2024届新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块15-圆锥曲线

1、椭圆 ○ 温馨提示 1. 椭圆标准方程的形式是: 左 边是“平方” + “平方”, 右边 是 1 . 2. 椭圆的标准方程中, 与 对应的分母哪一个大, 则焦 点在哪一个轴上, 简记为 “焦点位置看大小, 焦点随 着大的跑”. 3. 方程 与 表示的椭圆 大小、形状都相同, 只是焦 点的位置不同 (图形位置不 同). 4. 只有以椭圆的中心为原点, 焦点所在直线为坐标轴建 立平面直角坐标系, 这样得 到的椭圆方程才是椭圆的 标准方程. 当 时,该方程为圆 的方程。 模块十五：圆雉曲线 椭圆的定义 1. 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点 的距离的和等于常数 (大 的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. 2. 椭圆定义的集合描述 设点 是椭圆上的任意一点,点 是椭圆的焦点,则由 椭圆的定义知,椭圆可以视为动点 的集合 常数,常数 2 椭圆的方程 1. 椭圆的标准方程 定义 图形 标准方程 焦点 的关系 2. 椭圆的一般方程 当 时,方程 可以变形为 ,由此 可以看出方程 表示椭圆的充要条件是 ,且 同号, ,此时称方程 为椭圆的一般方程. 求椭圆方程时可以将方程设为 ,这 样可以避免对焦点位置的讨论. 无法确定椭圆的焦点位置时, 可 3.共焦点的椭圆系方程考虑这种形式。 1) 与椭圆 有公共焦点的椭圆方程为 ●椭圆的范围 1. 从椭圆的方程或图形中可 以直接看出它的范围. 2. 在处理椭圆的一些参数问 题或最值问题时要注意 的取值范围. ●知识拓展 若 是椭圆的焦点, 是椭圆上与 不共线的 一点,在 中,设 , ,则 . ○名师点睛 1. 圆和椭圆是两种不同的曲 线, 圆不是椭圆的特殊情况. 2. 椭圆的扁平程度仅由离心 率 的大小确定,与椭圆的 焦点位置无关. 2) 与椭圆 有公共焦点的椭圆方程为 . 见到“离心率相同的椭圆”时注意 4. 相同离心率的椭圆系方程讨论焦点在 轴还是 轴. 与椭圆 有相同离心率的椭圆方程为 ,焦点在 轴上) 或 ,焦点在 轴上). 3 椭圆的几何性质 标准方程 范围 对称性关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称 顶点坐标 半轴长长半轴长为 ,短半轴长为 离心率 椭圆的离心率 1. 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率,用 表示,即 2. 离心率的取值范围: . 3. 离心率对椭圆形状的影响: 1) 越接近 就越接近 ,从而 就越 小, 椭圆就越扁. 2) 越接近 就越接近 0,从而 就越 接近 ,椭圆就越圆. 4. 与 的关系: . 解析 要使椭圆 上存在点 ,使 ,只需点 在椭圆 的短轴的端点处时, 满足 . 根据椭圆的对称性, 在 Rt 中, . 则 ,即 ,则 ,所以 ,即 ,所以椭 圆的离心率 . 又 ,所以椭圆 的离心率的取 值范围是 . ○ 温馨提示 ○ 焦点三角形图形 椭圆的通径及有关最值 1. 通径: 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得 的线段称为椭圆的通径,其长为 . 2. 最值 . 1) 椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点, 到中心距离 最大的点是长轴的两个端点. 2) 椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点, 距离 的最大值为 ,距离的最小值为 . 3) 对于椭圆上的点 随着点 从长轴端点向短轴端点移动而逐 渐变大,当点 在短轴端点处时, 最大. 4) - . 例 已知椭圆 的左、右焦点分别为 , ,若椭圆 上存在点 ,使 ,求椭圆 的离心率 的取值范围. 6 关于椭圆的几个重要结论 1.弦长公式 可以直接求出两交点坐标,利用两点间距离 设直线与椭圆交于 两点,则 公式求 . 或 为直线斜率, . 2. 焦点三角形 1) 为椭圆 上异于长轴端点的点, 为两 个焦点,则 称作焦点三角形. 若 ,则 的面积 . 2) 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点, 为椭圆的两 焦点,则 的周长为 . 3) 过焦点 的弦 与椭圆另一个焦点 构成的 的周 长为 .3. 椭圆的切线 椭圆 上一点 处的切线方程为 . 可由圆 上一点 处的 切线方程 类比得到. ○知识拓展 设 是椭圆 上关于原点对称的 两点,点 是该椭圆上不同于 的任一点,若直线 的斜率分别为 ,则 . 4. 点与椭圆的位置关系 对于椭圆 ,我们有: (1) 在椭圆内 部 ; (2) 在椭圆外部 ; (3) 在 椭圆上 . 可由点 与圆 的位置 5. 椭圆中斜率乘积为定值的问题 1) 椭圆 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶 点外的任一点连线的斜率之积为 ; 2) 设 是椭圆 上关于原点对称的两点,点 为该椭圆上不同于 的任一点,若直线 的斜率分别 为 ,则 . 2、双曲线 双曲线的定义 1.双曲线的定义 一般地,平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等 于非零常数 (小于 ) 的点的轨迹叫做双曲线 (如图所示). 两个定点 叫做双曲线的焦点; 叫做双曲线的 焦距. 双曲线上任一点到 焦点的距离不相等 温馨提示 当 时,点 的轨迹为靠近 的双曲线 的一支. 当 时,点 的轨迹为靠近 的双曲 线的一支. 注: (1)若 ,则轨迹是以 为端点的两条射线; (2)若 ,则轨迹不存在; (3)若 ,则轨迹是线段 的垂直平分线.2.双曲线定义的集合描述双曲线是点集。 设点 是双曲线上任意一点,点 是双曲线的焦点,则 由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点 的集合 常数,常数大于 0 且小于 . 2 双曲线的标准方程和几何性质 ○ 温馨提示 标准方程 范围 焦点 顶点 对称性 关于x轴、y轴对称,关于原点对称 线段 叫做双曲线的实轴,它的长 实、虚 ; 线段 叫做双曲线的虚轴,它的长 轴长 =2b(a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的 虚半轴长) 焦距 焦距 为 是半焦距 离心率 渐近线 方程 1. 双曲线的标准方程中, 与 的系数哪一个为正,焦点 就在哪一个轴上, 简记为 “焦点跟着正项走”. 2. 只有以双曲线的中心为原 点, 且以两定点所在直线、 两定点的连线段的中垂线 为坐标轴建立平面直角坐 标系, 这样得到的双曲线的 方程才是双曲线的标准 方程. 将标准方程中右边“1”变 为“O”即可得到双曲线的 渐近线方程。 ○知识拓展 如图,设 是双曲线 的焦点, 是双曲线上与 、 不共线的一点,在 中,设 , , ,则 ,所以 . 3 双曲线的离心率 1. 定义 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率,用 表 示,即 . 2. 的范围: . 由 得 越大,直线 的倾斜角越 3. 的几何意义: 是表示双曲线张口 大小的一个量, 越大,张口越大. ,当 时, ,具 增大, 也增大,渐近线与实轴的夹角也增大. 若一个双曲线的实轴与虚 轴分别是另一个双曲线的 虚轴和实轴，则这两个双曲， 线是共轭的,其中一个双曲 线是另一个双曲线的共轭 双曲线。 ○证明结论 2 不妨设点 在第一象限, 在 中,令 , . 由双曲 线定义知 ,平方得 . 由余弦定理 得 ,即 ,由(2)-(1)得 ,即 ,又 . ,即 两种特殊的双曲线 焦点在 轴上时，方程为 ，也 1. 等轴双曲线可以统一设成 . 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其中焦点在 轴上的等轴双曲线的方程为 ,离心率 ,渐近 线方程为 ,它们互相垂直. 2.共轭双曲线 双曲线 的共轭双曲线方程为 ,它们有共同的渐近线,其方程为 ,它们的离 心率 满足关系式 . 双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得 的线段,称为双曲线的通径. 通径长为 . 关于双曲线的几个重要结论 1.弦长公式 设直线与双曲线交于 两点, 则 或 为直线 的斜率, ). 2. 焦点三角形 已知 是双曲线 的两个焦点, 为 双曲线上一点 (异于顶点),则 称作焦点三角形. 若 ,则 的面积 . 3. 基础三角形: 如图所示,在 中, , . 4. 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长. 5. 双曲线的切线可由椭圆的切线方程类比得到. 双曲线 上一点 处的切线方程 是 .6. 双曲线划分平面区域 对于双曲线 ,我们有: 在双曲线内部(与焦点共区域) ; 在双曲线外部(与焦点不共区域) . 7. 是双曲线 右支上不同于实轴端点的任 意一点, 分别为双曲线的左、右焦点, 为 内切 圆的圆心,则圆心 的横坐标恒为定值 . 3、抛物线 抛物线的定义 1.抛物线的定义 定点不在定直线上. 平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线,定点 叫做抛物线的焦点,定直线 叫做 抛物线的准线. 2. 抛物线定义的集合描述 设点 是抛物线上任意一点,抛物线的焦点为 ,准线为 , ○ 温馨提示 点 到准线 的距离为 ,则由抛物线的定义知,抛物线可以视 1. 抛物线的定义的实质可归为动点 的集合 . 抛物线是一个点集. 结为 “一动三定”: 一个动 点,设为 ; 一个定点 叫 2 抛物线的有关概念 ** 做抛物线的焦点; 一条定直 名称 弦 连接抛物线上任意两点的线段, 叫做抛物线的弦 焦点弦 过抛物线焦点的弦，叫做抛物线 的焦点弦 通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的 弦叫做抛物线的通径 焦半径 抛物线上一点 和焦点的连线, 叫做点 的焦半径 焦准距 抛物线的焦点到它的准线的距 离，叫做焦准距 线 叫做抛物线的准线; 一 个定值,即点 与点 的距 离与点 到直线 的距离之 比等于 1 . 2. 注意定点 不在定直线 上,否则动点 的轨迹不是 抛物线,而是过点 垂直于 直线 的一条直线. 例如与 点 和到直线 : 的距离相等的点的轨 迹是 轴. 3 抛物线的标准方程与几何性质 - 对抛物线开口大小的影响 1. 对于抛物线 来说, 值越大, 也越大, 抛物线的开口也越大. 2. 对于抛物线 来说, 值越大, 也越大, 抛物线的开口也越大. 图形 顶点 范围 对称轴 轴 轴 的几何意义: 抛物线焦 点到准线的距离。对于 抛物线 值 越大, 抛物线的开口越 大. 准线 离心率 焦准距 通径长 2p 的 焦半径 抛物线的焦点弦的性质 以抛物线 为例,设 是抛物线的过焦点的一 条弦 (焦点弦), 是抛物线的焦点, 在 准线上的射影为 ,则有以下结论: 2) 若直线 的倾斜角为 ,且 位于 轴上方, 位于 轴下 方,则 ; 3) ,抛物线的通径 长为 ,通径是最短的焦点弦; 4) ; 5) ,为定值; 6) 以 为直径的圆与抛物线的准线相切; 7) 以 (或 ) 为直径的圆与 轴相切; 8) 以 为直径的圆与直线 相切,切点为 ; 三点共线, 三点也共线. 5 关于抛物线的几个重要结论 ** 1.弦长公式 设直线与抛物线交于 两点,则 - 求过抛物线 上一点的切线方程 由点 在 抛物线 上,得 ,设过点 的切 线方程为 ,将 代入得 ,由 得 ,从而切 线方程为 ,化 简得 ,又 ,即 . 2. 点与抛物线的位置关系 对于抛物线 ,我们有 在抛物线内部 在抛物线外部 在抛物 线上 . 3. 抛物线的切线 过抛物线 上的点 的切线方程是 . 抛物线 的斜率为 的切线方程是 或 为直线 的斜率, ). . 4. 若抛物线 在点 和 处的两条 (焦点弦),分别过 作抛物线的切线,交于点 ,连接 , 则有以下结论: 1) 点 的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 ; 2) 两切线互相垂直,即 ; 3) ; 4) 点 的坐标为 . 【知识拓展】 切线交于点 ,则 . 5. 如左图所示, 是抛物线 的过焦点的一条弦 1、圆雉曲线综述: 联立方程设交点, 韦达定理求弦长; 变量范围判别式, 曲线定义不能忘; 弦斜中点点差法, 设而不求计算畅; 向量参数恰当用, 数形结合记心间. 、直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线的设法: (1) 若题目明确涉及斜率,则设直线: ,需考虑直线斜率是否存在,分类讨论; (2) 若题目没有涉及斜率或直线过 则设直线: ,可避免对斜率进行讨论(2) 研究通法: 联立 得: 判别式: ,韦达定理: (3) 弦长公式: 3、硬解定理 设直线 与曲线 相交于 由: ,可得: 判别式: 韦达定理: 由: ,代入韦达定理: *4 4 、点差法: 若直线 与曲线相交于 两点,点 是弦 中点, 的斜率为 , 则: 在椭圆 中,有 ; 在双曲线 中,有 ; 在抛物线 中,有 . 证明: (椭圆) 设 两两点的坐标分别为 , 则有 (1) - (2),得 . . 又 . ※ 5、平移构造齐次式: (圆锥曲线斜率和与积的问题) (1) 题设: 过圆雉曲线上的一个定点 作两条直线与圆锥曲线交于 ,在直线 和 斜率之和或者斜率之 积为定值的情况下,直线 过定点或者 定斜率的问题. (2)步骤: (1)将公共点 平移到坐标原点 (点平移: 左加右减上减下加)找出平移单位长. (2)由(1)中的平移单位长得出平移后的圆雉曲线 ,所有直线方程统一写为: (3)将圆雉曲线 展开,在一次项中乘以 ,构造出齐次式. (4)在齐次式中,同时除以 ,构建斜率 的一元二次方程,由韦达定理可得斜率之积(和). 【课本优质习题汇总】 新人教 A 版选择性必修一 P112 5. 比较下列每组中椭圆的形状, 哪一个更接近于圆? 为什么? (1) 与 ; (2) 与 . 新人教 A 版选择性必修一 P115 6. 如图,圆 的半径为定长 是圆 内一个定点, 是圆 上任意一 (第 6 题) 点. 线段 的垂直平分线 和半径 相交于点 ,当点 在圆上运动 时,点 的轨迹是什么? 为什么? 新人教 A 版选择性必修一 P115 9. 如图, 轴,垂足为 ,点 在 的延长线上,且 (第 9 题) . 当点 在圆 上运动时,求点 的轨迹方程,并说 明轨迹的形状. 10. 一动圆与圆 外切,同时与圆 内切, 求动圆圆心的轨迹方程, 并说明它是什么曲线. 新人教 A 版选择性必修一 P116 11. 如图,矩形 中, 分别是矩 形四条边的中点, 是线段 的四等分点, 是线段 的四等分点. 证明直线 与 与 与 的交点 都在椭圆 上. (第 11 题) 新人教 A 版选择性必修一 P116 13. 已知椭圆 ,直线 . 椭圆上是否存在一点,使得: (1) 它到直线 的距离最小? 最小距离是多少? (2) 它到直线 的距离最大? 最大距离是多少? 14. 已知椭圆 ,一组平行直线的斜率是 . (1) 这组直线何时与椭圆有两个公共点? (2) 当它们与椭圆有两个公共点时, 证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直 线上. 新人教 A 版选择性必修一 P121 3. 已知方程 表示双曲线,求 的取值范围. 4. 双曲线 的两个焦点分别是 与 ,焦距为 是双曲线上的一点,且 ,求 的值. 新人教 A 版选择性必修一 P127 5. 如图,圆 的半径为定长 是圆 外一个定点, 是圆 上任意 (第 5 题) 一点. 线段 的垂直平分线 与直线 相交于点 ,当点 在圆 上运动时,点 的轨迹是什么? 为什么? 新人教 A 版选择性必修一 P127 10. 设动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是 , 求动点 的轨迹方程,并说明轨迹的形状. 新人教 A 版选择性必修一 P128 11. 是一个动点, 与直线 垂直,垂足 位于第一象限, 与直线 垂直,垂 足 位于第四象限. 若四边形 的面积为 3,求动点 的轨迹方程. 12. 设椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ,双曲线的渐近线 的斜率小于 ,求 和 的取值范围. 新人教 A 版选择性必修一 P128 13. 已知双曲线 ,过点 的直线 与双曲线相交于 两点, 能否是线段 的中点? 为什么? 14. 已知双曲线 与直线 有唯一的公共点 ,过点 且与 垂直的直线分别交 轴、 轴于 两点. 当点 运动时,求点 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线. 如果推广到一般双曲线, 能得到什么相应的结论? 新人教 A 版选择性必修一 P138 4. 两条直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点, 为 何值时,直线 经过抛物线的焦点? 5. 已知圆心在 轴上移动的圆经过点 ,且与 轴、 轴分别交于 两个动 点,求点 的轨迹方程. 新人教 A 版选择性必修一 P138 5. 如图, 是抛物线 上的一点, 是抛物线的焦点,以 为始边、 为终边的角 ,求 . (第 5 题) (第 6 题) 6. 如图,直线 与抛物线 相交于 两点,求证: . 新人教 A 版选择性必修一 P139 9. 从抛物线 上各点向 轴作垂线段,求垂线段的中点的轨迹方程,并说明它是 什么曲线. 新人教 A 版选择性必修一 P139 11. 已知 两点的坐标分别是 ,直线 相交于点 ,且直线 的斜率与直线 的斜率的差是 2,求点 的轨迹方程. 新人教 A 版选择性必修一 P139 12. 已知抛物线的方程为 ,直线 绕其上一点 旋转,讨论直线 与抛物线 的公共点个数,并回答下列问题: (1) 画出图形表示直线 与抛物线的各种位置关系,从图中你发现直线 与抛物线只有一个公 共点时是什么情况? (2) 与直线 的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系? 13. 设抛物线 的焦点为 ,从点 发出的光线经过抛物线上的点 (不同于抛 物线的顶点) 反射, 证明反射光线平行于抛物线的对称轴. 新人教 A 版选择性必修一 P145 (2) 与圆 及圆 都外切的圆的圆心在 ( ). (A) 椭圆上 (B) 双曲线的一支上 (C) 抛物线上 (D) 圆上 3. 当 从 到 变化时,方程 表示的曲线的形状怎样变化? 新人教 A 版选择性必修一 P145 5. 设抛物线的顶点为 ,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于 两点,经过抛物线上 一点 且垂直于轴的直线与轴交于点 . 求证: . 6. 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线 的焦点,另外两个顶点在抛物线上, 求这个等边三角形的边长. 新人教 A 版选择性必修一 P145 7. 已知 是椭圆 上的一点,且在 轴上方, 分别是椭圆的左、右焦 点,直线 的斜率为 ,求 的面积. 8. 如图,从椭圆 上一点 向 轴作垂线, (第 8 题) 垂足恰为左焦点 . 又点 是椭圆与 轴正半轴的交点,点 是椭圆与 轴正半轴的交点,且 , 求椭圆的方程. 9. 已知 两点的坐标分别是 . 直线 , 相交于点 ,且它们的斜率之和是 2,求点 的轨迹方程. 新人教 A 版选择性必修一 P146 12. 在抛物线 上求一点 ,使得点 到直线 的距 离最短. 13. 当 变化时,指出方程 表示的曲线的形状. 新人教 A 版选择性必修一 P146 16. 过抛物线 的焦点 作直线与抛物线交于 两点,以 为直径画圆, 观察它与抛物线的准线 的关系,你能得到什么结论? 相应于椭圆、双曲线如何? 你能证明 你的结论吗? 新人教 B 版选择性必修一 P141 (4) 已知椭圆的方程为 ,其中 为大于零的实常数,求这个椭圆 的焦点坐标与离心率. (5) 设动点 到定点 的距离与它到直线 的距离之比为 ,求点 的轨迹方程. 新人教 B 版选择性必修一 P143 (3) 已知椭圆 的左焦点为 ,直线 . 设 是椭 圆上的一点,求 到 的距离与 到直线 的距离之比. (1) 设动点 到定点 的距离与它到直线 的距离之比为 , ,求点 的轨迹方程,并用得到的轨迹方程解释 2.5.2 中例 3 得到 的结果. (2) 已知点 和 ,过点 的直线 和过点 的直线 相交于点 ,设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,如果 ,求点 的 轨迹方程, 并说明此轨迹是何种曲线. (3) 已知点 ,而且 是椭圆 的左焦点, 是椭圆上任意一 点,求 的最小值和最大值. 新人教 B 版选择性必修一 P155 (2) 已知双曲线的一个焦点是 ,一条渐近线方程为 ,求这个双曲 线的标准方程和离心率. (3) 当实数 时,方程 表示的都是双曲线,这些双曲线的共同点是 什么?新人教 B 版选择性必修一 P156 已知双曲线两顶点间的距离是 6 , 两焦点的连线被两顶点和中心四等分, 求双曲 线的标准方程. (5) 求证: 双曲线的焦点到其渐近线的距离等于半虚轴长. 新人教 B 版选择性必修一 P157 (3) 设动点 到定点 的距离与它到直线 的距离之比为 ,求点 的轨迹方程. (4) 已知双曲线 的左焦点为 ,直线 . 设 是双曲线上的一点,求 到 的距离与 到直线 的距离之比. (5) 已知 是双曲线 的两个焦点,点 在双曲线上,如果 ,求 的面积. (1) 如果过点 的直线与过点 的直线相交于点 ,而且两直线斜率 的乘积为 ,其中 . (1) 求点 的轨迹方程; (2) 讨论 的轨迹是何种曲线. (2) 设动点 到定点 的距离与它到直线 的距离之比为 , 其中 ,求点 的轨迹方程,并用得到的轨迹方程解释 2.6.2 中例 3 得到的结果. 新人教 B 版选择性必修一 P162 (5) 已知点 到点 的距离比它到直线 的距离小 2,求点 的 轨迹方程.新人教 B 版选择性必修一 P166 (3) 从抛物线 上各点向 轴作垂线段,求垂线段中点的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线. (4) 已知抛物线的顶点是坐标原点 ,对称轴为 轴,焦点为 ,抛物线上的点 的横坐标为 2,且 ,求此抛物线的方程. (5) 已知抛物线 和点 ,点 在此抛物线上运动,求点 到点 的距离的最小值,并指出取得最小值时点 的坐标. (6) 设抛物线 上一点 的横坐标为 ,证明 到抛物线焦点的 距离为 ,并总结出关于抛物线其他形式的标准方程的类似结论. 新人教 B 版选择性必修一 P167 (1) 已知抛物线 ,且 是抛物线上一点: (1) 设 为抛物线的焦点, ,求 的最小值,并求出取 得最小值时点 的坐标; (2) 设 的坐标为 ,求 的最小值 (用 表示),并求出取得最 小值时点 的坐标. (2) 已知抛物线的顶点在原点,焦点为 ,设点 到抛物线上的 点的距离的最小值为 ,求 的表达式. 新人教 B 版选择性必修一 P173 (1) 已知斜率为 2 的直线 过抛物线 的焦点,求弦 的长. (2) 已知直线 与抛物线 相交于 两点,且 为坐 标原点. (1) 求弦长 以及线段 的中点坐标; (2) 判断 是否成立,并说明理由. (3) 已知直线 的斜率与双曲线 的渐近线的斜率相等,求证: 直线 与双曲线 最多只有一个公共点. (4) 求过点 且与抛物线 ( )只有一个公共点的直线的 方程. (5) 已知斜率为 2 的直线 与抛物线 相交于 两点,如果线段 的 长等于 5 ,求直线 的方程. (3) 过抛物线 的焦点 的一条直线与此抛物线相交于 两点,已知 ,求线段 的中点到抛物线准线的距离.新人教 B 版选择性必修一 P174 (7) 垂直于 轴的直线与抛物线 交于 两点,且 ,求直 线 的方程. (3) 过抛物线的焦点的一条直线与它交于 两点,过点 和此抛物线顶点的 直线与抛物线的准线交于点 ,求证: 直线 平行于此抛物线的对称轴. (3) 过抛物线的焦点 的一条直线与此抛物线相交于 两点. 求证: 以 为直径的圆与该抛物线的准线相切. (1) 设抛物线 的焦点为 ,过 且斜率为 1 的直线 与 相交于 , 两点,求过点 且与 的准线相切的圆的方程. 新人教 B 版选择性必修一 P176 9. 已知等腰三角形 的顶点是 ,底边的一个端点是 ,求另 一个端点的轨迹方程. 新人教 B 版选择性必修一 P177 13. 已知 的三边 满足 且 ,求点 的轨迹方程,并说明它是什么曲线. 14. 若方程 是双曲线的方程,求实数 的取值范围. 15. 已知双曲线的离心率等于 ,且双曲线与椭圆 有公共焦点,求 此双曲线的标准方程. 新人教 B 版选择性必修一 P177 1. 已知三条直线 相交于一点,求 的值. 2. 求 四条直线所 围成的图形的面积. 3. (1) 已知直线 与直线 平行,求 的值; (2) 已知直线 与直线 垂直,求 的值. 新人教 B 版选择性必修一 P178 6. 光线从点 发出遇到 轴上一点 后被 轴反射,求反射 光线所在直线的方程. 7. 已知 ,在 轴上求点 ,使得 的面积为 12 .新人教 B 版选择性必修一 P178 8. 过点 作圆 的两条切线 ,切点分别为 ,求直线 的方程. 9. 已知一条曲线在 轴的上方,它上面的每一点到点 的距离减去到 轴的距离的差都是 2 , 求这条曲线的方程. 10. 已知方程 ,讨论当 取不同的值时,这个方程所表示的曲线 类型, 并写出曲线是椭圆和双曲线时的焦点坐标. 11. 过抛物线 的焦点的一条直线与这条抛物线相交于 两 点. 求证: 这两个交点到 轴的距离的乘积是常数. 12. 过抛物线的顶点 作两条互相垂直的弦 和 . 求证: 弦 与抛物线 的对称轴相交于定点. 13. 已知 是直线 被椭圆 所截得的线段 的中点,求直 线 的方程. 14. 已知椭圆 ,点 分别是它的左、右顶点. 一条垂直于 轴的 动直线 与椭圆相交于 两点,当直线 与椭圆相切于点 或点 时,看作 , 两点重合于点 或点 ,求直线 与直线 的交点 的轨迹方程. 15. 已知直线 与椭圆 相交于 两点,当 变化时, 求 的最大值. 16. 已知直线 与双曲线 相交于 两点, 为坐标原 点. 如果 ,求 的值. 17. 已知抛物线 的顶点在原点,对称轴是 轴,它的弦 所在直线的方程 为 ,弦长等于 ,求抛物线 的标准方程. 18. 过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线 ,且 交抛物线 于 两点,点 在 轴的上方,求 的值. 19. 已知双曲线 ,它的弦 的长是实轴长的 2 倍,如果弦 所 在的直线 过点 ,求直线 的方程. 20. 求双曲线 上任意一点 到两条渐近线的距离的乘积,并把结论 推广到一般的双曲线 .新人教 B 版选择性必修一 P179 21. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与双曲线的左支相交于 两点,如果 , 求 . 22. 已知抛物线 的弦 经过它的焦点 ,弦 的长为 20,求直线 的方程. 23. 设椭圆的方程为 ,斜率为 1 的直线不经过坐标原点 ,而且与椭圆相交于 两点, 为线段 的中点. 直线 与 能否垂 直? 证明你的结论. 24. 设 分别是直线 和 上的动点,且 , 设 为坐标原点,动点 满足 ,求动点 的轨迹方程. 25. 已知椭圆的中心是坐标原点 ,它的短轴长为 ,一个焦点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,且 . (1) 求椭圆的方程及离心率; (2) 如果过点 的直线与椭圆相交于点 两点,且 ,求直线 的方程. 新人教 B 版选择性必修一 P179 1. 已知点 ,直线 与线段 有交点,求 的 斜率的取值范围. 2. 直线 经过已知点 ,且被两条已知直线 截得的线段恰以 为中点,求直线 的方程. 3. 证明下述命题, 并给出结论的几何解释: (1) 如果 关于直线 的对称点为 ,则 的坐标为 ; (2) 如果 关于直线 的对称点为 ,则 的坐标为 .新人教 B 版选择性必修一 P180 4. 已知 关于直线 的对称点为 ,求点 的坐标. 5. 设圆 满足条件: 截 轴所得的弦长为 2 ; 被 轴分成两段的圆弧,其弧长 的比为 ; 圆心到直线 的距离为 . 求圆 的方程. 6. 过椭圆 的中心作一条直线交椭圆于 两点, 是 椭圆的一个焦点,求 的周长的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$