期末复习压轴题专训40题（第五、六、七、八、九、十章）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点题型归纳+题型专训（人教版）

七年级下学期【压轴题40题专训】 一．解答题（共40小题） 1．（2024春•兴宁区期中）问题探究： 如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D． 李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D． 问题解答： （1）请按张山同学的思路，写出证明过程； （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 问题迁移： （3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数． 2．（2024春•青羊区校级期中）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． （1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：　 　． （2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE． （3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 3．（2024春•宜昌期中）已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF． （1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数； （2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由； （3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系． 4．（2024春•海珠区校级期中）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE． （1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数； （2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝46°，∠MND＝68°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒4°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时将△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒11°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当MN首次与CD重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（t≥0）秒后，M′N恰好平行于△F′PH′的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 5．（2024春•锦江区校级期中）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小明将一个含45°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB，CD上，∠P＝90°，∠PMN＝45°． （1）填空：∠PNB+∠PMD 　 　∠P（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若PN⊥EF，射线NO在∠MNG内交直线CD于点O，如图②．当N，M分别在点G，H的右侧，且∠GNO：∠MNO＝3：2，PM∥NO时，求α的度数； （3）小明将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF，射线NO平分∠MNG，点N，M分别在直线AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含α的式子表示）． 6．（2024春•长垣市期中）【问题情景】如图1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．过点P作PM∥AB，求∠EPF； 【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，判断∠PEA，∠PFC，∠EPF之间满足怎样的数量关系，并说明理由； 【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝36°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，求∠EGF． 7．（2024春•珠海期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°． （1）填空：∠1与∠3的数量关系：　 　； （2）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　 　； （3）如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当BE∥AD时，画出图形，并求出∠ACE的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？若存在，请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值；若不存在，请说明理由． 8．（2024春•海安市期中）某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ． （1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系．并说明理由； （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝130°时，求出∠PFQ的度数； （3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝80°时，请直接写出∠PFQ的度数． 9．（2024春•天河区校级期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知AB∥CD，BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，BF和DF相交于点F． 探究问题 （1）在图1中，∠BFD，∠ABF，∠CDF之间的数量的关系为 　 　． ∠BFD，∠ABE，∠CDE之间的数量关系为：　 　． 知识迁移 （2）如图2，若∠E+8∠M＝360°，，试猜想∠CDM和∠MDF间的数量关系，并加以证明． 10．（2024春•成都校级期中）已知：直线PQ∥MN，点A为直线PQ上的一个定点，过点A的直线交MN于点B，点C在线段BA的延长线上，D，E为直线MN上的两个动点（点D在点E的左侧）．连接AD，AE，且∠ADE＝∠DAE． （1）如图1，若∠BAE＝25°，∠ADE＝50°，则∠ABN＝　 　； （2）射线AF为∠CAE的角平分线． ①如图2，当点E在点B左侧时，若∠FAD＝20°，求∠ABD的度数； ②当点D与点B不重合，且∠ABN+∠FAD＝m°时，试用含m的代数式表示∠FAD的度数． 11．（2024春•北京期中）已知：AB∥CD，P为平面内一点． （1）如图1，连接AP，DP，已知∠P＝80°，∠D＝50°，∠A＝　 　°； （2）如图2，求证：∠PAB+∠CDP﹣∠APD＝180°； （3）如图3，当点P在直线AB，CD之间时，AP⊥PD于P，DQ平分∠PDC，连接AQ，使∠AQD＝40°，设∠PAQ＝α°，∠PAB＝β°，直接写出α与β之间的数量关系． 12．（2024春•潍坊期中）已知：如图，AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F （1）如图1，已知∠A＝30°，∠APC＝80°，求∠C的度数； （2）如图2，当动点P在线段EF上运动时（不包括E，F两点），∠A，∠APC与∠C之间有何数量关系？并证明你的结论； （3）当动点P在直线EF（线段EF除外）上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠A，∠APC与∠C之间的数量关系． 13．（2024春•泰兴市期中）如图1，∠ACB＝90°，MA∥BN． （1）①如果∠MAC＝30°，求∠CBN的度数； ②设∠MAC＝α，∠CBN＝β，直接写出α、β之间的数量关系：　 　； （2）如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； （3）在（2）的条件下，若∠MAC＝40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP．已知∠FEP＝10°，求∠BPE的度数． 14．（2023秋•巴南区校级期末）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE． （1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数； （2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝45°，∠MND＝75°，过点P作PH⊥OF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M'N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH'，当MN首次落到CD上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过t秒后，M'N恰好平行于△F'PH'的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 15．（2024春•新丰县期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示） （1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与　 　表示的点重合； （2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　 　表示的点重合； ②表示的点与数　 　表示的点重合； ③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是　 　、点B表示的数是　 　 （3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值． 16．（2024春•江城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，已知A（a，0），C（0，c），其中a，c满足关系式（a﹣6）2+＝0，点P从O点出发沿折线OA﹣AB﹣BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． （1）在运动过程中，当点P到AB的距离为2个单位长度时，t＝　 　； （2）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标； （3）当点P在线段AB上的运动过程中，射线AO上一点E，射线OC上一点F（不与C重合），连接PE，PF，使得∠EPF＝70°，求∠AEP与∠PFC的数量关系． 17．（2024春•越秀区期中）《广州市公共交通票价优惠调整方案》于2023年9月1日正式实施，现有基础票价不变，普通乘客在一个自然月内，使用同一种支付方式，乘坐广州地铁公交累计实际支出票款不超过80元没有优惠，超过80元不超过200元部分享受8折优惠，超出200元部分享受5折优惠． 以某普通乘客为例，他在某次乘坐地铁没有优惠时需要支付基础票价4元．若他在本月此前已经累计支出了120元，那么他此次需要支付3.2元，若他在本月此前已经累计支出了210元，那么他此次只需要支付2元．已知甲乙都是普通乘客，只地铁出行，每次使用同一张羊城通． （1）甲每次的基础票价都是2元，已知甲在今年2月乘坐地铁共36次，上半月比下半月少花28元，设甲上半月乘坐地铁x次，下半月乘坐地铁y次，列方程组解应用题，求甲在2月上半月乘坐地铁的次数； （2）乙每次的基础票价都是10元，已知乙在今年2月和3月乘坐地铁共47次，2月比3月少花70元，设乙在2月乘坐地铁m次，3月乘坐地铁n次，回答下列问题： ①在不求出m、n的具体数值的情况下，分析乙在2月和3月分别享受了哪些优惠？ ②根据①的分析结果，列方程组解应用题，求乙在3月乘坐地铁总共花费了多少钱？ 18．（2023秋•金华期中）已知数轴上有A，B两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且与（b﹣5）2互为相反数，点P为数轴上一动点，其对应数字为x． （1）A，B两点对应的数分别为a＝　 　，b＝　 　； （2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则原点O与数 　 　表示的点重合； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离和为8？若存在，请求出x的值，若不存在，说明理由； （4）若点A，B，P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，5，2个单位长度/分，则几分钟时P到A，B的距离相等？ （5）若点A，B，P（点P在原点）仍以（4）的速度，点A向右运动，点B和点P向左运动，当点P遇到点A时，立即以原来的速度向右运动，当点P遇到点B时，立即以原来的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时点P所经过的总路程，并直接写出此时点P在数轴上表示的数． 19．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图（1），在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为6，点C为数轴上原点左侧一点，且满足BC＝15． （1）点C表示的数是 　 　；线段AC的长度是 　 　； （2）如图（1），动点P从点A出发，沿数轴向右运动且初始速度为1个单位/秒，到达B点后以2倍的初始速度返回点A；在点P出发的同时，动点Q从点C出发，沿数轴向右运动，在运动的过程中速度保持不变为3个单位/秒，当点P返回点A时P、Q两点同时停止运动；设运动的时间为t秒，当PQ＝AP时，求此时动点P在数轴上所对应的数； （3）如图（2），CF＝5，数轴上方有一个正方形ABDE，动点M沿A﹣E﹣D﹣B﹣A的顺序以2个单位/秒的速度匀速绕正方形运动一周，再回到A点时停止运动；在点C的正上方8个单位长度处有一点G，三角形FCG为直角三角形；设运动的时间为m秒，当点M在线段AE上时，三角形FGM的面积等于 　 　；当点M在线段DE上时，三角形FGM的面积等于 　 　；当点M在线段BD上时，三角形FGM的面积等于 　 　；当点M在线段AB上时，三角形FGM的面积等于 　 　（用含m的代数式表示）． 20．（2023春•江油市期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP； （3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）． 21．（2024春•惠安县期中）若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：﹣1＜x≤5，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 22．（2024春•青岛期中）【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式x＜2的一个子集 　 　； （2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 　 　是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 　 　； （4）若a，b，c，d为互不相等的整数，a＜b，c＜d，下列三个不等式组D：a≤x≤b，E：c≤x≤d，F：4＜x＜9，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则a（b+c+d）的值为 　 　； （5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 　 　． 23．（2023春•泉州期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组的相伴方程． （1）问方程2（x﹣1）+9＝1是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； （3）若方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程，求k的取值范围． 24．（2023秋•丰顺县期末）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　 　cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 25．（2024春•鹿城区校级期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2． （1）如图1，求证：EF∥GH； （2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求∠N的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，则＝　 　． 26．（2023秋•潍城区期末）已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点． 【探究】： （1）如图1，∠ADC＝110°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　 　°； （2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　 　；（用α，β表示） （3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG，BH平行时，α，β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论； 【挑战】： 如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所在的直线交于点F，则∠AFB与α，β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论． 27．（2023秋•潜山市期末）（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数； （2）如图2，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系，并说明理由． 28．（2023秋•长沙县期末）探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD．各活动小组探索∠APC与∠A，∠C之间的数量关系．已知AB∥CD，点P不在直线AB和直线CD上，在图1中，智慧小组发现：∠APC＝∠A+∠C．智慧小组是这样思考的：过点P作PQ∥AB，……． （1）填空：过点P作PQ∥AB． ∴∠APQ＝∠A， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD（ 　 　）， ∴∠CPQ＝∠C， ∴∠APO+∠CPQ＝∠A+∠C， 即∠APC＝∠A+∠C． （2）在图2中，猜测∠APC与∠A，∠C之间的数量关系，并完成证明． （3）善思小组提出： ①如图3，已知AB∥CD，则角α、β、γ之间的数量关系为 　 　.（直接填空） ②如图4，AB∥CD，AF，CF分别平分∠BAP，∠DCP．则∠AFC与∠APC之间的数量关系为 　 　．（直接填空） 29．（2023秋•新野县期末）（1）探究：如图①，AB∥CD∥EF，点G，P，H分别在直线AB，CD，EF上，连结PG，PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠AGP+∠EHP＝∠GPH； （2）拓展：将图①的点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，如图②．试探究∠AGP，∠EHP，∠GPH之间的关系，并说明理由； （3）应用：如图③，AB∥CD∥EF，点G，H分别在直线AB，EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG，QH．若∠GQH＝70°，求∠AGQ+∠EHQ的值． 30．（2023秋•长寿区期末）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAV、∠APB、∠PBD三个角． （1）当动点P落在第①部分时，如图1，求证：∠APB＝∠PAC+∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC+∠PBD是否成立？在图2中画出图形，若成立，写出推理过程，若不成立，直线写出这三个角之间的关系； （3）当动点P落在第③部分时，延长BA，点P在射线BA的左侧和右侧时，分别探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间关系，在图3中画出图形，并直接写出相应的结论． 31．（2023秋•德惠市期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点． （1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴①　 　∥CD． ∵MN∥AB， ∴②　 　＝∠MGA． ∵MN∥CD， ∴∠D＝③　 　（④　 　）． ∴∠AGD＝∠AGM+∠AGM＝∠A+∠D． （2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由． （3）【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF＝22°，∠AFC＝72°，那么∠H的度数为 　 　． 32．（2023春•镇海区期末）已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点． （1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝45°，则∠AED＝　 　°； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°求∠EKD的度数． 33．（2023春•连城县期末）如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像，称为“形BAMCD”． （1）如图1，形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝　 　°； （2）如图2，连接形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系． 34．（2023春•东平县期中）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D、A、B两点分别在l1和l2上，直线l3上有一动点P （1）如果P点在C、D之间运动时，猜测∠PAC，∠APB，∠PBD之间有什么关系，证明你的结论 （2）若点P在DC的延长线上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系为　 　 （3）在（2）的条件下，∠PAC和∠PBD的角平分线相交于点Q，探索∠APB和∠AQB的关系，并证明． 35．（2023春•太和县期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45° （1）观察猜想 将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝　 　°． （2）操作探究 将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数； （3）深化拓展 将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 　 　°时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果） 36．（2023春•武宣县期末）已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E． （1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）； （2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数． （3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可） 37．（2023春•凤阳县期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 38．（2023春•深圳期中）我们知道同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）观察与思考：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为　 　，不必说明理由； （2）猜想与证明：如图2，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，利用（1）中的结论（可以直接套用）求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论； （3）拓展与应用：如图3，设BF交AC于点M，AE交DF于点N，已知∠AMB＝140°，∠ANF＝105°．利用（2）中的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数为　 　度，∠A比∠F大　 　度． 39．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①，②，③，④四个部分，当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（规定：线上各点不属于任何部分且点P，A，B三点不共线） （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC+∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时，直接用等式表示∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系； （3）当动点P落在第③部分时，用等式表示∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明． 40．（2024春•香洲区校级期中）如图，点P为直线AB外一点，过点P作直线CD∥AB．现将一个含30°角的三角板EFG按如图1放置，使点F、E分别在直线AB、CD上，且点E在点P的右侧，∠G＝90°，∠EFG＝30°，设∠GFB＝α（0°＜α＜90°）． （1）填空：∠DEG+∠BFG＝　 　°； （2）若∠CEF的平分线EH交直线AB于点H，如图2． ①当EH∥FG时，求α的度数； ②在①的条件下，将三角板EFG绕点E以每秒1°的转速进行顺时针旋转，同时射线PC绕点P以每秒4°的转速进行顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止转动，同时三角板EFG也停止转动．在旋转过程中，当t＝　 　秒时，CP∥EG． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下学期【压轴题40题专训】 一．解答题（共40小题） 1．（2024春•兴宁区期中）问题探究： 如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D． 李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D． 问题解答： （1）请按张山同学的思路，写出证明过程； （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 问题迁移： （3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数． 【分析】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质证明即可． （2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可． （3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，构建方程求出x+y可得结论． 【解答】解：（1）如图②中，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D． （2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G． ∵DE∥FG， ∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF， ∵AB∥CG， ∴∠G＝∠ABF， ∴∠EDC＝∠ABF， ∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC． （3）如图④中， ∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC， ∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF， 设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y， ∵∠CED＝3∠F， ∴∠CED＝3x+3y， ∵AB∥CD， ∴∠BED＝∠CDE＝2y， ∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°， ∴5x+5y＝180°， ∴x+y＝36°， ∴∠F＝36°． 2．（2024春•青羊区校级期中）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． （1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：　∠AHE＝∠FAH+∠KEH　． （2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE． （3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案； （2）根据∠BEF＝∠BAK，分别表示出∠BAK、∠BEC、∠BAK、∠KAG、∠AME和∠AHE，再由AG⊥BE，可得∠BEF的度数，则问题可解； （3）结合（2），分以下几种情况求解：①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，②当KH∥EG时，③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，④当KE∥NG时，⑤当HE∥NG时． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠KEH＝∠AFH， ∵∠AHE是△AHF的外角， ∴∠AHE＝∠AFH+∠FAH， ∴∠AHE＝∠FAH+∠KEH． 故答案为：∠AHE＝∠FAH+∠KEH； （2）∵AB∥CD， ∴∠BAK＝∠MKE，∠ABE＝∠BEC， ∵， ∴∠BAK＝2∠BEF， ∵∠BEC＝2∠BEF， ∴∠BAK＝∠BEC， ∴∠BAK＝∠ABE， ∴AK平分∠BAG， ∴∠BAK＝∠GAK＝∠ABE， ∵AG⊥BE， ∴∠AGB＝90°， ∴3∠BAK＝90°， ∴∠BAK＝∠ABE＝∠GAK＝30°， ∴， ∴∠CEF＝45°， ∴∠CEF＝∠AFE＝45°， ∴∠AHE＝∠AFE+∠BAK＝75°． （3）①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P， ∵∠EKH＝∠EPG＝30°， ∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°， ∵∠GEN＝90°﹣ENG＝30°， ∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°， ∴∠CEK＝∠PEN＝30°， ∴当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN， ∴秒， ②当KH∥EG时， ∴∠EKH＝∠KEG＝30°， ∴∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°， ∴∠NEK＝60°， ∴∠CEK＝120°， ∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG， ∴秒， ③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时， ∴∠CEK＝150°， ∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN， ∴秒， ∴当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒． ④当KE∥NG时， ∵∠GEN＝30°， ∴∠CEK＝90°﹣∠GEN＝60°． ∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG． ∴（秒）． ⑤当HE∥NG时， ∵∠GEN＝30°，∠KEH＝45°， ∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEN+∠HEK＝105°． ∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG． ∴（秒）． 当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒． 3．（2024春•宜昌期中）已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF． （1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数； （2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由； （3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系． 【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠EPF＝120°； （2）EP∥FN，根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得∠4＝2∠1＝∠AEP，进而可得结论； （3）根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可． 【解答】解：（1）如图，过P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP＝45°，∠QPF＝∠180°﹣∠DFP＝180°﹣105°＝75°， ∴∠EPF＝∠QPE+∠DFP＝45°+75°＝120°． 故∠EPF＝120°； （2）EP∥FN，如图， 理由：∵EM平分∠AEP，FN平分∠MFD， ∴∠AEP＝2∠1，∠MFD＝2∠3， ∵AB∥CD， ∴∠3＝∠4， 由（1）得，∠M＝∠1+∠CFM＝∠1+（180°﹣2∠3）＝∠1+（180°﹣2∠4）， 由三角形外角的性质可得，∠N＝∠4﹣∠2＝∠4﹣∠1， ∵∠M与3∠N互补， ∴∠1+（180°﹣2∠4）+3（∠4﹣∠1）＝180°， 整理得，∠4＝2∠1＝∠AEP， ∴EP∥FN； （3）①∠EPF+2∠ENF＝180°．如图， ∵AB∥CD， ∴∠CFH＝∠EHF，∠EKF＝∠DFK， ∵FN平分∠DFP，ME平分∠AEP， ∴∠CFH＝180°﹣2∠DFK，∠AEP＝2∠AEM＝2∠KEN， 由外角的性质得，∠EPF＝∠EHF﹣∠AEP＝180°﹣2∠DFK﹣2∠AEM，∠ENF＝∠EKF+∠KEN＝∠DFK+∠AEM， ∴∠EPF＝180°﹣2∠ENF， ∴∠EPF+2∠ENF＝180°． ②∠EPF＝2∠ENF﹣180°．如图， ∵AB∥CD， ∴∠PKB＝∠PFD＝2∠DFN， 由外角的性质得，∠EPF＝∠PKB﹣∠BEP＝∠PKB﹣（180°﹣2∠MEP）＝2∠DFN+2∠AEM﹣180°， 由（1）得，∠ENF＝∠DFN+∠NEK＝∠DFN+∠AEM， ∴2∠ENF＝2∠DFN+2∠AEM， ∴∠EPF＝2∠ENF﹣180°． 4．（2024春•海珠区校级期中）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE． （1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数； （2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝46°，∠MND＝68°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒4°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时将△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒11°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当MN首次与CD重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（t≥0）秒后，M′N恰好平行于△F′PH′的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【分析】（1）延长PE交CD于G，根据平行线的性质可得∠APE＝∠PGQ，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先计算出t的取值范围，用t表示出∠MND的大小，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义，用t表示出△FPH三边与AB的夹角，当夹角相等时，两直线平行，据此解答． 【解答】解：（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，如图： 设∠APE＝2α，则∠FPH＝∠APE＝α， ∵AB∥CD， ∴∠PGQ＝∠APE＝2α， ∵PE⊥QE， ∴∠QEH＝QEG＝90°， ∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α， ∴∠EQH＝∠EQD＝45°+α 在△EQH和△PFH中， ∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ， ∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH， 即：90°+45°+α＝α+∠PFH， ∴∠PFH＝135°； （2）2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°， 理由如下：延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，如图： 设∠APE＝2α，则∠FPH＝∠APE＝α， ∵AB∥CD， ∴∠PGQ＝∠APE＝2α， ∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ， ∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α， ∴∠HQE＝∠EQD＝90°+α﹣∠PEQ， 在△EQH 和△PFH 中， ∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ， ∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH， 即：∠PEQ+90°+α﹣∠PEQ＝α+∠PFQ， ∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°； （3）∵∠MND＝68°， ∴tmax＝＝17， ∴∠MND＝68°﹣4t， ∵∠APE＝46°，PF是∠APE的平分线， ∴∠APF＝23°， ∴∠BPF＝180°﹣23°＝157°， ∴转动过程中，∠BPF＝， 由（1）知，∠QFP＝135°， ∴∠HFP＝45°， ∵PH⊥FH， ∴∠PHF＝45°， ∴∠HPM＝45°﹣23°＝22°， ∴∠HPB＝180°﹣22°＝158°， ∴在转动过程中，∠HPB＝， 设QH所在直线与射线PB的夹角为α， ∴α＝90°﹣∠HPA＝68°， ∴在转动过程中，α＝， ①当MN∥PF时， （i）当0≤t＜时，此时，F在AB下方， ∴∠MND+∠BPF＝180°， 即，68°﹣4t+157°﹣11t＝180°， 解得：t＝3， （ii）当≤t≤17时，此时，F在AB上方， ∴∠MND＝∠BPF， 即，68°﹣4t＝11t﹣157°， 解得：t＝15， ②当MN∥HP时， （i）当0≤t＜2时，此时，H在AB上方， ∴∠MND＝∠HPB， 即，68°﹣4t＝158°+11t， 解得：t＝﹣6，舍去， （ii）当2≤t≤17时，此时，H在AB下方， ∴∠MND+∠HPB＝180°， 即，68°﹣4t+202°﹣11t＝180°， 解得：t＝6， ③当MN∥FH时， （i）当0≤t＜时，∠MND＝α， 即，68°﹣4t＝68°+11t， 解得：t＝0， （ii）当≤t≤17时，∠MND+α＝180°， 即，68°﹣4t+292°﹣11t＝180°， 解得：t＝12， 综上所述，t＝0或3或6或12或15． 5．（2024春•锦江区校级期中）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小明将一个含45°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB，CD上，∠P＝90°，∠PMN＝45°． （1）填空：∠PNB+∠PMD 　＝　∠P（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若PN⊥EF，射线NO在∠MNG内交直线CD于点O，如图②．当N，M分别在点G，H的右侧，且∠GNO：∠MNO＝3：2，PM∥NO时，求α的度数； （3）小明将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF，射线NO平分∠MNG，点N，M分别在直线AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含α的式子表示）． 【分析】（1）过点P作直线JK∥AB，根据平行公理，则AB∥JK∥CD，再根据平行线的性质，即可； （2）延长PN交EF于点K，根据PN⊥PM，PN⊥EF，则EF∥PM，再根据平行公理，得EF∥PM∥NO，根据平行线的性质，则∠GHM＝∠NOM，∠PMN＝∠MNO，再根据∠GNO：∠MNO＝3：2，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可； （3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当点N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可． 【解答】解：（1）过点P作直线JK∥AB，如图1， ∵AB∥CD， ∴AB∥JK∥CD， ∴∠PNB＝∠NPJ，∠PMD＝∠JPM， ∴∠PNB+∠PMD＝∠NPJ+∠JPM＝∠NPK＝90°． 故答案为：＝． （2）延长PN交EF于点K，如图2， ∵∠P＝90°， ∴PN⊥PM， ∵PN⊥EF， ∴EF∥PM， ∵PM∥NO， ∴EF∥PM∥NO， ∴∠GHM＝∠NOM，∠PMN＝∠MNO， ∵∠PMN＝45°， ∴∠PMN＝∠MNO＝45°， ∵∠GNO：∠MNO＝3：2， ∴， ∵AB∥CD， ∴GNO＝∠NOM， ∴∠GHM＝∠GNO＝67.5°， ∴α＝67.5°． （3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图3， ∵PM∥EF， ∴∠EHM＝∠PMD＝α， ∵∠PMN＝45°， ∴∠NMD＝45°+α， ∵AB∥CD， ∴∠ANM＝∠NMD＝45°+α， ∵射线NO平分∠MNG， ∴； ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图4， ∵PM∥EF， ∴∠EHD＝∠PMD＝α， ∵∠PMN＝45°， ∴∠NMD＝45°+α， ∵AB∥CD， ∴∠BNM+∠NMD＝180°，∠BNO＝∠MON， ∵射线NO平分∠MNG， ∴， ∴∠MNB＝180°﹣（45°+α）， ∴， 综上所述，或． 6．（2024春•长垣市期中）【问题情景】如图1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．过点P作PM∥AB，求∠EPF； 【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，判断∠PEA，∠PFC，∠EPF之间满足怎样的数量关系，并说明理由； 【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝36°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，求∠EGF． 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求出∠1＝∠AEP＝45°，根据两直线平分线同旁内角互补得到∠2＝180°﹣120°＝60°，进而可求出∠EPF的度数； （2）首先根据平行线的性质得到∠PEA＝∠NPE，然后根据平行线的性质得到∠FPN＝∠PFC，进而可得到∠PFC＝∠PEA+∠EPF； （3）首先根据两直线平分线内错角相等得到∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，然后根据角平分线的概念得到，最后结合（2）的结论求解即可． 【解答】解：（1）∵AB∥PM， ∴∠1＝∠AEP＝45°， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠2+∠PFD＝180°， ∵∠PFD＝120°， ∴∠2＝180°﹣120°＝60°， ∴∠1+∠2＝45°+60°＝105°． 即∠EPF＝105°； （2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF． 理由：∵PN∥AB， ∴∠PEA＝∠NPE， ∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE， ∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE， ∵PN∥AB，AB∥CD， ∴PN∥CD， ∴∠FPN＝∠PFC， ∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE； （3）∵GH∥AB，AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG， 又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G， ∴， 由（2）可知，∠CFP＝∠FPE+∠AEP， ∴∠HGF＝（∠FPE+∠AEP）， ∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（36°+∠AEP）﹣∠HGE＝18°． 7．（2024春•珠海期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°． （1）填空：∠1与∠3的数量关系：　∠1＝∠3　； （2）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　∠2+∠ACB＝180°　； （3）如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当BE∥AD时，画出图形，并求出∠ACE的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？若存在，请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由直角三角形中∠ACD＝∠BCE＝90°，可知∠1与∠3都是∠2的余角，根据同角的余角相等即可得出结论； （2）结合图形可得∠1+∠2+∠3＝∠ACB，则可求解； （3）①如图3，画出图形，作CF∥AD，可推出∠DCE＝∠D+∠E＝30°+45°＝75°，所以∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°； ②分四种情况讨论，①BC∥AD，②BE∥AC，③CE∥AD，④BE∥CD，画出图形，结合平行线的性质与进行求解即可． 【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 故答案为：∠1＝∠3； （2）∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠2＝180°， ∵∠1+∠2+∠3＝∠ACB， ∴∠2+∠ACB＝180°， 故答案为：∠2+∠ACB＝180°； （3）①如图3，当BE∥AD时，作CF∥AD， ∵BE∥AD，CF∥AD， ∴BE∥AD∥CF， ∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°， ∴∠DCE＝∠D+∠E＝30°+45°＝75°， ∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°； ②这两块三角尺还存在一组边互相平行；理由如下： 如图4，当BC∥AD时，∠DCB＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝30°； 如图5，当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°； 如图6，当AD∥CE时，∠DCE＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝90°+30°＝120°； 如图7，当BE∥CD时，∠DCE＝∠E＝45°， ∴∠ACE＝90°+45°＝135°． 综上，当BC∥AD时，∠ACE＝30°；当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°；当AD∥CE时，∠ACE＝120°；当BE∥CD时，∠ACE＝135°． 8．（2024春•海安市期中）某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ． （1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系．并说明理由； （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝130°时，求出∠PFQ的度数； （3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝80°时，请直接写出∠PFQ的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠APE＝∠PEH，∠CQE＝∠HEQ，进而得出结论； （2）根据角平分线的定义、平角的定义以及四边形的内角和即可求解； （3）利用角平分线、平角、三角形的内角和、平行线的性质以及等量代换进行计算即可． 【解答】解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE， 如图1，过点E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD， ∵AB∥EH， ∴∠APE＝∠PEH， 又∵CD∥EH， ∴∠CQE＝∠HEQ， ∵∠PEQ＝∠PEH+HEQ， ∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE； （2）如图2，由（1）得，∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝130°； ∵∠APE+∠BPE＝180°，∠CQE+∠DQE＝180°， ∴∠BPE+∠DQE＝360°﹣130°＝230°， 又∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠3＝（∠BPE+∠DQE）＝×230°＝115°， 在四边形PEQF中， ∠PFQ＝360°﹣（∠1+∠2+∠PEQ）＝360°﹣（115°+130°）＝115°； （3）140°，如图3，延长PF交CD与点M， ∵PF平分∠BPE，QH平分∠EQD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵AB∥CD， ∴∠BPE＝∠DNE，∠2＝∠PMC＝∠1， 又∵∠DQE＝∠DNE+∠E，即2∠4＝2∠1+80°， ∴∠4﹣∠1＝40°， ∴∠PFQ＝∠FQD+∠PMC＝180°﹣∠4+∠1＝180°﹣（∠4﹣∠1）＝180°﹣40°＝140°． 9．（2024春•天河区校级期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知AB∥CD，BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，BF和DF相交于点F． 探究问题 （1）在图1中，∠BFD，∠ABF，∠CDF之间的数量的关系为 　∠BFD＝∠ABF+∠CDF　． ∠BFD，∠ABE，∠CDE之间的数量关系为：　∠ABE+∠CDE＝2∠BFD　． 知识迁移 （2）如图2，若∠E+8∠M＝360°，，试猜想∠CDM和∠MDF间的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）如图所示，过点F作FG∥AB，根据两直线平行内错角相等即可求解∠BFD，∠ABF，∠CDF之间的数量的关系；再根据角平分线的性质可求出∠BFD，∠ABE，∠CDE之间的数量关系； （2）如图所示，过点E作EQ∥AB，过点M作MP∥AB，设∠CDM＝x，∠ABM＝y，根据平行线的性质，角平分线的性质可得∠ABE＝8y，∠ABE+∠CDE＝8x+8y，∠CDE＝8x，由此可得∠CDF＝∠EDF＝4x，所以根据∠CDM＝x，∠MDF＝3x即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，过点F作FG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥FG∥CD， ∴∠ABF＝∠BFG，∠CDF＝∠DFG， ∵∠BFG+∠DFG＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF； 由上述证明可知，∠BFD＝∠ABF+∠CDF， ∵BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线， ∴，， ∴， ∴∠ABE+∠CDE＝2∠BFD； 故答案为：∠BFD＝∠ABF+∠CDF；∠ABE+∠CDE＝2∠BFD． （2）∠MDF＝3∠CDM，理由如下： 如图所示，过点E作EQ∥AB，过点M作MP∥AB， 设∠CDM＝x，∠ABM＝y， ∵CD∥AB， ∴EQ∥MP∥AB∥CD， ∴∠CDM＝∠PMD＝x，∠ABM＝∠PMB＝y， ∵∠ABE+∠QEB＝180°，∠CDE+∠QED＝180°， ∴∠ABE+∠QEB+∠CDE+∠QED＝360°， ∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°， ∴∠BDE＝360﹣（∠ABE+∠CDE）， ∵∠E+8∠M＝360°，即∠BED+8∠BMD＝360°， ∴360°﹣（∠ABE+∠CDE）+8∠BMD＝360°， ∴8∠BMD＝∠ABE+∠CDE， ∵∠BMD＝∠PMD+∠PMB＝x+y， ∴8∠BMD＝8x+8y＝∠ABE+∠CDE， ∵， ∴∠EBF＝4y， ∵BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线， ∴∠EBF＝∠ABF＝4y，∠CDF＝∠EDF， ∴∠ABE＝8y， ∵∠ABE+∠CDE＝8x+8y， ∴∠CDE＝8x， ∴∠CDF＝∠EDF＝4x， ∵∠CDM＝x， ∴∠MDF＝3x， ∴∠MDF＝3∠CDM． 10．（2024春•成都校级期中）已知：直线PQ∥MN，点A为直线PQ上的一个定点，过点A的直线交MN于点B，点C在线段BA的延长线上，D，E为直线MN上的两个动点（点D在点E的左侧）．连接AD，AE，且∠ADE＝∠DAE． （1）如图1，若∠BAE＝25°，∠ADE＝50°，则∠ABN＝　125°　； （2）射线AF为∠CAE的角平分线． ①如图2，当点E在点B左侧时，若∠FAD＝20°，求∠ABD的度数； ②当点D与点B不重合，且∠ABN+∠FAD＝m°时，试用含m的代数式表示∠FAD的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质以及题干中∠ADE＝∠DAE即可推出∠ABN的度数． （2）①设∠ADE＝∠DAE＝∠PAD＝α，则∠PAF＝∠PAD﹣∠FAD＝α﹣20°，∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝20°+α，由角平分线性质得∠CAF＝∠FAE＝20°+α，再由∠ABD＝∠PAC＝∠CAF﹣∠PAF即可求得答案． ②设∠ADE＝∠DAE＝α，∠ABN＝β，分三种情况：当点D在点B右侧时，当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，当D、E均在B点左侧时，分别求出∠FAD的度数． 【解答】解：（1）如图1， ∵PQ∥MN， ∴∠ABN＝∠PAB，∠PAD＝∠ADE＝50°， ∵∠BAE＝25°，∠ADE＝50°， ∴∠ABN＝∠PAB＝∠PAD+∠DAE+∠BAE＝50°+50°+25°＝125°． 故答案为：125°； （2）①如图2，∵PQ∥MN， ∴∠ABD＝∠PAC，∠ADE＝∠PAD， ∵∠ADE＝∠DAE， ∴∠ADE＝∠DAE＝∠PAD， 设∠ADE＝∠DAE＝∠PAD＝α， ∵∠FAD＝20°， ∴∠PAF＝∠PAD﹣∠FAD＝α﹣20°，∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝20°+α， ∵射线AF平分∠CAE， ∴∠CAF＝∠FAE＝20°+α， ∴∠PAC＝∠CAF﹣∠PAF＝（20°+α）﹣（α﹣20°）＝40°， ∴∠ABD＝40°； ②设∠ADE＝∠DAE＝α，∠ABN＝β， 当点D在点B右侧时，如图3，此时有∠EAF＝∠ABD， 则∠BAD＝∠ADE﹣∠ABN＝α﹣β， ∴∠CAE＝180°﹣∠BAD﹣∠DAE＝180°﹣（α﹣β）﹣α＝180°﹣2α+β， ∵射线AF平分∠CAE， ∴∠CAF＝∠FAE＝∠CAE＝， ∴∠FAD＝∠FAE+∠DAE＝+α＝90°+β， ∵∠ABN+∠FAD＝m°， ∴β+90°+β＝m°， ∴β＝m°﹣60°， ∴∠FAD＝90°+β＝90°+（m°﹣60°）＝（m+60）°； 当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，如图4， 则∠ADE＝∠DAE＝α，∠ABN＝β， ∴∠BAE＝2α﹣β，∠CAE＝180°﹣∠BAE＝180°﹣（2α﹣β）， ∵射线AF平分∠CAE， ∴∠CAF＝∠FAE＝∠CAE＝， ∴∠FAD＝∠FAE+∠DAE＝+α＝90°+β， ∵∠ABN+∠FAD＝m°， ∴β+90°+β＝m°， ∴β＝m°﹣60°， ∴∠FAD＝90°+β＝90°+（m°﹣60°）＝（m+60）°； 当D、E均在B点左侧时，如图5， 则∠ADE＝∠DAE＝α，∠ABN＝β， ∴∠BAE＝β﹣2α，∠CAE＝180°﹣∠BAE＝180°﹣（β﹣2α）， ∵射线AF平分∠CAE， ∴∠CAF＝∠FAE＝∠CAE＝， ∴∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝﹣α＝90°﹣β， ∵∠ABN+∠FAD＝m°， ∴β+90°﹣β＝m°， ∴β＝2m°﹣180°， ∴∠FAD＝90°﹣β＝90°﹣（2m°﹣180°）＝（180﹣m）°； 综上所述：∠FAD＝（m+60）°或（180﹣m）°． 11．（2024春•北京期中）已知：AB∥CD，P为平面内一点． （1）如图1，连接AP，DP，已知∠P＝80°，∠D＝50°，∠A＝　150　°； （2）如图2，求证：∠PAB+∠CDP﹣∠APD＝180°； （3）如图3，当点P在直线AB，CD之间时，AP⊥PD于P，DQ平分∠PDC，连接AQ，使∠AQD＝40°，设∠PAQ＝α°，∠PAB＝β°，直接写出α与β之间的数量关系． 【分析】（1）如图1，过点P作PE∥AB，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （3）如图3，如图4，过P作PE∥AB，过Q作QF∥AB，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）解：如图1，过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE+∠A＝180°，∠CDP＝∠EPD， ∵∠APD＝80°，∠D＝50°， ∴∠APE＝∠APD﹣∠DPE＝80°﹣50°＝30°， ∴∠A＝180°﹣30°＝150°， 故答案为：150； （2）证明：如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD， ∴∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°， ∵∠FPA＝∠DPF﹣∠APD， ∴∠DPF﹣∠APD+∠PAB＝180°， ∴∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°； （3）解：如图3， 过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝180°﹣∠BAP＝180°﹣β°，∠CDP＝∠EPD， ∵PA⊥PD， ∴∠APD＝90°， ∴∠DPE＝90°﹣∠APE＝90°﹣（180°﹣β°）＝β°﹣90°， ∵DQ平分∠PDC， ∴∠PDQ＝∠CDQ＝∠PDC＝45°， 过Q作QF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥QF∥CD， ∴∠AQF＝180°﹣∠QAB＝180°﹣（α°+β°），∠DQF＝∠CDQ＝β°﹣45°， ∴∠AQD＝∠AQF+∠DQF＝180°﹣（α°+β°）+β°﹣45°＝40°， ∴α+＝95； 如图4， 过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠BAP＝β°，∠CDP＝180°﹣∠EPD， ∵PA⊥PD， ∴∠APD＝90°， ∴∠DPE＝90°﹣∠APE＝90°﹣β°， ∵DQ平分∠PDC， ∴∠PDQ＝∠CDQ＝∠PDC＝（180°﹣90°+β°）＝45°+β°， 过Q作QF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥QF∥CD， ∴∠AQF＝180°﹣∠QAB＝180°﹣（360°﹣α°﹣β°），∠DQF＝∠CDQ＝β°+45°， ∴∠AQD＝∠AQF+∠DQF＝β°+45°﹣180°+（360°﹣α°﹣β°）＝40°， ∴2α+β＝370； 综上所述，α与β之间的数量关系为α+＝95或2α+β＝370． 12．（2024春•潍坊期中）已知：如图，AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F （1）如图1，已知∠A＝30°，∠APC＝80°，求∠C的度数； （2）如图2，当动点P在线段EF上运动时（不包括E，F两点），∠A，∠APC与∠C之间有何数量关系？并证明你的结论； （3）当动点P在直线EF（线段EF除外）上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠A，∠APC与∠C之间的数量关系． 【分析】（1）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A＝30°，∠C＝∠CPO，代入求出即可； （2）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，求出即可； （3）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，求出即可． 【解答】解：（1）如图①，过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∵∠A＝30°， ∴∠APO＝∠A＝30°，∠C＝∠CPO， ∵∠APC＝80° ∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝80°﹣30°＝50°； （2）∠A+∠C＝∠APC， 证明：如图②，过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO， ∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C； （3）不成立，关系式是：∠A﹣∠C＝∠APC， 理由：如图③，过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO， ∴∠A﹣∠C＝∠APO﹣∠CPO＝∠APC， 即∠A﹣∠C＝∠APC． 13．（2024春•泰兴市期中）如图1，∠ACB＝90°，MA∥BN． （1）①如果∠MAC＝30°，求∠CBN的度数； ②设∠MAC＝α，∠CBN＝β，直接写出α、β之间的数量关系：　β＝α+90°　； （2）如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； （3）在（2）的条件下，若∠MAC＝40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP．已知∠FEP＝10°，求∠BPE的度数． 【分析】（1）①过点C作CD∥AM，则有MA∥CD∥BN，然后得到∠ACD＝∠A＝30°，∠DCB+∠B＝180°，然后计算解题；②过点C作CD∥AM，则有∠ACD＝∠A＝α，∠DCB＝180°−∠B＝180°−β，再根据直角得到结论； （2）由②可得∠MAC＝α，∠CBN＝β＝90°+α，然后根据角平分线的定义得到∠MAP＝∠MAC＝α，∠NBP＝∠NBC＝（90°+α）＝45°+α，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得∠MAP＝∠MAC＝20°，∠CBN＝90°+40°＝130°，∠APB＝135°，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【解答】解：（1）①过点C作CD∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥CD∥BN， ∴∠ACD＝∠A＝30°，∠DCB+∠B＝180°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠DCB＝90°−∠ACD＝90°−30°＝60°， ∴∠B＝180°−∠DCB＝180°−60°＝120°； ②过点C作CD∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥CD∥BN， ∴∠ACD＝∠A＝α，∠DCB＝180°−∠B＝180°−β， 又∵∠ACB＝90°， ∴α+180°−β＝90°， ∴β＝α+90°， 故答案为：β＝α+90°； （2）不发生变化，135°，理由为： 由②可得∠MAC＝α，∠CBN＝β＝90°+α， ∵∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P， ∴∠MAP＝∠MAC＝α，∠NBP＝∠NBC＝（90°+α）＝45°+α， 过点P作PE∥MA，则MA∥PE∥BN， ∴∠EPA＝∠MAP＝α，∠EPB＝180°−∠NBP＝180°−（45°+α）＝135°−α， ∴∠APB＝∠EPA+∠EPB＝α+135°−α＝135°； （3）由（2）得∠MAP＝∠MAC＝20°，∠CBN＝90°+40°＝130°，∠APB＝135°， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝180°−∠CBE＝180°−130°＝50°， 过点P作PG∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥CD∥BN， ∴∠APG＝∠MAF＝20°，∠GPN＝∠PEB， ∴∠APN＝∠APG+∠GPN＝20°+∠PEB， 当点F在点P的左侧时，如图， 则∠PEB＝∠FEB+∠FEP＝50°+10°＝60°， ∴∠APN＝20°+∠PEB＝20°+60°＝80°， ∴∠BPE＝∠APB−∠APE＝135°−80°＝55°， 当点F在点P的右侧时，如图， 则∠PEB＝∠FEB+∠FEP＝50°−10°＝40°， ∴∠APN＝20°+∠PEB＝20°+40°＝60°， ∴∠BPE＝∠APB−∠APE＝135°−60°＝75°． 14．（2023秋•巴南区校级期末）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE． （1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数； （2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝45°，∠MND＝75°，过点P作PH⊥OF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M'N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH'，当MN首次落到CD上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过t秒后，M'N恰好平行于△F'PH'的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【分析】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠APE＝2α，则∠FPH＝∠APE＝α，根据AB∥CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQD，进而表示出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH得出关系式，进一步得出结果； （2）类比（1）的方法过程，得出结果； （3）分为△PF′H′的三边分别与NM′平行，当PF′∥NM′时，∠APF′与NM′同AB的夹角（锐角）相等，从而列出方程求得结果，当PH′∥NM′时，同样的方法求得，当F′H′∥NM′时，此时PH′⊥NM′，根据四边形内角和列出方程求得结果． 【解答】解：（1）如图1： 延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H， 设∠APE＝2α，则∠FPH＝∠APE＝α， ∵AB∥CD， ∴∠PGQ＝∠APE＝2α， ∵PE⊥QE， ∴∠QEH＝QEG＝90°， ∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α， ∴∠EQH＝∠EQD＝45°+α， 在△EQH和△PFH中， ∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ， ∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH， 即：90°+45°+α＝α+∠PFH， ∴∠PFH＝135°， 故答案为：135°； （2）如图1， 延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H， 设∠APE＝2α，设∠PEQ＝β，则∠FPH＝∠APE＝α， ∵AB∥CD， ∴∠PGQ＝∠APE＝2α， ∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ， ∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α， ∴∠HQE＝∠EQD＝90°+α﹣∠PEQ， 在△EQH和△PFH中， ∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ， ∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH， 即：∠PEQ+90°+α﹣∠PEQ＝α+∠PFQ ∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°； （3）如图2： 当M′N∥PF′时， 105﹣5t＝22.5+10t， ∴t＝3.5， 如图3： 当NM′∥PH′时， 75﹣5t＝10t﹣22.5， ∴t＝6.5， 如图4： 当NM′∥F′H′时，即PH′⊥NM′， 105+5t+10t﹣22.5+90＝360， ∴t＝12.5， 综上所述：t＝0.5秒，3.5秒，6.5秒，12.5秒． 15．（2024春•新丰县期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示） （1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与　2　表示的点重合； （2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　﹣3　表示的点重合； ②表示的点与数　2﹣　表示的点重合； ③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是　﹣3.5　、点B表示的数是　5.5　 （3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值． 【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数，利用方程可以求出在此条件下，任意一个数所对应的数； （2）求出﹣1表示的点与3表示的点重合时中点表示的数，在利用方程或方程组求出在此条件下，任意一个数所对应的数； （3）分两种情况进行解答，向左移动4个单位，向右移动4个单位，列方程求解即可． 【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为＝0，设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，于是有＝0，解得x＝2， 故答案为2； （2）折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，折叠点对应的数为＝1， ①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有＝1，解得y＝﹣3， ②设表示的点所对应点表示的数为z，于是有＝1，解得z＝2﹣， ③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得： ＝1且b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5.5， 故答案为：﹣3，2﹣，﹣3.5，5.5； （3）①A往左移4个单位：（a﹣4）+a＝0．解得：a＝2． ②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2． 答：a的值为2或﹣2． 16．（2024春•江城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，已知A（a，0），C（0，c），其中a，c满足关系式（a﹣6）2+＝0，点P从O点出发沿折线OA﹣AB﹣BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． （1）在运动过程中，当点P到AB的距离为2个单位长度时，t＝　2或8　； （2）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标； （3）当点P在线段AB上的运动过程中，射线AO上一点E，射线OC上一点F（不与C重合），连接PE，PF，使得∠EPF＝70°，求∠AEP与∠PFC的数量关系． 【分析】（1）由非负数的性质得a﹣6＝0，c+8＝0，解得a＝6，c＝﹣8，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当0≤t≤3时②当3≤t≤7时；③当7≤t≤10时，分别表示即可； （3）结论：∠PEA+∠PFC＝160°或∠PFC﹣∠AEP＝20°．分两种情形分别画出两个图形进行求解即可． 【解答】解：（1）∵a，c满足关系式（a﹣6）2+＝0， ∴a﹣6＝0，c+8＝0， ∴a＝6，c＝﹣8， ∴B（6，﹣8）， 当点P到AB的距离为2个单位长度时，s＝6﹣2＝4，或s＝6+8+2＝16， ∴4÷2＝2s或16÷2＝8s， 故答案为：2或8； （2）①当0≤t＜3时，点P在OA上，此时，P（2t，0）． ②当3≤t＜7时，点P在AB上，此时，PA＝2t﹣6，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则P（6，6﹣2t）； ③当7≤t≤10时，点P在BC上，此时PB＝2t﹣OA﹣AB＝2t﹣14，PC＝BC﹣PB＝6﹣（2t﹣14）＝20﹣2t， ∴P（20﹣2t，﹣8）； （3）当点P在线段AB上时，∠PFC+∠PEA＝160°或∠PFC﹣∠AEP＝20°．分四种情况： ①如图1中，∠PFC﹣∠PEA＝20°，理由如下： ∵∠PEA＝90°﹣∠APE， ∴∠PFC＝180°﹣∠APF＝180°﹣70°﹣∠APE＝110°﹣∠APE， ∴∠PFC﹣∠PEA＝110°﹣∠APE﹣（90°﹣∠APE）＝20°； ②如图2中，∠PFC﹣∠PEA＝20°，理由如下： ∵∠PEA＝90°﹣∠APE， ∴∠PFC＝180°﹣∠APF＝180°﹣70°﹣∠APE＝110°﹣∠APE， ∴∠PFC﹣∠PEA＝110°﹣∠APE﹣（90°﹣∠APE）＝20°； ③如图3中，结论：∠PEA+∠PFC＝160°，理由如下： 连接OP， ∵∠PFC＝∠FPO+∠FOP，∠AEP＝∠EOP+∠EPO， ∴∠PEA+∠PFC＝∠FPO+∠FOP+∠EOP+∠EPO＝∠AOF+∠EPF＝90°+70°＝160°； ④如图4中，结论：∠PFC﹣∠AEP＝20°，理由如下： E在x轴负半轴，F在线段OC上，设PM交OC于G， ∵∠AEP+∠EGO＝90°，∠EGO＝∠PGF＝110°﹣∠PFG， ∴∠AEP+110°﹣∠PFC＝90°， ∴∠PFC﹣∠AEP＝20°， 综上所述，∠PFC+∠PEA＝160°或∠PFC﹣∠AEP＝20°． 17．（2024春•越秀区期中）《广州市公共交通票价优惠调整方案》于2023年9月1日正式实施，现有基础票价不变，普通乘客在一个自然月内，使用同一种支付方式，乘坐广州地铁公交累计实际支出票款不超过80元没有优惠，超过80元不超过200元部分享受8折优惠，超出200元部分享受5折优惠． 以某普通乘客为例，他在某次乘坐地铁没有优惠时需要支付基础票价4元．若他在本月此前已经累计支出了120元，那么他此次需要支付3.2元，若他在本月此前已经累计支出了210元，那么他此次只需要支付2元．已知甲乙都是普通乘客，只地铁出行，每次使用同一张羊城通． （1）甲每次的基础票价都是2元，已知甲在今年2月乘坐地铁共36次，上半月比下半月少花28元，设甲上半月乘坐地铁x次，下半月乘坐地铁y次，列方程组解应用题，求甲在2月上半月乘坐地铁的次数； （2）乙每次的基础票价都是10元，已知乙在今年2月和3月乘坐地铁共47次，2月比3月少花70元，设乙在2月乘坐地铁m次，3月乘坐地铁n次，回答下列问题： ①在不求出m、n的具体数值的情况下，分析乙在2月和3月分别享受了哪些优惠？ ②根据①的分析结果，列方程组解应用题，求乙在3月乘坐地铁总共花费了多少钱？ 【分析】（1）因为甲上半月乘坐地铁x次，下半月乘坐地铁y次，根据甲在今年2月乘坐地铁共36次，上半月比下半月少花28元，列出方程组，解方程组即可； （2）①分当m＝23时，n＝24，当m＝24时，n＝2时，2月和3月乙乘地铁花费是否符合题意，从而推出乙在2月份和3月份分别享受了哪些优惠； ②设乙在2月乘坐地铁m次，3月乘坐地铁n次，根据1中的结论、乙在今年2月和3月乘坐地铁共47次、2 月比3月少花70元，列方程组并解方程组即可得到答案． 【解答】解：（1）因为甲上半月乘坐地铁x次，下半月乘坐地铁y次， 由题意可得，， 解得， 答：甲在2月上半月乘坐地铁的次数为11次； （2）①乙在2月乘坐地铁m次，3月乘坐地铁n 次， 当m＝23时，n＝24， 则乙2月份的乘坐地铁共花了8×10+15×10×0.8＝200元， 乙3月份的乘坐地铁共花了8×10+15×10×0.8+（24﹣8﹣15）×0.5×10＝205 元， 与2月比3月少花70元矛盾， 当m＝24时，n＝23， 则乙2月份的乘坐地铁共花了8×10+15×10×0.8+1×10×0.5＝205元， 乙3月份的乘坐地铁共花了8×10+15×10×0.8＝200元， 与2月比3月少花70元矛盾， 可见乙在2月份只享受了超过80元不超过200元部分享受8折优惠，即m＜23， 则乙在3月享受了超过80 元不超过200元部分享受8折优惠，超出200元部分享受5折优惠； ②因为乙在2月乘坐地铁m次，3月乘坐地铁n次， ， 解得， ∴＝200+（29﹣8﹣15）×10×0.5＝230， 答：乙在3月乘坐地铁总共花费了230元． 18．（2023秋•金华期中）已知数轴上有A，B两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且与（b﹣5）2互为相反数，点P为数轴上一动点，其对应数字为x． （1）A，B两点对应的数分别为a＝　﹣1　，b＝　5　； （2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则原点O与数 　4　表示的点重合； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离和为8？若存在，请求出x的值，若不存在，说明理由； （4）若点A，B，P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，5，2个单位长度/分，则几分钟时P到A，B的距离相等？ （5）若点A，B，P（点P在原点）仍以（4）的速度，点A向右运动，点B和点P向左运动，当点P遇到点A时，立即以原来的速度向右运动，当点P遇到点B时，立即以原来的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时点P所经过的总路程，并直接写出此时点P在数轴上表示的数． 【分析】（1）由“几个非负数的和为0，每个加数都为0”即可得； （2）由数轴及对称直接得出即可； （3）分三种情况讨论，分别求出即可，其中点P在A、B之间不合题意； （4）根据题意列出方程求解即可； （5）根据题意先求出相遇时的时间即可求出P点的运动路程及P点表示的数． 【解答】解： （1）∵与（b﹣5）2互为相反数，即（b﹣5）2＝0， ∴a+1＝0，b﹣5＝0， ∴a＝﹣1，b＝5， 故答案为：﹣1，5； （2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合， ∵AB＝6， 此时，中点表示的数为2， 点O到2两个单位，2到4也是两个单位， ∴原点O与数4表示的点重合， 故答案为：4； （3）存在， 理由： ①点P在点A左侧，即x＜﹣1时， PA＝﹣1﹣x，PB＝5﹣x， 得﹣1﹣x+5﹣x＝8， 解得，x＝﹣2； ②点P在点B右侧，即x＞5时， PA＝x﹣（﹣1），PB＝x﹣5， 得x﹣（﹣1）+x﹣5＝8， 解得，x＝6； ③点P在点A、B之间时，PA＝x﹣（﹣1），PB＝5﹣x， PA+PB＝x﹣（﹣1）+5﹣x＝6，不合题意； 综上，点P到点A，点B的距离和为8时，x表示的数为﹣2或6； （4）设t分钟时P到A，B的距离相等， 此时P 表示的数为﹣2t，A 表示的数为﹣1﹣t，B 表示的数为5﹣5t， 由题意可知，点B运动速度最快，点A运动最慢， 当点B在点A和点P之间时，PA＞PB，不合题意， 当点P在A左侧，点A、B重合时 可得﹣1﹣t＝5﹣5t， 解得，t＝； 当P运动到点A左侧时， 点B在最左侧，A在最右侧时，点P到A、B两点的距离相等， PA＝﹣1﹣t﹣（﹣2t），PB＝﹣2t﹣（5﹣5t）， ∴﹣1﹣t﹣（﹣2t）＝﹣2t﹣（5﹣5t）， 解得，t＝2， 所以，或2分钟时P到A，B的距离相等； （5）由题意可知，P运动的时间即A与B相遇所需要的时间， A与B相遇的时间为：[5﹣（﹣1）]÷（1+5）＝1（分）， P运动的路程为：1×2＝2． P向左运动与A相遇用的时间为：（分），此时P点表示的数为0﹣2×， B点表示的数为5﹣5×，这时PB＝， P向右运动与B相遇用的时间为（分），此时P点表示的数为， 接下来P向左运动的时间为1﹣（分），这时点P表示的数为． 答：当点A与点B重合时点P所经过的总路程是2，此时点P在数轴上表示的数为． 19．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图（1），在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为6，点C为数轴上原点左侧一点，且满足BC＝15． （1）点C表示的数是 　﹣9　；线段AC的长度是 　11　； （2）如图（1），动点P从点A出发，沿数轴向右运动且初始速度为1个单位/秒，到达B点后以2倍的初始速度返回点A；在点P出发的同时，动点Q从点C出发，沿数轴向右运动，在运动的过程中速度保持不变为3个单位/秒，当点P返回点A时P、Q两点同时停止运动；设运动的时间为t秒，当PQ＝AP时，求此时动点P在数轴上所对应的数； （3）如图（2），CF＝5，数轴上方有一个正方形ABDE，动点M沿A﹣E﹣D﹣B﹣A的顺序以2个单位/秒的速度匀速绕正方形运动一周，再回到A点时停止运动；在点C的正上方8个单位长度处有一点G，三角形FCG为直角三角形；设运动的时间为m秒，当点M在线段AE上时，三角形FGM的面积等于 　24+5m　；当点M在线段DE上时，三角形FGM的面积等于 　8m+18　；当点M在线段BD上时，三角形FGM的面积等于 　70﹣5m　；当点M在线段AB上时，三角形FGM的面积等于 　88﹣8m　（用含m的代数式表示）． 【分析】（1）由A表示的数为2，点B表示的数为6，BC＝15则C点表示的数为6﹣15＝﹣9，CA＝2﹣（﹣9）＝11； （2）动点P从点A出发，沿数轴向右运动且初始速度为1个单位/秒，则P表示的数为2+t（0＜t≤4），返回时P表示的数为：6﹣2（t﹣4）＝14﹣2t，（4≤t≤6），又动点Q从点C出发，沿数轴向右运动，在运动的过程中速度保持不变为3个单位/秒，则Q表示的数为：﹣9+3t，表示出PQ以及AP，根据PQ＝AP建立方程求解即可； （3）利用割补法即面积法，梯形面积减去两直角三角形的面积即可． 【解答】解：（1）∵点B表示的数为6，BC＝15． ∴点C表示的数是6﹣15＝﹣9， ∵点A表示的数为2， ∴线段AC的长度是：2﹣（﹣9）＝11， 故答案为：﹣9，11； （2）∵动点P从点A出发，沿数轴向右运动且初始速度为1个单位/秒， 当0＜t≤4时， 则P表示的数为2+t， 当点P返回点A时4＜t≤6时， 则P表示的数为：6﹣2（t﹣4）＝14﹣2t， 又∵动点Q从点C出发，沿数轴向右运动， 在运动的过程中速度保持不变为3个单位/秒， 则Q表示的数为：﹣9+3t，（0＜t≤6）， 故当0＜t≤4时，QP＝2+t﹣（﹣9+3t）＝11﹣2t． AP＝2+t﹣2＝t， ∵PQ＝AP， ∴（11﹣2t）＝t， 解得：t＝，此时P对应数为：2+＝ 故当4＜t≤6时， 则QP＝＝， AP＝14﹣2t﹣2＝12﹣2t， ∵PQ＝AP， ∴＝12﹣2t， 解得：t＝﹣1（舍去），t＝，此时P对应数为：14﹣2×＝， 综上所述：P对应数为或； （3）由已知正方形ABDE边长为4， ∵动点M沿A﹣E﹣D﹣B﹣A的顺序以2个单位/秒匀速绕正方形运动一周， 故当0s＜m≤4s时，M在AE边上， 则m s时，AM＝2m， 根据已知：四边形CGMA为直角梯形， AG＝8，AC＝11， ∴S梯形CGMA＝（CG+AM）•AC＝（8+2m）×11＝11m+44， ∵CF＝5，AC＝11， ∴AF＝AC﹣CF＝6， ∴S△CGF＝CG•CF＝×8×5＝20，S△AMF＝AM•AF＝×2m×6＝6m， ∵S△CFM＝S梯形CGMA﹣S△CGF﹣S△AMF， ∴S△CFM＝11m+44﹣20﹣6m＝24+5m； 当点M在DE上时，即2≤m≤4时， 如图： 作MN⊥AB于N，则MN＝AB＝4，ME＝AN，m s时，ME＝2m﹣AE＝2m﹣4，∴AN＝2m﹣4， ∴NF＝AF+AN＝6+2m﹣4＝2m+2， ∴CN＝AC+AN＝11+2m﹣4＝2m+7， ∴S梯形CGMA＝（CG+NM）•NC＝（8+4）（2m+7）＝12m+42， ∴S△CGF＝CG•CF＝×8×5＝20，S△NMF＝NM•NF＝×（2m+2）×4＝4m+4， ∵S△CFM＝S梯形CGMA﹣S△CGF﹣S△NMF， ∴S△CFM＝12m+42﹣20﹣（4m+4）＝8m+18； 当点M在DB上时，即4≤m≤6时， 如图： m s时，BM＝12﹣2m， 则S梯形CGMA＝（CG+BM）•BC＝（8+12﹣2m）×15＝150﹣15m， ∵S△CGF＝CG•CF＝20，S△BMF＝ BM•BF＝×（12﹣2m）×10＝60﹣10m， ∴S△CFM＝S梯形CGMA﹣S△CGF﹣S△NMF， 即S△CFM＝150﹣15m﹣20﹣60+10m＝70﹣5m； 当M在AB上时即6≤m≤8时， 如图： m s时，AM＝16﹣2m， ∵AF＝6， ∴MF＝AF+AM＝6+16﹣2m＝22﹣2m， ∵CG⊥CB，CG＝8， ∴S△CFM＝MF•CG＝（22﹣2m）×8＝88﹣8m， 故答案为：24+5m；8m﹣2；50﹣5m；88﹣8m． 20．（2023春•江油市期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0． （1）a＝　﹣2　，b＝　﹣3　； （2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP； （3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）． 【分析】（1）根据非负数的性质可得a和b的值， （2）根据角平分线的定义可得∠OBP＝∠CBQ，再根据三角形的内角和定理可得∠BPO＝∠CQP，最后由对顶角相等和等量代换可得结论， （3）设∠DCN＝∠BCF＝x，∠ACD＝y，分别求出∠OCM，∠ACN即可求解． 【解答】（1）解：如图1中， ∵|a+2|+（b﹣a+1）2＝0， ∴a＝﹣2，b＝﹣3， 故答案为：﹣2，﹣3； （2）证明：如图2中， ∵BQ平分∠CBA， ∴∠OBP＝∠CBQ， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BOP＝∠BCQ＝90°， ∴∠BPO＝∠CQP， ∵∠CPQ＝∠BPO， ∴∠CQP＝∠CPQ； （3）解：如图3，结论：定值＝． 理由：设∠DCN＝∠BCF＝x，∠ACD＝y， ∴∠ACB＝180°﹣x﹣y，∠ACN＝x﹣y， ∵CM平分∠ACB， ∴∠MCB＝（180°﹣x﹣y）， ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCF＝x， ∴∠BCO＝90°﹣x， ∴∠OCM＝（180°﹣x﹣y）﹣（90°﹣x）＝ ∴＝． 21．（2024春•惠安县期中）若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：﹣1＜x≤5，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 【分析】（1）先求不等式组A的解集，然后求得A的中点值，最后判断； （2）先求不等式组C的解集和不等式组D的解集，然后求得C的中点值，最后根据定义求得m的取值范围； （3）先求不等式组E和F的解集，再求E得中点值，然后根据定义得到m和n不等式，最后通过m的条件求出n的取值范围． 【解答】解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下： 解不等式组A：，得4＜x＜6， ∴A的中点值为x＝5， ∵x＝5在﹣1＜x≤5范围内， ∴不等式B对于不等式组A中点包含； （2）∵D对于不等式组C中点包含， ∴不等式组C和不等式组D有解， 解不等式组C：，得， 不等式组D：，得， ∴， 解得：m＞﹣4， ∴当m＞﹣4时，不等式组C的解集为m﹣3＜x＜3m+5，不等式组D的解集为m﹣4＜x＜， ∴C的中点值为＝2m+1， ∵D对于不等式组C中点包含， ∴m﹣4＜2m+1＜， 解得：﹣5＜m＜10， 又∵m＞﹣4， ∴﹣4＜m＜10． （3）解不等式组E得，2n＜x＜2m，解不等式组F得，， ∴E的中点值为n+m， ∵不等式组F对于不等式组E中点包含， ∴， 解得：n＜m＜6， ∵所有符合要求的整数m之和为14， ∴整数m可取2、3、4，或整数m可取﹣1、0、1、2、3、4，5 ∴1≤n＜2或﹣2≤n＜﹣1． 22．（2024春•青岛期中）【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式x＜2的一个子集 　x＜1（答案不唯一）　； （2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 　A　是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 　a≥2　； （4）若a，b，c，d为互不相等的整数，a＜b，c＜d，下列三个不等式组D：a≤x≤b，E：c≤x≤d，F：4＜x＜9，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则a（b+c+d）的值为 　120　； （5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 　　． 【分析】（1）根据定义写一个任意一个解都是不等式x＜2的一个解的不等式即可； （2）分别求得三个不等式组的解集，看A和B两个不等式组中哪个不等式组的解集的任意一个解，都是不等式组M的一个解即可； （3）易得后一个不等式组的解集为x＞2，根据关于x的不等式组是后一个不等式组的“子集”，可得关于x的不等式组的解集为：x＞a，那么可得关于a的不等式，求解即可； （4）根据所给条件和新定义可判断出a、b、c、d的值，代入代数式求解即可； （5）易得不等式组的解集．根据不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，可得m和n的取值范围，进而根据m，n为正整数，求的最大值可得m和n的值，相除即可得到的最大值． 【解答】解：（1）∵x＜1的任意一个解都是不等式x＜2的一个解， ∴不等式x＜2的一个子集为：x＜1．（答案不唯一）． 故答案为：x＜1．（答案不唯一）． （2）解不等式组A得：3＜x＜6； 解不等式组B得：x＞1； 解不等式组M得：x＞2． ∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解， ∴不等式组A是不等式组M：的“子集”． 故答案为：A． （3）∵不等式组的解集为：x＞2，关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴关于x的不等式组的解集为x＞a． ∴． ∴a≥2． 故答案为：a≥2． （4）∵E：c≤x≤d，F：4＜x＜9，E是F的“子集”，a，b，c，d为互不相等的整数， ∴5≤x≤8． ∴c＝5，d＝8． ∵D是E的“子集”，D：a≤x≤b， ∴6≤x≤7． ∴a＝6，b＝7． ∴a（b+c+d）＝6（7+8+5）＝120． 故答案为：120． （5）∵不等式组G：有解， ∴解集为：≤x＜． ∵不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”， ∴． 解得：． ∵m，n为正整数，求的最大值， ∴m最大为2，n最小为10． ∴的最大值＝． 故答案为：． 23．（2023春•泉州期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组的相伴方程． （1）问方程2（x﹣1）+9＝1是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； （3）若方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程，求k的取值范围． 【分析】（1）先求解方程和不等式组，判断一元一次方程的解是不是一元一次不等式组的解即可； （2）先求解方程和不等式组，再将含有a的方程的解代入一元一次不等式组的解中，即可求出a的取值范围； （3）分别求出两个方程的解，再根据k≠﹣2分为两种情况：①当k＜﹣2时，求出不等式组的解集，再进行判断即可；②当k＞﹣2时，求出不等式组的解集，再进行判断即可． 【解答】解：（1）方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组的相伴方程． 理由如下： 解不等式组，得：x≤﹣2， 解方程2（x﹣1）+9＝1，得：x＝﹣3， ∵﹣3＜﹣2， ∴方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组的相伴方程． （2）解不等式组，得：＜x≤3， 解方程2x﹣a＝1，得：x＝， ∵关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程， ∴＜≤3， 解得：0＜a≤5， 即a的取值范围是0＜a≤5． （3）解方程5x+10＝0，得：x＝﹣2， 解方程，得：x＝﹣1， ∵方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程， ∴分为两种情况： ①当k＜﹣2时，不等式为：，此时不等式组的解集为：x＞1，不符合题意，舍去； ②当k＞﹣2时，不等式为：，此时不等式组的解集为：k﹣3≤x＜1， ∴根据题意，得：， 解得：﹣2＜k≤1， 即k的取值范围为﹣2＜k≤1． 24．（2023秋•丰顺县期末）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　20　cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积； （2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝10cm，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝15cm．根据这两个等量关系可列出方程组； （3）设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴xy＝10×6＝60． 故每个小长方形的面积为60； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高x cm，单独一个纸杯的高度为y cm， 则，解得， 则12x+y＝12×1+8＝20． 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm． （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得 ， 解得， ∴S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64． 故答案为：64． 25．（2024春•鹿城区校级期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2． （1）如图1，求证：EF∥GH； （2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求∠N的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，则＝　　． 【分析】（1）由平行线的性质得∠1＝∠3，再由内错角相等得出EF∥GH； （2）过点N作NK∥CD，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由3∠FEN＝4∠HFM结合前面（2）的结论，求出角度可得． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴EF∥GH； （2）解：如图2，过点N作NK∥CD， ∴KN∥CD∥AB， ∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7， 设∠4＝x，∠7＝y， ∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM， ∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y， 又∵AB∥CD， ∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x， 又∵FM⊥GH， ∴∠EFM＝90°， ∴180°﹣2x+2y＝90°， ∴x﹣y＝45°， ∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°， （3）解：， ∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y， ∴x＝， ∴x﹣y＝﹣y＝45°， ∴y＝27°，x＝72°， 又∵EN和GQ是角平分线， ∴GQ⊥EN， ∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°， 又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°， ∴． 故答案为：． 26．（2023秋•潍城区期末）已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点． 【探究】： （1）如图1，∠ADC＝110°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　25　°； （2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　　；（用α，β表示） （3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG，BH平行时，α，β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论； 【挑战】： 如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所在的直线交于点F，则∠AFB与α，β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论． 【分析】（1）利用三角形外角的性质，列出∠F＝∠FBE﹣∠FAB． （2）通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将∠F＝∠FBE﹣∠FAB转化为含有α与β的关系式，进而求出∠AFB； （3）利用平行线的性质和角平分线的性质进行分析求解即可． 【解答】解：（1）如图1． ∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB， ∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB． ∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB ＝360°﹣120°﹣110°＝130°． 又∵∠F+∠FAB＝∠FBE， ∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝ ＝ ＝（180°﹣130°） ＝25°； （2）如图2． 由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB． ∴∠AFB＝＝． （3）若AG∥BH，则α+β＝180°． 证明：如图3． 若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE． ∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE， ∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE． ∴∠DAB＝∠CBE． ∴AD∥BC． ∴∠DAB+∠DBC＝α+β＝180°． 挑战：如图4． ∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE， ∴∠BAM＝，． ∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β． ∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β． ∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β． ∵∠ABF与∠NBE是对顶角， ∴∠ABF＝∠NBE． 又∵∠F+∠ABF＝∠MAB， ∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF． ∴∠F＝ ＝ ＝90°﹣． 27．（2023秋•潜山市期末）（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数； （2）如图2，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）如图1，过点P作GH∥AB，得BAP+∠APH＝180°，故∠APH＝180°﹣∠BAP＝50°．由AB∥CD，GH∥AB，得CD∥GH，故∠PCD+∠HPC＝180°．那么，∠APC＝∠HPC+∠APH＝60°+50°＝110°． （2）如图2，过点P作EF∥AD，故∠ADP＝∠DPF．由EF∥AD，AD∥BC，得EF∥BC，故∠FPC＝∠PCB．那么，∠CPD＝∠DPF+∠CPF＝∠α+∠β． （3）当P在A的左侧，如图3．由AD∥BC，得∠DKC＝∠BCP＝∠β．又因∠DKC＝∠CPD+∠ADP，故∠CPD＝∠β﹣∠α．当P在B的右侧，如图4．由AD∥BC，得∠ADP＝∠DQC＝∠α．又因∠DQC＝∠CPD+∠BCP，故∠CPD＝∠α﹣∠β． 【解答】解：（1）如图1，过点P作GH∥AB． ∴∠BAP+∠APH＝180°． ∴∠APH＝180°﹣∠BAP＝180°﹣130°＝50° ∵AB∥CD，GH∥AB． ∴CD∥GH． ∴∠PCD+∠HPC＝180°． ∴∠HPC＝180°﹣∠PCD＝180°﹣120°＝60°． ∴∠APC＝∠HPC+∠APH＝60°+50°＝110°． （2）如图2，过点P作EF∥AD． ∴∠ADP＝∠DPF，即∠α＝∠DPF． ∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥BC． ∴∠FPC＝∠PCB，即∠FPC＝∠β． ∴∠CPD＝∠DPF+∠CPF＝∠α+∠β． ∴∠CPD＝∠α+∠β． （3）当P在A的左侧，如图3． ∵AD∥BC， ∴∠DKC＝∠BCP＝∠β． 又∵∠DKC＝∠CPD+∠ADP， ∴∠β＝∠CPD+∠α，即∠CPD＝∠β﹣∠α． 当P在B的右侧，如图4． ∵AD∥BC， ∴∠ADP＝∠DQC＝∠α． 又∵∠DQC＝∠CPD+∠BCP， ∴∠α＝∠CPD+∠β． ∴∠CPD＝∠α﹣∠β． 28．（2023秋•长沙县期末）探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD．各活动小组探索∠APC与∠A，∠C之间的数量关系．已知AB∥CD，点P不在直线AB和直线CD上，在图1中，智慧小组发现：∠APC＝∠A+∠C．智慧小组是这样思考的：过点P作PQ∥AB，……． （1）填空：过点P作PQ∥AB． ∴∠APQ＝∠A， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD（ 　平行于同一直线的两直线平行　）， ∴∠CPQ＝∠C， ∴∠APO+∠CPQ＝∠A+∠C， 即∠APC＝∠A+∠C． （2）在图2中，猜测∠APC与∠A，∠C之间的数量关系，并完成证明． （3）善思小组提出： ①如图3，已知AB∥CD，则角α、β、γ之间的数量关系为 　α+β﹣γ＝180°　.（直接填空） ②如图4，AB∥CD，AF，CF分别平分∠BAP，∠DCP．则∠AFC与∠APC之间的数量关系为 　∠AFC＝∠APC　．（直接填空） 【分析】（1）发现由平行线的性质得出∠APQ＝∠A，由PQ∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，得出∠APQ＝∠C，推出∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C，即可得出结论； （2）过点P作PQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，由平行线的性质得出∠APQ＝∠PAM，由PQ∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，得出∠APQ＝∠PCN，则∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD＝360°，即可得出结果； （3）①过点M作MQ∥AB，由平行线的性质得出α+∠QMA＝180°，由MQ∥AB，AB∥CD，推出MQ∥CD，得出∠QMD＝γ，即可得出结果； ②过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，由平行线的性质得出∠APQ＝∠BAP，∠AFM＝∠BAF，由角平分线的性质得出∠BAF＝∠PAF，即∠AFM＝∠BAP，由PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，FM∥CD，得出∠CPQ＝∠DCP，∠CFM＝∠DCF，由角平分线的性质得出∠DCF＝∠PCF，即∠CFM＝∠DCP，推出∠APC＝∠BAP+∠DCP，∠AFC＝（∠BAP+∠DCP），即可得出结果． 【解答】解：（1）填空：过点P作PQ∥AB． ∴∠APQ＝∠A， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）， ∴∠CPQ＝∠C， ∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C， 即∠APC＝∠A+∠C． 故答案为：平行于同一直线的两直线平行； （2）∠APC+∠A+∠C＝360°； 证明：过点P作PQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，如图2所示： ∴∠APQ＝∠PAM， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠APQ＝∠PCN， ∴∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD＝180°+180°＝360°， ∴∠APC+∠A+∠C＝360°； （3）①α+β﹣γ＝180°；理由如下： 过点M作MQ∥AB，如图3所示： ∴α+∠QMA＝180°， ∵MQ∥AB，AB∥CD， ∴MQ∥CD， ∴∠QMD＝γ， ∵∠QMA+∠QMD＝β， ∴α+β﹣γ＝180°， 故答案为：α+β﹣γ＝180°； ②∠AFC＝∠APC； 证明：过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，如图4所示： ∴∠APQ＝∠BAP，∠AFM＝∠BAF， ∵AF平分∠BAP， ∴∠BAF＝∠PAF， ∴∠AFM＝∠BAP， ∵PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD，FM∥CD， ∴∠CPQ＝∠DCP，∠CFM＝∠DCF， ∵CF平分∠DCP， ∴∠DCF＝∠PCF， ∴∠CFM＝∠DCP， ∴∠APC＝∠BAP+∠DCP，∠AFC＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）， ∴∠AFC＝∠APC． 故答案为：∠AFC＝∠APC． 29．（2023秋•新野县期末）（1）探究：如图①，AB∥CD∥EF，点G，P，H分别在直线AB，CD，EF上，连结PG，PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠AGP+∠EHP＝∠GPH； （2）拓展：将图①的点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，如图②．试探究∠AGP，∠EHP，∠GPH之间的关系，并说明理由； （3）应用：如图③，AB∥CD∥EF，点G，H分别在直线AB，EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG，QH．若∠GQH＝70°，求∠AGQ+∠EHQ的值． 【分析】（1）由于AB∥CD是条件，因此理由是“已知”，由于∠DPH与∠EHP内错角，因此由CD∥EF推出∠DPH＝∠EHP的理由是“两直线平行，内错角相等”，由∠GPD+∠DPH＝∠GPH得到∠AGP+∠EHP＝∠GPH，是将∠GPD换成∠AGP，将∠DPH换成∠EHP，因此理由是“等量代换”； （2）拓展：只需运用平行线的性质就可解决问题； （3）应用：只需运用探究得到的结论就可解决问题． 【解答】【答案】 （1）证明：∵AB∥CD ∴∠AGP＝∠GPD． ∵∵CD∥EF， ∴∠DPH＝∠EHP． ∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH， ∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH； （2）解：∠AGP+∠EHP+∠GPH＝360°． 理由如下：∵AB∥CD， ∴∠AGP+∠GPC＝180°． ∵CD∥EF， ∴∠CPH+∠EHP＝180°． ∵∠GPC+∠CPH＝∠GPH， ∴∠AGP+∠GPH+∠EHP＝360°． （3）解：∠GQH＝70°． 当点Q在GH的左侧时，∠AGQ+∠EHQ＝∠GQH＝70°； 当点Q在GH的右侧时，∠AGQ+∠EHQ+∠GQH＝360°， ∴∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°． 综上所述：∠AGQ+∠EHQ的值为70°或290°． 30．（2023秋•长寿区期末）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAV、∠APB、∠PBD三个角． （1）当动点P落在第①部分时，如图1，求证：∠APB＝∠PAC+∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC+∠PBD是否成立？在图2中画出图形，若成立，写出推理过程，若不成立，直线写出这三个角之间的关系； （3）当动点P落在第③部分时，延长BA，点P在射线BA的左侧和右侧时，分别探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间关系，在图3中画出图形，并直接写出相应的结论． 【分析】（1）延长AP交BD于M，根据三角形外角性质和平行线性质得出∠APB＝∠AMB+∠PBD，∠PAC＝∠AMB，代入求出即可； （2）过P作EF∥AC，根据平行线性质得出∠PAC+∠APF＝180°，∠PBD+∠BPF＝180°，即可得出答案； （3））①当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD＝∠PAC+∠APB，②当动点P在射线BA上时，结论是：∠PBD＝∠PAC+∠APB（或∠PAC＝∠PBD+∠APB或∠APB＝0°），③当动点P在射线BA的左侧时，结论是：∠PAC＝∠APB+∠PBD，根据三角形外角性质和平行线性质求出即可． 【解答】解：（1）延长AP交BD于M，如图1， ∵AC∥BD， ∴∠PAC＝∠AMB， ∵∠APB＝∠AMB+∠PBD， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD． （2）∠APB＝∠PAC+∠PBD不成立，如图2， 理由是：过P作EF∥AC， ∵AC∥BD， ∴AC∥EF∥BD， ∴∠PAC+∠APF＝180°，∠PBD+∠BPF＝180°， ∴∠PAC+∠APF+∠PBD+∠BPF＝360°， ∴∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°， ∴∠APB＝360°﹣∠PAC﹣∠PBD， ∵∠APB≠180°， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD不成立． （3）①当动点P在射线BA的右侧时，如图3，结论是∠PBD＝∠PAC+∠APB， 理由是：∵AC∥BD， ∴∠PMC＝∠PBD， ∵∠PMC＝∠PAC+∠APB， ∴∠PBD＝∠PAC+∠APB． ②当动点P在射线BA上时，如图4，结论是：∠PBD＝∠PAC+∠APB（或∠PAC＝∠PBD+∠APB或∠APB＝0°）， 理由是：∵AC∥BD， ∴∠PAC＝∠PBD， ∵∠APB＝0°， ∴∠PBD＝∠PAC+∠APB或∠PAC＝∠PBD+∠APB． ③当动点P在射线BA的左侧时，如图5，结论是：∠PAC＝∠APB+∠PBD， 理由是：∵AC∥BD， ∴∠PMC＝∠PBD， ∵∠PAC＝∠APB+∠PMC， ∴∠PAC＝∠APB+∠PBD． 31．（2023秋•德惠市期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点． （1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴①　MN　∥CD． ∵MN∥AB， ∴②　∠A　＝∠MGA． ∵MN∥CD， ∴∠D＝③　∠DGM　（④　两直线平行，内错角相等　）． ∴∠AGD＝∠AGM+∠AGM＝∠A+∠D． （2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由． （3）【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF＝22°，∠AFC＝72°，那么∠H的度数为 　32°　． 【分析】（1）由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D； （2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D； （3）如图所示，利用平行线的性质求出∠GAB的值，再利用平行线线的性质和外角性质进行计算即可． 【解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB， 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∵MN∥AB， ∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等）， ∵MN∥CD， ∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等）， ∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D． 故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等． （2）如图所示，过点G作直线MN∥AB， 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∵MN∥AB， ∴∠A＝∠AGM， ∵MN∥CD， ∴∠D＝∠DGM， ∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D． （3）如图所示， ∵∠AFC＝72°； ∴∠GAB＝180°﹣72°＝108°， ∵AH平分∠GAB， ∴∠HAB＝＝54°， ∵DC∥AB， ∴∠HQC＝54°， ∴∠H＝∠HQC﹣∠HDF＝54°﹣22°＝32°． 32．（2023春•镇海区期末）已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点． （1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝45°，则∠AED＝　75　°； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°求∠EKD的度数． 【分析】（1）延长DE交AB于H，依据平行线的性质，可得∠D＝∠AHE＝45°，再根据∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+45°＝75°； （2）依据AB∥CD，可得∠EAF＝∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角，即可得到∠EHG＝∠AED+∠EDG，即∠EAF＝∠AED+∠EDG； （3）设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α，进而得出∠EDK＝α﹣2°，依据∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，可得3α＝22°+2α﹣4°，求得∠EDK＝16°，即可得出∠EKD的度数． 【解答】解：（1）如图，延长DE交AB于H， ∵AB∥CD， ∴∠D＝∠AHE＝45°， ∵∠AED是△AEH的外角， ∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+45°＝75°， 故答案为：75； （2）∠EAF＝∠AED+∠EDG． 理由：∵AB∥CD， ∴∠EAF＝∠EHC， ∵∠EHC是△DEH的外角， ∴∠EHG＝∠AED+∠EDG， ∴∠EAF＝∠AED+∠EDG； （3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2， 设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α， ∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI， 又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°， ∴∠EDK＝α﹣2°， ∵DI平分∠EDC， ∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°， ∵AB∥CD， ∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG， 即3α＝22°+2α﹣4°， 解得α＝18°， ∴∠EDK＝16°， 在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°． 33．（2023春•连城县期末）如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像，称为“形BAMCD”． （1）如图1，形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝　60　°； （2）如图2，连接形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系． 【分析】（1）过M作MN∥AB，利用平行线的性质计算可求求解； （2）过A点作AP∥CD交BD于点P，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得∠BAP＝20°，结合（1）的结论可求解； （3）可分两种情况：当D，C位于AM两侧时，当D，C位于AM同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解． 【解答】解：（1）过M作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠AMN＝∠A，∠MCD＝∠C， ∴∠A+∠C＝∠AMN+∠MCD＝∠AMC＝60°， 故答案为：60°； （2）∠BAM+∠MCD＝α+20°． 理由：过A点作AP∥CD交BD于点P， ∴∠APB＝∠D， ∵∠BAP+∠APB+∠B＝180°，∠B+∠D＝160°， ∴∠BAP＝180°﹣160°＝20°， 由（1）可得∠AMC＝∠PAM+∠MCD， ∵∠AMC＝α， ∴∠PAM+∠MCD＝α， ∴∠BAM+∠MCD＝α+20°； （3）如图，当D，C位于AM两侧时， ∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°， ∴∠CDM﹣∠ABD＝20°， ∵∠AMQ＝∠B+∠BAM，∠CMQ＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α， ∴α＝∠AMQ﹣∠CMQ＝∠B+∠BAM﹣（∠MCD+∠CDM）＝∠BAM﹣∠MCD﹣20°， 即∠BAM﹣∠MCD＝α+20°； 当A，C，M三点共线时，∠AMC＝α＝0°， ∴∠BAM﹣∠MCD＝20°； 当D，C位于AM同侧时， ∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°， ∴∠CDM﹣∠ABD＝20°， ∵∠AMO＝∠B+∠BAM，∠CMO＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α， ∴α＝∠CMO﹣∠AMO＝∠MCD+∠CDM﹣（∠B+∠BAM）＝∠MCD﹣∠BAM+20°， 即∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°． 综上，∠BAM﹣∠MCD＝α+20°或∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°． 34．（2023春•东平县期中）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D、A、B两点分别在l1和l2上，直线l3上有一动点P （1）如果P点在C、D之间运动时，猜测∠PAC，∠APB，∠PBD之间有什么关系，证明你的结论 （2）若点P在DC的延长线上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系为　∠PBD＝∠PAC+∠APB　 （3）在（2）的条件下，∠PAC和∠PBD的角平分线相交于点Q，探索∠APB和∠AQB的关系，并证明． 【分析】（1）当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE∥l1，由l1∥l2，可得PE∥l2∥l1，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB＝∠PAC+∠PBD； （2）当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：∠PBD＝∠PAC+∠APB． （3）结论：∠APB＝2∠AQB．由（2）可知∠APB＝∠PBD﹣∠PAC，同理∠AQB＝∠QBD﹣∠QAC，由AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，推出∠PAC＝2∠QAC，∠PBD＝2∠QBD，推出∠APB＝∠PBD﹣∠PAC＝2∠QBD﹣2∠QAC＝2（∠QBD﹣∠QAC）＝2∠AQB； 【解答】解：（1）结论：如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB＝∠PAC+∠PBD． 理由如下： 过点P作PE∥l1， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2∥l1， ∴∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2， ∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PAC+∠PBD； （2）结论：如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD＝∠PAC+∠APB． 理由如下： ∵l1∥l2， ∴∠PEC＝∠PBD， ∵∠PEC＝∠PAC+∠APB， ∴∠PBD＝∠PAC+∠APB． 故答案为∠PBD＝∠PAC+∠APB． （3）结论：∠APB＝2∠AQB． 理由：由（2）可知∠APB＝∠PBD﹣∠PAC，同理∠AQB＝∠QBD﹣∠QAC， ∵AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD， ∴∠PAC＝2∠QAC，∠PBD＝2∠QBD， ∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAC＝2∠QBD﹣2∠QAC＝2（∠QBD﹣∠QAC）＝2∠AQB． 35．（2023春•太和县期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45° （1）观察猜想 将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝　105　°． （2）操作探究 将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数； （3）深化拓展 将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 　75或255　°时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果） 【分析】（1）在△CEN中，依据三角形的内角和定理求解即可； （2）根据角平分线的定义求出∠DON＝45°，利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可； （3）当CD在AB上方时，CD∥MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠OFD＝∠M＝60°，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；当CD在AB的下方时，CD∥MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO＝∠M＝60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可． 【解答】解：（1）∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°， ∴∠CEN＝105°． 故答案为：105°． （2）∵OD平分∠MON， ∴∠DON＝∠MON＝×90°＝45°， ∴∠DON＝∠D＝45°， ∴CD∥AB， ∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；． （3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F， ∵CD∥MN， ∴∠OFD＝∠M＝60°， 在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD， ＝180°﹣45°﹣60°， ＝75°， 当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F， ∵CD∥MN， ∴∠DFO＝∠M＝60°， 在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴旋转角为75°+180°＝255°， 综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行． 故答案为：75或255． 36．（2023春•武宣县期末）已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E． （1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）； （2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数． （3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可） 【分析】（1）过点E作EG∥AB，根据a∥b，可得EG∥CD，得∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°； （2）过点F作FH∥AB，结合（1）的方法，根据BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，即可求∠BFD的度数； （3）过点F作FH∥AB，结合（1）的方法，根据BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，即可用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角． 【解答】解：（1）过点E作EG∥AB， ∵a∥b， ∴EG∥CD， ∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG， ∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED， ∵AD⊥BC， ∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°； （2）如图，过点F作FH∥AB， ∵a∥b， ∴FH∥CD， ∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH， ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°， ∴∠ABF＝ABC＝32°，∠CDF＝ADC＝36°， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°； （3）如图，过点F作FH∥AB， ∵a∥b， ∴FQ∥CD， ∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ， ∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β， ∴∠ABF＝ABC＝，∠CDF＝ADC＝， ∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°﹣+， ∴∠BFD的补角＝﹣． 37．（2023春•凤阳县期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【分析】（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，可得∠ACB＝∠CED，所以AC∥DF，可得∠A＝∠DFB，又∠A＝∠D，进而可得结论； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EM∥HN∥CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数； （3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数． 【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F， ∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB＝∠CED， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠A＝∠D， ∴∠DFB＝∠D， ∴AB∥CD； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥HN∥CD， ∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABG＝ABE， ∵AB∥HN， ∴∠2＝∠ABG， ∵CF∥HN， ∴∠2+∠β＝∠3， ∴ABE+∠β＝∠3， ∵DH平分∠EDF， ∴∠3＝EDF， ∴ABE+∠β＝EDF， ∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE）， ∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β， 设∠DEB＝∠α， ∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β， ∵∠DEB比∠DHB大60°， ∴∠α﹣60°＝∠β， ∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°） 解得∠α＝100° ∴∠DEB的度数为100°； （3）∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G， ∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE， ∴∠EBM＝∠MBK＝EBK， ∠CDN＝∠EDN＝CDE， ∵ES∥CD，AB∥CD， ∴ES∥AB∥CD， ∴∠DES＝∠CDE， ∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK， ∠G＝∠PBK， 由（2）可知：∠DEB＝100°， ∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°， ∴∠EBK﹣∠CDE＝80°， ∵BP∥DN， ∴∠CDN＝∠G， ∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE， ∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK ＝∠EBK﹣CDE ＝（∠EBK﹣∠CDE） ＝80° ＝40°． 38．（2023春•深圳期中）我们知道同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）观察与思考：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为　∠BPD＝∠B+∠D　，不必说明理由； （2）猜想与证明：如图2，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，利用（1）中的结论（可以直接套用）求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论； （3）拓展与应用：如图3，设BF交AC于点M，AE交DF于点N，已知∠AMB＝140°，∠ANF＝105°．利用（2）中的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数为　75　度，∠A比∠F大　65　度． 【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠1，∠D＝∠2，再根据∠BPD＝∠1+∠2即可得解； （2）连接QP并延长，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答； （3）依据（2）中的结论、三角形的内角和及三角形的外角和即可求得． 【解答】解：（1）过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EP∥CD， ∴∠B＝∠1，∠D＝∠2， ∴∠BPD＝∠B+∠D； （2）如图，连接QP并延长， 结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D． ∠BPD＝（∠BQP+∠B）+（∠DQP+∠D）＝∠BQD+∠B+∠D． （3）∵∠ANF＝105°， ∴∠ENF＝∠B+∠E+∠F＝180°﹣105°＝75°， ∵∠A＝∠AMB﹣∠B﹣∠E， ∠F＝180°﹣∠ANF﹣∠B﹣∠E， ∴∠A﹣∠F＝∠AMB+∠ANF﹣180°＝65°． 故答案为：∠BPD＝∠B+∠D；75，65． 39．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①，②，③，④四个部分，当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（规定：线上各点不属于任何部分且点P，A，B三点不共线） （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC+∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时，直接用等式表示∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系； （3）当动点P落在第③部分时，用等式表示∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明． 【分析】（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA＝∠PBD．由∠APB＝∠PAE+∠PEA，可知∠APB＝∠PAC+∠PBD； （2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答； （3）根据P的不同位置，分三种情况讨论． 【解答】解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E． ∵AC∥BD， ∴∠PEA＝∠PBD． ∵∠APB＝∠PAE+∠PEA， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD； 解法二：如图2， 过点P作FP∥AC， ∴∠PAC＝∠APF． ∵AC∥BD， ∴FP∥BD． ∴∠FPB＝∠PBD． ∴∠APB＝∠APF+∠FPB． ＝∠PAC+∠PBD； 解法三：如图3， ∵AC∥BD， ∴∠CAB+∠ABD＝180°， ∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD＝180°． 又∠APB+∠PBA+∠PAB＝180°， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD． （2）不成立． （3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是： ∠PBD＝∠PAC+∠APB． （b）当动点P在射线BA上，结论是： ∠PBD＝∠PAC+∠APB． 或∠PAC＝∠PBD+∠APB或∠APB＝0°， ∠PAC＝∠PBD（任写一个即可）． （c）当动点P在射线BA的左侧时， 结论是∠PAC＝∠APB+∠PBD． 选择（a）， 证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M． ∵AC∥BD， ∴∠PMC＝∠PBD． 又∵∠PMC＝∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴∠PBD＝∠PAC+∠APB． 选择（b）证明：如图5， ∵点P在射线BA上， ∴∠APB＝0度． ∵AC∥BD， ∴∠PBD＝∠PAC． ∴∠PBD＝∠PAC+∠APB， 或∠PAC＝∠PBD+∠APB， 或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD． 选择（c）， 证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F， ∵AC∥BD， ∴∠PFA＝∠PBD． ∵∠PAC＝∠APF+∠PFA， ∴∠PAC＝∠APB+∠PBD． 40．（2024春•香洲区校级期中）如图，点P为直线AB外一点，过点P作直线CD∥AB．现将一个含30°角的三角板EFG按如图1放置，使点F、E分别在直线AB、CD上，且点E在点P的右侧，∠G＝90°，∠EFG＝30°，设∠GFB＝α（0°＜α＜90°）． （1）填空：∠DEG+∠BFG＝　90　°； （2）若∠CEF的平分线EH交直线AB于点H，如图2． ①当EH∥FG时，求α的度数； ②在①的条件下，将三角板EFG绕点E以每秒1°的转速进行顺时针旋转，同时射线PC绕点P以每秒4°的转速进行顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止转动，同时三角板EFG也停止转动．在旋转过程中，当t＝　20或80　秒时，CP∥EG． 【分析】（1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答， （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系， ②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【解答】解：（1）过点G作AB的平行线GM，如图： ∵CD∥AB，MG∥AB， ∴CD∥MG， ∴∠MGF＝∠GFB， ∴∠DGE+∠BFG＝∠EGM+∠MGF＝∠EGF＝90°， ∴∠DEG+∠BFG＝90°． 故答案为：90°． （2）①∵EH∥FG， ∴∠GFB＝∠EHF＝α， ∵HE平分∠CEF， ∴∠CEH＝∠FEH＝α， 又∵CD∥AB， ∴∠CEH＝∠EHF＝α，∠CEF＝∠EFB， ∴2α＝30°+α， 解得α＝30°． ②如图： 当射线旋转到PC'时，△EGF旋转至△DE'G'，延长EG'至点H， ∵PC'∥G'H， ∴∠CPC'＝∠CEH， ∵∠CEH＝∠DEG'， ∴∠CPC'＝∠DEG'， 由题意知，∠CPC'＝4t， 未旋转前，∠DEG＝90°﹣α＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DEG'＝60°+t， ∴4°t＝60°+1°t， 解得t＝20． 当CP与CE在直线CD同侧且平行时， 由4t﹣180＝60+t，得t＝80． 故答案为：20或80． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$