专题04 二元一次方程组【4个考点知识梳理+题型解题方法+专题过关】-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点题型归纳+题型专训（人教版）

专题04 二元一次方程组 【4个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】 考点一：二元一次方程 二元一次方程的定义： 方程中含有2个未知数，且含有未知数的项次数为1的整式方程是二元一次方程。 注意：①方程中含有两个未知数。 ②含有未知数的项次数为1，不是未知数的次数为1。 ③必须是整式方程。 二元一次方程的解： 使二元一次方程左右两边成立的两个未知数的值叫二元一次方程的一组解。 注意：当以二元一次方程其中一个未知数的值发生改变，总能找到另一个未知数的值使方程左右两边成立，所以二元一次方程有无数组解。 解二元一次方程：由于二元一次方程有无数组解，求二元一次方程的解时，多采用给出其中一个未知数的值求另一个未知数的值。 【考试题型1】判断方程为二元一次方程 【解题方法】根据定义判断是否含有两个未知数，且含有未知数的项的次数是否为1。（未知数之间只能进行加减运算，不能进行乘除运算） 例题讲解：1．（2024春•长寿区校级期中）下列方程中，是二元一次方程的为（　　） A．x＝y B．x+1＝2 C． D．xy﹣1＝2 【考试题型2】根据二元一次方程的定义求值 【解题方法】利用未知数的系数不为0，含有未知数的项的系数等于1建立方程然后求解。 例题讲解：2．（2024春•东莞市期中）若3xm﹣1+2ym﹣n＝8是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值为（　　） A．m＝1，n＝2 B．m＝2，n＝1 C．m＝2，n＝2 D．m＝3，n＝1 【考试题型3】判断二元一次方程的解 【解题方法】将已告诉的未知数的值带入二元一次方程中，计算方程的左右两边是否相等，相等则是方程的解，不等则不是。 例题讲解：3．（2024春•海曙区期中）已知某个二元一次方程的一个解是，则这个方程可能是（　　） A．2x﹣y＝0 B．3x﹣2y＝0 C．2x+y＝5 D．x＝2y 【考试题型4】根据二元一次方程的解求字母的值 【解题方法】将告诉的已知解带入二元一次方程中得到一个关于字母的新方程，然后解方程即可 。 例题讲解：4．（2024春•崇川区期中）已知是二元一次方程x﹣5y﹣3＝0的解，则a﹣5b的值等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 考点二：二元一次方程组 二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成方程组。方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1。 注意：方程组满足的三个条件： ①方程组中的方程都是整式方程。 ②方程组中一共含有两个未知数。 ③方程组的方程都是一次方程。 常见的二元一次方程组就是由两个二元一次方程构成的方程组。 【考试题型1】判断二元一次方程组 【解题方法】根据定义满足方程组中两个未知数，含有未知数的项的次数为1进行判断。 例题讲解：5．（2024春•朝阳区校级期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【考试题型2】根据二元一次方程组的定义求值 【解题方法】利用含有未知数的项的次数为1，含有未知数的项的系数不为0建立方程求解。 例题讲解：6．（2023春•冠县期中）已知关于x，y的方程组是二元一次方程组，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2或﹣2 C．﹣3 D．3或﹣3 考点三：二元一次方程组的解与解二元一次方程组 二元一次方程组的解： 二元一次方程组两个方程的公共解即为二元一次方程组的解。在解决与二元一次方程组的解有关的题目时，把告诉的已知解带入方程组中建立新的方程求解。 解二元一次方程组： 方法①：带入消元法：把方程组其中一个方程的其中一个未知数用另一个未知数表示出来带入另一个方程的进行消元处理，得到一元一次方程来解二元一次方程组的方法。 一般使用于方程组中有一个未知数的系数为1或﹣1时。把系数为1或﹣1的的未知数用两一个未知数表示。 方法②：加减消元法：把方程组某一个未知数的系数化为相同或互为相反数，然后对两个方程进行加减从而达到消元处理，得到一元一次方程来求解二元一次方程组的方法。 一般使用于方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成倍数时。 【考试题型1】判断方程组的解 【解题方法】把告诉的已知解带入方程组中计算是否方程组的方程都成立。 例题讲解：7．（2023秋•驿城区期末）下列方程组中，解为的方程组是（　　） A． B． C． D． 【考试题型2】解二元一次方程组 【解题方法】根据解二元一次方程组的两种方法选择合适方法求解，方法的选择判断一定是用未知数的系数进行判断，所以必须先观察方程中未知数的系数。 例题讲解：8．（2024春•潍坊期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（　　） A．①×2+② B．①×（﹣2）﹣② C．①×3+② D．①×（﹣3）+② 9．（2024春•苍南县期中）对于方程组，把②代入①得（　　） A．2x﹣4x﹣1＝5 B．2x﹣4x+1＝5 C．2x﹣4x+2＝5 D．2x﹣4x﹣2＝5 10．（2024春•长寿区校级期中）解下列二元一次方程组： （1）； （2）． 【考试题型3】根据二元一次方程组的解求式子 【解题方法】将告诉的已知解带入方程组中，解出未知数的值，再把未知数的值带入式子中求值。有些式子可直接把方程组的两个式子进行加减乘除运算得到所求式子。 例题讲解：11．（2024春•武昌区校级期中）关于x，y的二元一次方程组的解是，则a+b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【考试题型4】利用未知数的解得关系求系数的值 【解题方法】通常题目中两个未知数的关系式满足一个式子，利用解二元一次方程组的方法求出未知数的关于其他字母的值，带入未知数满足的式子中求出位置的字母。 例题讲解：12．（2024春•越秀区校级月考）已知关于x、y的方程组的解满足x﹣y＝1，则n＝（　　） A． B． C． D． 13．（2024春•杭州月考）方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．0.5 D．﹣0.5 【考试题型5】同解方程组 【解题方法】利用题目中完全确定的两个方程建立新的方程组求出未知数的值，将未知数的值带入含有未知系数的两个方程里面建立新的方程组求解。 例题讲解：14．（2023秋•榕城区期末）已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（　　） A． B． C． D． 【考试题型6】错解方程组 【解题方法】利用题目中没有发生错误的式子分别求出未知系数的值，在进行其他求解。 例题讲解：15．（2023秋•邹平市期末）在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 考点四：二元一次方程（组）的实际应用 基本步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程组。 ④解方程组——按照解二元一次方程组的步骤解方程。 ⑤检验作答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率。 注意实际工作情况与计划工作情况之间的关系。 ③商品销售问题： 利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% 常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程。 ②同一个量的两种不同表达式相等。 【考试题型1】由实际问题抽象二元一次方程组 【解题方法】认真审题，找出题目中表示等量关系的话语建立方程。 例题讲解：16．（2024•甘井子区校级一模）在玩一类卡牌游戏时，作为游戏中“法官”的小胖将卡片平均分给其他参与游戏的同学（小胖作为法官不持有卡牌），每轮每人分发一张卡牌．在分发了2轮之后，小胖发现，手中原来的x张卡牌现在仅剩3张，而参与游戏的总人数为y人，则可列方程为（　　） A．2y+3＝x B．2（y﹣1）+3＝x C．x2﹣2y＝9 D．9x+（y﹣1）x＝2 17．（2024•成都模拟）有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得x钱，下面两个人各得y钱，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 18．（2024春•东莞市期中）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，要使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，设分配生产螺栓x人，生产螺帽的人数为y人，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【考试题型2】方程（组）的实际应用 【解题方法】根据基本步骤一步一步解决。若是数字问题，则百位的数字乘100加上十位上的数字乘10加上各位上的数字表示这个数；若是面积问题则利用图形的面积公式。其他的问题则考虑问题的基本量之间的基本等量关系。注意最后未知数的解一定要满足实际意义。 例题讲解：19．（2024春•万州区校级期中）在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．48 B．72 C．36 D．24 20．（2024春•朝阳区校级期中）某班部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．由班长统计后去商店购买，班长和售货员的对话信息如图所示： （1）根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，求足球和跳绳的单价； （2）由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个（a＞15）和跳绳b根，且恰好花费1800元，已知足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ 【专题过关】 一．二元一次方程的定义（共4小题） 1．（2024春•岳阳县期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．x﹣5＝6 B．3xy+4＝﹣8 C．4x+2＝3x+4 D．x﹣y＝4 2．（2024春•莘县期中）下列方程：①2x﹣3y＝5；②；③3x﹣y+2z＝0；④2x+4y；⑤x＝y．是二元一次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•越秀区校级期中）若x|t﹣2|+（t﹣3）y＝1是关于x，y的二元一次方程，则t的值为（　　） A．1 B．3或1 C．3 D．3或0 4．（2024春•东莞市期中）若3xm﹣1+2ym﹣n＝8是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值为（　　） A．m＝1，n＝2 B．m＝2，n＝1 C．m＝2，n＝2 D．m＝3，n＝1 二．二元一次方程的解（共5小题） 5．（2024春•尧都区期中）对于二元一次方程3x+2y＝10，若x＝2，则y的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（2024春•台江区期中）下列四组数值是二元一次方程2x﹣y＝5的解的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024春•商水县期中）若是关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝3的解，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣5 8．（2023秋•东河区期末）若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（　　） A．3 B．6 C．﹣1 D．﹣2 9．（2024春•冠县期中）二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有（　　）组． A．3 B．4 C．5 D．6 三．二元一次方程组的定义（共2小题） 10．（2024春•冠县期中）下列方程组，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 11．（2024春•宁乡市期中）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 四．二元一次方程组的解（共8小题） 12．（2024春•南岗区校级期中）如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足2x﹣3y＝7，那么k的值为（　　） A．﹣2 B．3 C．5 D．﹣1 13．（2024春•蜀山区校级期中）已知关于x、y的方程组，给出下列说法： ①当a＝0时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的解； ②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数： ③若﹣3≤a≤1，则是方程组的解，其中说法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 14．（2024•岳阳县一模）若方程组的解是，则的值是（　　） A． B．3 C． D．±3 15．（2024春•上城区校级期中）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 16．（2024春•南关区期中）方程组的解中，x的值比y的值大1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 17．（2024春•河北区校级期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解，则3a+b＝（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 18．（2024春•海门区期中）关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 19．（2023秋•邹平市期末）在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 五．解二元一次方程组（共5小题） 20．（2024春•尧都区期中）二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 21．（2024春•永定区期中）解方程组①和方程组②，比较简便的方法是（　　） A．均用代入法 B．均用加减法 C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入 22．（2024春•泸州期中）解方程组：． 23．（2024春•莘县期中）解下列方程组： （1）； （2）． 24．（2024春•尧都区期中）解方程组：． 六．由实际问题抽象出二元一次方程组（共4小题） 25．（2024春•仁寿县期中）有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头，从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔？若设笼中有x只鸡，y只兔，则列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 26．（2024春•沭阳县校级期中）某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 27．（2024•寻甸县二模）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元；购进15捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需300元．设购进一捆A种菜苗x元，一捆B种菜苗y元，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 28．（2024•合肥模拟）有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得x钱，下面两个人各得y钱，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 七．二元一次方程组的应用（共7小题） 29．（2024春•尧都区期中）某货运公司有大、小两种货车，已知9辆小货车一次运货的质量比7辆大货车少6吨，11辆小货车一次运货的质量比7辆大货车一次运货的质量多2吨，则1辆小货车一次可以运货的质量为（　　） A．6吨 B．5吨 C．4吨 D．3吨 30．（2023秋•利辛县期末）如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为2.4m，则每一块长方形墙砖的面积为（　　） A．0.36m2 B．0.9m2 C．0.4m2 D．2.4m2 31．（2024春•岱岳区期中）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，根据图中的信息，若小明把20个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　 　cm． 32．（2024春•台江区期中）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小萱、小真同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）参加此次活动的七年级师生共有 　 　人； （2）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3）若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？ 33．（2024春•拱墅区校级期中）商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是41.4cm，5张凳子叠放在一起的高度是48.2cm，请你完成以下问题： （1）求一张凳子中凳脚、凳面的高度； （2）当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？ 34．（2024春•海珠区校级期中）列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 （1）求出x，y的值； （2）周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了15公里，用时12分钟，那么小华的打车总费用为多少元？ 35．（2024春•沙坪坝区期中）为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面 （1）甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ （2）已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 1 / 1 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组 【4个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】 考点一：二元一次方程 二元一次方程的定义： 方程中含有2个未知数，且含有未知数的项次数为1的整式方程是二元一次方程。 注意：①方程中含有两个未知数。 ②含有未知数的项次数为1，不是未知数的次数为1。 ③必须是整式方程。 二元一次方程的解： 使二元一次方程左右两边成立的两个未知数的值叫二元一次方程的一组解。 注意：当以二元一次方程其中一个未知数的值发生改变，总能找到另一个未知数的值使方程左右两边成立，所以二元一次方程有无数组解。 解二元一次方程：由于二元一次方程有无数组解，求二元一次方程的解时，多采用给出其中一个未知数的值求另一个未知数的值。 【考试题型1】判断方程为二元一次方程 【解题方法】根据定义判断是否含有两个未知数，且含有未知数的项的次数是否为1。（未知数之间只能进行加减运算，不能进行乘除运算） 例题讲解：1．（2024春•长寿区校级期中）下列方程中，是二元一次方程的为（　　） A．x＝y B．x+1＝2 C． D．xy﹣1＝2 【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 【解答】解：A、x＝y，是二元一次方程，故选项符合题意； B、x+1＝2，是一元一次方程，故选项不符合题意； C、，不是整式方程，故选项不符合题意； D、xy﹣1＝2，未知数的最高次是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 【考试题型2】根据二元一次方程的定义求值 【解题方法】利用未知数的系数不为0，含有未知数的项的系数等于1建立方程然后求解。 例题讲解：2．（2024春•东莞市期中）若3xm﹣1+2ym﹣n＝8是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值为（　　） A．m＝1，n＝2 B．m＝2，n＝1 C．m＝2，n＝2 D．m＝3，n＝1 【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 【解答】解：∵3xm﹣1+2ym﹣n＝8是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：， 故选：B． 【考试题型3】判断二元一次方程的解 【解题方法】将已告诉的未知数的值带入二元一次方程中，计算方程的左右两边是否相等，相等则是方程的解，不等则不是。 例题讲解：3．（2024春•海曙区期中）已知某个二元一次方程的一个解是，则这个方程可能是（　　） A．2x﹣y＝0 B．3x﹣2y＝0 C．2x+y＝5 D．x＝2y 【分析】把代入所给的每个二元一次方程，看看二元一次方程两边的值是否相等即可． 【解答】解：当时， 左边＝2×1﹣2＝0，右边＝0， ∵0＝0， ∴是二元一次方程2x﹣y＝0的一个解， ∴选项A符合题意； 当时， 左边＝3×1﹣2×2＝﹣1，右边＝0， ∵﹣1≠0， ∴不是二元一次方程3x﹣2y＝0的一个解， ∴选项B不符合题意； 当时， 左边＝2×1+2＝4，右边＝5， ∵4≠5， ∴不是二元一次方程2x+y＝5的一个解， ∴选项C不符合题意； 当时， 左边＝1，右边＝2×2＝4， ∵1≠4， ∴不是二元一次方程x＝2y的一个解， ∴选项D不符合题意． 故选：A． 【考试题型4】根据二元一次方程的解求字母的值 【解题方法】将告诉的已知解带入二元一次方程中得到一个关于字母的新方程，然后解方程即可 。 例题讲解：4．（2024春•崇川区期中）已知是二元一次方程x﹣5y﹣3＝0的解，则a﹣5b的值等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】把代入二元一次方程x﹣5y﹣3＝0得出a﹣5b﹣3＝0，再移项即可得出答案． 【解答】解：把代入二元一次方程x﹣5y﹣3＝0，得a﹣5b﹣3＝0， 移项，得a﹣5b＝3． 故选：D． 考点二：二元一次方程组 二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成方程组。方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1。 注意：方程组满足的三个条件： ①方程组中的方程都是整式方程。 ②方程组中一共含有两个未知数。 ③方程组的方程都是一次方程。 常见的二元一次方程组就是由两个二元一次方程构成的方程组。 【考试题型1】判断二元一次方程组 【解题方法】根据定义满足方程组中两个未知数，含有未知数的项的次数为1进行判断。 例题讲解：5．（2024春•朝阳区校级期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．方程组组中的第一个方程不是整式方程，所以方程组不是二元一次方程组，故本选项符合题意； B．方程组是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C．方程组是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D．方程组是二元一次方程组，故本选项不符合题意． 故选：A． 【考试题型2】根据二元一次方程组的定义求值 【解题方法】利用含有未知数的项的次数为1，含有未知数的项的系数不为0建立方程求解。 例题讲解：6．（2023春•冠县期中）已知关于x，y的方程组是二元一次方程组，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2或﹣2 C．﹣3 D．3或﹣3 【分析】根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程解答． 【解答】解：由题意可得：， 解得：m＝﹣3． 故选：C． 考点三：二元一次方程组的解与解二元一次方程组 二元一次方程组的解： 二元一次方程组两个方程的公共解即为二元一次方程组的解。在解决与二元一次方程组的解有关的题目时，把告诉的已知解带入方程组中建立新的方程求解。 解二元一次方程组： 方法①：带入消元法：把方程组其中一个方程的其中一个未知数用另一个未知数表示出来带入另一个方程的进行消元处理，得到一元一次方程来解二元一次方程组的方法。 一般使用于方程组中有一个未知数的系数为1或﹣1时。把系数为1或﹣1的的未知数用两一个未知数表示。 方法②：加减消元法：把方程组某一个未知数的系数化为相同或互为相反数，然后对两个方程进行加减从而达到消元处理，得到一元一次方程来求解二元一次方程组的方法。 一般使用于方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成倍数时。 【考试题型1】判断方程组的解 【解题方法】把告诉的已知解带入方程组中计算是否方程组的方程都成立。 例题讲解：7．（2023秋•驿城区期末）下列方程组中，解为的方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】方程组的解即满足方程组中的每一个方程，由此代入计算即可判断． 【解答】解：A、把代入方程x﹣y＝4得8﹣2＝4，不成立，所以不是这个方程组的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程x+y＝10得8+2＝10，代入方程x﹣2y＝4得，8﹣4＝4，所以是这个方程组的解，故此选项符合题意； C、把代入方程x+2y＝11得8+4＝11，不成立，所以不是这个方程组的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程x﹣2y＝5得8﹣4＝5，不成立，所以不是这个方程组的解，故此选项不符合题意； 故选：B． 【考试题型2】解二元一次方程组 【解题方法】根据解二元一次方程组的两种方法选择合适方法求解，方法的选择判断一定是用未知数的系数进行判断，所以必须先观察方程中未知数的系数。 例题讲解：8．（2024春•潍坊期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（　　） A．①×2+② B．①×（﹣2）﹣② C．①×3+② D．①×（﹣3）+② 【分析】逐一验证每个选项即可． 【解答】解：A．①×2+②得：4x﹣5y＝13，故选项A不符合题意； B．①×（﹣2）﹣②得：﹣4x+5y＝﹣13，故选项B不符合题意； C．①×3+②得：5x﹣6y＝18，故选项C不符合题意； D．①×（﹣3）+②得：﹣x＝﹣12，故选项D符合题意． 故选：D． 9．（2024春•苍南县期中）对于方程组，把②代入①得（　　） A．2x﹣4x﹣1＝5 B．2x﹣4x+1＝5 C．2x﹣4x+2＝5 D．2x﹣4x﹣2＝5 【分析】把②代入①，进行计算即可得出结果． 【解答】解：． 把②代入①得：2x﹣2（2x﹣1）＝5． 2x﹣4x+2＝5． 故选：C． 10．（2024春•长寿区校级期中）解下列二元一次方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1）， ①×3+②得：13x＝26， 解得：x＝2， 把x＝2代入①得：3×2﹣y＝7， 解得：y＝﹣1， ∴方程组的解为：； （2）， ①﹣②得：6y＝3， 解得：， 把代入①得：， 解得：x＝1， ∴方程组的解为：． 【考试题型3】根据二元一次方程组的解求式子 【解题方法】将告诉的已知解带入方程组中，解出未知数的值，再把未知数的值带入式子中求值。有些式子可直接把方程组的两个式子进行加减乘除运算得到所求式子。 例题讲解：11．（2024春•武昌区校级期中）关于x，y的二元一次方程组的解是，则a+b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】首先根据题意，可得，解二元一次方程组，求出a、b的值，然后把求出的a、b的值代入a+b计算即可． 【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴， 由①，可得a＝1， 把a＝1代入②，可得1﹣2b＝5， 解得b＝﹣2， ∴关于a、b的二元一次方程组的解是， ∴a+b＝1+（﹣2）＝﹣1． 故选：B． 【考试题型4】利用未知数的解得关系求系数的值 【解题方法】通常题目中两个未知数的关系式满足一个式子，利用解二元一次方程组的方法求出未知数的关于其他字母的值，带入未知数满足的式子中求出位置的字母。 例题讲解：12．（2024春•越秀区校级月考）已知关于x、y的方程组的解满足x﹣y＝1，则n＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据x﹣y＝1，得到x＝y+1，将方程组转化为未知数为y，n的方程组，进行求解即可． 【解答】解：∵x﹣y＝1， ∴x＝y+1， ∴原方程组化为：， 解得：； 故选：C． 13．（2024春•杭州月考）方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．0.5 D．﹣0.5 【分析】根据相反数的定义得到x＝﹣y，代入方程组得，即可求出a的值． 【解答】解：∵x，y互为相反数， ∴x+y＝0， ∴x＝﹣y， 把x＝﹣y代入方程组得， ①+②得3a+（a﹣8）＝0， 解得a＝2． 故选：B． 【考试题型5】同解方程组 【解题方法】利用题目中完全确定的两个方程建立新的方程组求出未知数的值，将未知数的值带入含有未知系数的两个方程里面建立新的方程组求解。 例题讲解：14．（2023秋•榕城区期末）已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用方程组的解的定义，x、y满足4个方程，则先解2x+y＝5和x﹣y＝1组成的方程组，再把x、y代入另外两个方程得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b的值． 【解答】解：解方程组得， 把代入得， 解得． 故选：C． 【考试题型6】错解方程组 【解题方法】利用题目中没有发生错误的式子分别求出未知系数的值，在进行其他求解。 例题讲解：15．（2023秋•邹平市期末）在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 【分析】将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4中求得b的值，再将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7中解得a的值即可． 【解答】解：将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4得12﹣2b＝4， 解得：b＝4， 将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7得﹣3a﹣8＝7， 解得：a＝﹣5， 故选：D． 考点四：二元一次方程（组）的实际应用 基本步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程组。 ④解方程组——按照解二元一次方程组的步骤解方程。 ⑤检验作答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率。 注意实际工作情况与计划工作情况之间的关系。 ③商品销售问题： 利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% 常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程。 ②同一个量的两种不同表达式相等。 【考试题型1】由实际问题抽象二元一次方程组 【解题方法】认真审题，找出题目中表示等量关系的话语建立方程。 例题讲解：16．（2024•甘井子区校级一模）在玩一类卡牌游戏时，作为游戏中“法官”的小胖将卡片平均分给其他参与游戏的同学（小胖作为法官不持有卡牌），每轮每人分发一张卡牌．在分发了2轮之后，小胖发现，手中原来的x张卡牌现在仅剩3张，而参与游戏的总人数为y人，则可列方程为（　　） A．2y+3＝x B．2（y﹣1）+3＝x C．x2﹣2y＝9 D．9x+（y﹣1）x＝2 【分析】利用卡牌的总张数＝2×（参与游戏的总人数﹣1）+3，即可列出关于x，y的二元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：2（y﹣1）+3＝x． 故选：B． 17．（2024•成都模拟）有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得x钱，下面两个人各得y钱，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“五个人分十钱”，“上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等”，即可列出方程组为． 【解答】解：根据题意得． 故选：A． 18．（2024春•东莞市期中）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，要使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，设分配生产螺栓x人，生产螺帽的人数为y人，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“该车间共有90名工人，且生产螺帽的总数是生产螺栓总数的2倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵该车间共有90名工人， ∴x+y＝90； ∵每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，且一个螺栓配套两个螺帽， ∴2×15x＝24y． 即30x＝24y． 根据题意可列方程组． 故选：A． 【考试题型2】方程（组）的实际应用 【解题方法】根据基本步骤一步一步解决。若是数字问题，则百位的数字乘100加上十位上的数字乘10加上各位上的数字表示这个数；若是面积问题则利用图形的面积公式。其他的问题则考虑问题的基本量之间的基本等量关系。注意最后未知数的解一定要满足实际意义。 例题讲解：19．（2024春•万州区校级期中）在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．48 B．72 C．36 D．24 【分析】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据图示可以列出方程组，然后解方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【解答】解：设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm， 依题意得， 解之得， ∴小长方形的长、宽分别为10cm，2cm， ∴S阴影＝S四边形ABCD﹣6×S小长方形 ＝16×（8+2×2）﹣6×2×10 ＝72（cm2）． 故选：B． 20．（2024春•朝阳区校级期中）某班部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．由班长统计后去商店购买，班长和售货员的对话信息如图所示： （1）根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，求足球和跳绳的单价； （2）由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个（a＞15）和跳绳b根，且恰好花费1800元，已知足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ 【分析】（1）设足球和跳绳的单价分别为x，y元，由题意得，，计算求解即可； （2）由题意知，80 a+15 b＝1800（a＞15），当全买足球时，可买足球的数量为，为15＜a＜22.5，对a，b的取值进行求解讨论即可． 【解答】解：（1）设足球和跳绳的单价分别为x，y元， 由题意得，， 解得， ∴足球和跳绳的单价分别为100元，20元； （2）由题意知，80a+15b＝1800（a＞15）， 当全买足球时，可买足球的数量为， ∴15＜a＜22.5，a，b为正整数， 当a＝18时，b＝24； 当a＝21，b＝8； ∴共有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根． 【专题过关】 一．二元一次方程的定义（共4小题） 1．（2024春•岳阳县期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．x﹣5＝6 B．3xy+4＝﹣8 C．4x+2＝3x+4 D．x﹣y＝4 【分析】根据二元一次方程的定义进行判断． 【解答】解：A、该方程只含有1个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、该方程中含有2个未知数，并且含有未知数项的次数是2，故本选项不符合题意； C、该方程只含有1个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D、该方程中含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，属于二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2024春•莘县期中）下列方程：①2x﹣3y＝5；②；③3x﹣y+2z＝0；④2x+4y；⑤x＝y．是二元一次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】二元一次方程满足的条件：为整式方程；只含有2个未知数；未知数的最高次数是1． 【解答】解：①2x﹣3y＝5，符合二元一次方程的定义； ②，不是整式方程，不符合二元一次方程的定义； ③3x﹣y+2z＝0，含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义； ④2x+4y，不是方程，不符合二元一次方程的定义； ⑤x＝y，符合二元一次方程的定义． ∴是二元一次方程的有2个． 故选：B． 3．（2024春•越秀区校级期中）若x|t﹣2|+（t﹣3）y＝1是关于x，y的二元一次方程，则t的值为（　　） A．1 B．3或1 C．3 D．3或0 【分析】方程的两个未知数的系数不能为0是解题的易错点．根据二元一次方程的定义列绝对值方程求解即可． 【解答】解：x|t﹣2|+（t﹣3）y＝1是关于x，y的二元一次方程， ∴|t﹣2|＝1且t﹣3≠0， 解得：t＝1， 故选：A． 4．（2024春•东莞市期中）若3xm﹣1+2ym﹣n＝8是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值为（　　） A．m＝1，n＝2 B．m＝2，n＝1 C．m＝2，n＝2 D．m＝3，n＝1 【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 【解答】解：∵3xm﹣1+2ym﹣n＝8是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：， 故选：B． 二．二元一次方程的解（共5小题） 5．（2024春•尧都区期中）对于二元一次方程3x+2y＝10，若x＝2，则y的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】把x＝2代入方程计算即可求出y的值． 【解答】解：将x＝2代入方程得：6+2y＝10， 移项合并得：2y＝4， 解得：y＝2． 故选：D． 6．（2024春•台江区期中）下列四组数值是二元一次方程2x﹣y＝5的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可． 【解答】解：A．把代入方程得：左边＝4﹣1＝3，右边＝5， ∵左边≠右边， ∴不是方程的解，不符合题意； B．把代入方程得：左边＝8+1＝9，右边＝5， ∵左边＝右边， ∴是方程的解，符合题意； C．把代入方程得：左边＝4﹣1＝3，右边＝5， ∵左边≠右边， ∴不是方程的解，不符合题意； D．把代入方程得：左边＝8﹣1＝7，右边＝5， ∵左边≠右边， ∴不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 7．（2024春•商水县期中）若是关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝3的解，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣5 【分析】把代入方程ax﹣y＝3得出a﹣（﹣2）＝3，再求出方程的解即可． 【解答】解：∵是方程ax﹣y＝3的解， ∴a﹣（﹣2）＝3， ∴a+1＝3， 解得：a＝1． 故选：A． 8．（2023秋•东河区期末）若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（　　） A．3 B．6 C．﹣1 D．﹣2 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入计算即可． 【解答】解：将代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3， ∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6． 故选：B． 9．（2024春•冠县期中）二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有（　　）组． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由3x+y＝15，可得出x＝5﹣，结合x，y均为正整数，即可求出二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有4组． 【解答】解：∵3x+y＝15， ∴x＝5﹣． 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有4组． 故选：B． 三．二元一次方程组的定义（共2小题） 10．（2024春•冠县期中）下列方程组，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可． 【解答】解：方程组中，属于二元一次方程组的是， 故选：A． 11．（2024春•宁乡市期中）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B．方程组中含有三个未知数，是三元一次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D．方程组是二元一次方程组，故本选项符合题意． 故选：D． 四．二元一次方程组的解（共8小题） 12．（2024春•南岗区校级期中）如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足2x﹣3y＝7，那么k的值为（　　） A．﹣2 B．3 C．5 D．﹣1 【分析】让方程组中的两个方程直接相加得到2x﹣3y＝2k﹣3，结合已知2x﹣3y＝7，即可求出k的值． 【解答】解：， ①+②，得2x﹣3y＝2k﹣3， ∵2x﹣3y＝7， ∴2k﹣3＝7， 解得k＝5， 故选：C． 13．（2024春•蜀山区校级期中）已知关于x、y的方程组，给出下列说法： ①当a＝0时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的解； ②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数： ③若﹣3≤a≤1，则是方程组的解，其中说法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】本题考查二元一次方程组的解，代入不同的a值求解即可． 【解答】解：①当a＝0时，方程变为， 解得：， 将，代入x+y＝2﹣0， 得：1+1＝2﹣0， 左边等于右边， ∴当a＝0时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的解， ∴①正确； ②当a＝﹣2时，方程变为， 解得：， ∴当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数， ∴②正确； ③解原方程得：， 当﹣3≤a≤1时，对应不同的x、y的值， ∴③错误； 故选：A． 14．（2024•岳阳县一模）若方程组的解是，则的值是（　　） A． B．3 C． D．±3 【分析】根据方程组将已知解代入即可得到答案． 【解答】解：将代入得， 解方程组得， 即，b＝1， ∴． 故选：C． 15．（2024春•上城区校级期中）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出方程组的解，把x、y的值代入方程2x+3y＝6，即可求出k． 【解答】解：解方程组得：， ∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解， ∴代入得：14k+6k＝6， 解得：k＝， 故选：A． 16．（2024春•南关区期中）方程组的解中，x的值比y的值大1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 【分析】根据题设中x比y的值大1，可列方程x﹣y＝1，解得 再将代入方程kx+（k﹣1）y＝5 即可求解． 【解答】解：∵x的值比y的值大1， ∴x﹣y＝1． ， 解得． 将 代入kx+（k﹣1）y＝5， 得k＝2． 故选：C． 17．（2024春•河北区校级期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解，则3a+b＝（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】先将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立，求得方程组的解，然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于a、b的二元一次方程组，进而确定a、b的值，代入求解即可． 【解答】解：根据题意可得， ①+②得：6x＝6， 解得：x＝1， 将x＝1代入①，得5×1+2y＝3， 解得：y＝﹣1， ∴； 将代入，得， ③+2×④，得：5a＝20， 解得：a＝4， 将a＝4代入③得：4+2b＝8， 解得：b＝2， ∴3a+b＝3×4+2＝14， 故选：C． 18．（2024春•海门区期中）关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【分析】先把两个方程相加，求出x+y，根据关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，列出关于k的方程，解方程求出k即可． 【解答】解：， ①+②得：4x+4y＝k+4， 4（x+y）＝k+4， ， ∵关于x，y的方程组的解x与y互为相反数， ∴x+y＝0， ∴， 解得：k＝﹣4， 故选：A． 19．（2023秋•邹平市期末）在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 【分析】将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4中求得b的值，再将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7中解得a的值即可． 【解答】解：将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4得12﹣2b＝4， 解得：b＝4， 将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7得﹣3a﹣8＝7， 解得：a＝﹣5， 故选：D． 五．解二元一次方程组（共5小题） 20．（2024春•尧都区期中）二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：， ①+②，得8x＝8， 解得x＝1， 把x＝1代入②，得y＝2， 所以方程组的解是， 故选：D． 21．（2024春•永定区期中）解方程组①和方程组②，比较简便的方法是（　　） A．均用代入法 B．均用加减法 C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入 【分析】根据方程组中方程的特点得出答案即可． 【解答】解：解方程组①最简便的方法是代入法，解方程组②最简便的方法是加减法． 故选：C． 22．（2024春•泸州期中）解方程组：． 【分析】将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：原方程组整理得， ①×3+②×2得：13x＝43， 解得：x＝， 将x＝代入①得：﹣2y＝5， 解得：y＝， 故原方程组的解为． 23．（2024春•莘县期中）解下列方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）①×2+②，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入其中一个方程求出y的值即可； （2）把①整理得3x﹣2y＝8②，②×2﹣③，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入②求出y的值即可． 【解答】解：（1）， 由①×2+②，得5x＝10， 解得x＝2， 把x＝2 代入①，得4﹣y＝6， 解得y＝﹣2， 所以； （2）， 由①×6，得3x﹣2y＝8③， 由②×2﹣③，得7x＝14， 解得x＝2， 把 x＝2 代入②得，10﹣y＝11， 解得y＝﹣1， 所以． 24．（2024春•尧都区期中）解方程组：． 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：， 由①，得x﹣y＝﹣4③， ②+③，得2x＝0， 解得x＝0， 把x＝0代入②，得y＝4， 所以方程组的解是． 六．由实际问题抽象出二元一次方程组（共4小题） 25．（2024春•仁寿县期中）有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头，从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔？若设笼中有x只鸡，y只兔，则列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿”列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设这个笼中的鸡有x只，兔有y只， 根据题意得：， 故选：B． 26．（2024春•沭阳县校级期中）某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，根据题意明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元列出二元一次方程组，即可求解． 【解答】解：设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，根据题意得，， 故选：C． 27．（2024•寻甸县二模）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元；购进15捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需300元．设购进一捆A种菜苗x元，一捆B种菜苗y元，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，根据“购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元；购进15捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需300元”，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【解答】解：设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元， 根据题意得：， 故选：B． 28．（2024•合肥模拟）有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得x钱，下面两个人各得y钱，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“五个人分十钱”，“上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等”，即可列出方程组为． 【解答】解：根据题意得． 故选：A． 七．二元一次方程组的应用（共7小题） 29．（2024春•尧都区期中）某货运公司有大、小两种货车，已知9辆小货车一次运货的质量比7辆大货车少6吨，11辆小货车一次运货的质量比7辆大货车一次运货的质量多2吨，则1辆小货车一次可以运货的质量为（　　） A．6吨 B．5吨 C．4吨 D．3吨 【分析】设1辆小货车一次可以运货的质量为x吨，1辆大货车一次可以运货的质量为y吨，根据“9辆小货车一次运货的质量比7辆大货车少6吨，11辆小货车一次运货的质量比7辆大货车一次运货的质量多2吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设1辆小货车一次可以运货的质量为x吨，1辆大货车一次可以运货的质量为y吨， 根据题意得：， 解得：， ∴1辆小货车一次可以运货的质量为4吨． 故选：C． 30．（2023秋•利辛县期末）如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为2.4m，则每一块长方形墙砖的面积为（　　） A．0.36m2 B．0.9m2 C．0.4m2 D．2.4m2 【分析】设一块长方形墙砖的长为x m，宽为y m，然后用x、y的代数式分别表示出长方形的长为（x+4y）m，两条宽分别为4y m，x m，进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组得到x、y的值，再根据长方形面积计算公式即可求出面积． 【解答】解：设一块长方形墙砖的长为x m，宽为y m，依题意得， ， 解得， ∴每一块长方形墙砖的面积为：xy＝1.2×0.3＝0.36（m2） 答：每一块长方形墙砖的面积为0.36m2． 故选：A． 31．（2024春•岱岳区期中）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，根据图中的信息，若小明把20个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　26　cm． 【分析】设每个纸杯的高度是x cm，每增加一个纸杯高度增加y cm，根据3个纸杯整齐叠放在一起的高度及8个纸杯整齐叠放在一起的高度，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入x+（20﹣1）y中，即可求出结论． 【解答】解：设每个纸杯的高度是x cm，每增加一个纸杯高度增加y cm， 根据题意得：， 解得：， ∴x+（20﹣1）y＝7+（20﹣1）×1＝26（cm）， ∴若小明把20个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是26cm． 故答案为：26． 32．（2024春•台江区期中）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小萱、小真同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）参加此次活动的七年级师生共有 　420　人； （2）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3）若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？ 【分析】（1）根据“七年级租用45座的客车a辆，还有15人没有座位；租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再将其代入（45a+15）中，即可求出结论； （2）设客运公司45座客车每辆每天的租金为x元，60座客车每辆每天的租金为y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，且租了4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设租用m辆45座客车，n辆60座客车，根据租用的客车的承载人数恰好为420人，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，可得出共有3种租车方案，再求出选择各租车方案所需总租金，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：45a+15＝60（a﹣2）， 解得：a＝9， ∴45a+15＝45×9+15＝420（人）， ∴参加此次活动的七年级师生共有420人． 故答案为：420； （2）设客运公司45座客车每辆每天的租金为x元，60座客车每辆每天的租金为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司45座客车每辆每天的租金为750元，60座客车每辆每天的租金为900元； （3）设租用m辆45座客车，n辆60座客车， 根据题意得：45m+60n＝420， ∴n＝7﹣m． 又∵m，n均为非负整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用7辆60座客车，所需总租金为900×7＝6300（元）； 方案2：租用4辆45座客车，4辆60座客车，所需总租金为750×4+900×4＝6600（元）； 方案3：租用8辆45座客车，1辆60座客车，所需总租金为750×8+900×1＝6900（元）． ∵6300＜6600＜6900， ∴当租用7辆60座客车时，最省钱． 答：共有3种租车方案，当租用7辆60座客车时，最省钱． 33．（2024春•拱墅区校级期中）商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是41.4cm，5张凳子叠放在一起的高度是48.2cm，请你完成以下问题： （1）求一张凳子中凳脚、凳面的高度； （2）当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？ 【分析】（1）设一张凳子中凳脚的高度是x cm，凳面的高度是y cm，根据“3张凳子叠放在一起的高度是41.4cm，5张凳子叠放在一起的高度是48.2cm”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总高度＝一张凳子中凳脚的高度+一张凳子中凳面的高度×20，即可求出结论． 【解答】解：（1）设一张凳子中凳脚的高度是x cm，凳面的高度是y cm， 根据题意得：， 解得：． 答：一张凳子中凳脚的高度是31.2cm，凳面的高度是3.4cm； （2）根据题意得：31.2+3.4×20 ＝31.2+68 ＝99.2（cm）． 答：总高度是99.2厘米． 34．（2024春•海珠区校级期中）列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 （1）求出x，y的值； （2）周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了15公里，用时12分钟，那么小华的打车总费用为多少元？ 【分析】（1）根据表格内的数据结合打车费＝里程费×里程+耗时费×耗时，即可得出关于p，q的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据里程数和时间来计算总费用． 【解答】解：（1）根据题意得： ， 解得：； （2）小华的里程数是15km，时间为12min． 则总费用是：15x+12y＝15+6＝21（元）． 答：总费用是21元． 35．（2024春•沙坪坝区期中）为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面 （1）甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ （2）已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 【分析】（1）设甲装修组每天铺设地面x平方米，乙装修组每天铺设地面y平方米，根据“甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲装修组施工一天的工时费是m元，乙装修组施工一天的工时费是n元，根据“两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元；甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲装修组每天铺设地面x平方米，乙装修组每天铺设地面y平方米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲装修组每天铺设地面50平方米，乙装修组每天铺设地面30平方米； （2）设甲装修组施工一天的工时费是m元，乙装修组施工一天的工时费是n元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲装修组施工一天的工时费是3000元，乙装修组施工一天的工时费是1400元． 1 / 1 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$