专题05 不等式与不等式组【8个考点知识梳理+题型解题方法+专题过关】-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点题型归纳+题型专训（人教版）

专题05 不等式与不等式组 【9个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】 考点一：不等式 1. 不等式的定义： 用不等号连接的式子叫做不等式。 2. 常见的不等号： 大于：“＞”，大于等于：“≥”，小于：“＜”，小于等于：“≤”，≠：“≠”。 【考试题型1】判断不等式 【解题方法】根据不等式的定义式子中含有不等号且满足不等关系则为不等式进行判断。 例题讲解：1．（2023秋•邵阳期末）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考试题型2】列简单的不等式 【解题方法】根据语言描述的不等关系，以及常见的数学名词所表示的不关系列出不等式即可。常见的数学名词与不等关系有：正数＞0，负数＜0，非正数≤0，非负数≥0等。 例题讲解：2．（2023春•鲤城区校级期中）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“小于25元”，乙说：“至少22元”，丙说：“大于20元”，小明说：“你们三个人都说对了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（　　） A．20＜x≤22 B．22≤x＜25 C．20＜x＜25 D．21＜x＜24 考点二：不等式（组）的解与解集 1. 不等式解的定义： 使不等关系成立的未知数的值是不等式的一个解。 2. 不等式的解集的定义： 不等式的解有无数个，不等式的所有解得集合叫做不等式的解集。 3. 在数轴上表示不等式的解集： 具体步骤：①确定不等式解集的边界； ②确定不等式边界是实心圆还是空心圈，包含等于用实心圆，不包含等于则用空心圈。 ③确定方法，若大于则方向向右，小于则方向向左。 4. 不等式组的解集： 不等式中所有不等式的解集的公共部分是不等式组的解集。 5. 不等式组的解集的情况： ①同大取大；②同小取小；③大小小大去中间；④大大小小无解答。 【考试题型1】判断不等式的解 【解题方法】将需要判断的数带入不等式中，判断不等关系是否成立，成立则是，不成立则不是。 例题讲解：3．（2023秋•莲都区期末）若x＝3是某个一元一次不等式的一个解，则这个一元一次不等式可能是（　　） A．2x﹣1≤3 B．﹣3x+1≥4 C．6x+2＞11x﹣3 D． 【考试题型2】在数轴上表示不等式（组）的解集 【解题方法】利用数轴上表示不等式解集的方法确定边界，实心圆或空心圈以及方向表示出来即可。若是不等式组，则根据表示的情况确定不等式组的公共部分。 例题讲解：4．（2024春•海口期中）不等式x≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C．﹣ D． 5．（2024春•惠来县期中）不等式的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【考试题型3】根据数轴写出所表示的解集 【解题方法】根据数轴上表示解集的方法反过来进行判断即可。同样若是不等式组，则只需判断公共部分。 例题讲解：6．（2024春•西安期中）如图，数轴所表示的不等式的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 7．（2024•丽水一模）某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（　　） A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x≤2 C．x＜﹣3或x≥2 D．x≤﹣3或x≥2 【考试题型4】根据不等式组的解集求值 【解题方法】利用不等式组的解集的情况确定不等式组的解集中的未知字母的值或取值范围，再根据确定的值与取值范围求相应的值。 例题讲解：8．（2024春•兰州期中）若不等式组无解，则m的取值范围是 　 　． 9．（2023秋•金东区期末）若关于x的不等式组的解为x≥﹣b，则下列各式正确的是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a≤b D．b≤a 考点三：不等式的性质 1. 不等式的性质1： 不等式的左右两边同时加上（减去）同一个数（式子），不等号的方向不发生改变。 即：若，则＞。 2. 不等式的性质2： 不等式的左右两边同时乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向不发生改变。 即：若，则＞或＞。 3. 不等式的性质3： 不等式的左右两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向发生改变。 即：若，则＜或＜。 注意：在使用不等式的性质时无论是加减乘除都必须是同一个数（或式子）。乘除负数时一定要改变不等式符号的方向。 4. 不等式的传递性： 若，则＞。 【考试题型1】利用不等式的性质进行变形 【解题方法】断不等式的变形用了哪一个不等式的性质，不等号的是否需要进行变向，是否进行了变向。 例题讲解：10．（2024春•香坊区校级期中）如果a＞b，那么下列说法正确的是（　　） A．2a﹣1＜2b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．m2a＞m2b D．a+3＞b+3 【考试题型2】利用不等式的变形求值 【解题方法】根据不等式的变形情况判断用了不等式的哪一个性质。通常考察不等式的性质2和性质3的应用，若不等式的解得符号与不等式的符号不同，则用不等式的性质3，则系数小于0；若不等式的解的符号与不等式的符号相同，则用不等式的性质2，则系数大于0。 例题讲解：11．（2024•雨花区一模）如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（　　） A．a＜0 B．a≤1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1 考点四：一元一次不等式的定义 1. 一元一次不等式的定义： 含有1个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 判断一元一次不等式： ①只有一个未知数。 ②未知数项系数不能为0。 ③未知数次数一定为1。 【考试题型1】根据一元一次不等式的定义求未知系数的值 【解题方法】通利用未知数的次数是1，未知数项的系数不能为0建立方程组求解即可。 例题讲解：12．（2024春•新郑市期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．2x﹣3＞0 B．2x﹣1＞3y+4 C．2＞﹣3 D． 13．（2024•凉州区二模）若（m﹣2）x|m|﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　． 考点五：解一元一次不等式 具体步骤： 第一步：去分母——不等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。 第二步：去括号。 第三步：移项。 第四步：合并。 第五步：系数化为1。两边同时除以系数或乘以系数的倒数。若系数为正数，则不等号方向不变，若系数为负数，则不等号方向改变。 【考试题型1】解一元一次不等式 【解题方法】根据解一元一次不等式的具有步骤逐步进行求解即可，注意每一步的方法细节。 例题讲解：14．（2024春•新郑市期中）解下列不等式． （1）﹣2（x﹣1）＞x+5； （2）． 【考试题型2】利用解一元一次不等式求值 【解题方法】根据解一元一次不等式的具体步骤进行求解，再根据求出的解与已知解相等或满足的条件建立方程或建立不等式求解。 例题讲解：15．（2024春•蜀山区校级期中）如图表示的是关于x的不等式﹣2x﹣a＞﹣1的解集，则a的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3 【考试题型3】利用不等式的解求另一个不等式的解 【解题方法】通常不等式中都含有未知系数，通过已知不等式的解集求出未知系数之间的关系，在带入所求不等式中求出解集。 例题讲解：16．（2024春•通州区期中）关于x的不等式ax+b＜c的解集为x＞2，则关于x的不等式a（x+3）+b＜c的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞5 D．x＜5 【考试题型4】不等式与坐标象限 【解题方法】根据象限内坐标的特点建立不等式，求解不等式即可。 例题讲解：17．（2024•金水区校级开学）点P（x﹣1，1）在第二象限，则x的取值范围是 　 　． 18．（2023秋•齐河县期末）已知关于x的方程3x﹣1＝2x﹣a的解是负数，则点M（﹣2，a）在哪个象限（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考试题型5】不等式的整数解 【解题方法】按照解不等式得步骤解出不等式进行判断即可 例题讲解：19．（2024春•宜阳县期中）一元一次不等式2x+5＞3x﹣1的正整数解共有（　　） A．5个 B．6个 C．10个 D．无数个 【考试题型6】根据不等式的整数解的个数求值 【解题方法】把未知字母看作常数，根据解一元一次不等式的具体步骤进行求解，解集为关于未知字母的表达式，根据整数解得个数判断表达式在哪两个连续的整数之间建立不等式进行求值。若整数个数从左至右满足，当原不等式的解集有等号时，则左边的整数取等于，右边不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，右边的数取等。若整数个数从右至左满足，当原不等式组有等于时，则右边的数取等，左边的数不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，左边的数取等。 例题讲解：20．（2024•莱芜区校级模拟）已知不等式2x+a＜x+4的正整数解有2个，则a的取值范围是（　　） A．1＜a＜2 B．1＜a≤2 C．1≤a≤2 D．1≤a＜2 【考试题型7】新定义运算与一元一次不等式 【解题方法】根据定义运算法则列出一元一次不等式，在根据解不等式的方法进行求解 例题讲解：21．（2024春•海口期中）定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝﹣5，那么不等式4⊕x≥2的正整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考试题型8】二元一次方程组与一元一次不等式 【解题方法】利用解方程组的方法解出方程组中的未知数，再把未知数带入满足的不等关系的式子中求解即可。 例题讲解：22．（2024春•高密市期中）关于x，y的方程组满足不等式x﹣y＜5，则m的范围是（　　） A．m＞﹣9 B．m＜﹣9 C．m＞1 D．m＜1 考点六：一元一次不等式组的定义 几个含有相同未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 注意：一元一次不等式组中可以有多个一元一次不等式，但是只能有一个未知数。 【考试题型1】判断一元一次不等式组 【解题方法】根据定义含有多个一元一次不等式，但只有含有一个未知数进行判断。 例题讲解： 考点七：解一元一次不等式组 求不等式组的所有不等式的解集的公共部分即为不等式组的解集。 【考试题型1】解不等式组 【解题方法】解出不等式组中的每一个不等式然后求其公共部分即可。 例题讲解：23．（2023春•禅城区校级月考）下列不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【考试题型2】根据不等式组的解得情况求不等式组中字母的值 【解题方法】把未知字母看作常数进行求解，得到的解集为一个已知和一个含有字母的式子，再根据不等式组的解得情况：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解答进行判断含有未知字母的式子与已知数的大小关系建立不等式求解。 例题讲解：24．（2024•垦利区一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 25．（2024•兴庆区校级一模）解不等式组． 【考试题型3】解不等式组与坐标象限 【解题方法】根据坐标象限的坐标特点建立不等式组，然后求解即可。 例题讲解：26．（2024•盐田区二模）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜0，则（a+b）2024的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2024 【考试题型4】不等式组的整数解个数 【解题方法】解出不等式组进行判断即可。 例题讲解：27．（2024春•新郑市期中）若点在第二象限，则a的取值范围是（　　） A．﹣6＜a＜2 B．a＜2 C．a＞﹣6 D．a＞2 【考试题型5】根据不等式组的整数解的个数求未知字母的值 【解题方法】把未知字母看作常数进行求解，得到的解集为一个已知数和一个含有字母的式子，根据整数解得个数判断表达式在哪两个连续的整数之间建立不等式进行求值。若整数个数从左至右满足，当原不等式的解集有等号时，则左边的整数取等于，右边不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，右边的数取等。若整数个数从右至左满足，当原不等式组有等于时，则右边的数取等，左边的数不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，左边的数取等。 例题讲解：28．（2024•玄武区一模）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 29．（2024春•阳谷县期中）若关于x的不等式组，有且仅有五个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣7 考点八：一元一次不等式（组）的应用 1. 具体步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数。 ②根据题中的不等关系列出不等式（组）。 ③解不等式（组），求出解集。 ④写出符合题意的解。 2. 表达不等关系的关键词： 列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等词来体现问题中的不等关系。 【考试题型1】由实际问题抽象不等式（组） 【解题方法】找到题目中表达不等关系的关键词，然后根据表达的不等关系建立不等式。 例题讲解：30．（2024春•南山区期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（　　） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A． B． C． D． 31．（2023春•阳江期末）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜6x+10＜4 B．0＜6x+10＜8x C．0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4 D．8x＜6x+10＜4 【考试题型2】一元一次不等式（组）的实际应用 【解题方法】根据一元一次不等式（组）解决实际应用题的具体步骤进行解答即可，注意未知数的取值范围必须满足问题的实际意义。 例题讲解：32．（2024春•郫都区校级期中）新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，老疆车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元． （1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？ （2）茅溪科技发展有限公司准备向老疆车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？ 33．（2024•兰山区校级模拟）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元． （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？ 【专题过关】 一．不等式的定义（共3小题） 1．（2024春•高新区校级期中）下列数学式子：①﹣3＜0；②2x+3y≥0；③x＝1；④x2﹣2xy+y2；⑤x+1≠3；其中是不等式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2024春•杏花岭区校级期中）如图是2024年4月12日太原的天气，这天的最高气温是29℃，最低气温是14℃，设当天某一时刻的气温为t（℃），则t的变化范围是（　　） A．t＞29 B．t＜14 C．14＜t＜29 D．14≤t≤29 3．（2024春•红古区期中）《甘肃省全民健身条例》中明确规定，学校应当保证学生在校期间每天不少于一小时的体育锻炼．设学生在校期间每天的锻炼时间为t（小时），则t应满足的关系为（　　） A．t＞1 B．t≥1 C．t＜1 D．t≤1 二．不等式的性质（共5小题） 4．（2024•拱墅区校级模拟）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　） A．m﹣2＜n﹣2 B．1﹣2m＜1﹣2n C． D．n﹣m＞0 5．（2024•萧山区一模）已知a，b，m是实数，且a＞b，那么有（　　） A．a2+m＞b2+m B．a+m2＞b+m2 C．a2m＞b2m D．am2＞bm2 6．（2024春•华安县期中）若x＞y，且（4﹣m）x＜（4﹣m）y，则m的值可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2024•安庆一模）已知a，b，c为非零实数，且满足a+b+c＝0，4a+2b+c＜2，则下列结论一定正确的是（　　） A．2a﹣c＞2 B．3a﹣b﹣3c＜4 C．3a＜2 D．a+3b+4c＞0 8．（2024春•长安区月考）下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则﹣a＞﹣b B．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 C．若a＞b，且c≠0，则ac＞bc D．若ac2＞bc2，则a＞b 三．不等式的解集（共4小题） 9．（2024春•通州区期中）关于x的不等式ax+b＜c的解集为x＞2，则关于x的不等式a（x+3）+b＜c的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞5 D．x＜5 10．（2024春•安溪县期中）已知x＝1是不等式2x﹣a＜0的一个解，则a的值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2024春•安溪县期中）已知关于x的不等式（a﹣b）x＞2a+b的解集是x＜3，则关于x的不等式bx+a＜0的解集是（　　） A．x＞4 B．x＜4 C．x＞﹣4 D．x＜﹣4 12．（2024•茂南区校级一模）如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（　　） A．a＜0 B．a≤1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1 四．在数轴上表示不等式的解集（共3小题） 13．（2024春•宁德期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（2024•河北模拟）不等式﹣x1的解集在数轴上的表示如图所示，则盖住的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．≤ 15．（2024春•瓦房店市期中）将某不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则此不等式组的解集为 　 　． 五．一元一次不等式的定义（共3小题） 16．（2024春•商水县期中）以下是一元一次不等式的是（　　） A．x2﹣1＞0 B．x﹣1＞2 C．x2≠3 D．3＞1 17．（2024春•郓城县期中）已知4﹣（3﹣m）x|m﹣2|＜0是关于x的一元一次不等式，则m＝　 　． 18．（2024•凉州区二模）若（m﹣2）x|m|﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　． 六．解一元一次不等式（共7小题） 19．（2024春•莘县期中）在解不等式的步骤中，应用不等式基本性质的是（　　） 解：3（1+x）﹣2（2x+1）≤6…① 3+3x﹣4x﹣2≤6…② 3x﹣4x≤6﹣3+2…③ ﹣x≤5…④ x≥﹣5…⑤ A．①②③ B．①③⑤ C．①③④ D．②③⑤ 20．（2024春•华安县期中）不等式2x﹣3＜1的解集是（　　） A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．x＜2 21．（2024春•原阳县期中）一元一次不等式ax+b＞0的解集是（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 22．（2024春•南山区校级期中）解不等式组： （1）2（x﹣3）≤12+5x； （2）． 23．（2024春•泌阳县期中）解不等式，并在数轴上表示出其解集． （1）3（1﹣3x）﹣2（4﹣2x）≥0； （2）． 24．（2024•安徽模拟）如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（　　） A．a＞0 B．a＞3 C．a≠3 D．a＜3 25．（2024春•农安县期中）如果关于x的不等式（a+2023）x＞a+2023的解集为x＜1，那么a的取值范围是（　　） A．a＞﹣2023 B．a＜﹣2023 C．a＞2023 D．a＜2023 七．一元一次不等式的整数解（共3小题） 26．（2024春•沈阳期中）若关于x的不等式2x﹣a＜0的解集中存在正数解，但不存在正整数解，则a的取值范围是（　　） A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．0≤a＜2 D．0≤a≤2 27．（2024春•泌阳县期中）若x＝﹣3是关于x的方程x＝m+1的解，则关于x的不等式2（1﹣2x）≥﹣6+m的最大整数解为 　 　． 28．（2024春•农安县期中）不等式3x﹣2＜x+6的所有正整数解的和是 　 　． 八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共3小题） 29．（2024春•三元区期中）x与2的和小于3，用不等式表示为（　　） A．x+2＞3 B．x+2≥3 C．x+2＜3 D．x+2≤3 30．（2024春•介休市期中）小涵家距图书馆的路程是8km，他骑自行车前往图书馆看书，上午8：30出发，先以15km/h的速度骑行了x小时，随后以18km/h的速度骑行，结果他在9：00之前赶到了图书馆．根据题意列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 31．（2023秋•南浔区期末）某批服装每件进价为200元，标价为300元，现商店准备将这批服装降价处理，按标价打x折出售，使得每件衣服的利润不低于5%，根据题意可列出来的不等式为（　　） A．300x﹣200≥200×5% B． C． D．300x≥200×（1+5%） 九．一元一次不等式的应用（共4小题） 32．（2024春•蜀山区校级期中）下面是新华书店5种类型文学名著套装的价目表，小明在这里看好了类型②的名著套装，爸爸说：“今天有促销活动，九折优惠呢!你可以再选一套，但两套最终付款总额不能超过300元．”那么小明再买第二套名著选择价格最贵的类型是（　　） 类型 ① ② ③ ④ ⑤ 价格/元 260 200 130 110 80 A．① B．③ C．④ D．⑤ 33．（2024春•瑶海区校级期中）阳阳在易物儿童超市购买一款心爱的玩具，玩具成本为60元，定价为90元，当天是儿童节，超市打折优惠卖给小朋友，但利润率不能低于5%．则该玩具最多可以打（　　） A．八五折 B．八折 C．七五折 D．七折 34．（2024•大连模拟）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买1本甲种书和2本乙种书共需125元；购买2本甲种书和5本乙种书共需300元． （1）求甲、乙两种书的单价； （2）学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过2000元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？ 35．（2024春•中原区校级期中）河南之于中国，正如中国之于世界，了解老家河南可以帮助我们更好地了解我们伟大的祖国．为了更好地了解河南文化特色，某学校八年级举办了传统文化知识大讲堂活动，并在活动后对表现优异的100位同学准备了甲乙两种共计100件纪念品，活动效果优秀，同学也对纪念品赞不绝口．学校采购甲种纪念品4元/件，乙种纪念品6元/件． （1）如果购买这两种纪念品共用520元，那么甲，乙两种纪念品各购买多少件？ （2）该校准备对七年级同学也举办同样的活动，并再次购买这两种纪念品，使乙种纪念品数量是甲种数量的2倍少4件，且总需费用不多于600元，求甲种纪念品最多能再购买多少件？ 一十．解一元一次不等式组（共8小题） 36．（2024•市南区二模）求不等式组的解集，下面结果正确的是（　　） A．﹣2≤x＜3 B．x≥﹣2 C．x＞3 D．x＞8 37．（2024•荆州二模）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 38．（2024春•东城区校级期中）若点A（1﹣a，a+2）在第二象限，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＜﹣2 C．﹣2＜a＜1 D．a＜1 39．（2024春•安庆期中）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是（　　） A．a≥4 B．a＞4 C．a≤4 D．a＜4 40．（2024•红桥区二模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　 　； （Ⅱ）解不等式②，得 　 　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　． 41．（2024春•泸州期中）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集． 42．（2024春•越秀区校级期中）若关于x的不等式组的解集中任何一个x值均不在3≤x≤5范围内，则a的取值范围为（　　） A．a≤2或a≥5 B．a＜2或a＞5 C．3＜a＜4 D．3≤a＜4 43．（2024春•如东县期中）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则a﹣b的取值范围是（　　） A．﹣6＜a﹣b＜4 B．﹣6＜a﹣b≤4 C．﹣5＜a﹣b＜3 D．﹣5＜a﹣b≤3 一十一．一元一次不等式组的整数解（共5小题） 44．（2024春•宁明县期中）不等式组的整数解有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 45．（2024春•新郑市期中）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜3 B．2≤a≤3 C．2≤a＜3 D．3≤a＜4 46．（2024•邹城市一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2023＜x﹣y＜2025，则整数k值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 47．（2024春•海安市期中）若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝15的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 48．（2024春•渝中区校级期中）关于x的不等式组有且只有三个整数解，关于y、z的方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．15 B．18 C．22 D．25 一十二．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共3小题） 49．（2024春•南山区期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（　　） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A． B． C． D． 50．（2024春•碑林区月考）将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子：若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 51．（2023春•阳江期末）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜6x+10＜4 B．0＜6x+10＜8x C．0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4 D．8x＜6x+10＜4 一十三．一元一次不等式组的应用（共4小题） 52．（2024春•新郑市期中）如图是李明同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥25”为一次运行过程．某次输入x后，程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（　　） A．x≥10 B．x≥15 C．10≤x＜15 D．10＜x≤15 53．（2024•江宁区校级三模）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套． （1）求书籍和实验器材各有多少套？ （2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来． 54．（2024春•庐阳区校级期中）今年3月份新能源汽车迎来一次降价潮，某4s店经销的某品牌A款汽车、B款汽车都进行了相应的降价，若按此价格月售20台A款汽车和10台B款汽车，销售额为230万元；月售10台A款汽车和20台B款汽车，销售额为220万元． （1）求今年3月份A款汽车和B款汽车每辆的售价各是多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为6.5万元，B款汽车每辆进价为5万元，公司预计用不多于90万元的资金购进这两款汽车共15辆，且购进A款汽车的数量不少于购进B款汽车的数量，有哪几种进货方案？并求出最大利润． （3）按照（2）中两种汽车进价不变，为打开B款汽车的销路，公司决定对B款汽车进行打九八折出售，并给出每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元的利好政策，要使（2）中所有的方案获利相同，a的值应是 　 　万元．（不必提供求解过程，直接给出a值即可） 55．（2024春•农安县期中）利用方程（组）或不等式（组）解决问题：“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元． （1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ （2）学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠4元．如果此次学校买书的总费用不超过1500元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？说明理由． 1 / 1 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 不等式与不等式组 【9个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】 考点一：不等式 1. 不等式的定义： 用不等号连接的式子叫做不等式。 2. 常见的不等号： 大于：“＞”，大于等于：“≥”，小于：“＜”，小于等于：“≤”，≠：“≠”。 【考试题型1】判断不等式 【解题方法】根据不等式的定义式子中含有不等号且满足不等关系则为不等式进行判断。 例题讲解：1．（2023秋•邵阳期末）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据不等式的定义，不等号有＜，＞，≤，≥，≠，选出即可． 【解答】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≠，所以不等式有：①②⑤⑥，等式有：③． 故选：C． 【考试题型2】列简单的不等式 【解题方法】根据语言描述的不等关系，以及常见的数学名词所表示的不关系列出不等式即可。常见的数学名词与不等关系有：正数＞0，负数＜0，非正数≤0，非负数≥0等。 例题讲解：2．（2023春•鲤城区校级期中）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“小于25元”，乙说：“至少22元”，丙说：“大于20元”，小明说：“你们三个人都说对了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（　　） A．20＜x≤22 B．22≤x＜25 C．20＜x＜25 D．21＜x＜24 【分析】根据甲、乙、丙三人都说对了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：依题意得：， ∴22≤x＜25． 故选：B． 考点二：不等式（组）的解与解集 1. 不等式解的定义： 使不等关系成立的未知数的值是不等式的一个解。 2. 不等式的解集的定义： 不等式的解有无数个，不等式的所有解得集合叫做不等式的解集。 3. 在数轴上表示不等式的解集： 具体步骤：①确定不等式解集的边界； ②确定不等式边界是实心圆还是空心圈，包含等于用实心圆，不包含等于则用空心圈。 ③确定方法，若大于则方向向右，小于则方向向左。 4. 不等式组的解集： 不等式中所有不等式的解集的公共部分是不等式组的解集。 5. 不等式组的解集的情况： ①同大取大；②同小取小；③大小小大去中间；④大大小小无解答。 【考试题型1】判断不等式的解 【解题方法】将需要判断的数带入不等式中，判断不等关系是否成立，成立则是，不成立则不是。 例题讲解：3．（2023秋•莲都区期末）若x＝3是某个一元一次不等式的一个解，则这个一元一次不等式可能是（　　） A．2x﹣1≤3 B．﹣3x+1≥4 C．6x+2＞11x﹣3 D． 【分析】分别求出各个不等式的解集然后进行判断即可． 【解答】解：A．解不等式2x﹣1≤3得：x≤2， ∵3＞2， ∴x＝3不是一元一次不等式的一个解，故A不符合题意； B．解不等式﹣3x+1≥4得：x≤﹣1， ∵3＞﹣1， ∴x＝3不是一元一次不等式的一个解，故B不符合题意； C．解不等式6x+2＞11x﹣3得：x＜1， ∵3＞1， ∴x＝3不是一元一次不等式的一个解，故C不符合题意； D．解不等式得：x＞1， ∵3＞1， ∴x＝3不是一元一次不等式的一个解，故D符合题意． 故选：D． 【考试题型2】在数轴上表示不等式（组）的解集 【解题方法】利用数轴上表示不等式解集的方法确定边界，实心圆或空心圈以及方向表示出来即可。若是不等式组，则根据表示的情况确定不等式组的公共部分。 例题讲解：4．（2024春•海口期中）不等式x≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C．﹣ D． 【分析】根据不等式画出数轴，实心圆点包括该点，空心圆点不包括该点，大于向右，小于向左即可得出答案． 【解答】解：不等式x≥2的解集在数轴上表示如下图所示： ． 故选：C． 5．（2024春•惠来县期中）不等式的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先解不等式组，然后根据大于解集向右，小于解集向左，含有等号的不等号是实心点，不含有等号的不等号是空心点即可得到答案． 【解答】解：原不等式的解集为：x＞3， 因此数轴上应为不包含2向右的部分与包含3向右的部分的公共部分． 故选：C． 【考试题型3】根据数轴写出所表示的解集 【解题方法】根据数轴上表示解集的方法反过来进行判断即可。同样若是不等式组，则只需判断公共部分。 例题讲解：6．（2024春•西安期中）如图，数轴所表示的不等式的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 【分析】根据不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集． 【解答】解：数轴所表示的不等式的解集是x≤﹣1． 故选：C． 7．（2024•丽水一模）某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（　　） A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x≤2 C．x＜﹣3或x≥2 D．x≤﹣3或x≥2 【分析】根据数轴上表示的解集找出公共部分即可解答． 【解答】解：根据数轴可得：， ∴此不等式组的解集为﹣3＜x≤2， 故选：A． 【考试题型4】根据不等式组的解集求值 【解题方法】利用不等式组的解集的情况确定不等式组的解集中的未知字母的值或取值范围，再根据确定的值与取值范围求相应的值。 例题讲解：8．（2024春•兰州期中）若不等式组无解，则m的取值范围是 　m≤2　． 【分析】根据“大大小小，无处找”即可作答． 【解答】解：∵不等式组无解， ∴m≤2． 故答案为：m≤2． 9．（2023秋•金东区期末）若关于x的不等式组的解为x≥﹣b，则下列各式正确的是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a≤b D．b≤a 【分析】根据判断不等式组的解集口诀：同大取大，求出﹣a与﹣b的大小关系，再根据不等式的性质求出a，b的大小即可． 【解答】解：∵关于x的不等式组的解为x≥﹣b， ∴﹣a＜﹣b， ∴a＞b， 故选：A． 考点三：不等式的性质 1. 不等式的性质1： 不等式的左右两边同时加上（减去）同一个数（式子），不等号的方向不发生改变。 即：若，则＞。 2. 不等式的性质2： 不等式的左右两边同时乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向不发生改变。 即：若，则＞或＞。 3. 不等式的性质3： 不等式的左右两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向发生改变。 即：若，则＜或＜。 注意：在使用不等式的性质时无论是加减乘除都必须是同一个数（或式子）。乘除负数时一定要改变不等式符号的方向。 4. 不等式的传递性： 若，则＞。 【考试题型1】利用不等式的性质进行变形 【解题方法】断不等式的变形用了哪一个不等式的性质，不等号的是否需要进行变向，是否进行了变向。 例题讲解：10．（2024春•香坊区校级期中）如果a＞b，那么下列说法正确的是（　　） A．2a﹣1＜2b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．m2a＞m2b D．a+3＞b+3 【分析】根据不等式的性质对每一个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵a＞b，∴2a＞2b，∴2a﹣1＞2b﹣1，故本选项不符合题意； B、∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，故本选项不符合题意； C、∵a＞b，∴当m≠0时，m2a＞m2b，当m＝0时，m2a＝m2b＝0，故本选项不符合题意； D、∵a＞b，∴a+3＞b+3，故本选项符合题意． 故选：D． 【考试题型2】利用不等式的变形求值 【解题方法】根据不等式的变形情况判断用了不等式的哪一个性质。通常考察不等式的性质2和性质3的应用，若不等式的解得符号与不等式的符号不同，则用不等式的性质3，则系数小于0；若不等式的解的符号与不等式的符号相同，则用不等式的性质2，则系数大于0。 例题讲解：11．（2024•雨花区一模）如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（　　） A．a＜0 B．a≤1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1 【分析】根据不等式的解集，得到不等号方向改变，即a+1小于0，即可求出a的范围． 【解答】解：∵不等式（a+1）x＞（a+1）的解为x＜1， ∴a+1＜0， 解得：a＜﹣1． 故选：D． 考点四：一元一次不等式的定义 1. 一元一次不等式的定义： 含有1个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 判断一元一次不等式： ①只有一个未知数。 ②未知数项系数不能为0。 ③未知数次数一定为1。 【考试题型1】根据一元一次不等式的定义求未知系数的值 【解题方法】通利用未知数的次数是1，未知数项的系数不能为0建立方程组求解即可。 例题讲解：12．（2024春•新郑市期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．2x﹣3＞0 B．2x﹣1＞3y+4 C．2＞﹣3 D． 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【解答】解：∵一元一次不等式是含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式， ∴只有A符合题意． 故选：A． 13．（2024•凉州区二模）若（m﹣2）x|m|﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　m＝﹣2　． 【分析】由一元一次不等式的未知数的最高次数为1次且一次项系数不为零，可得关于m的方程与不等式；接下来根据一元一次方程的解法解方程、根据一元一次不等式的解法解不等式，即可得到m的值． 【解答】解：（m﹣2）x|m|﹣1＞5是关于x的一元一次不等式， 由一元一次不等式的定义可得：m﹣2≠0且|m|﹣1＝1． 解m﹣2≠0，得m≠2， 由|m|﹣1＝1，得m＝±2， 所以m＝﹣2． 故答案为：m＝﹣2． 考点五：解一元一次不等式 具体步骤： 第一步：去分母——不等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。 第二步：去括号。 第三步：移项。 第四步：合并。 第五步：系数化为1。两边同时除以系数或乘以系数的倒数。若系数为正数，则不等号方向不变，若系数为负数，则不等号方向改变。 【考试题型1】解一元一次不等式 【解题方法】根据解一元一次不等式的具有步骤逐步进行求解即可，注意每一步的方法细节。 例题讲解：14．（2024春•新郑市期中）解下列不等式． （1）﹣2（x﹣1）＞x+5； （2）． 【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：（1）∵﹣2（x﹣1）＞x+5， ∴﹣2x+2＞x+5， ﹣2x﹣x＞5﹣2， ﹣3x＞3， 则x＜﹣1； （2）∵， ∴2（3x﹣2）≥3x+2， 6x﹣4≥3x+2， 6x﹣3x≥2+4， 3x≥6， 则x≥2． 【考试题型2】利用解一元一次不等式求值 【解题方法】根据解一元一次不等式的具体步骤进行求解，再根据求出的解与已知解相等或满足的条件建立方程或建立不等式求解。 例题讲解：15．（2024春•蜀山区校级期中）如图表示的是关于x的不等式﹣2x﹣a＞﹣1的解集，则a的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3 【分析】解不等式得出x＜，结合数轴知x＜﹣1，据此可得关于a的方程，解之可得答案． 【解答】解：∵﹣2x﹣a＞﹣1， ∴﹣2x＞a﹣1， 则x＜， 由数轴知x＜﹣1， ∴＝﹣1， 解得a＝3， 故选：D． 【考试题型3】利用不等式的解求另一个不等式的解 【解题方法】通常不等式中都含有未知系数，通过已知不等式的解集求出未知系数之间的关系，在带入所求不等式中求出解集。 例题讲解：16．（2024春•通州区期中）关于x的不等式ax+b＜c的解集为x＞2，则关于x的不等式a（x+3）+b＜c的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞5 D．x＜5 【分析】先根据题意判断出a的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵关于x的不等式ax+b＜c的解集为x＞2， ∴a＜0， ∴解不等式a（x+3）+b＜c得，x+3＞2， 解得x＞﹣1． 故选：A． 【考试题型4】不等式与坐标象限 【解题方法】根据象限内坐标的特点建立不等式，求解不等式即可。 例题讲解：17．（2024•金水区校级开学）点P（x﹣1，1）在第二象限，则x的取值范围是 　x＜1　． 【分析】根据点P在第二象限的坐标特征可知x﹣1＜0即可解答． 【解答】解：由点P（x﹣1，1）在第二象限． 得x﹣1＜0． 解得x＜1． 故答案为：x＜1． 18．（2023秋•齐河县期末）已知关于x的方程3x﹣1＝2x﹣a的解是负数，则点M（﹣2，a）在哪个象限（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】解方程得出x＝1﹣a，根据解为负数得出a＞1，从而得出答案． 【解答】解：解方程3x﹣1＝2x﹣a，得：x＝1﹣a， 根据题意知，1﹣a＜0， 解得a＞1， ∴点M（﹣2，a）在第二象限， 故选：B． 【考试题型5】不等式的整数解 【解题方法】按照解不等式得步骤解出不等式进行判断即可 例题讲解：19．（2024春•宜阳县期中）一元一次不等式2x+5＞3x﹣1的正整数解共有（　　） A．5个 B．6个 C．10个 D．无数个 【分析】求出不等式的解集，可得结论． 【解答】解：2x+5＞3x﹣1， 2x﹣3x＞﹣1﹣5， ﹣x＞﹣6， x＜6， ∴不等式的正整数解为1，2，3，4，5，共有5个． 故选：A． 【考试题型6】根据不等式的整数解的个数求值 【解题方法】把未知字母看作常数，根据解一元一次不等式的具体步骤进行求解，解集为关于未知字母的表达式，根据整数解得个数判断表达式在哪两个连续的整数之间建立不等式进行求值。若整数个数从左至右满足，当原不等式的解集有等号时，则左边的整数取等于，右边不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，右边的数取等。若整数个数从右至左满足，当原不等式组有等于时，则右边的数取等，左边的数不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，左边的数取等。 例题讲解：20．（2024•莱芜区校级模拟）已知不等式2x+a＜x+4的正整数解有2个，则a的取值范围是（　　） A．1＜a＜2 B．1＜a≤2 C．1≤a≤2 D．1≤a＜2 【分析】根据所给不等式的正整数解有2个，可得出关于a的不等式组，进而可解决问题． 【解答】解：解不等式2x+a＜x+4得， x＜﹣a+4． 因为此不等式的正整数解有2个， 所以2＜﹣a+4≤3， 解得1≤a＜2． 故选：D． 【考试题型7】新定义运算与一元一次不等式 【解题方法】根据定义运算法则列出一元一次不等式，在根据解不等式的方法进行求解 例题讲解：21．（2024春•海口期中）定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝﹣5，那么不等式4⊕x≥2的正整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解不等式可得． 【解答】解：根据题意，原不等式转化为：4（4﹣x）+1≥2， 去括号，得：16﹣4x+1≥2， 移项、合并同类项，得：﹣4x≥﹣15， 系数化为1，得：， 正整数解有3个，为1，2，3． 故选：C． 【考试题型8】二元一次方程组与一元一次不等式 【解题方法】利用解方程组的方法解出方程组中的未知数，再把未知数带入满足的不等关系的式子中求解即可。 例题讲解：22．（2024春•高密市期中）关于x，y的方程组满足不等式x﹣y＜5，则m的范围是（　　） A．m＞﹣9 B．m＜﹣9 C．m＞1 D．m＜1 【分析】利用整体的思想可得x﹣y＝，从而可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， ①﹣②得：3x﹣3y＝6﹣m， ∴x﹣y＝， ∵x﹣y＜5， ∴， 解得：m＞﹣9， 故选：A． 考点六：一元一次不等式组的定义 几个含有相同未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 注意：一元一次不等式组中可以有多个一元一次不等式，但是只能有一个未知数。 【考试题型1】判断一元一次不等式组 【解题方法】根据定义含有多个一元一次不等式，但只有含有一个未知数进行判断。 例题讲解： 考点七：解一元一次不等式组 求不等式组的所有不等式的解集的公共部分即为不等式组的解集。 【考试题型1】解不等式组 【解题方法】解出不等式组中的每一个不等式然后求其公共部分即可。 例题讲解：23．（2023春•禅城区校级月考）下列不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【解答】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【考试题型2】根据不等式组的解得情况求不等式组中字母的值 【解题方法】把未知字母看作常数进行求解，得到的解集为一个已知和一个含有字母的式子，再根据不等式组的解得情况：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解答进行判断含有未知字母的式子与已知数的大小关系建立不等式求解。 例题讲解：24．（2024•垦利区一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：， 由①得：x＞﹣6， 由②得：x≤13， 则不等式组的解集为﹣6＜x≤13， 将解集表示在数轴上如下： 故选：A． 25．（2024•兴庆区校级一模）解不等式组． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：由3x﹣2（x﹣1）≤4得：x≤2， 由＞1﹣得：x＞1， 则不等式组的解集为1＜x≤2． 【考试题型3】解不等式组与坐标象限 【解题方法】根据坐标象限的坐标特点建立不等式组，然后求解即可。 例题讲解：26．（2024•盐田区二模）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜0，则（a+b）2024的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2024 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得a、b的值，再代入计算即可． 【解答】解：由x﹣a＞1得：x＞a+1， 由x+1＜b得：x＜b﹣1， ∵解集为﹣1＜x＜0， ∴a+1＝﹣1，b﹣1＝0， 解得a＝﹣2，b＝1， 则原式＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1， 故选：B． 【考试题型4】不等式组的整数解个数 【解题方法】解出不等式组进行判断即可。 例题讲解：27．（2024春•新郑市期中）若点在第二象限，则a的取值范围是（　　） A．﹣6＜a＜2 B．a＜2 C．a＞﹣6 D．a＞2 【分析】根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得关于a的一元一次不等式组，再解不等式组即可． 【解答】解：∵点在第二象限， ∴， 解得a＞2． 故选：D． 【考试题型5】根据不等式组的整数解的个数求未知字母的值 【解题方法】把未知字母看作常数进行求解，得到的解集为一个已知数和一个含有字母的式子，根据整数解得个数判断表达式在哪两个连续的整数之间建立不等式进行求值。若整数个数从左至右满足，当原不等式的解集有等号时，则左边的整数取等于，右边不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，右边的数取等。若整数个数从右至左满足，当原不等式组有等于时，则右边的数取等，左边的数不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，左边的数取等。 例题讲解：28．（2024•玄武区一模）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解：， 由①得x≥﹣2； 由②得x＜4， ∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4， 则不等式组的整数解有﹣2，﹣1，0，1，2，3． 29．（2024春•阳谷县期中）若关于x的不等式组，有且仅有五个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣7 【分析】根据不等式组求出a的范围，然后再根据分式方程求出a的范围，从而确定的a的可能值． 【解答】解：由不等式组可知：x≤4且x＞， ∵x有且只有5个整数解， ∴﹣1≤＜0， ∴﹣4≤a＜3， ∵a是整数， ∴a＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2． ∴所有满足条件的整数a之和为﹣7． 故选：D． 考点八：一元一次不等式（组）的应用 1. 具体步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数。 ②根据题中的不等关系列出不等式（组）。 ③解不等式（组），求出解集。 ④写出符合题意的解。 2. 表达不等关系的关键词： 列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等词来体现问题中的不等关系。 【考试题型1】由实际问题抽象不等式（组） 【解题方法】找到题目中表达不等关系的关键词，然后根据表达的不等关系建立不等式。 例题讲解：30．（2024春•南山区期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（　　） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A． B． C． D． 【分析】所需甲种原料x（kg），则需乙种原料（10﹣x）kg．由题意得：xkg甲原料所含维生素+（10﹣x）kg乙≥4200单位；甲所花的费用+乙的费用≤72． 【解答】解：设所需甲种原料的质量为xkg，则需乙种原料（10﹣x）kg． 根据题意，得：， 故选：C． 31．（2023春•阳江期末）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜6x+10＜4 B．0＜6x+10＜8x C．0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4 D．8x＜6x+10＜4 【分析】设有x人，由于每位学生分6本书，则还剩10本书，则书有（6x+10）本；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本，就是书的本数6x+10﹣8（x﹣1）大于0，并且小于4，根据不等关系就可以列出不等式． 【解答】解：设有x人，则书有（6x+10）本，由题意得： 0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4， 故选：C． 【考试题型2】一元一次不等式（组）的实际应用 【解题方法】根据一元一次不等式（组）解决实际应用题的具体步骤进行解答即可，注意未知数的取值范围必须满足问题的实际意义。 例题讲解：32．（2024春•郫都区校级期中）新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，老疆车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元． （1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？ （2）茅溪科技发展有限公司准备向老疆车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？ 【分析】（1）设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据“第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元”列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲型车a辆，则购买乙型车为（8﹣a）辆，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【解答】解：（1）设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据题意得： ， 解得：， 答：每辆甲型车的售价为20万元，每辆乙型车的售价为15万元； （2）设购买甲型车a辆，则购买乙型车为（8﹣a）辆，依题意得： 145≤20a+15（8﹣a）≤153， 解得：5≤a≤6.6， ∵a为正整数， ∴a取5或6． ∴有两种购车方案： 方案一：购买甲型车5辆，购买乙型车3辆，此时的费用是145万元，； 方案二：购买甲型车6辆，购买乙型车2辆，此时的费用是150万元； 33．（2024•兰山区校级模拟）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元． （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？ 【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案． 【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元， 由题意可得：， 解得， 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； （2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个， ∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元， ∴， 解得30≤x≤32， ∵x为整数， ∴x的值可为30，31，32， ∴共有三种购买方案， 方案一：采购篮球30个，采购足球20个； 方案二：采购篮球31个，采购足球19个； 方案三：采购篮球32个，采购足球18个． 【专题过关】 一．不等式的定义（共3小题） 1．（2024春•高新区校级期中）下列数学式子：①﹣3＜0；②2x+3y≥0；③x＝1；④x2﹣2xy+y2；⑤x+1≠3；其中是不等式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可． 【解答】解：①﹣3＜0，是不等式，符合题意； ②2x+3y≥0，是不等式，符合题意； ③x＝1，是等式，不符合题意； ④x2﹣2xy+y2，是多项式，不符合题意； ⑤x+1≠3，是不等式，符合题意； 综上：是不等式的有①②⑤，共3个． 故选：C． 2．（2024春•杏花岭区校级期中）如图是2024年4月12日太原的天气，这天的最高气温是29℃，最低气温是14℃，设当天某一时刻的气温为t（℃），则t的变化范围是（　　） A．t＞29 B．t＜14 C．14＜t＜29 D．14≤t≤29 【分析】根据气温为14～29℃，可得t的范围是14≤t≤29． 【解答】解：图中温度为：14～29℃，则14≤t≤29， 故选：D． 3．（2024春•红古区期中）《甘肃省全民健身条例》中明确规定，学校应当保证学生在校期间每天不少于一小时的体育锻炼．设学生在校期间每天的锻炼时间为t（小时），则t应满足的关系为（　　） A．t＞1 B．t≥1 C．t＜1 D．t≤1 【分析】“不少于一小时”就是大于等于1小时． 【解答】解：根据题意知，t应满足的关系为：t≥1． 故选：B． 二．不等式的性质（共5小题） 4．（2024•拱墅区校级模拟）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　） A．m﹣2＜n﹣2 B．1﹣2m＜1﹣2n C． D．n﹣m＞0 【分析】根据不等式的性质解决此题． 【解答】解：A．由m＞n，得m﹣2＞n﹣2，那么A错误，故A不符合题意． B．由m＞n，得﹣2m＜﹣2n，推断出1﹣2m＜1﹣2n，那么B正确，故B符合题意． C．由m＞n，得mn，那么C错误，故C不符合题意． D．由m＞n，得n﹣m＜0，那么D错误，故D不符合题意． 故选：B． 5．（2024•萧山区一模）已知a，b，m是实数，且a＞b，那么有（　　） A．a2+m＞b2+m B．a+m2＞b+m2 C．a2m＞b2m D．am2＞bm2 【分析】运用不等式的性质和整式的混合运算知识进行逐一辨别． 【解答】解：∵0＞a＞b时，a2+m＜b2+m， ∴选项A不符合题意； ∵a，b，m是实数，且a＞b时，a+m2＞b+m2， ∴选项B符合题意； ∵a，b，m是实数，且a＞b时，a2m＞b2m不一定成立， ∴选项C不符合题意； ∵a，b，m是实数，且a＞b时，am2＞bm2不一定成立， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 6．（2024春•华安县期中）若x＞y，且（4﹣m）x＜（4﹣m）y，则m的值可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据已知可得m的范围，即可得到答案． 【解答】解：∵x＞y，（4﹣m）x＜（4﹣m）y， ∴4﹣m＜0， 解得m＞4， 故选：D． 7．（2024•安庆一模）已知a，b，c为非零实数，且满足a+b+c＝0，4a+2b+c＜2，则下列结论一定正确的是（　　） A．2a﹣c＞2 B．3a﹣b﹣3c＜4 C．3a＜2 D．a+3b+4c＞0 【分析】由已知a+b+c＝0，得b＝﹣a﹣c，代入4a+2b+c＜2，据此即可判断A． 由已知a+b+c＝0，得a＝﹣b﹣c，代入4a+2b+c＜2，据此即可判断B． 由已知a+b+c＝0，得b+c＝﹣a，代入4a+2b+c＜2，据此即可判断C． 由已知a+b+c＝0，得5a+5b+5c＝0，由4a+2b+c＜2得﹣4a﹣2b﹣c＞﹣2，据此即可判断D． 【解答】解：∵非零实数a，b，c满足a+b+c＝0， ∴b＝﹣a﹣c，代入4a+2b+c＜2得4a+2（﹣a﹣c）+c＜2， 即2a﹣c＜2，故选项A不正确； ∵非零实数a，b，c满足a+b+c＝0， ∴a＝﹣b﹣c，代入4a+2b+c＜2得4（﹣b﹣c）+2b+c＜2， ∴8a+4b+2c＜4， ∴3a+5（﹣b﹣c）+4b+2c＜4， ∴3a﹣b﹣c＜4，故选项B正确； ∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a，代入4a+2b+c＜2得4a+b﹣a＜2即3a＜2﹣b， ∵b为非零实数，当b＜0时，2﹣b＞2， ∴3a＜2，故选项C不正确； ∵a+b+c＝0得5a+5b+5c＝0， ∵4a+2b+c＜2得﹣4a﹣2b﹣c＞﹣2， 即a+3b+4c＞﹣2，故选项D不正确， 故选：B． 8．（2024春•长安区月考）下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则﹣a＞﹣b B．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 C．若a＞b，且c≠0，则ac＞bc D．若ac2＞bc2，则a＞b 【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故A不符合题意； B、若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，故B不符合题意； C、若a＞b，且c＞0，则ac＞bc，故C不符合题意； D、若ac2＞bc2，则a＞b，故D符合题意； 故选：D． 三．不等式的解集（共4小题） 9．（2024春•通州区期中）关于x的不等式ax+b＜c的解集为x＞2，则关于x的不等式a（x+3）+b＜c的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞5 D．x＜5 【分析】先根据题意判断出a的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵关于x的不等式ax+b＜c的解集为x＞2， ∴a＜0， ∴解不等式a（x+3）+b＜c得，x+3＞2， 解得x＞﹣1． 故选：A． 10．（2024春•安溪县期中）已知x＝1是不等式2x﹣a＜0的一个解，则a的值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】将x＝﹣1代入不等式求出a的取值范围即可得出答案． 【解答】解：∵x＝1是不等式2x﹣a＜0的一个解， ∴2﹣a＜0， ∴a＞2， ∴a的值可以是3． 故选：D． 11．（2024春•安溪县期中）已知关于x的不等式（a﹣b）x＞2a+b的解集是x＜3，则关于x的不等式bx+a＜0的解集是（　　） A．x＞4 B．x＜4 C．x＞﹣4 D．x＜﹣4 【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集． 【解答】解：∵关于x的不等式（a﹣b）x＞2a+b的解集是x＜3， ∴a﹣b＜0，且， ∴a＜b，2a+b＝3（a﹣b）， ∴a＜b且a＝4b， a＝4b代入a＜b，得：4b＜b， ∴b＜0， ∵bx+a＜0， ∴bx+4b＜0， ∴x＞﹣4． 故选：C． 12．（2024•茂南区校级一模）如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（　　） A．a＜0 B．a≤1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1 【分析】根据不等式的解集，得到不等号方向改变，即a+1小于0，即可求出a的范围． 【解答】解：∵不等式（a+1）x＞（a+1）的解为x＜1， ∴a+1＜0， 解得：a＜﹣1． 故选：D． 四．在数轴上表示不等式的解集（共3小题） 13．（2024春•宁德期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“大小小大中间找”可得答案． 【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是． 故选：A． 14．（2024•河北模拟）不等式﹣x1的解集在数轴上的表示如图所示，则盖住的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．≤ 【分析】先由图可知不等式的解集为x＜﹣2，然后根据不等式的性质即可得出答案． 【解答】解：由图可知不等式的解集为x＜﹣2， ∵﹣x＞1的解集为x＜﹣2， ∴盖住的符号是＞． 故选：A． 15．（2024春•瓦房店市期中）将某不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则此不等式组的解集为 　﹣3＜x≤3　． 【分析】根据数轴实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左可得答案． 【解答】解：根据数轴实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左． 可知数轴上表示的不等式组的解集为﹣3＜x≤3． 故答案为：﹣3＜x≤3． 五．一元一次不等式的定义（共3小题） 16．（2024春•商水县期中）以下是一元一次不等式的是（　　） A．x2﹣1＞0 B．x﹣1＞2 C．x2≠3 D．3＞1 【分析】直接根据一元一次不等式的定义判断即可． 【解答】解：A、x2−1＞0未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意； B、x−1＞2是一元一次不等式，符合题意； C、x2≠3未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意； D、3＞1没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意， 故选：B． 17．（2024春•郓城县期中）已知4﹣（3﹣m）x|m﹣2|＜0是关于x的一元一次不等式，则m＝　1　． 【分析】根据定义得到3﹣m≠0，|m﹣2|＝1，解不等式即可得到答案 【解答】解：∵4﹣（3﹣m）x|m﹣2|＜0是关于x的一元一次不等式， ∴3﹣m≠0，|m﹣2|＝1，则m﹣2＝1或m﹣2＝﹣1，且m≠3， 解得m＝1， 故答案为：1． 18．（2024•凉州区二模）若（m﹣2）x|m|﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　m＝﹣2　． 【分析】由一元一次不等式的未知数的最高次数为1次且一次项系数不为零，可得关于m的方程与不等式；接下来根据一元一次方程的解法解方程、根据一元一次不等式的解法解不等式，即可得到m的值． 【解答】解：（m﹣2）x|m|﹣1＞5是关于x的一元一次不等式， 由一元一次不等式的定义可得：m﹣2≠0且|m|﹣1＝1． 解m﹣2≠0，得m≠2， 由|m|﹣1＝1，得m＝±2， 所以m＝﹣2． 故答案为：m＝﹣2． 六．解一元一次不等式（共7小题） 19．（2024春•莘县期中）在解不等式的步骤中，应用不等式基本性质的是（　　） 解：3（1+x）﹣2（2x+1）≤6…① 3+3x﹣4x﹣2≤6…② 3x﹣4x≤6﹣3+2…③ ﹣x≤5…④ x≥﹣5…⑤ A．①②③ B．①③⑤ C．①③④ D．②③⑤ 【分析】直接利用不等式的性质分析得出答案． 【解答】解：①运用了不等式性质2； ③运用了不等式性质1； ⑤运用了不等式性质3． 故选：B． 20．（2024春•华安县期中）不等式2x﹣3＜1的解集是（　　） A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．x＜2 【分析】根据一元一次不等式的解法解答． 【解答】解：移项，得2x＜1+3， 合并同类项，得2x＜4， 系数化为1，得x＜2． 故选：D． 21．（2024春•原阳县期中）一元一次不等式ax+b＞0的解集是（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【分析】根据a的取值范围得出不等式的解集即可． 【解答】解：当a＞0时，一元一次不等式ax+b＞0的解集是：x＞﹣； 当a＜0时，一元一次不等式ax+b＞0的解集是：x＜﹣； 故选：D． 22．（2024春•南山区校级期中）解不等式组： （1）2（x﹣3）≤12+5x； （2）． 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，最后根据不等式的性质3不等式的两边都除以﹣3即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项即可． 【解答】解：（1）2（x﹣3）≤12+5x， 去括号，得2x﹣6≤12+5x， 移项，得2x﹣5x≤12+6， 合并同类项，得﹣3x≤18， 不等式两边都除以﹣3，得x≥﹣6； （2）， 去分母，得2（2x﹣1）＞3（x+2）﹣6， 去括号，得4x﹣2＞3x+6﹣6， 移项，得4x﹣3x＞6﹣6+2， 合并同类项，得x＞2． 23．（2024春•泌阳县期中）解不等式，并在数轴上表示出其解集． （1）3（1﹣3x）﹣2（4﹣2x）≥0； （2）． 【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：（1）3（1﹣3x）﹣2（4﹣2x）≥0， 3﹣9x﹣8+4x≥0， ﹣9x+4x≥8﹣3， ﹣5x≥5， x≤﹣1， 将不等式的解集表示在数轴上如下： （2）， 4（x﹣1）＜x﹣3+12， 4x﹣4＜x﹣3+12， 4x﹣x＜﹣3+12+4， 3x＜13， ， 将不等式的解集表示在数轴上如下： ． 24．（2024•安徽模拟）如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（　　） A．a＞0 B．a＞3 C．a≠3 D．a＜3 【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a的范围即可． 【解答】解：∵不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1， ∴a﹣3＜0， ∴a＜3， 故选：D． 25．（2024春•农安县期中）如果关于x的不等式（a+2023）x＞a+2023的解集为x＜1，那么a的取值范围是（　　） A．a＞﹣2023 B．a＜﹣2023 C．a＞2023 D．a＜2023 【分析】根据不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此得出关于a的不等，求解即可． 【解答】解：∵关于x的不等式（a+2023）x＞a+2023的解集为x＜1， ∴a+2023＜0， 解得：a＜﹣2023， 故选：B． 七．一元一次不等式的整数解（共3小题） 26．（2024春•沈阳期中）若关于x的不等式2x﹣a＜0的解集中存在正数解，但不存在正整数解，则a的取值范围是（　　） A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．0≤a＜2 D．0≤a≤2 【分析】先解一元一次不等式可得：x＜0.5a，然后根据题意可得：0＜0.5a≤1，从而进行计算即可解答． 【解答】解：2x﹣a＜0， 2x＜a， x＜0.5a， ∵关于x的不等式2x﹣a＜0的解集中存在正数解，但不存在正整数解， ∴0＜0.5a≤1， ∴0＜a≤2， 故选：B． 27．（2024春•泌阳县期中）若x＝﹣3是关于x的方程x＝m+1的解，则关于x的不等式2（1﹣2x）≥﹣6+m的最大整数解为 　3　． 【分析】把x＝﹣3代入方程x＝m+1，即可求得m的值，然后把m的值代入2（1﹣2x）≥﹣6+m求解即可． 【解答】解：把x＝﹣3代入方程x＝m+1得：m+1＝﹣3， 解得：m＝﹣4． 则2（1﹣2x）≥﹣6+m即2﹣4x≥﹣10， 解得：x≤3． 所以最大整数解为3， 故答案为：3． 28．（2024春•农安县期中）不等式3x﹣2＜x+6的所有正整数解的和是 　6　． 【分析】先解不等式，根据解集得出正整数解，再求和即可． 【解答】解：3x﹣2＜x+6， 3x﹣x＜6+2 2x＜8 x＜4， 所有正整数解为：1，2，3， ∴1+2+3＝6， 故答案为：6． 八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共3小题） 29．（2024春•三元区期中）x与2的和小于3，用不等式表示为（　　） A．x+2＞3 B．x+2≥3 C．x+2＜3 D．x+2≤3 【分析】根据“x与2的和小于3”，即可列出关于x的一元一次不等式． 【解答】解：根据题意得：x+2＜3． 故选：C． 30．（2024春•介休市期中）小涵家距图书馆的路程是8km，他骑自行车前往图书馆看书，上午8：30出发，先以15km/h的速度骑行了x小时，随后以18km/h的速度骑行，结果他在9：00之前赶到了图书馆．根据题意列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 【分析】由上午8：30出发，先以15km/h的速度行驶了x小时，然后以18km/h的速度行驶，结果在9：00前赶到了书店，可得不等关系为骑自行车前往图书馆所用的时间＜． 【解答】解：由题意得：+x＜． 故选：C． 31．（2023秋•南浔区期末）某批服装每件进价为200元，标价为300元，现商店准备将这批服装降价处理，按标价打x折出售，使得每件衣服的利润不低于5%，根据题意可列出来的不等式为（　　） A．300x﹣200≥200×5% B． C． D．300x≥200×（1+5%） 【分析】设售价可以按标价打x折，根据“每件衣服的利润不低于5%”即可列出不等式． 【解答】解：按标价打x折出售，根据题意得： ：． 故选：B． 九．一元一次不等式的应用（共4小题） 32．（2024春•蜀山区校级期中）下面是新华书店5种类型文学名著套装的价目表，小明在这里看好了类型②的名著套装，爸爸说：“今天有促销活动，九折优惠呢!你可以再选一套，但两套最终付款总额不能超过300元．”那么小明再买第二套名著选择价格最贵的类型是（　　） 类型 ① ② ③ ④ ⑤ 价格/元 260 200 130 110 80 A．① B．③ C．④ D．⑤ 【分析】根据题意和表格中的数据可以列出相应的一元一次不等式，从而可以求得小明再买第二套机器人可选择价格最贵的类型是哪种，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得，这一天小明购买类型②需要花费为：200×0.9＝180（元）， 设小明购买类型②后剩下的钱还可以购买的商品的钱数为x元， 0.9x≤300﹣180， 解得x≤133， ∴小明再买第二套名著选择价格最贵的类型是③． 故选：B． 33．（2024春•瑶海区校级期中）阳阳在易物儿童超市购买一款心爱的玩具，玩具成本为60元，定价为90元，当天是儿童节，超市打折优惠卖给小朋友，但利润率不能低于5%．则该玩具最多可以打（　　） A．八五折 B．八折 C．七五折 D．七折 【分析】设该玩具打x折销售，利用利润＝售价﹣成本价，结合利润率不能低于5%，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：设该玩具打x折销售， 根据题意得：90×﹣60≥60×5%， 解得：x≥7， ∴x的最小值为7，即该玩具最多可以打七折． 故选：D． 34．（2024•大连模拟）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买1本甲种书和2本乙种书共需125元；购买2本甲种书和5本乙种书共需300元． （1）求甲、乙两种书的单价； （2）学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过2000元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？ 【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买1本甲种书和2本乙种书共需125元；购买2本甲种书和5本乙种书共需300元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该校购买m本乙种书，则购买（50﹣m）本甲种书，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种书的单价是25元，乙种书的单价是50元； （2）设该校购买m本乙种书，则购买（50﹣m）本甲种书， 根据题意得：25（50﹣m）+50m≤2000， 解得：m≤30， ∴m的最大值为30． 答：该校最多可以购买30本乙种书． 35．（2024春•中原区校级期中）河南之于中国，正如中国之于世界，了解老家河南可以帮助我们更好地了解我们伟大的祖国．为了更好地了解河南文化特色，某学校八年级举办了传统文化知识大讲堂活动，并在活动后对表现优异的100位同学准备了甲乙两种共计100件纪念品，活动效果优秀，同学也对纪念品赞不绝口．学校采购甲种纪念品4元/件，乙种纪念品6元/件． （1）如果购买这两种纪念品共用520元，那么甲，乙两种纪念品各购买多少件？ （2）该校准备对七年级同学也举办同样的活动，并再次购买这两种纪念品，使乙种纪念品数量是甲种数量的2倍少4件，且总需费用不多于600元，求甲种纪念品最多能再购买多少件？ 【分析】（1）设购买x件甲种纪念品，则购买（100﹣x）件乙种纪念品，利用总价＝单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即购买甲种纪念品的数量），再将其代入（100﹣x）中，即可求出购买乙种纪念品的数量； （2）设再购买y件甲种纪念品，则再购买（2y﹣4）件乙种纪念品，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于600元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设购买x件甲种纪念品，则购买（100﹣x）件乙种纪念品， 根据题意得：4x+6（100﹣x）＝520， 解得：x＝40， ∴100﹣x＝100﹣40＝60（件）． 答：购买40件甲种纪念品，60件乙种纪念品； （2）设再购买y件甲种纪念品，则再购买（2y﹣4）件乙种纪念品， 根据题意得：4y+6（2y﹣4）≤600， 解得：y≤39， ∴y的最大值为39． 答：甲种纪念品最多能再购买39件． 一十．解一元一次不等式组（共8小题） 36．（2024•市南区二模）求不等式组的解集，下面结果正确的是（　　） A．﹣2≤x＜3 B．x≥﹣2 C．x＞3 D．x＞8 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式①，得x≥﹣2； 解不等式②，得x＞3； ∴不等式组的解集为x＞3； 故选：C． 37．（2024•荆州二模）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别计算出两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．最后用数轴表示不等式的解集即可，用数轴表示不等式的解集要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【解答】解：， 解①得：m≤1， 解②得：m＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜m≤1， 将不等式的解集表示在数轴上，如图所示， 故选：B． 38．（2024春•东城区校级期中）若点A（1﹣a，a+2）在第二象限，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＜﹣2 C．﹣2＜a＜1 D．a＜1 【分析】根据第二象限的点的坐标特征，根据不等式组解决问题． 【解答】解：由题意， 解得a＞1． 故选：A． 39．（2024春•安庆期中）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是（　　） A．a≥4 B．a＞4 C．a≤4 D．a＜4 【分析】分别解不等式①②，根据不等式组有解，得出，解不等式即可求解． 【解答】解： 解不等式①得：x≥2 解不等式②得：， ∵x的一元一次不等式组有解， ∴ 解得：a＜4， 故选：D． 40．（2024•红桥区二模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　x≥﹣1　； （Ⅱ）解不等式②，得 　x≤2　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 　﹣1≤x≤2　． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1； （Ⅱ）解不等式②，得x≤2； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤2， 故答案为：x≥﹣1，x≤2，﹣1≤x≤2． 41．（2024春•泸州期中）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：， 由①得：x＞3， 由②得：x≤4， 在数轴上表示： 故不等式组的解集为：3＜x≤4． 42．（2024春•越秀区校级期中）若关于x的不等式组的解集中任何一个x值均不在3≤x≤5范围内，则a的取值范围为（　　） A．a≤2或a≥5 B．a＜2或a＞5 C．3＜a＜4 D．3≤a＜4 【分析】先求出不等式组的解集，然后根据关于x的不等式组的解集中任何一个x值均不在3≤x≤5范围内，即可求得a的取值范围． 【解答】解：由不等式组可得：a＜x＜a+1， ∵关于x的不等式组的解集中任何一个x值均不在3≤x≤5范围内， ∴a+1≤3或a≥5， 解得a≤2或a≥5， 故选：A． 43．（2024春•如东县期中）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则a﹣b的取值范围是（　　） A．﹣6＜a﹣b＜4 B．﹣6＜a﹣b≤4 C．﹣5＜a﹣b＜3 D．﹣5＜a﹣b≤3 【分析】先解二元一次方程组可得，从而可得，进而可得：a＞﹣1，然后根据已知a+b＝4，从而可得a＝4﹣b，b＝4﹣a，再根据b＞0，可得4﹣a＞0，从而可得a＜4，进而可得﹣1＜a＜4，最后可得﹣1＜4﹣b＜4，从而可得﹣4＜﹣b＜0，进行计算即可解答． 【解答】解：， 解得：， ∵x＞0，y＞0， ∴， 解得：a＞﹣1， ∵a+b＝4， ∴a＝4﹣b，b＝4﹣a， ∵b＞0， ∴4﹣a＞0， ∴a＜4， ∴﹣1＜a＜4， ∴﹣1＜4﹣b＜4， ∴﹣5＜﹣b＜0， ∴﹣6＜a﹣b＜4， 故选：A． 一十一．一元一次不等式组的整数解（共5小题） 44．（2024春•宁明县期中）不等式组的整数解有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，进而得出整数解的个数． 【解答】解：解不等式x﹣2＜0，得x＜2， 解不等式﹣2x﹣1≤1，得x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2， ∴不等式组的整数解有﹣1、0、1共3个． 故选：C． 45．（2024春•新郑市期中）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜3 B．2≤a≤3 C．2≤a＜3 D．3≤a＜4 【分析】先解每一个不等式，再根据不等式组有5个整数解，确定含a的式子的取值范围． 【解答】解：解不等式，得：x＜3， 解不等式2x﹣5＜3x﹣a，得：x＞a﹣5， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的整数解为2、1、0、﹣1、﹣2， ∴﹣3≤a﹣5＜﹣2， 解得，﹣2≤a＜3 故选：C． 46．（2024•邹城市一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2023＜x﹣y＜2025，则整数k值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】先利用加减消元法推出x﹣y＝k﹣1，再由2023＜x﹣y＜2025推出2024＜k＜2026，据此可得答案． 【解答】解：， ①+②得：3x﹣3y＝3k﹣3， ∴x﹣y＝k﹣1， ∵2023＜x﹣y＜2025， ∴2023＜k﹣1＜2025， ∴2024＜k＜2026， ∴整数k值为2025， 故选：D． 47．（2024春•海安市期中）若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝15的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的情况求出k的第一个范围，再解关于y的方程，根据其解的情况列出关于k的不等式，解之求出k的第二个范围，从而得出k的最终范围，继而可得答案． 【解答】解：， 由①得x， 由②， ∴不等式组的整数解为1、2、3， ∴3≤＜4， 解得8≤k＜11， 解3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝15得y＝18﹣2k， 由题意知18﹣2k≤0， 解得k≥9， ∴9≤k＜11， 则符合条件的所有整数k的和为9+10＝19， 故选：B． 48．（2024春•渝中区校级期中）关于x的不等式组有且只有三个整数解，关于y、z的方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．15 B．18 C．22 D．25 【分析】先根据第一个不等式组有且仅有三个整数解，可求出a的取值范围，再用a表示出后一个方程组的解，根据此方程组的解为正整数即可解决问题． 【解答】解：解不等式得， x≤4． 解不等式6x﹣2a＞3（1﹣x）得， x＞． 因为不等式组有且只有三个整数解， 所以1≤＜2， 解得3≤a＜7.5， 解方程组得， ， 因为方程组的解为正整数，且3≤a＜7.5， 所以整数a可取的数为：3，4，5，6， 所以满足条件所有整数a的和为：3+4+5+6＝18． 故选：B． 一十二．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共3小题） 49．（2024春•南山区期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（　　） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A． B． C． D． 【分析】所需甲种原料x（kg），则需乙种原料（10﹣x）kg．由题意得：xkg甲原料所含维生素+（10﹣x）kg乙≥4200单位；甲所花的费用+乙的费用≤72． 【解答】解：设所需甲种原料的质量为xkg，则需乙种原料（10﹣x）kg． 根据题意，得：， 故选：C． 50．（2024春•碑林区月考）将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子：若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【分析】设有x个儿童，得到共有（4x+9）个橘子，再根据最后一个孩子有分到橘子但少于3个，列出不等式组即可． 【解答】解：设有x个儿童，由题意， 得：， 故选：B． 51．（2023春•阳江期末）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜6x+10＜4 B．0＜6x+10＜8x C．0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4 D．8x＜6x+10＜4 【分析】设有x人，由于每位学生分6本书，则还剩10本书，则书有（6x+10）本；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本，就是书的本数6x+10﹣8（x﹣1）大于0，并且小于4，根据不等关系就可以列出不等式． 【解答】解：设有x人，则书有（6x+10）本，由题意得： 0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4， 故选：C． 一十三．一元一次不等式组的应用（共4小题） 52．（2024春•新郑市期中）如图是李明同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥25”为一次运行过程．某次输入x后，程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（　　） A．x≥10 B．x≥15 C．10≤x＜15 D．10＜x≤15 【分析】根据程序运行两次就停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：10≤x＜15， ∴x的取值范围是10≤x＜15． 故选：C． 53．（2024•江宁区校级三模）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套． （1）求书籍和实验器材各有多少套？ （2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来． 【分析】（1）设书籍有x套，实验器材有y套，根据书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套建立方程组，解方程组即可得； （2）设运输部门安排甲种型号的货车m辆，乙种型号的货车（8﹣m）辆，根据两种型号的货车运输量建立不等式组，解不等式组即可得． 【解答】解：（1）设书籍和实验器材各有x套，y套， 由题意得，， 解得， 答：书籍和实验器材各有240套，120套； （2）设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车（8﹣m）辆， 由题意得，， 解得0≤m≤4， ∴有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆． 54．（2024春•庐阳区校级期中）今年3月份新能源汽车迎来一次降价潮，某4s店经销的某品牌A款汽车、B款汽车都进行了相应的降价，若按此价格月售20台A款汽车和10台B款汽车，销售额为230万元；月售10台A款汽车和20台B款汽车，销售额为220万元． （1）求今年3月份A款汽车和B款汽车每辆的售价各是多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为6.5万元，B款汽车每辆进价为5万元，公司预计用不多于90万元的资金购进这两款汽车共15辆，且购进A款汽车的数量不少于购进B款汽车的数量，有哪几种进货方案？并求出最大利润． （3）按照（2）中两种汽车进价不变，为打开B款汽车的销路，公司决定对B款汽车进行打九八折出售，并给出每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元的利好政策，要使（2）中所有的方案获利相同，a的值应是 　 　万元．（不必提供求解过程，直接给出a值即可） 【分析】（1）设今年3月份A款汽车的售价是x万元/辆，B款汽车的售价是y万元/辆，根据“月售20台A款汽车和10台B款汽车，销售额为230万元；月售10台A款汽车和20台B款汽车，销售额为220万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该汽车销售公司购进m辆A款汽车，则购进（15﹣m）辆B款汽车，根据“公司预计用不多于90万元的资金购进这两款汽车共15辆，且购进A款汽车的数量不少于购进B款汽车的数量”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，可得出各进货方案，求出各方案的利润，比较后即可得出结论； （3）由（2）中所有的方案获利相同，可得出A，B两款汽车每台的销售利润相同，进而可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设今年3月份A款汽车的售价是x万元/辆，B款汽车的售价是y万元/辆， 根据题意得：， 解得：． 答：今年3月份A款汽车的售价是8万元/辆，B款汽车的售价是7万元/辆； （2）设该汽车销售公司购进m辆A款汽车，则购进（15﹣m）辆B款汽车， 根据题意得：， 解得：≤m≤10， 又∵m为正整数， ∴m可以为8，9，10， ∴该汽车销售公司共有3种进货方案， 方案1：购进8辆A款汽车，7辆B款汽车，销售利润为（8﹣6.5）×8+（7﹣5）×7＝26（万元）； 方案2：购进9辆A款汽车，6辆B款汽车，销售利润为（8﹣6.5）×9+（7﹣5）×6＝25.5（万元）； 方案3：购进10辆A款汽车，5辆B款汽车，销售利润为（8﹣6.5）×10+（7﹣5）×5＝25（万元）． ∵26＞25.5＞25， ∴最大利润为26万元； （3）∵（2）中所有的方案获利相同， ∴A，B两款汽车每台的销售利润相同， ∴8﹣6.5＝7×0.98﹣a﹣5， 解得：a＝0.36， ∴a的值应是0.36万元． 故答案为：0.36． 55．（2024春•农安县期中）利用方程（组）或不等式（组）解决问题：“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元． （1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ （2）学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠4元．如果此次学校买书的总费用不超过1500元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？说明理由． 【分析】（1）设购买《论语》的单价是x元，则购买《孟子》的单价是y元，根据等量关系式列出方程3x+2y＝170，5x+3y＝275，然后解方程组； （2）设购买《论语》m本，则购买《孟子》（50﹣m）本，按照题意列出不等式，然后解不等式，m不少于38本，确定m的取值范围，根据m为正整数，确定m的值，算出各方案的值，比较大小，确定学校应选择的方案． 【解答】解：（1）设购买《论语》的单价是x元，则购买《孟子》的单价是y元，依题意得： ， 解得：， 答：购买《论语》的单价40元，《孟子》的单价是25元； （2）设购买《论语》m本，则购买《孟子》（50﹣m）本，依题意得： 40×0.8m+（25﹣4）（50﹣m）≤1500， 解得：m≤40． ∵m≥38， ∴38≤m≤40． 又∵m为正整数， ∴m可以为38，39，40， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本， 所需总费用为40×0.8×38+（25﹣4）×12＝1468（元）； 方案2：购买《论语》39本，《孟子》11本， 所需总费用为40×0.8×39+（25﹣4）×11＝1479（元）； 方案3：购买《论语》40本，《孟子》10本， 所需总费用为40×0.8×40+（25﹣4）×10＝1490（元）． ∵1468＜1479＜1490， ∴学校应选择方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本． 1 / 1 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$