方形面积公式求解即可． 【解答】解：长方形一条边的长度为x厘米，其周长为20厘米，则它的另一条边长为（20﹣2x）＝（10﹣x）（厘米）， ∴y＝（10﹣x）x＝10x﹣x2． 故答案为：D． 7．（2024春•大埔县期中）佳佳爸爸计划用一根长为20m的铁丝围成一个长方形，那么这个长方形的长y（m）与宽x（m）之间的关系式为（　　） A．y＝﹣x+10 B．y＝x+5 C．y＝﹣x+20 D．y＝x+10 【分析】根据长方形的周长得出函数关系式即可． 【解答】解：由题意得：2（x+y）＝20， ∴x+y＝10， ∴这个长方形的长y（cm）与宽x（cm）之间的关系式为：y＝﹣x+10， 故选：A． 8．（2024春•埇桥区期中）七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书x（x＞30）本，则应付款y与购买数量x的关系式为 　y＝12x+90　． 【分析】根据题意可知应付款y为前30本兴趣书费用加上超出部分的费用． 【解答】解：由题意得：y＝15×30+（x﹣30）×15×0.8， 化简得：y＝12x+90， 故答案为：y＝12x+90． 四．函数自变量的取值范围（共3小题） 9．（2024春•沙坪坝区期中）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≠2 C．x＜2 D．x≠﹣1 【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x﹣2≠0， 解得：x≠2， 故选：B． 10．（2024春•海口期中）已知函数，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x≥1且x≠2 C．x≥1 D．x≠2 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【解答】解：由题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得：x≥1且x≠2， 故选：B． 11．（2024•青岛三模）在函数中，自变量x的取值范围是 　x＞﹣3且x≠2　． 【分析】根据二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂列出不等式，解不等式即可求解． 【解答】解：由题意得，x+3＞0且x﹣2≠0， ∴x＞﹣3且x≠2， 故答案为：x＞﹣3且x≠2． 五．函数值（共3小题） 12．（2024春•威远县校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为2时，则输出y的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 【分析】根据数值转换机当输入的数为4时，求出b的值，再输入2进行计算即可． 【解答】解：当输入x的值为4时，输出的y的值为5，即2×4+b＝5， 所以b＝﹣3，∴当x≤3时，y＝﹣3x+3， 当x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3， 故选：C． 13．（2024•杨浦区三模）已知，那么f（4）＝　4　． 【分析】将x＝4代入f（x）并计算即可． 【解答】解：f（4）＝＝＝4． 故答案为：4． 14．（2024春•台江县校级期中）已知函数，则＝　　． 【分析】将代入解析式中即可求出的值． 【解答】解：， 故答案为：． 六．函数的图象（共4小题） 15．（2024•常州模拟）匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分， 所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高． 因为瓶子的上半部分是圆柱， 所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升． 故选：A． 16．（2024•云岩区一模）如图1，某容器由A，B两个长方体组成，其底面积分别为25cm2，5cm2，容器B的容积是整个容器容积的（容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v（cm3/s）均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度h（cm）与注水时间t（s）的函数图象．下列判断中正确的是（　　） A．注满整个容器至少需要20s B．容器B的容积为40cm3 C．容器B的高度是容器A的高度的3倍 D．注水速度v为20cm3/s 【分析】根据函数的图象得到注满整个容器至少需要15s，容器A的高为8cm，10s时注满容器A；再根据容积公式来解答． 【解答】解：根据函数图象得到注满整个容器至少需要15s，故A不符合题意； 根据函数图象得到容器A的高度是8cm，所以容器A的容积是25×8＝200cm3，容器B的容积是容器A的容积：（1﹣）＝，所以容器B的容积是200×＝100cm3，故B选项不符合题意； 100÷5＝20cm，20÷8＝2.5cm，故C不符合题意； 200÷10＝20cm3/s，故D符合题意， 故选：D． 17．（2024春•成都期中）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h（m）随飞行时间t（min）的变化情况，则下列说法错误的是（　　） A．风筝最初的高度为30m B．1min时高度和5min时高度相同 C．3min时风筝达到最高高度为60m D．2min到4min之间，风筝飞行高度h（m）持续上升 【分析】根据函数图象逐项判断即可得． 【解答】解：A、风筝最初的高度为30m，则此项正确，不符合题意； B、1min时高度和5min时高度相同，均为45m，则此项正确，不符合题意； C、3min时风筝达到最高高度为60m，则此项正确，不符合题意； D、2min到4min之间，风筝飞行高度h（m）先上升后下降，则此项错误，符合题意； 故选：D． 18．（2024•常州一模）小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（　　） A． B． C． D． 【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择． 【解答】解：该汽车经历：加速﹣匀速﹣减速到服务区﹣加速﹣匀速， 加速：速度增加， 匀速：速度保持不变， 减速：速度下降， 到站：速度为0． 观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B选项符合． 故选：B． 七．函数的表示方法（共3小题） 19．（2024•江岸区模拟）弹簧原长（不挂重物）12cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如表所示： 弹簧总长L（cm） 13 14 15 16 17 重物质量x（kg） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 当重物质量为7.5kg（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（cm）是（　　） A．27 B．27.5 C．20 D．19.5 【分析】根据“重物质量每增加1kg，弹簧伸长2cm”写出L关于x的关系式，将x＝7.5代入该关系式求出对应L的值即可． 【解答】解：由表格可知，重物质量每增加1kg，弹簧伸长2cm， 则弹簧总长L与重物质量x的关系式为L＝2x+12， 当x＝7.5时，L＝2×7.5+12＝27． 故答案为：A． 20．（2024•武昌区模拟）预防高血压不容忽视，“千帕（kPa）”和“毫米汞柱（mmHg）”都是表示血压的单位，请你根据表格提供的信息判断，下列各组换算正确的是（　　） 千帕（kPa） … 10 12 14 … 毫米汞柱（mmHg） … 75 90 105 … A．8kPa＝70mmHg B．16kPa＝110mmHg C．20kPa＝145mmHg D．24kPa＝180mmHg 【分析】由表格中的数据可知，1kPa＝7.5mmHg，据此计算即可． 【解答】解：由表格中的数据可知，1kPa＝7.5mmHg， ∴8kPa＝60mmHg，16kPa＝120mmHg，20kPa＝150mmHg，24kPa＝180mmHg， ∴ABC不正确，不符合题意；D正确，符合题意． 故选：D． 21．（2024春•市中区期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：下列说法错误的是（　　） 温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速/m/s 318 324 330 336 342 348 A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．在一定范围内，当温度每升高10°C，声速增加6m/s D．当空气温度为20°C时，声音5s可以传播1700m 【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【解答】解：A．∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， ∴选项A说法正确； B．∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢， ∴选项B说法正确； C．∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6（m/s），348﹣342＝6（m/s）， ∴当温度每升高10°C，声速增加6m/s， ∴选项C说法正确； D．∵342×5＝1710（m）， ∴当空气温度为20°C时，声音5s可以传播1710m， ∴选项D说法错误． 故选：D． 八．一次函数的定义（共2小题） 22．（2024春•南宁期中）下列函数是一次函数的是（　　） A．y＝2 B．y＝2x+1 C． D．y＝x2+2 【分析】一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【解答】解：A、y＝2，不含一次项，不是一次函数，故此选项不符合题意； B、y＝2x+1是一次函数，故此选项符合题意； C、，分母中含有字母，不是一次函数，故此选项不符合题意； D、y＝x2+2含有二次项，不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 23．（2024春•萨尔图区校级期中）已知y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是关于x的一次函数，则m＝　﹣2　． 【分析】由定义可得m﹣2≠0，|m|﹣1＝1，从而可得答案． 【解答】解：函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是关于x的一次函数， 则m﹣2≠0，|m|﹣1＝1， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 九．正比例函数的定义（共2小题） 24．（2024春•南岗区校级期中）下列函数中是正比例函数的是（　　） A．y＝3x+2 B．y﹣3＝2x C． D． 【分析】根据正比例函数的一般形式是：y＝kx（k≠0），一次函数的一般形式是：y＝kx+b（k≠0），对各个选项进行判断，从而得出结论即可． 【解答】解：A．∵y＝3x+2是一次函数，∴此选项不符合题意， B．∵y﹣3＝2x可变形为：y＝2x+3，是一次函数，∴此选项不符合题意； C．∵是正比例函数，∴此选项不符合题意； D．∵不是正比例函数，∴此选项不符合题意； 故选：C． 25．（2024春•晋江市期中）已知函数是正比例函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣8＝1，m﹣3≠0，继而即可求出m的值． 【解答】解：由正比例函数的定义可得m2﹣8＝1，m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3． 故选：A． 一十．一次函数的图象（共3小题） 26．（2024春•长沙期中）已知点（k，b）为第一象限内的点，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据（k，b）为第一象限内的点，可得k＞0，b＞0，从而得到﹣b＜0，进而得到一次函数y＝kx﹣b的图象经过第一、三、四象限，即可求解． 【解答】解：∵（k，b）为第一象限内的点， ∴k＞0，b＞0， ∴﹣b＜0， ∴一次函数y＝kx﹣b的图象经过第一、三、四象限． 故选：B． 27．（2024春•威远县校级期中）直线y1＝mx+n2+1和y2＝﹣nx﹣m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据m、n与0的大小关系进行分类讨论，以此判断两函数图象所经过的象限即可选择． 【解答】解：假设m＞0，n＞0，则﹣n＜0，﹣m＜0，n2+1＞0， 直线y1＝mx+n2+1过第一、二、三象限，直线y2＝﹣nx﹣m过第二、三、四象限， 假设m＞0，n＜0，则﹣m＜0，﹣n＞0，﹣m＜0，n2+1＞0， 直线y1＝mx+n2+1过第一、二、三象限，直线y2＝﹣nx﹣m过第一、三、四象限； 假设m＜0，n＜0，则﹣n＞0，﹣m＞0，n2+1＞0， 直线y1＝mx+n过第一、二、四象限，直线y2＝﹣nx﹣m过第一、二、三象限． 故选：D． 28．（2024春•重庆期中）如图函数解析式“y＝﹣kx+b”，那么“y＝2bx﹣k”的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据一次函数y＝﹣kx+b的图象得﹣k＜0，b＞0，进而得2b＞0，由此可得一次函数y＝2bx﹣k的图象经过第一，三，四象限，据此即可得出答案． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣kx+b的图象经过第一，二，四象限， ∴﹣k＜0，b＞0， ∴2b＞0， ∴一次函数y＝2bx﹣k的图象经过第一，三，四象限． 故选：B． 一十一．一次函数的性质（共3小题） 29．（2024•无锡一模）下列四个选项中，不符合直线y＝x﹣3的性质与特征的是（　　） A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大 C．与x轴交于点（﹣3，0） D．与y轴交于点（0，﹣3） 【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出直线y＝x﹣3经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，可判断A，B；令y＝0，求得x＝3，令x＝0，求得y＝﹣3，即可得出直线与x轴的交点为（3，0），与y轴的交点为（0，﹣3），可判断C，D． 【解答】解：A．∵k＝1＞0，b＝﹣3＜0， ∴直线y＝x﹣3经过第一、三、四象限，故选项A不符合题意； B．∵k＝1＞0， ∴y随x的增大而增大，故选项B不符合题意； C．∵当y＝0时，x＝3， 解得：x＝3， ∴与x轴交于点（3，0），故选项C符合题意； D．∵当x＝0时，y＝﹣3， ∴函数图象与y轴交于点（0，﹣3），故选项D不符合题意； 故选：C． 30．（2024•静安区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【解答】解：当一次函数y＝kx+b中k＜0，b≥0，该函数的图象一定不经过第三象限， 故选：C． 31．（2024春•杨浦区期中）A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝﹣3x+1图象上的不同的两点，则（　　） A．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0 B．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 C．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＝0 D．（x1﹣x2）（y1﹣y2）的符号无法判断 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝﹣3x+1图象上的不同的两点，可得出x1﹣x2与y1﹣y2异号，进而可得出（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝﹣3x+1图象上的不同的两点， ∴x1﹣x2与y1﹣y2异号， ∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0． 故选：A． 一十二．正比例函数的性质（共3小题） 32．（2024•灞桥区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象一定也经过点（　　） A．（﹣3，2） B．（，﹣1） C．（，﹣1） D．（﹣，1） 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，将点（2，﹣3）代入y＝kx求得k值，求出函数解析式，然后再判断点是否在函数图象上． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx经过点（2，﹣3）， ∴﹣3＝2k， 解得k＝﹣； ∴正比例函数的解析式是y＝﹣x； A、∵当x＝﹣3时，y≠2，∴点（﹣3，2）不在该函数图象上；故本选项错误； B、∵当x＝时，y≠﹣1，∴点（，﹣1）不在该函数图象上；故本选项错误； C、∵当x＝时，y＝﹣1，∴点（，﹣1）在该函数图象上；故本选项正确； D、∵当x＝﹣时，y≠1，∴点（﹣，1）不在该函数图象上；故本选项错误． 故选：C． 33．（2024春•东莞市期中）已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 【分析】由k＝﹣＜0，利用正比例函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合﹣2＞﹣5，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵k＝﹣＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，且﹣2＞﹣5， ∴y1＜y2． 故选：A． 34．（2024•西安校级模拟）若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．3 【分析】由正比例函数的定义可求得m的值，再由图象的位置进行取舍，可求得m的值． 【解答】解：∵函数是正比例函数， ∴m2﹣3＝1， 解得m＝±2， ∵图象经过第一、三象限， ∴m+1＞0， ∴m＞﹣1， ∴m＝2． 故选：A． 一十三．一次函数图象与系数的关系（共3小题） 35．（2024•榆中县二模）一次函数y＝（k﹣1）x+2的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k＞1 D．k＜1 【分析】根据一次函数的增减性得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+2的函数值y随x的增大而减小， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1． 故选：D． 36．（2024春•盐边县校级期中）若直线y＝mx﹣2m﹣3经过第二、三、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m＞0 【分析】根据直线y＝mx﹣2m﹣3经过第二、三、四象限，得出则，解之得：． 【解答】解：直线y＝mx﹣2m﹣3经过第二、三、四象限， 则， 解之得：． 故选：B． 37．（2024春•青山湖区校级期中）直线y＝（2m﹣1）x+n经过第一、三、四象限，则点P（﹣m，n）所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据直线y＝（2m﹣1）x+n经过第一、三、四象限得到m、n的取值范围，即可得到答案． 【解答】解：∵直线y＝（2m﹣1）x+n经过第一、三、四象限， ∴2m﹣1＞0，n＜0， ∴ ∴ ∴点P（﹣m，n）所在象限为第三象限， 故答案为：C． 一十四．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 38．（2024春•盐边县校级期中）已知直线y＝kx+b过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若k＜0，x1＜x2，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定 【分析】直线系数k＜0，可知y随x的增大而减小，x1＜x2时，y1＞y2． 【解答】解：∵直线y＝kx+b中k＜0， ∴函数y随x的增大而减小， ∴当x1＜x2时，y1＞y2． 故选：C． 39．（2024春•萨尔图区校级期中）若（x1，y1），（x2，y2）这两个不同点在y关于x的一次函数y＝（a+1）x﹣1图象上，且y随x增大而减小，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1 【分析】直接根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（a+1）x﹣1中，y随x增大而减小， ∴a+1＜0， 解得a＜﹣1． 故选：C． 40．（2024春•威远县校级期中）已知点A（﹣，y1），B（2，y2），C（﹣1，y3）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＞y3＞y2 【分析】先根据题意判断出函数的增减性，再根据各点横坐标的大小即可得出结论． 【解答】解：∵m2+1＞0， ∴一次函数y＝（m2+1）x+m上y随x的增大而增大， ∵﹣＜﹣1＜2， ∴y1＜y3＜y2． 故选：C． 一十五．一次函数图象与几何变换（共4小题） 41．（2024•蜀山区二模）若将直线y＝﹣x向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（　　） A．与y轴交于点（0，3） B．不经过第一象限 C．y随x的增大而增大 D．与x轴交于点（6，0） 【分析】求出将直线y＝﹣x向下平移3个单位，所得直线解析式y＝﹣x﹣3，再根据一次函数性质逐项判断即可． 【解答】解：将直线y＝﹣x向下平移3个单位，所得直线解析式为y＝﹣x﹣3； 在y＝﹣x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3， ∴平移后的直线与y轴交于点（0，﹣3），故A错误，不符合题意； 直线y＝﹣x﹣3经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故B正确，符合题意； ∵﹣＜0， ∴函数y＝﹣x﹣3中，y随x的增大而减小，故C错误，不符合题意； 在y＝﹣x﹣3中，令y＝0得x＝﹣6， ∴直线y＝﹣x﹣3与x轴交于点（﹣6，0），故D错误，不符合题意； 故选：B． 42．（2024•修文县一模）已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）图象经过点（2，1），将该一次函数图象向右平移1个单位后得到一次函数y＝mx+n（m，n为常数）的图象，则下列关于一次函数y＝mx+n的说法，正确的是（　　） A．该函数图象与x轴交点的横坐标大于3 B．该函数图象有可能经过坐标原点 C．该函数图象与y轴交于负半轴 D．该函数图象不一定经过第二象限 【分析】根据平移得到m＝k＜0，n＝﹣k+b＞0，再根据一次函数的图象和性质，进行判断即可． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）图象经过点（2，1）， ∴1＝2k+b， ∴b＝﹣2k+1， ∵k＜0， ∴b＞1， 该一次函数向右平移1个单位后得到一次函数v＝k（x﹣1）+b＝kx﹣k+b的图象， ∴m＝k＜0，n＝﹣k+b＞0， ∴y＝mx+n的图象过二、一、四象限，与y轴交于正半轴， ∵一次函数y＝kx+b （k、b为常数，且k＜0）的图象经过点（2，1），平移后的直线过点（3，1）， ∵m＜0， y随x的增大而减小， ∵平移后的直线过点（3，1）， ∴y＝mx+n的函数图象与x轴交点的横坐标大于3； 综上：选项C，B，D错误，选项A正确． 故选：A． 43．（2024•碑林区校级模拟）若将一次函数y＝﹣2x﹣b的图象关于x轴对称，所得的图象经过点（2，1），则b的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5 【分析】先写出一次函数y＝﹣2x﹣b的图象关于x轴对称的函数解析式，然后再将点（2，1）代入即可求得b的值． 【解答】解：∵函数解析式为一次函数y＝﹣2x﹣b的图象关于x轴对称 ∴关于x轴对称的函数解析式﹣y＝﹣2x﹣b，即y＝2x+b． ∵所得的图象经过点（2，1）， ∴1＝4+b． 解得b＝﹣3． 故选：A． 44．（2024•船营区一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿x轴向右平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边AB有交点，则m的取值范围是（　　） A．4≤m≤8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．2≤m≤4 【分析】平移后的直线解析式为y＝﹣2x+2m．根据平行四边形的性质结合点O、A、C的坐标即可求出点B的坐标，再由平移后的直线与边AB有交点，再求解直线过临界点的解析式，即可得出结论． 【解答】解：∵将直线y＝﹣2x沿x轴向右平移m（m＞0）个单位． ∴平移后的直线解析式为y＝﹣2（x﹣m）＝﹣2x+2m． ∵四边形OABC为平行四边形，且点A（2，0）、C（1，2）、O（0，0）， ∴BC＝OA＝2， ∴点B（3，2）． ∵平移后的直线与边AB有交点， 当直线过A（2，0）， ∴﹣4+2m＝0， 解得：m＝2， 当直线过B（3，2）， ∴﹣6+2m＝2， 解得：m＝4， ∴2≤m≤4． 故选：D． 一十六．待定系数法求一次函数解析式（共5小题） 45．（2024春•新安县期中）一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），自变量的取值范围为﹣1≤x≤2，对应的函数值的取值范围为﹣5≤y≤﹣2，则这个函数的表达式为 　y＝x﹣4或y＝﹣x﹣3　． 【分析】分情况讨论①当k＞0时，一次函数y＝kx+b的y随x的增大而增大，②当k＜0时，一次函数y＝kx+b的y随x的增大而减小，据此利用待定系数法求出函数解析式即可． 【解答】解：①当k＞0时，一次函数y＝kx+b的y随x的增大而增大， ∴（﹣1，﹣5），（2，﹣2）， ，解得， ∴一次函数解析式为：y＝x﹣4． ②当k＜0时，一次函数y＝kx+b的y随x的增大而减小， ∴（﹣1，﹣2），（2，﹣5） ，解得， ∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣3． 综上分析，一次函数解析式为：y＝x﹣4或y＝﹣x﹣3． 故答案为：y＝x﹣4或y＝﹣x﹣3． 46．（2024•黔南州一模）直线y＝2x+1如图所示，过点P（2，1）作与它平行的直线y＝kx+b，则k，b的值是（　　） A．k＝2，b＝3 B．k＝2，b＝﹣3 C．k＝2，b＝﹣1 D．k＝﹣2，b＝﹣3 【分析】利用一次函数图象平行的特征得到k＝2，然后把（2，1）代入y＝2x+b可求出b的值． 【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2x+1平行， ∴k＝2， ∵点P（2，1）在直线y＝kx+b上， ∴2k+b＝1， ∴b＝﹣2k+1＝﹣2×2+1＝﹣3， 即一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x﹣3． 故选：B． 47．（2024春•惠阳区校级期中）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝﹣4时，y＝9，当x＝6时y＝﹣1． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求当﹣3＜y≤1时，自变量x的取值范围． 【分析】（1）把两组对应值分别代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b，从而得到一次函数解析式； （2）分别计算出函数值为﹣3和1所对应的自变量的值，然后根据一次函数性质求解． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+5； （2）当y＝﹣3时，﹣x+5＝﹣3，解得x＝8； 当y＝1时，﹣x+5＝1，解得x＝4， ∴当﹣3＜y≤1时，自变量x的取值范围为4≤x＜8． 48．（2024•石家庄模拟）在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝（k﹣1）x+3与y轴交于点P，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣2，﹣2），C（3，﹣2）． （1）若点D在直线l上，求k的值； （2）若直线l将矩形面积分成相等的两部分，求直线l的函数表达式； （3）若直线l与矩形ABCD有交点（含边界），直接写出k的取值范围． 【分析】（1）根据矩形的性质得到点D（3，1），代入y＝（k﹣1）x+3，即得求得k的值； （2）当直线l经过矩形ABCD的对称中心时，直线l把矩形ABCD分成两部分的面积相等，由点A（﹣2，1），C（3，﹣2），得其对称中心的坐标为，用待定系数法即得k＝﹣6，即可求得y＝﹣7x+3； （3）当直线l：y＝（k﹣1）x+3经过A（﹣2，1）时，解得k＝2，当直线l：y＝（k﹣1）x+3经过D（3，1）时，解得k＝，即得当k≥2或时，直线l与矩形ABCD有交点． 【解答】解：（1）由题意可知：点D（3，1）， 将点D（3，1）代入直线l：y＝（k﹣1）x+3中，1＝3k﹣3+3， 解得：． （2）∵矩形是中心对称图形，直线l将矩形分成面积相等的两部分． ∴直线l一定经过矩形的对称中心； ∵矩形顶点A（﹣2，1），C（3，﹣2）， ∴其对称中心的坐标为， 代入直线l：y＝（k﹣1）x+3中，解得k＝﹣6， ∴直线l的函数表达式为y＝﹣7x+3． （3）如图： ∵A（﹣2，1），D（3，1）， 直线l：y＝（k﹣1）x+3经过A（﹣2，1）时，1＝﹣2（k﹣1）+3， 解得k＝2， 当直线l：y＝（k﹣1）x+3经过D（3，1）时，1＝3（k﹣1）+3， 解得k＝， 由图象可知，k的取值范围是k≥2或． 49．（2024•肇源县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线l2：与x轴交于点B（1，0），与l1相交于点C（m，4）． （1）求直线l2的解析式； （2）求四边形OBCD的面积； （3）若点M为x轴上一动点，过点M（t，0）作垂直于x轴的直线，与直线l2交于点Q．若S△AQC＝2S△ABC，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标． 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出AB＝3，然后根据S四边形OBCD＝S△ABC﹣S△AOD求出结果即可； （3）先求出点Q的坐标为：（t，4t﹣4），得出，求出S△AQC＝2S△ABC＝12，分两种情况，当点Q在点C的上方时，当点Q在点C的下方时，分别求出点Q的坐标即可． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+2与l2相交于点C（m，4）， ∴4＝m+2， 解得m＝2， ∴C（2，4）， 设直线l2的表达式为y＝kx+b（k≠0）， 把点B（1，0），C（2，4）代入得： ∴， 解得， ∴直线l2的解析式为y＝4x﹣4； （2）当x＝0时，y＝2， ∴直线l1与y轴的交点D的坐标为（0，2）， ∴OD＝2， 当y＝0时，0＝x+2，x＝﹣2， ∴直线l1与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∵B（1，0）， ∴AB＝3， ∴． （3）∵过点M（t，0）作垂直于x轴的直线，与直线l2交于点Q， ∴点Q的坐标为：（t，4t﹣4）， ， ∴S△AQC＝2S△ABC＝12， 当点Q在点C的上方时，如图所示： ， 解得：t＝4， ∴此时点Q的坐标为（4，12）； 当点Q在点C的下方时，如图所示： ， 解得：t＝0， ∴此时点Q的坐标为（0，﹣4）； 综上分析可知，点Q的坐标为（0，﹣4）或（4，12）． 一十七．一次函数与一元一次方程（共3小题） 50．（2024春•南宁期中）下表是一次函数y＝kx+b中x与y的几组对应值，则方程kx+b＝1的解为（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 1 7 13 19 … A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝7 D．x＝13 【分析】根据当x＝﹣1时，y＝1，从而可得答案． 【解答】解：由表格信息可得：当x＝﹣1时，y＝1， ∴kx+b＝1的解为x＝﹣1， 故选：A． 51．（2024•碑林区校级三模）若关于x的方程kx+b＝0的解是x＝﹣1，则直线y＝kx+2b一定经过点（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（0，﹣2） 【分析】根据方程可知当x＝﹣1，y＝0，从而可判断直线y＝2x+b经过点（﹣2，0）． 【解答】解：由关于x的方程kx+b＝0的解是x＝﹣1， 得﹣k+b＝0，即k＝b， 故直线y＝kx+2b即y＝bx+2b一定经过点（﹣2，0）． 故选：A． 52．（2024•凌河区校级一模）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一次函数的性质对①②③进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对④进行判断． 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0，所以①③正确； ∵直线y2＝x+a的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴a＜0，所以②错误； ∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3， ∴x＝3时，kx+b＝x+a，所以④正确． 综上所述，错误的个数是1． 故选：A． 一十八．一次函数与一元一次不等式（共3小题） 53．（2024•徐州二模）若函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx﹣2b＞0的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞3 C．x＜6 D．x＞6 【分析】根据函数图象知：一次函数过点（﹣3，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b的关系式代入kx﹣2b＞0中进行求解 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b经过点（﹣3，0），函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0； 令y＝0，则x＝﹣＝﹣3， ∴＝3； 解关于x的不等式kx﹣2b＞0，移项得：kx＞2b； 两边同时除以k， ∵k＜0， ∴x＜＝6． 故选：C． 54．（2024•绍兴模拟）根据图象，可得关于x的不等式k2x+kb＞﹣kx+3k的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1 【分析】根据函数图象，可以得到k＜0，从而可以将不等式k2x+kb＞﹣kx+3k可以化简为kx+b＜﹣x+3，将y＝2代入y＝﹣x+3求出x的值，再结合图象，即可得到不等式k2x+kb＞﹣kx+3k的解集． 【解答】解：由图象可得， 函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， ∴k＜0， ∴不等式k2x+kb＞﹣kx+3k可以化简为kx+b＜﹣x+3， 将y＝2代入y＝﹣x+3，得x＝1， 由图象可得，kx+b＜﹣x+3的解集是x＜1， 故选：C． 55．（2024春•碑林区校级期中）如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，2），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣5，0），则不等式0＜k2x+b＜k1x的解集为（　　） A．x＜﹣3 B．﹣5＜x＜﹣3 C．﹣5＜x＜0 D．x＜0 【分析】根据两个函数图象及交点坐标可以得到不等式k2x+b＜k1x的解集为x＜﹣3，再根据两个函数值大于零，得到﹣5＜x，继而得到不等式组的解集． 【解答】解：∵直线y1＝k1x和直线y2＝k2x+b都经过A（﹣3，2），且直线y2＝k2x+b与x轴交于点B（﹣5，0）， ∴不等式0＜k2x+b＜k1x的解集为：﹣5＜x＜﹣3． 故选：B． 一十九．一次函数的应用（共5小题） 56．（2024•松北区二模）现有两段长度相等的公路隔离护栏清洗任务，分别交给甲、乙两个环卫小组同时进行清洗．甲、乙两组清洗的长度y（米）与清洗时间x（时）之间的函数关系的部分图象如图所示．下列说法不正确的是（　　） A．甲组清洗速度每小时10米 B．清洗4小时，甲、乙两组施工的长度相同 C．乙组工作5小时共清洗护栏46米 D．清洗6小时时，甲组比乙组多完成了10米 【分析】由函数图象可知，甲组6小时清洗了60米，故甲组清洗速度每小时10米，判断A正确；求出清洗4小时，甲组施工的长度和乙组施工的长度，可判断B正确；求出乙组工作5小时共清洗护栏45（米），判断C不正确；由函数图象可知，清洗6小时时，甲组比乙组多完成了10米，判断D正确． 【解答】解：由函数图象可知，甲组6小时清洗了60米， ∴甲组清洗速度每小时60÷6＝10（米），故A正确，不符合题意； 清洗4小时，甲组施工的长度为10×4＝40（米），乙组施工的长度为30+×（4﹣2）＝40（米）， ∴甲、乙两组施工的长度相同，故B正确，不符合题意； 乙组工作5小时共清洗护栏30+×（5﹣2）＝45（米），故C不正确，符合题意； 由函数图象可知，清洗6小时时，甲组完成60米，乙组完成50米， ∴甲组比乙组多完成了10米，故D正确，不符合题意； 故选：C． 57．（2024•松北区一模）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（　　） A．乙比甲提前出发1h B．甲行驶的速度为40km/h C．3h时，甲、乙两人相距60km D．0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km 【分析】由图象可以直接判断A正确；根据图象可以求出甲车速度，可以判断B正确；求出乙车速度再求乙车3h走的路程和甲车2h走的路程即可判断C；分两种情况求出甲、乙走的路程即可判断D． 【解答】解：由图象可得，乙车比甲车早出发1小时， 故A正确； 甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h）， 故B正确； 乙的速度是＝km/h， 3h甲车行走的路程为40×（3﹣1）＝80（km）， 3h乙车行走的路程为×3＝40（km）， ∴3h后甲、乙相距80﹣40＝40（km）， 故C错误； 0.75h乙车走了0.75×＝10（km）， 甲车还在A地没出发，此时乙比甲多行驶10km， 1.125h乙走了1.125×＝15km， 此时甲行走的路程为（1.125﹣1）×40＝5（km）， 乙车比甲车多走了15﹣5＝10（km）， 故D正确． 故选：C． 58．（2024•沈阳二模）某超市的消费卡做促销活动，消费卡售价y（元）与面值x（元）之间满足一次函数关系，其图象经过原点和点A，如图所示，小张购买了该超市的一张面值是1000元的消费卡，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． （1）求小张购买这张消费卡实际花费的钱数为多少元； （2）小张使用这张消费卡在该超市购买了某种大米20公斤，超市规定这种大米使用消费卡购买，每公斤在原价的基础上还可以优惠0.4元．设小张购买的大米原价为m元/公斤，小张购买的20公斤大米实际花费的钱数为w元，求w与m的函数关系式． 【分析】（1）求出OA解析式为y＝0.85x，当x＝1000时，y＝850，故小张购买这张消费卡实际花费850元； （2）用20乘以单价可得w＝20（m﹣0.4）＝20m﹣8． 【解答】解：（1）设OA解析式为y＝kx，把（500，425）代入得： 425＝500k， 解得k＝0.85， ∴y＝0.85x， 当x＝1000时，y＝0.85×1000＝850， ∴小张购买这张消费卡实际花费850元； （2）根据题意得：w＝20（m﹣0.4）＝20m﹣8， ∴w与m的函数关系式为w＝20m﹣8． 59．（2024•西乡塘区模拟）在日常生活中，当手机剩余电量为20%时，张老师便会给手机充电，他发现单独使用快充充电器和单独用普通充电器对该手机充电，手机电量y（单位：%）与充电时间x（单位：分钟）的函数图象分别为图中的线段AB，AC．请根据图中信息，解答下列问题： （1）张老师单独用快充充电器充满电比用普通充电器少用 　80　分钟； （2）求线段AB对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）张老师若先用普通充电器充电m分钟后，再改用快充充电器直至充满，共用70分钟，请求出m的值． 【分析】（1）单独用快充充电器充满电需40分，单独用普通充电器充满电需120分，故张老师单独用快充充电器充满电比用普通充电器少用80分钟； （2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+20，把（40，100）代入得100＝40k+20，故k＝2，线段AB对应的函数表达式为y＝2x+20； （3）用普通充电器，每分钟充电＝，可得20+m+2（70﹣m）＝100，即可解出m的值． 【解答】解：（1）由图象可知，单独用快充充电器充满电需40分，单独用普通充电器充满电需120分， ∴张老师单独用快充充电器充满电比用普通充电器少用120﹣40＝80（分钟）， 故答案为：80； （2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+20，把（40，100）代入得： 100＝40k+20， 解得k＝2， ∴线段AB对应的函数表达式为y＝2x+20； （3）用普通充电器，每分钟充电＝， 根据题意，20+m+2（70﹣m）＝100， 解得m＝45， ∴m的值为45． 60．（2024•南京模拟）A，B两地相距120km，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达B地后立即按原路原速返回，慢车到达A地后停止．快、慢两车离A地的距离y1，y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． （1）补全y1与x之间的函数图象； （2）若慢车的速度为30km/h． ①点P的坐标为 　（1，90）　； ②快车到达A地前，两车何时相距30km？ （3）若慢车在快车返回A地后的0.5h内到达，则慢车速度v的范围是 　＜v＜45　． 【分析】（1）根据快车到达B地后立即按原路原速返回，可知快车返回A地时x＝，即可补全y1与x之间的函数图象 （2）①求出快车速度为120÷＝90（km/h），可知两车出发后1h相遇，相遇处距A地90（km），从而可得点P的坐标为（1，90）； ②求出y2＝120﹣30x，当0≤x≤时，y1＝90x，可得|120﹣30x﹣90x|＝30，当＜x≤时，y1＝120﹣90（x﹣）＝﹣90x+240，可得|120﹣30x﹣（﹣90x+240）|＝30，解方程可得答案； （3）分别求出慢车h和（+0.5）h到A地的速度，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵快车到达B地后立即按原路原速返回， ∴快车返回A地时，x＝+＝； 补全y1与x之间的函数图象如下： （2）①快车速度为120÷＝90（km/h）， ∵120÷（90+30）＝1（h）， ∴两车出发后1h相遇，相遇处距A地1×90＝90（km）， ∴点P的坐标为（1，90）； 故答案为：（1，90）； ②根据题意得y2＝120﹣30x， 当0≤x≤时，y1＝90x， ∵两车相距30km， ∴|120﹣30x﹣90x|＝30， 解得x＝或x＝； 当＜x≤时，y1＝120﹣90（x﹣）＝﹣90x+240， ∵两车相距30km， ∴|120﹣30x﹣（﹣90x+240）|＝30， 解得x＝或x＝； 综上所述，x＝或x＝或x＝或x＝时，两车相距30km； （3）∵120÷＝45（km/h），120÷（+0.5）＝（km/h）， ∴＜v＜45； 故答案为：＜v＜45． 1 / 1 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$