期末复习解答题新题速递40题专训（第八、九、十章）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点题型归纳+题型专训（人教版）

七年级下学期【2023年新题速递40题专训】 一．解答题（共40小题） 1．（2024春•冷水滩区校级月考）解下列方程组： （1）； （2）． 2．（2024春•南关区校级月考）已知y＝kx+b，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝1时，y＝2． （1）求k、b的值； （2）当y＝2时，求x的值． 3．（2024春•沈丘县月考）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的m，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的n，得到的方程组的解为． （1）求出方程组正确的解； （2）计算的值． 4．（2024春•南皮县月考）我们规定，关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝c，则称这个方程为“友好”方程．例如：方程2x+3y＝5，其中a＝2，b＝3，c＝5，满足a+b＝c，则方程2x+3y＝5是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组．根据上述规定，回答下列问题： （1）判断方程3x+5y＝8 　 　“友好”方程（填“是”或“不是”）； （2）若关于x，y的二元一次方程kx+（2k﹣1）y＝8是“友好”方程，求k的值； （3）若是关于x，y的“友好”方程组的解，求2p+q的值． 5．（2024春•南皮县月考）李想准备完成作业：“解二元一次方程组”发现系数“△”印刷不清楚． （1）他把“△”猜成2，请你解二元一次方程组； （2）张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是对相反数”．求“△”的值． 6．（2024春•丰城市校级月考）阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“燕南点”．例如：点E（3，1），令得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“燕南点”；F（4，﹣2），令得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“燕南点”． （1）点A（7，1），B（6，4）是“燕南点”的是 　 　； （2）点M（a，2a﹣1）是“燕南点”，请判断点M在第几象限？并说明理由； （3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“燕南点”，求t的值． 7．（2024春•鹤壁月考）善于思考的乐乐在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法． 解：将②变形，得﹣4x﹣6y﹣y＝﹣12，即﹣2（2x+3y）﹣y＝﹣12，③把①代入③，得﹣2×10﹣y＝﹣12， 解得y＝﹣8，把y＝﹣8代入①，得2x+3×（﹣8）＝10， 解得x＝17，所以方程组的解为， 根据上述材料，用“整体代换”的方法解方程组． 8．（2024春•丰城市校级月考）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． （2）拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 　 　． （3）请你用上述方法解方程组． 9．（2024春•鹤壁月考）（1）写出一个解为的二元一次方程组； （2）以（1）中所写的二元一次方程组，编一道生活中的实际问题，并设出未知数． 10．（2024春•衡阳月考）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得求原方程组的正确解． 11．（2024春•尧都区期中）阅读下列材料，完成任务： 解方程组，某同学提供了如下解法： 解：设a﹣2＝x，b+1＝y，则原方程可化为，解得， ∴，解得 ∴原方程组的解为 任务： （1）由上述解法可以看出，对于一些较复杂的解方程组问题，若把其中某些部分看成一个 　 　，用字母代替，则能使复杂的问题简单化，因而把这种解方程组的方法称为换元法． （2）已知关于x，y的方程组的解为，则关于a，b的方程组的解为 　 　． （3）利用上述方法解方程组：． 12．（2024春•通州区校级月考）规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c有无数组解，每组解记为P（x，y），称点P（x，y）为“坐标点”，将这些“坐标点”连接新得到一条直线，称这条直线是“坐标点”的“关联线”，回答下列问题： （1）已知P1（﹣1，3），P2（4，﹣1），P3（1，2），则是“关联线”x+y＝2的“坐标点”的 　 　． （2）若A（1，1），B（4，﹣1）是“关联线”（a+1）x+by＝5的“坐标点”，求a，b的值． （3）已知m，n是实数，且，若是“关联线”5x﹣2y＝s的一个“坐标点”，用等式表示s与m之间的关系，并求出s的最小值． 13．（2024春•郸城县月考）甲、乙两同学同时解方程组，甲看错了方程①中的m，得到的方程组的解为，乙看错了方程②中的﹣5，得到的方程组的解为求： （1）m，n的值； （2）原方程组的解． 14．（2024春•崇义县期中）阅读下列材料： 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”．例如：点P（1，4）的3级关联点“为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）． （1）已知点A（2，6）的“级关联点”是点B，求点B的坐标； （2）已知点P（2，﹣1）的“a级关联点”为（9，b），求a+b的值； （3）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标． 15．（2024春•郸城县月考）现定义某种运算“★”，对给定的两个有理数a、b有a★b＝2a﹣b． （1）求（﹣2）★（﹣4）的值； （2）若，求x的值； （3）若x★3y＝﹣4，2x★y＝2，则x★y＝　 　． 16．（2024春•余杭区月考）已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解互为相反数，求k的值； （2）若方程组的解满足方程3x+y＝10，求k的值． 17．（2024春•仁寿县校级期中）已知等式y＝ax2+bx+c，且当x＝1时y＝0；，当x＝2时y＝3；当x＝﹣3时y＝28； （1）求a、b、c的值； （2）当x＝﹣2时，y的值又是多少？ 18．（2024•梅州模拟）某同学解一个关于x的一元一次不等式组，已知不等式①的解集如图所示． （1）求m的值； （2）解此不等式组，并在数轴上表示出解集． 19．（2024春•灞桥区校级月考）解不等式： （1）﹣x﹣1≥3x﹣5； （2）． 20．（2024春•安溪县期中）对于两个不等式，若有n个相同的整数使这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“n级关联”． （1）不等式x﹣1＜1和x+1≥0是“　 　级关联”，请说明理由； （2）若不等式2x﹣a＞0和是“2级关联”，求a的取值范围． 21．（2024春•安溪县期中）已知关于x，y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若x﹣y＝1，则k＝　 　； （2）若x+y＞5，求k的取值范围． 22．（2024春•安溪县期中）解不等式：． 解：　 　，得2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，① 去括号，得4x﹣2＞9x﹣6﹣6，② 移项，得4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，③ 合并同类项，得﹣5x＞﹣10，④ 系数化为1，得 　 　．⑤ 阅读以上解题过程并填空： （1）请把第⑤步的解题过程补充完整：　 　； （2）以上解题过程中，第①步的步骤是 　 　，第②步的依据是 　 　． 23．（2024•广陵区二模）阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足x＞y＞0，证明：x2＞y2． 证明：因为x＞y且x，y均为正， 所以x2＞　 　，xy＞　 　.（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以x2＞y2（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整． （2）尝试证明：若a＜b，则． 24．（2024•武汉模拟）求满足不等式组的正整数解． 25．（2023秋•南浔区期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 26．（2024春•衡阳月考）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． （1）方程组的解x与y（项“具有”或“不具有”）“友好关系”； （2）若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； （3）未知数为x，y的方程组，其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“友好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． （4）【拓展】若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．例如：方程的解为，而，若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为“奇异方程”，请直接写出关于y的方程的解：． 27．（2024春•南岗区校级月考）对于任意实数a、b约定关于⊗的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如：（﹣3）⊗2＝2×（﹣3）+2＝﹣4． （1）若x满足（x+2）⊗3＞7，求x的取值范围； （2）若x⊗（﹣y）＝5，且2y⊗x＝7，求x+y的值． 28．（2024春•余杭区月考）已知用[a]表示不大于a的最大整数，如[3.2]＝3，[﹣4.2]＝﹣5． （1）求[3.2]+[﹣1.8]的值． （2）若x，y满足，求[x]+[y]的值． （3）已知，． ①写出2m﹣n的所有可能值； ②若m+n＝14，请直接写出一对符合条件的x，y的解：． 29．（2024春•张家港市校级月考）解下列方程组和不等式组： （1）； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 30．（2024春•张家港市校级月考）若关于x，y的二元一次方程组． （1）若﹣2＜x+y≤1，求a的取值范围； （2）若x，y满足方程x﹣y＝﹣4，求a的值． 31．（2024春•南岗区校级期中）计算题： （1）解方程组； （2）解一元一次不等式﹣2＞并把解集在数轴上表示出来． 32．（2024春•五华县期中）（1）【情境再现】某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下． 已知关于x的方程3x+1＝2k的解是负数，求k的取值范围． （2）【拓展】若关于x、y的方程组的解满足x+2≥6，求m的最小整数值． 33．（2024春•原阳县期中）已知关于y的方程4y+2m+1＝2y+5的解是负数． （1）求m的取值范围； （2）当m取最小整数时，解关于x的不等式：x﹣1 34．（2024春•太湖县期中）计算： （1）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足3x+2y≤0，求m的取值范围； （2）若关于x的不等式的最小整数解为2，求a的取值范围． 35．（2024•息烽县一模）为了解学生每天做家务劳动的时间，某校实践小组随机调查若干名学生，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图． 部分学生平均每天做家务劳动时间的人数统计 组别 时间/h 频数 A t≤0.5 14 B 0.5＜t≤1.5 a C 1.5＜t≤2.5 60 D t＞2.5 26 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）表格中a的值为 　 　；C组所在扇形的圆心角的度数为 　 　； （2）已知该校有2000名学生，若每周家务劳动时间1.5小时以上（不含1.5小时）可评为“劳动之星”，请估计全校可评为“劳动之星”的人数； （3）为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，结合以上统计数据，请你面向全体同学写出一条建议． 36．（2024•云梦县模拟）2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，进行了抽样调查，并作出了如下统计． 【收集数据】从九年级随机抽取部分学生“参加家务劳动的时间”（单位：分钟），并对这些数据进行统计． 【整理数据】将劳动时间x分为如下四组（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，单位：分钟）进行整理，绘制了如下不完整的统计图． （1）本次抽取的学生人数为 　 　人，扇形统计图中m的值为 　 　； （2）补全条形统计图； （3）已知该校九年级有400名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？ 37．（2024•松北区二模）某校九年级一班开展以“我最喜爱的体育项目”为主题的调查活动，调查围绕“篮球、排球、羽毛球和乒乓球，你最喜欢哪一项？（必选且只能选一项）”的问题，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中喜欢篮球运动的学生人数占所调查人数的40%．根据图中提供的信息，请解答以下问题： （1）九年级一班共有多少名学生？ （2）计算喜欢乒乓球项目的人数；并补全条形统计图． （3）若全校有3000人，请你估计全校喜欢排球项目的人数． 38．（2024•淮安区二模）为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下： 请根据以上信息解答下列问题： （1）该校对 　 　名学生进行了抽样调查；图2中科幻部分对应的圆心角为 　 　°； （2）请将图1补充完整； （3）已知该校共有学生2300人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢漫画的人数约为多少人？ 39．（2024春•电白区期中）光明中学根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）请根据以上信息补全条形统计图； （3）该校共有2400名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数． 40．（2024•庐阳区二模）某校为了落实“双减”工作，丰富学生的课外生活，开展“雅言颂经典，真情咏中华”经典诵读活动．为了了解学生的参与度，从学校随机抽取了一部分学生进行调查，m表示每天诵读时长，把调查学生的诵读时长分为5个等级，每个等级的范围如表所示，并绘制了条形统计图和扇形统计图． 等级 时长范围（分钟） A （5≤m＜10） B （10≤m＜15） C （15≤m＜20） D （20≤m＜25） E （25≤m≤30） 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求出扇形统计图中等级E的圆心角度数； （3）学校为了鼓励学生积极参加该项活动，准备给诵读时长不低于20分钟的同学给予“诵读之星”称号，该校共有2000名学生，请问获得“诵读之星”称号的学生约有多少人？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下学期【2023年新题速递40题专训】 一．解答题（共40小题） 1．（2024春•冷水滩区校级月考）解下列方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）利用代入消元法求解； （2）先将方程整理为一般形式，再利用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）， 由①得y＝3﹣2x， 将y＝3﹣2x代入②，得3x﹣5（3﹣2x）＝11， 解得x＝2， 因此y＝3﹣2×2＝﹣1， 所以原方程组的解为； （2）原方程组化简整理，得， ①+②×5，得46y＝46， 解得y＝1， 把y＝1代入②，﹣x+9＝2， 解得x＝7， 所以原方程组的解为． 2．（2024春•南关区校级月考）已知y＝kx+b，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝1时，y＝2． （1）求k、b的值； （2）当y＝2时，求x的值． 【分析】（1）将两组x，y的值代入，得到方程组，解之即可； （2）由（1）得出x，y的关系式，再令y＝2，求出x即可． 【解答】解：（1）当x＝2时，y＝﹣4；当x＝1时，y＝2， ∴， 解得； （2）由（1）得y＝﹣6x+8， 当y＝2时，﹣6x+8＝2， 解得x＝1． 3．（2024春•沈丘县月考）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的m，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的n，得到的方程组的解为． （1）求出方程组正确的解； （2）计算的值． 【分析】（1）根据题意得到，进而求得m、n值，然后代入原方程组中解方程组即可； （2）将求得的m、n代入求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，得， 解得， ∴原方程组为， ①+②得 x＝14， 将x＝14代入①中，得， ∴原方程组的解为； （2）将代入中， ＝ ＝1﹣（﹣1）2023 ＝1+1 ＝2． 4．（2024春•南皮县月考）我们规定，关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝c，则称这个方程为“友好”方程．例如：方程2x+3y＝5，其中a＝2，b＝3，c＝5，满足a+b＝c，则方程2x+3y＝5是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组．根据上述规定，回答下列问题： （1）判断方程3x+5y＝8 　是　“友好”方程（填“是”或“不是”）； （2）若关于x，y的二元一次方程kx+（2k﹣1）y＝8是“友好”方程，求k的值； （3）若是关于x，y的“友好”方程组的解，求2p+q的值． 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行判断即可； （2）根据“友好方程”的定义，进行求解即可； （3）先根据“友好”方程组的定义求出m，n的值，再根据方程组的解的定义，得到关于p，q的方程组，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵3x+5y＝8中3+5＝8， ∴方程是友好方程； 故答案为：是； （2）因为关于x，y的二元一次方程kx+（2k﹣1）y＝8是“友好”方程，所以k+2k﹣1＝8， 解得k＝3，所以k的值是3； （3）因为方程组是“友好”方程组， 所以m+（m﹣3）＝﹣1，n+（n+1）＝m+6，n+（n+1）＝m+6， 所以m＝1，n＝3， 所以原方程组为， 因为是方程组的解， 所以，①+②得，4p+2q＝6； ∴2p+q的值为3． 5．（2024春•南皮县月考）李想准备完成作业：“解二元一次方程组”发现系数“△”印刷不清楚． （1）他把“△”猜成2，请你解二元一次方程组； （2）张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是对相反数”．求“△”的值． 【分析】（1）加减消元法解方程组即可； （2）设“△”为a，根据x、y是一对相反数，得到x+y＝0，结合x﹣y＝﹣4求出x，y的值，进而求出a的值即可． 【解答】解：（1）， ②+④得：3x＝6，解得：x＝2， 把x＝2代入①得：2﹣y＝﹣4， 解得：y＝6， 所以方程组的解是：； （2）， 设“△”为a，因为x、y是一对相反数， 所以x+y＝0③， ①+③得：2x＝﹣4， 解得：x＝﹣2，则y＝2， 把代入ax+y＝10得：﹣2a+2＝10， 解得：a＝﹣4， 即原题中“△”是﹣4． 6．（2024春•丰城市校级月考）阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“燕南点”．例如：点E（3，1），令得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“燕南点”；F（4，﹣2），令得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“燕南点”． （1）点A（7，1），B（6，4）是“燕南点”的是 　（6，4）　； （2）点M（a，2a﹣1）是“燕南点”，请判断点M在第几象限？并说明理由； （3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“燕南点”，求t的值． 【分析】（1）根据“燕南点”的定义分别判断即可； （2）直接利用“燕南点”的定义得出a的值再求出点的坐标进而得出答案； （3）直接利用“燕南点”的定义得出t的值进而得出答案． 【解答】解：（1）∵点A（7，1），令 解得 ∵m﹣n＝8≠6， ∴A（7，1）不是“燕南点“， ∵点B（6，4），令 解得 ∴m﹣n＝6， ∴B（6，4）是“燕南点”； 故答案为：B（6，4）； （2）根据题意，得， ∵m﹣n＝6， ∴，求得a＝13， 所以2a﹣1＝25，所以M（13，25），在第一象限； （3）方程组的解为 ∵点是“燕南点”， ∴ ∴ ∵m﹣n＝6，∴，解得t＝10， ∴t的值为10． 7．（2024春•鹤壁月考）善于思考的乐乐在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法． 解：将②变形，得﹣4x﹣6y﹣y＝﹣12，即﹣2（2x+3y）﹣y＝﹣12，③把①代入③，得﹣2×10﹣y＝﹣12， 解得y＝﹣8，把y＝﹣8代入①，得2x+3×（﹣8）＝10， 解得x＝17，所以方程组的解为， 根据上述材料，用“整体代换”的方法解方程组． 【分析】把3x﹣13y＝8变形为3（x﹣5y）+2y＝8，再把x﹣5y＝3整体代入． 【解答】解： 将②变形，得3（x﹣5y）+2y＝8，③ 把①代入③，得3×3+2y＝8， 解得， 把代入①，得， 解得，所以方程组的解为． 8．（2024春•丰城市校级月考）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． （2）拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 　　． （3）请你用上述方法解方程组． 【分析】（1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入m＝x+y，n＝x﹣y，再解出关于x，y的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可； （3）令m＝x+y，n＝x﹣y则原方程组为，再解出这个方程组即可求解． 【解答】解：（1）对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）∵方程组的解是， ∴， 解得：． （3）依题意，令m＝x+y，n＝x﹣y则原方程组为， 即 ①×2﹣②×3得，﹣4n+9n＝﹣75 解得：n＝﹣15， ①×3﹣②×2得，9m﹣4m＝﹣50， 解得：m＝﹣10 ∴ ③+④得，2x＝﹣25， 解得： ③﹣④得，2y＝5， 解得：， ∴原方程组的解为． 9．（2024春•鹤壁月考）（1）写出一个解为的二元一次方程组； （2）以（1）中所写的二元一次方程组，编一道生活中的实际问题，并设出未知数． 【分析】（1）由7和4列出两个算式，即可确定出所求的方程组； （2）以小明去文具店买钢笔和笔记本为例． 【解答】解：（1）根据题意得：； （2）示例：小明去文具店买钢笔和笔记本，买2支钢笔和1个笔记本需要18元，买1支钢笔和2个笔记本需要15元，一支钢笔和一个笔记本各是多少元？ 设一支钢笔x元，一个笔记本y元． 10．（2024春•衡阳月考）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得求原方程组的正确解． 【分析】首先将甲的解代入②，乙的解代入①得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，然后应用代入消元法，求出原方程组的正确解是多少即可． 【解答】解：根据题意，可得， 解得， ∴， 由①，可得：x＝5y﹣15③， ③代入②，可得：4（5y﹣15）＝10y﹣2， 解得y＝5.8， 把y＝5.8代入③， 解得x＝14， ∴原方程组的正确解是． 11．（2024春•尧都区期中）阅读下列材料，完成任务： 解方程组，某同学提供了如下解法： 解：设a﹣2＝x，b+1＝y，则原方程可化为，解得， ∴，解得 ∴原方程组的解为 任务： （1）由上述解法可以看出，对于一些较复杂的解方程组问题，若把其中某些部分看成一个 　整体　，用字母代替，则能使复杂的问题简单化，因而把这种解方程组的方法称为换元法． （2）已知关于x，y的方程组的解为，则关于a，b的方程组的解为 　　． （3）利用上述方法解方程组：． 【分析】（1）根据题意解答即可； （2）仿照题目提供的思路，利用换元法进行计算即可解答； （3）仿照题目提供的思路，利用换元法进行计算即可解答． 【解答】解：（1）若把其中某些部分看成一个整体，用字母代替，则能使复杂的问题简单化，因而把这种解方程组的方法称为换元法． 故答案为：整体； （2）∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于a，b的方程组的解为， ∴解得； 故答案为：； （3）设3a﹣1＝x，b﹣2＝y，则原方程可化为， 解得， ∴， 解得． 12．（2024春•通州区校级月考）规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c有无数组解，每组解记为P（x，y），称点P（x，y）为“坐标点”，将这些“坐标点”连接新得到一条直线，称这条直线是“坐标点”的“关联线”，回答下列问题： （1）已知P1（﹣1，3），P2（4，﹣1），P3（1，2），则是“关联线”x+y＝2的“坐标点”的 　P1（﹣1，3）　． （2）若A（1，1），B（4，﹣1）是“关联线”（a+1）x+by＝5的“坐标点”，求a，b的值． （3）已知m，n是实数，且，若是“关联线”5x﹣2y＝s的一个“坐标点”，用等式表示s与m之间的关系，并求出s的最小值． 【分析】（1）判断P1（﹣1，3），P2（4，﹣1），P3（1，2）的坐标是否满足x+y＝2即可； （2）根据“坐标点”和“关联线”的定义，得出二元一次方程组求解即可； （3）根据“坐标点”和“关联线”的定义，得出关于m、n、s的两个二元一次方程，再消掉n即可，再根据算术平方根的定义得出s的取值范围即可． 【解答】解：（1）由于点P1（﹣1，3）是二元一次方程x+y＝2的解，而P2（4，﹣1），P3（1，2）不是二元一次方程x+y＝2的解， 所以“关联线”x+y＝2的“坐标点”的是点P1（﹣1，3）， 故答案为：P1（﹣1，3）； （2）因为A（1，1），B（4，﹣1）是“关联线”（a+1）x+by＝5的“坐标点”， 所以， 解得， 答：a＝1，b＝3； （3）∵ 是“关联线”5x﹣2y＝s的一个“坐标点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即s﹣3≥0， ∴s≥3， 因此s的最小值为3， 答：s与m之间的关系为，s的最小值是3． 13．（2024春•郸城县月考）甲、乙两同学同时解方程组，甲看错了方程①中的m，得到的方程组的解为，乙看错了方程②中的﹣5，得到的方程组的解为求： （1）m，n的值； （2）原方程组的解． 【分析】（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值； （2）把m与n的值代入方程组求解即可得到答案． 【解答】解：（1）将代入方程②， 把代入方程①得， 解得； （2）把代入方程组中得： 原方程组为， ①×7+②×3得：46x＝69， 即， 把代入①得：y＝﹣2， ∴原方程组的解为：． 14．（2024春•崇义县期中）阅读下列材料： 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”．例如：点P（1，4）的3级关联点“为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）． （1）已知点A（2，6）的“级关联点”是点B，求点B的坐标； （2）已知点P（2，﹣1）的“a级关联点”为（9，b），求a+b的值； （3）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标． 【分析】（1）根据“a级关联点”的定义计算即可； （2）根据“a级关联点”的定义列式求出a，b，然后计算a+b的值即可； （3）根据“a级关联点”的定义列式表示出点N的坐标，然后分点N位于x轴上和点N位于y轴上两种情况，分别求出m的值，然后可得对应的点N的坐标． 【解答】解：（1）点A（2，6）的“级关联点”为，即B（7，5）； （2）∵点P（2，﹣1）的“a级关联点”为（9，b）， ∴2a﹣1＝9，2﹣a＝b， ∴a＝5，b＝﹣3， ∴a+b＝5﹣3＝2； （3）∵点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N的横坐标为﹣4（m﹣1）+2m，纵坐标为m﹣1﹣4×2m， ∴N（﹣2m+4，﹣7m﹣1）， 当点N位于x轴上时，可得﹣7m﹣1＝0， 解得：， ∴， ∴； 当点N位于y轴上时，可得﹣2m+4＝0， 解得：m＝2， ∴﹣7m﹣1＝﹣15， ∴N（0，﹣15）， 综上，点N的坐标为或（0，﹣15）． 15．（2024春•郸城县月考）现定义某种运算“★”，对给定的两个有理数a、b有a★b＝2a﹣b． （1）求（﹣2）★（﹣4）的值； （2）若，求x的值； （3）若x★3y＝﹣4，2x★y＝2，则x★y＝　0　． 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）根据a★b＝2a﹣b，设，得到关于m的一元一次方程，解之，根据绝对值的定义，得到关于x的一元一次方程，解之即可； （3）根据x★3y＝﹣4，2x★y＝2，得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组，再求出x★y值即可． 【解答】解：（1）由题意，得：（﹣2）★（﹣4）＝2×（﹣2）﹣（﹣4）＝0； （2）设，则m☆2＝4， 根据题意得：2m﹣2＝4， 解得：m＝3， 则， 即或， 解得：x＝﹣5或7． （3）若x★3y＝﹣4，2x★y＝2，则2x﹣3y＝﹣4，4x﹣y＝2． 解方程组，得， ∴x★y＝1★2＝1×2﹣2＝0， 故答案为：0． 16．（2024春•余杭区月考）已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解互为相反数，求k的值； （2）若方程组的解满足方程3x+y＝10，求k的值． 【分析】（1）解方程组得出5y＝k+4，5x＝7k+8，根据方程组的解互为相反数，得出x+y＝0，即5x+5y＝7k+8+k+4＝0，解关于k的方程即可； （2）解方程组得，然后代入原方程即可求出k的值． 【解答】解：（1） ①﹣②，得5y＝k+4， ①×2+②×3，得5x＝7k+8． ∵方程组的解互为相反数， ∴x+y＝0， 即5x+5y＝7k+8+k+4＝0， ∴． （2） ②×2﹣①，得x﹣7y＝﹣4， ∵3x+y＝10， 解得， 代入②得：3﹣2×1＝k， ∴k＝1． 17．（2024春•仁寿县校级期中）已知等式y＝ax2+bx+c，且当x＝1时y＝0；，当x＝2时y＝3；当x＝﹣3时y＝28； （1）求a、b、c的值； （2）当x＝﹣2时，y的值又是多少？ 【分析】（1）②﹣①，得3a+b＝3④，③﹣②，得a﹣b＝5⑤，然后求出a、b的值，再代入①即可求出c的值； （2）把a、b、c的值代入等式y＝ax2+bx+c，得到y＝2x2﹣3x+1，再将x的值代入计算即可． 【解答】解：（1）由题意得， ， ②﹣①，得3a+b＝3④， ③﹣②，得5a﹣5b＝25，即a﹣b＝5⑤， ④与⑤组成方程组得， 解得， 把代入①，得c＝1， ∴a、b、c的值分别是2，﹣3，1； （2）由（1）知a、b、c的值分别是2，﹣3，1， ∴y＝2x2﹣3x+1， 当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1＝2×4+6+1＝15． 18．（2024•梅州模拟）某同学解一个关于x的一元一次不等式组，已知不等式①的解集如图所示． （1）求m的值； （2）解此不等式组，并在数轴上表示出解集． 【分析】（1）先解不等式①可得：x≤1+m，然后根据题意可得：不等式①的解集为：x≤3，从而可得1+m＝3，最后进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）解不等式①得：x≤1+m， 由题意得：不等式①的解集为：x≤3， ∴1+m＝3， 解得：m＝2； （2）， 解不等式①得：x≤3， 解不等式①得：x＞﹣3， ∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤3， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 19．（2024春•灞桥区校级月考）解不等式： （1）﹣x﹣1≥3x﹣5； （2）． 【分析】（1）移项，合并，系数化1，求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求解即可． 【解答】解：（1）﹣x﹣1≥3x﹣5， ﹣x﹣3x≥1﹣5， ﹣4x≥﹣4， ∴x≤1； （2）， 6x﹣2（2x+1）＞6﹣3x， 6x﹣4x﹣2＞6﹣3x， 5x＞8， ∴． 20．（2024春•安溪县期中）对于两个不等式，若有n个相同的整数使这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“n级关联”． （1）不等式x﹣1＜1和x+1≥0是“　3　级关联”，请说明理由； （2）若不等式2x﹣a＞0和是“2级关联”，求a的取值范围． 【分析】（1）分别解不等式x﹣1＜1和x+1≥0，根据新定义判断即可； （2）解不等式2x﹣a＞0和，分别得x＞，x＜4，根据“2级关联”的定义即可得出答案． 【解答】解：（1）∵解不等式x﹣1＜1，得x＜2， 解不等式x+1≥0，得x≥﹣1， ∵整数﹣1，0，1使这两个不等式同时成立， ∴x﹣1＜1和x+1≥0是“3级关联”； 故答案为：3； （2）解不等式2x﹣a＞0和，分别得x＞，x＜4， ∵不等式2x﹣a＞0和是“2级关联”， ∴1≤＜2， ∴2≤a＜4． 21．（2024春•安溪县期中）已知关于x，y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若x﹣y＝1，则k＝　﹣2　； （2）若x+y＞5，求k的取值范围． 【分析】（1）利用整体的思想可得：3x﹣3y＝2k+7，从而可得x﹣y＝，进而可得＝1，然后进行计算即可解答； （2）利用整体的思想可得：x+y＝2k+3，从而可得2k+3＞5，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， ①+②得：3x﹣3y＝2k+7， ∴x﹣y＝， ∵x﹣y＝1， ∴＝1， 解得：k＝﹣2， 故答案为：﹣2； （2）， ①﹣②得：x+y＝2k+3， ∵x+y＞5， ∴2k+3＞5， 解得：k＞1． 22．（2024春•安溪县期中）解不等式：． 解：　去分母　，得2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，① 去括号，得4x﹣2＞9x﹣6﹣6，② 移项，得4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，③ 合并同类项，得﹣5x＞﹣10，④ 系数化为1，得 　x＜2　．⑤ 阅读以上解题过程并填空： （1）请把第⑤步的解题过程补充完整：　x＜2　； （2）以上解题过程中，第①步的步骤是 　不等式的基本性质2　，第②步的依据是 　去括号法则　． 【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤求解即可； （2）根据不等式的基本性质和去括号法则求解即可． 【解答】解：去分母，得2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，① 去括号，得4x﹣2＞9x﹣6﹣6，② 移项，得4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，③ 合并同类项，得﹣5x＞﹣10，④ 系数化为1，得x＜2．⑤ 故答案为：去分母，x＜2； （1）第⑤步的解题过程补充完整为x＜2， 故答案为：x＜2； （2）以上解题过程中，第①步的步骤是不等式的基本性质2，第②步的依据是去括号法则， 故答案为：不等式的基本性质2，去括号法则． 23．（2024•广陵区二模）阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足x＞y＞0，证明：x2＞y2． 证明：因为x＞y且x，y均为正， 所以x2＞　xy　，xy＞　y2　.（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以x2＞y2（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整． （2）尝试证明：若a＜b，则． 【分析】（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题． 【解答】证明：（1）因为x＞y且x，y均为正， 所以x2＞xy，xy＞y2．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以x2＞y2（不等式的传递性）， 故答案为：xy，y2； （2）∵a＜b， ∴a+b＜b+b， ∴． 24．（2024•武汉模拟）求满足不等式组的正整数解． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：由不等式①得 x≤3， 由不等式②得 x＞﹣2， 所以﹣2＜x≤3， 所以正整数解为1，2，3． 25．（2023秋•南浔区期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得，x≥2， 解不等式②得，x＜4， ∴不等式组的解集为2≤x＜4， 不等式组的解集在数轴上表示为： ． 26．（2024春•衡阳月考）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． （1）方程组的解x与y（项“具有”或“不具有”）“友好关系”； （2）若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； （3）未知数为x，y的方程组，其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“友好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． （4）【拓展】若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．例如：方程的解为，而，若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为“奇异方程”，请直接写出关于y的方程的解：． 【分析】（1）加法消元法求得，y＝3，x＝2，然后根据定义求解作答即可； （2）加减消元法求得，x＝1+m，y＝2m﹣4，由方程组的解x与y具有“友好关系”，可得|x﹣y|＝|1+m﹣2m+4|＝1，计算求解即可； （3）加减消元法求得，，由a与x，y都是正整数，可得当a＝1时，；|x﹣y|＝|3﹣4|＝1，此时方程组的解具有“友好关系”；当a＝2时，，|x﹣y|＝|1﹣3|＝2，此时方程组的解不具有“友好关系”；当a＝4时，（舍去）；当a＝10时，（舍去）；然后作答即可； （4）由题意知，关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为“奇异方程”，则x＝b﹣a，将x＝b﹣a代入ax+b＝0（a≠0）得，a（b﹣a）+b＝0，即a2﹣ab＝b，由，可得，然后计算求解即可． 【解答】解：（1）， ①﹣②得，3y＝9， 解得，y＝3， 将y＝3代入②得，x﹣3＝﹣1， 解得，x＝2， ∴|x﹣y|＝|2﹣3|＝1， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2）， ①+②得，6x＝6+6m， 解得，x＝1+m， 将x＝1+m代入①得，2（1+m）﹣y＝6， 解得，y＝2m﹣4， ∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴|x﹣y|＝|1+m﹣2m+4|＝1， 解得，m＝6或m＝4， ∴m的值为6或4； （3）， ①+②得，ay+2y＝12， 解得，， ∵a与x，y都是正整数， ∴当a＝1时，；|x﹣y|＝|3﹣4|＝1，此时方程组的解具有“友好关系”； 当a＝2时，，|x﹣y|＝|1﹣3|＝2，此时方程组的解不具有“友好关系”； 当a＝4时，（舍去）； 当a＝10时，（舍去）； 综上，a＝1时，，此时方程组的解具有“友好关系”； （4）∵关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为“奇异方程”， ∴x＝b﹣a， 将x＝b﹣a代入ax+b＝0（a≠0）得，a（b﹣a）+b＝0，即a2﹣ab＝b， ∵， ∴， ， 解得y＝4， ∴关于y的方程的解为y＝4． 27．（2024春•南岗区校级月考）对于任意实数a、b约定关于⊗的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如：（﹣3）⊗2＝2×（﹣3）+2＝﹣4． （1）若x满足（x+2）⊗3＞7，求x的取值范围； （2）若x⊗（﹣y）＝5，且2y⊗x＝7，求x+y的值． 【分析】（1）根据新运算，得到（x+2）⊗3＝2x+7，解不等式2x+7＞7，即可求解， （2）根据新运算，得到x⊗（﹣y）＝2x﹣y，2y⊗x＝4y+x，解二元一次方程组，代入x+y，即可求解． 【解答】解：（1）（x+2）⊗3＝2×（x+2）+3＝2x+7， ∵（x+2）⊗3＞7， ∴2x+7＞7， ∴x＞0； （2）x⊗（﹣y）＝2x+（﹣y）＝2x﹣y，2y⊗x＝2•2y+x＝4y+x， ∵x⊗（﹣y）＝5，2y⊗x＝7， ∴， 解得：， ∴x+y＝4． 28．（2024春•余杭区月考）已知用[a]表示不大于a的最大整数，如[3.2]＝3，[﹣4.2]＝﹣5． （1）求[3.2]+[﹣1.8]的值． （2）若x，y满足，求[x]+[y]的值． （3）已知，． ①写出2m﹣n的所有可能值； ②若m+n＝14，请直接写出一对符合条件的x，y的解：． 【分析】（1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义解方程组求出[x]＝4，[y]＝7，据此可得答案； （3）①先求出，设x的小数部分为t，当0＜t≤0.5时，，当0.5＜t＜1时，，据此求解即可； ②先推出[x]一定要是偶数，即x的整数部分一定要是偶数；设x的小数部分为t，由（3）①得，当0＜t≤0.5时，2m﹣n＝2，联立，解得，不符合题意；当0.5＜t＜1时，2m﹣n＝1，联立，解得符合题意；据此求出x的整数部分一定要是偶数，且小数部分大于0.5且小于1，由此写出符合题意的一组值即可． 【解答】解（1）[3.2]+[﹣1.8]＝3+（﹣2）＝3﹣2＝1； （2）， ①+②得3[x]＝12，解得[x]＝4， 把[x]＝4代入①的：4﹣[y]＝﹣3，解得[y]＝7， ∴[x]+[y]＝4+7＝11； （3）①∵，， ∴2m﹣n＝ ＝， 设x的小数部分为t， 当0＜t≤0.5时，， ∴； 当0.5＜t＜1时，， ∴； 综上所述，2m﹣n＝1或2m﹣n＝2； ②∵，， ∴， ∵m+n＝14， ∴， ∵都是整数， ∴也是整数， ∴[x]一定要是偶数，即x的整数部分一定要是偶数； 设x的小数部分为t， 由（3）①得，当0＜t≤0.5时，2m﹣n＝2， 联立，解得，不符合题意； 当0.5＜t＜1时，2m﹣n＝1， 联立，解得符合题意； ∴x的整数部分一定要是偶数，且小数部分大于0.5且小于1， ∴符合题意的x、y的值可以为x＝2.6，y＝4（4≤y＜5）． 29．（2024春•张家港市校级月考）解下列方程组和不等式组： （1）； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【分析】（1）先化为整式，然后利用加减消元法即可得到结果； （2）先求出不等式组的解集，然后可得到整数解． 【解答】解：（1）， 将①式通分可得：3x﹣2y﹣2＝6， 移项可得：3x﹣2y＝8③， 将②+③得：6x＝18， 解得：x＝3， 将x＝3代入②可得：9+2y＝10， 解得：， ∴方程的解为：； （2）， 化简①可得：4x﹣4≤7x+2， 移项可得：﹣3x≤6， 解得：x≥﹣2， 化简②可得：3x+6＜x+8， 移项可得：2x＜2， 解得：x＜1， ∴该不等式组的解集为：﹣2≤x＜1， 其中整数解有：﹣2，﹣1，0． 30．（2024春•张家港市校级月考）若关于x，y的二元一次方程组． （1）若﹣2＜x+y≤1，求a的取值范围； （2）若x，y满足方程x﹣y＝﹣4，求a的值． 【分析】（1）两式相加，得到3x+3y＝3a﹣3，从而得到x+y＝a﹣1，即﹣2＜a﹣1≤1，即可求解； （2）两式相减，可得x﹣y＝3a+1，得到3a+1＝﹣4，即可求解． 【解答】解：（1）， ①+②得：3x+3y＝3a﹣3， 即x+y＝a﹣1， ∵﹣2＜x+y≤1， ∴﹣2＜a﹣1≤1， 解得：﹣1＜a≤2； （2）， ①﹣②得：x﹣y＝3a+1， ∵x﹣y＝﹣4， ∴3a+1＝﹣4， 解得：． 31．（2024春•南岗区校级期中）计算题： （1）解方程组； （2）解一元一次不等式﹣2＞并把解集在数轴上表示出来． 【分析】（1）利用加减消元法求解可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：（1）， ①×3+②，得：10x＝﹣22， 解得x＝﹣， 将x＝﹣代入②，得：﹣+9y＝﹣7， 解得y＝， ∴方程组的解为； （2）2（5x+1）﹣24＞3（x﹣5）， 10x+2﹣24＞3x﹣15， 10x﹣3x＞﹣15﹣2+24， 7x＞7， x＞1， 将解集表示在数轴上如下： 32．（2024春•五华县期中）（1）【情境再现】某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下． 已知关于x的方程3x+1＝2k的解是负数，求k的取值范围． （2）【拓展】若关于x、y的方程组的解满足x+2≥6，求m的最小整数值． 【分析】（1）先解一元一次方程，可得x＝，然后题意可得＜0，进行计算即可解答； （2）先利用加减消元法解方程组，求出x的值，然后根据题意可得x+2≥6，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）3x+1＝2k， 3x＝2k﹣1， 解得x＝， ∵关于x的方程3x+1＝2k的解是负数， ∴＜0， 解得：k＜， 即k的取值范围为k＜； （2）， ①×2得： 4x﹣12y＝2m③， ②×3得： 9x﹣12y＝9m+6④， ④﹣③得： 5x＝7m+6， 解得：x＝， ∵x+2≥6， ∴+2≥6， 解得：m≥2， ∴m的最小整数值是2． 33．（2024春•原阳县期中）已知关于y的方程4y+2m+1＝2y+5的解是负数． （1）求m的取值范围； （2）当m取最小整数时，解关于x的不等式：x﹣1 【分析】（1）首先要解这个关于x的方程，然后根据解是负数，就可以得到一个关于m的不等式，最后求出m的范围． （2）根据题意得出m＝3，代入后解不等式即可求得x的解集． 【解答】解：（1）4y+2m+1＝2y+5 解得y＝2﹣m， 根据题意得，2﹣m＜0， ∴m＞2， （2）∵m是最小整数 ∴m＝3， 当m＝3时，则x﹣1 解得：x＜﹣3． 34．（2024春•太湖县期中）计算： （1）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足3x+2y≤0，求m的取值范围； （2）若关于x的不等式的最小整数解为2，求a的取值范围． 【分析】（1）将m看作已知数求出方程组的解，即可得到关于m的不等式，解不等式求出m的范围即可． （2）先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于a的不等式组，解之即可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）， ①×2﹣②，得3x＝﹣2m， 解得x＝﹣m． 将x＝﹣m代入②，得﹣m+2y＝2， 解得y＝1+m． ∵3x+2y≤0， ∴﹣2m+2+m≤0， 解得m≥． 故m的取值范围是m≥． （2）解不等式，得：x＞2﹣3a， ∵不等式有最小整数解2， ∴1≤2﹣3a＜2， 解得：0＜a≤， 故a的取值范围是0＜a≤． 35．（2024•息烽县一模）为了解学生每天做家务劳动的时间，某校实践小组随机调查若干名学生，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图． 部分学生平均每天做家务劳动时间的人数统计 组别 时间/h 频数 A t≤0.5 14 B 0.5＜t≤1.5 a C 1.5＜t≤2.5 60 D t＞2.5 26 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）表格中a的值为 　100　；C组所在扇形的圆心角的度数为 　108°　； （2）已知该校有2000名学生，若每周家务劳动时间1.5小时以上（不含1.5小时）可评为“劳动之星”，请估计全校可评为“劳动之星”的人数； （3）为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，结合以上统计数据，请你面向全体同学写出一条建议． 【分析】（1）由C组频数及百分比求出样本容量，结合频数分布表可得a的值，再由360°乘以C组百分比即可求解； （2）用总人数乘以样本中C、D组百分比之和即可得出答案； （3）结合以上统计数据，面向全体同学写出一条建议即可（答案不唯一）． 【解答】解：（1）本次调查的样本容量为：60÷30%＝200， 则a＝200×50%＝100， C组所在扇形的圆心角的度数为360°×30%＝108°， 故答案为：100，108°； （2）2000×（30%+×100%）＝860（人）， 答：估计全校可评为“劳动之星”的人数为860人； （3）大部分学生每天做家务劳动的时间较少，建议同学们增加做家务劳动的时间，积极参加劳动实践，增强综合实践能力（答案不唯一）． 36．（2024•云梦县模拟）2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，进行了抽样调查，并作出了如下统计． 【收集数据】从九年级随机抽取部分学生“参加家务劳动的时间”（单位：分钟），并对这些数据进行统计． 【整理数据】将劳动时间x分为如下四组（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，单位：分钟）进行整理，绘制了如下不完整的统计图． （1）本次抽取的学生人数为 　50　人，扇形统计图中m的值为 　30　； （2）补全条形统计图； （3）已知该校九年级有400名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？ 【分析】（1）先根据D组人数及其所占百分比可得总人数，用B组人数除以总人数可求得m的值； （2）根据四组人数之和等于总人数求出C组人数可补全图形； （3）总人数乘以80分钟（含80分钟）以上的学生人数所占比例即可得出答案． 【解答】解：（1）本次抽取的学生人数为5÷10%＝50（人）， ∴m%＝15÷50×100%＝30%， ∴m＝30， 故答案为：50，30； （2）C组的人数为：50﹣10﹣15﹣5＝20（人）， 补全条形统计图如下： （3）400×＝200（人）， 答：估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生约有200人； 37．（2024•松北区二模）某校九年级一班开展以“我最喜爱的体育项目”为主题的调查活动，调查围绕“篮球、排球、羽毛球和乒乓球，你最喜欢哪一项？（必选且只能选一项）”的问题，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中喜欢篮球运动的学生人数占所调查人数的40%．根据图中提供的信息，请解答以下问题： （1）九年级一班共有多少名学生？ （2）计算喜欢乒乓球项目的人数；并补全条形统计图． （3）若全校有3000人，请你估计全校喜欢排球项目的人数． 【分析】（1）由“篮球”人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各项目人数之和等于总人数求出“乒乓球”人数即可补全图形； （3）总人数乘以样本中喜欢排球项目的人数所占比例即可． 【解答】解（1）20÷40%＝50（人）， 答：九年级一班共有50名学生． （2）50﹣20﹣12﹣8＝10（人）， 补全条形统计图如下： （3）， 答：估计全校喜欢排球项目的人数约有720人． 38．（2024•淮安区二模）为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下： 请根据以上信息解答下列问题： （1）该校对 　200　名学生进行了抽样调查；图2中科幻部分对应的圆心角为 　108　°； （2）请将图1补充完整； （3）已知该校共有学生2300人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢漫画的人数约为多少人？ 【分析】（1）从条形统计图可知喜欢小说型的由40人，从扇形统计图可知喜欢小说型图书占20%，可求出调查总人数；用总人数分别减去其它三项人数即可得出“喜欢科幻”的学生人数，进而得出扇形统计图中“喜欢科幻”的学生所占百分比；用360°乘所占百分比即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可补全两个统计图； （3）利用样本估计总体，用样本中喜欢漫画所占的百分比估计2300人中喜欢漫画的百分比，进而求出喜欢漫画的人数． 【解答】解：（1）调查的人数为：40÷20%＝200（名）， 喜欢科幻图书的人数：200﹣40﹣80﹣20＝60（名）， 喜欢科幻图书的人数所占的百分比：60÷200＝30%， 扇形统计图中小说所对应的圆心角度数：360°×30%＝108°， 故答案为：200；108； （2）补全统计图如图所示： （3）2300×40%＝920（人）， 答：估计全校学生中最喜欢漫画人数约为920人． 39．（2024春•电白区期中）光明中学根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）m＝　25%　，n＝　15%　； （2）请根据以上信息补全条形统计图； （3）该校共有2400名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数． 【分析】（1）先计算出总人数，根据条形统计图可得m、n的值； （2）先求出D等级人数，再补全统计图即可； （3）用总人数乘以最喜欢“思想方法”的学生人数所占的百分比即可． 【解答】解：（1）被调查的总人数为12÷20%＝60（人）， ∴m＝×100%＝25%，n＝×100%＝15%， 故答案为：25%，15%； （2）D类别人数为60×30%＝18（人）， 补全图形如下： （3）根据题意得：2400×＝240（名）， 答：估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数有240名． 40．（2024•庐阳区二模）某校为了落实“双减”工作，丰富学生的课外生活，开展“雅言颂经典，真情咏中华”经典诵读活动．为了了解学生的参与度，从学校随机抽取了一部分学生进行调查，m表示每天诵读时长，把调查学生的诵读时长分为5个等级，每个等级的范围如表所示，并绘制了条形统计图和扇形统计图． 等级 时长范围（分钟） A （5≤m＜10） B （10≤m＜15） C （15≤m＜20） D （20≤m＜25） E （25≤m≤30） 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求出扇形统计图中等级E的圆心角度数； （3）学校为了鼓励学生积极参加该项活动，准备给诵读时长不低于20分钟的同学给予“诵读之星”称号，该校共有2000名学生，请问获得“诵读之星”称号的学生约有多少人？ 【分析】（1）由等级D人数和所占百分比，求出样本容量，再乘以等级C所占百分比，即可得到等级C人数，补全条形统计图即可； （2）将等级E所占比乘以360°即可求出扇形统计图中等级E的圆心角度数； （3）将诵读时长不低于20分钟的同学所占比乘以2000，即可估计出获得“诵读之星”称号的学生约有多少人． 【解答】解：（1）∵样本容量为：70÷35%＝200（人）， ∴等级C的人数为：200×20%＝40（人）， 补全条形统计图如下： （2）等级E的人数为：200﹣（10+20+40+70）＝60（人）， ∵×360°＝108°， ∴扇形统计图中等级E的圆心角度数为108°； （3）∵×2000＝1300（人）， 答：估计获得“诵读之星”称号的学生约有1300人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$