北京市十一学校2024届高三下学期三模数学试题

北京十一学校 2024 届高三数学三模参考答案 第1页 北京十一学校 2024 届高三数学三模（2024.5.28）参考答案 总分：150分 时间：120分钟 命题人：杨文学 一、选择题（共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．若复数 1 5( 1)z a a i= − + + 为纯虚数，其中 为虚数单位，则 =（ ） A． B． C． D． 解析：由 1 5( 1)z a a i= − + + 是纯虚数可知 1a = ，所以 5 21 (1 ) 1 1 2 a i i i i ai i + + + = = = − − ，答案 A 2.已知 A =x | log2(x−1) 1, B =x || x−3| 2，则 A B =（ ） A.空集 B. {x | x  3或x  5} C. {x | x  3或x  5且x 1} D.以上都不对 解析： A =x | log2(x−1)  log2 2 =x | 0  x−1 2 =x |1 x  3， B =x | x−3 2或x−3 −2 =x | x 1或x  5，注意 x  a  x  a或x  -a， x  a −a  x  a ，所以 A B =空集。答案 A 3. 已知向量a = (1,1) ,b = (1,−1)，若 (a + b) ⊥ (a + b)，则（ ） A.  +  =1 B.  +  = −1 C.  =1 D.  = −1 【详解】因为a = (1,1) ,b = (1,−1)，所以a +b = (1+,1− )，a + b = (1+ ,1−  )， 由 (a + b) ⊥ (a + b)可得， (a +b) (a + b) = 0，即 (1+ )(1+  )+ (1− )(1− ) = 0 整理得： = −1．故选：D． 4．已知m,n是两条直线， 是一个平面，且m∥ ，那么“m⊥ n ”是“n ⊥ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】由m,n是两条直线， 是一个平面且m∥ ， 如果m⊥ n ，可推得n∥α 或 n⊂α、 n⊥α；反之，如果 n⊥α，可推得m⊥ n ， 所以“m⊥ n ”是“n ⊥ ”的必要不充分条件．故选：B． 5. 数列{an}是等差数列 ，{bn}是各项均为正数的等比数列，公比q 1且 a5 = b5 ，则（ ） A．a3 + a7  b4 + b6 B．a3 + a7  b4 + b6 C．a3 + a7  b4 + b6 D． a3 + a7 = b4 + b6 答案：C 解析：因为数列{an}是等差数列且 a5 = b5 ，所以 a3 + a7 = 2a5 = 2b5 ； 又因为{bn}是各项均为正数的等比数列，公比 q 1，所以 4 6 5 5 5 5 1 ( ) 2 b b b b q b q b q q + = + = +  ，答案为 C； 6.在 2 5( 2)(2 1)x x− − 的展开式中， 5x 项的系数为（ ） A． 144− B． 16− C．16 D．144 详解： 5 5(2 1) (1 2 )x x− = − − ，其展开式通项公式为 1 5 ( 2 ) r r rT C x+ = − − ， 0,1,2,3,4,5r = ， ,a R i 5 1 a i ai + − i i− 1 1− 北京十一学校 2024 届高三数学三模参考答案 第2页 所以所求 5x 项的系数为 3 3 5 55 5( 2) 2 ( 2) 80 64 16C C− − + − = − = ，所以答案 C. 7. 已知函数 ( )y f x= 满足： ( )y f x= − 和 ( )2y f x= + 都是偶函数，且 ( ) π 1 3 f = ，设 ( ) ( ) ( )F x f x f x= + − ， 则 (3)F =（ ） A． π 3 B． 2π 3 C． π D． 4π 3 解析：因为 ( )y f x= − 为偶函数，所以 ( )( ) ( )f x f x− − = − ，所以 ( ) ( )f x f x− = ，所以 ( )y f x= 为偶函数； 又 ( )2y f x= + 是偶函数，所以 ( ) ( )2 2f x f x− + = + ，当 1x = 时， ( ) ( )1 3f f= ； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2π 3 3 3 2 3 2 1 3 F f f f f= + − = = = ．故选 B． 注意函数的自变量是 x ，不是 , 2x x− + 等，偶函数具有自变量取相反数，函数值相等的特征。 8.已知圆 ： 和两点 ， ，若圆 上存在点 ，使得 0PA PB = ， 则 的取值范围为( ) A． (0,1] B．[1,3] C．[2,3] D．[3, 4] 解析： 0PA PB = 说明 P 在以 AB 为直径的圆 2 2 2x y t+ = 上，而 P 又在圆C 上，因此两圆有公共点，则圆心距 位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，所以 | 1| | | 1t OC t−   + ，即 | 1| 2 1t t−   + ，又 0t  ，解得 1 3t  。答案：B 直线、圆、圆锥曲线相关的题目是解析几何领域的知识，看见代数形式要主动地去思考对应几何特征是什么， 反过来由几何特征也会用代数形式来刻画。 9. 已知函数 ( )f x 的部分图象如右图所示，则 ( )f x 的解析式可能为（ ） A． 2 5e 5e 2 x x x −− + B． 2 5sin 1 x x + C． 2 5e 5e 2 x x x −+ + D． 2 5cos 1 x x + 【详解】由图知：函数图象关于 y轴对称，其为偶函数，且 ( 2) (2) 0f f− =  ， 由 A、B中函数为奇函数，排除 A、B； 当 0x  时 2 5(e e ) 0 2 x x x −−  + 、 2 5(e e ) 0 2 x x x −+  + ，即 A、C 中 (0, )+ 上函数值为正，排除；故选：D 10. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C 的方程为： 2 2 1( 2) 2 4 x y x x + =  − + ,O为坐标原点，点 (1,0)A ，点 P 为卵圆上任意一点，有下列四种说法：①卵圆C 关于 x 轴对称； ②卵圆上不存在两点关于直线 1 2 x = 对称； ③ 线段PO长度的取值范围是[1,2]； ④ OAP 的面积最大值为1； 其中正确说法的序号是（ ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ C 2 2( 3) ( 1) 1x y− + − = ( 0)A t− ， ( 0)B t， ( 0)t  C P t 北京十一学校 2024 届高三数学三模参考答案 第3页 答案 ：B [解答]对于①：由对称理论易得①正确； 对于②：卵圆C 与 y 轴交点为 (0, 2)− 、 (0,2)，与 x 轴交点为 ( 1,0)− 、 (2,0)恰好关于 1 2 x = 对称，②错误， 事实上，设点 ( , )P m n （ 1 2m−   ），则 2 2 1 2 4 m n m + = + .(1) 若存在卵圆C 上点Q与 ( , )P m n 关于 1 2 x = 对称， 则 (1 , )Q m n− 在卵圆C 上，满足方程 2 2(1 ) 1 1 2 4 m n m − + = − + ,(2)，但(1)(2)无解； 对于③： 2 2 2 2 2| | 4(1 ) 2 m PO m n m m = + = + − + （ 1 2m−   ），可借助导数求最值，③正确； 对于④： 21 | | 1 2 2 OAP m S n m  = = − + （ 1 2m−   ），可求最大值，④正确； 二、填空题（共 6小题，每小题 5分，共 30 分） 11．过抛物线 21 4 y x= 的焦点F 的直线交抛物线于 A , B 两点，若弦 AB 中点纵坐标为 2，则 AB = _______. 【答案】6；由 21 4 y x= 得 2 4x y= ，所以 (0,1)F ，准线为 : 1l y = − ， 2 2 2 2 6A BAB y y= + + =  + = . 12.已知向量 a ， b ， c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c a b = + （ R ， ），则   的值__________________. 坐标法易得： 1 2, 2  = = − 得 4   = − . 13.在 ABC 中， , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边，且 2a c b+ = ，则角 B 的取值范围为__________. 解析： 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 3 3 22cos 2 2 8 a c a c a c b a c ac B ac ac ac + + − + − + − = = = 6 2 1 8 2 ac ac ac −  = ， 当且仅当 a c b= = ，即 ABC 为等边三角形时， 1 cos 2 B = , 又 0 B   (0, ] 3 B    . 注：若改为 2b ac= 呢？ 2 2 2 2 2 2 1 cos 2 2 2 2 a c b a c ac ac ac B ac ac ac + − + − − = =  = ， 当且仅当 a c b= = ，即 ABC 为等边三角形时， 1 cos 2 B = , 又 0 B   (0, ] 3 B    。 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 北京十一学校 2024 届高三数学三模参考答案 第4页 14．在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问 题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯 A 的发生 情况，对随机抽出的 200 名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题： 问题 1：你的阳历生日日期是否偶数？ 问题 2：你是否有 A 习惯？ 调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的 5 个白球和 5 个红球．每个被调查者 随机从袋中摸出 1 个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红 球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做． 已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为____________． 解：根据题意，被调查者回答第一个问题的概率为 5 1 10 2 P = = ；其阳历生日日期是偶数的概率也是 1 2 ， 所以随机抽出的 200 名学生中，回答两个问题的人数估计各有 1 200 100 2  = 人， 所以 200 人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有 200× 1 2 × 1 2 ＝50 人； 所以抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为 55﹣50＝5 人， 由此估计此中学学生有 A 习惯人数的百分比为 5 100 ＝5%． 15．我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”“势“即是几 何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积 相等，那么这两个几何体的体积相等． 已知双曲线 C的焦点在 x轴上，离心率为 5 ，且过点 (2,2 3) ， 则双曲线的渐近线方程为_____________________． 若直线 y＝0 与 y＝6 在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示 的图形，则该图形绕 y轴旋转一周所得几何体的体积为_________________． 解：∵双曲线 C的离心率 e＝ c a ＝ 5 ，∴c＝ 5 a；∴c2＝a2+b2＝5a2， ∴b2＝4a2；∴双曲线的方程为 2 2 2 2 1 4 x y a a − = ，过点 (2,2 3) ，即 2 2 4 12 1 4a a − = 解得 a2＝1，b2＝4， ∴双曲线方程为 2 2 1 4 y x − = ，则渐近线方程为 y＝±2x； 因为 ( 0)y t t=  与双曲线 2 2 1 4 y x − = 在第一象限的交点为 ( , )PP x t 且 2 2 1 4 P t x = + ； ( 0)y t t=  与渐近线 2 2 0 4 y x − = 在第一象限的交点为 ( , )QQ x t 且 2 2 4 Q t x = ； 所以阴影部分绕 y 轴旋转一周所得几何体被任意水平平面所截， 其截面面积为 2 2 2 2 2(1 ) 1 4 4 P Q t t x x   − = + − =  ； 所以由祖暅原理可知：该阴影图形绕 y轴旋转一周所得几何体的体积与底面半径为 1高为 6的圆柱体积相等， 即它绕 y轴旋转一圈所得几何体的体积为 6π． 故答案为：y＝±2x，6π． 北京十一学校 2024 届高三数学三模参考答案 第5页 三、解答题（本题共 6个小题，共 85分） 16．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy中，锐角 的顶点与原点O 重合， 始边与 x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于 ( , )M x y1 1 ，将 的终边按逆时针 方向旋转  3 ，交单位圆于 ( , )N x y2 2 ，记 ( )f y y = +1 2 . （Ⅰ）求函数 ( )f  的值域； （Ⅱ）在△ ABC 中，若 ( ) , ,sin sinf C c A B= = + = 13 3 3 7 14 ，求△ ABC 的面积. [解答]（Ⅰ） sin , sin ,y y      = = +    1 2 3 ………………………2 分 ( ) sin sin sinf y y            = + = + + = +        1 2 3 3 6 ……………4 分 sin               +    +     2 3 0 3 3 2 6 6 3 2 6 当且仅当    + = 6 2 即   = 3 时 min( )f  = 3， 所以，函数 ( )f  的值域是 ,       3 3 2 .………………6 分 （Ⅱ）由（1）得 ( ) sinf C C   = + =    3 3 6 ，所以 sin C   + =    1 6 ,C C        +  7 0 6 6 6 C    + = 6 2 , C  = 3 ,………………………7 分 由 sin sin sin a b c A B C = = = 7 3 2 ，又 sin sinA B+ = 13 3 14 得a b+ =13…………………10 分 由余弦定理 ( )cosc a b ab C a b ab= + − = + − 22 2 2 2 3 得ab = 40………………………12 分 sinABC aS b C = = 1 10 3 2 .………………………13 分 17.（本小题满分 13 分）近年来，汽车自动驾驶技术高速发展，日趋成熟。自动驾驶是依靠人工智能、视觉计 算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让自动驾驶系统可以在没有人类主动的操作下，自动安全地操 作机动车辆的技术，其安全性备受人们的关注。 2015年起，美国加州机动车管理局要求获得自动驾驶道路测试资质的公司每年 1月 1 日之前上交一份自动 驾驶年度报告，总结道路测试总里程数，以及过程中所经历的所有自动驾驶脱离事件，脱离事件是指在自动驾 驶系统遇到无法处理的情况时，由驾驶员人工干预的事件。 每次脱离平均行驶里程（MPD 值，Miles per Disengagement），代表自动驾驶汽车每行驶多少里程才需要 人工干预一次，它由一家公司报告的总里程数除以总脱离次数得到，这是衡量一辆自动驾驶汽车“驾驶水平” 北京十一学校 2024 届高三数学三模参考答案 第6页 的重要指标之一。下图是今年发布的《加州 2023年自动驾驶脱离报告》中选取了 10家公司的数据。 公司 所属国家 测试总里程（英里） 脱离次数 MPD值 百度 中国 108300 6 18050 谷歌 Waymo 美国 1454137 110 13219 通用 Cruise 美国 831040 68 12221 比亚迪 中国 32054 3 10684 小马智行 中国 174845 27 6475 Nuro 美国 68762 34 2022 Zoox 美国 67015 42 1595 小米 中国 12272 8 1534 苹果 美国 7544 64 117 奔驰 德国 14238 2054 6.9 （I）从表中随机抽取一家中国公司和一家美国公司，求抽到的中国公司比抽到的美国公司 MDP值高的概率； （II）从表中的 10家公司随机抽取 3家，求至少有 2 家 MPD 值大于 10000的概率； （III）有人认为根据《加州 2023 年自动驾驶脱离报告》的数据，可以说明百度公司的自动驾驶技术已经全面 超越谷歌公司。你是否同意此观点？并说明你的理由. 解析：（I）因为表中有 4家中国公司，5家美国公司，随机抽取一家中国公司和一家美国公司共4 5 20 = 种情 况.……………………1分 表中所有的美国公司中，MDP 值比百度低的有 5家，比 AutoX 和小马智行低的有 3家，比小米低的有 1家， 所以抽到的中国公司比抽到的美国公司 MDP值高的情况共有5 3 3 1 12+ + + = 种………………2分 故抽到的中国公司比抽到的美国公司 MDP值高的概率为 12 3 20 5 p = = .……………………3分 （II）设“从表中的 10家公司随机抽取 3家，至少有 2家 MPD值大于 10000”为事件 A 表中的 10家公司中有 4家 MPD值大于 10000.……………………4分 设“恰有 2家公司 MPD值大于 10000”为事件 B，“恰有 3家公司 MPD值大于 10000”为事件 C， 则 A B C= ，且 B，C互斥…………………………6分 所以 ( ) ( ) ( )P A P B P C= + ………………………………7 分（也可以用文字叙述，也可以用随机变量） 2 1 3 0 4 6 4 6 3 3 10 10 36 4 1 120 3 C C C C C C + = + = = ………………………9分（式子 2 分，结果 1分） （III）我不同意此观点-----------10分 （理由说出下面之一或其他合理的理由即可，但要注意一定要提到数字，养成用数据说话的习惯）---14分 ① 虽然百度公式的 MPD 值为 18050，高于谷歌 Waymo 的 13219，但是百度公司的测试总里程 108300 远小 于谷歌 Waymo的 1454137，样本比较小，测试值与实际值偏差较大的可能性更大，所以不能确定。 ② 虽然百度公式的 MPD值为 18050，高于谷歌 Waymo的 13219，但是 MPD值只是衡量自动驾驶汽车“驾驶 水平”的重要指标之一，不能说明百度公司的自动驾驶技术在其他方面也超越了谷歌公司。 （如果回答同意此观点，并且摆出了数据说明的理由，给 4分，说理不充分酌情扣分）…………13分 北京十一学校 2024 届高三数学三模参考答案 第7页 18.（本小题满分 14 分）四棱锥 P ABCD− 中，底面 ABCD是边长为 2 的 菱形， 2π 3 DAB = ，AC BD O= 且 PO ⊥平面 ABCD， 3PO = ，点 ,F G 分别是线段 ,PB PD的中点，点 E 在 PA上且 3PA PE= . （Ⅰ）求证: //BD 平面 EFG ； （Ⅱ）求直线 AB 与平面 EFG 所成角的正弦值； （Ⅲ）请画出平面 EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤. 解：（Ⅰ）在 PBD 中，因为点 ,F G 分别是线段 ,PB PD上的中点， 所以 //FG BD，………………………2 分 因为 BD平面 EFG ， FG平面 EFG ， 所以 //BD 平面 EFG .………………………………4 分 （Ⅱ）因为底面 ABCD是边长为 2 的菱形， 所以OA OB⊥ ，……………………5 分 因为 PO ⊥平面 ABCD， 所以 PO ⊥ ,OA PO OB⊥ ，………………6 分 如图，建立空间直角坐标系，则依题意可得 (1,0,0), (0, 3,0), ( 1,0,0), (0, 3,0), (0,0, 3)A B C D P− − , 1 2 3 ( ,0, ) 3 3 E ， 3 3 3 3 (0, , ), (0, , ) 2 2 2 2 F G − ……7 分 所以 ( 1, 3,0)AB = − ， 1 3 3 ( , , ) 3 2 6 EF = − − ， (0, 3,0)GF = ， 设平面 EFG 的法向量为 ( , , )n x y z= ，则由 0, 0 n EF n GE   =   = 可得 1 3 3 0 3 2 6 3 0 x y z y  − + − =   = ， 令 3x = ， 可得 3( ,0, 3) 2 n = − ，………………8 分 因为 21 cos , 14| || | AB n AB n AB n   = = ，…………9 分 所以直线 AB 与平面 EFG 的成角的正弦值为 21 14 .………………10 分 （Ⅲ）记平面 EFG 与直线 PC 的交点为H ，设 PH PC=  ，则： 3 3 3 (1 2 ) 3 (0, , ) ( 1,0, 3) ( , , ) 2 2 2 2 FH FP PH − = + = − + − − = − −    由 3 (1 2 ) 3 3 3 3(1 2 ) ( , , ) ( ,0, 3) 0 2 2 2 2 2 FH n − −  = − −  − = + =     可得 1 = . 所以H 即为点C . 所以连接 ,CG CF ，则四边形 EFCG 为平面 EFG 与四棱锥的表面的交线.…………………………14 分 法二：在平面 PAB 内延长 EF 与 AB 延长线相交于点 M，由平面几何知识易得 BM=AB=2；（如下左图） 同理：在平面 PAD 内延长 EG 与 AD 延长线相交于点 N，得 DN=AD=2； 又在菱形 ABCD 中，由平面几何知识易得，连结 MN 过点 C，（如下右图） A B CD O P G E F A B CD O P G E F z x y 北京十一学校 2024 届高三数学三模参考答案 第8页 所以，连结 FC、GC，则四边形 CGEF 就是所求作的交线。………………………………14 分 19.已知函数 ( ) ( )( ) ln 1 1f x x k x= + + + ． （Ⅰ）求 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）若 ( ) 1f x − 恒成立，求实数 k 的取值范围； （Ⅲ）求证： 2 ln ( 1) 1 4 n i i n n i= −  +  ．（ 2n nN且 ） 解：（Ⅰ）函数 ( )f x 的定义域为 ( 1, ).− + ············································································· 1 分 1 '( ) . 1 f x k x = + + ··········································································································· 2 分 ① 0k  时, '( ) 0,f x  ( )f x 的递增区间为 ( 1, ),− + 无递减区间; ····························· 3 分 ③ 0k  时,令 '( ) 0f x  得 1 1 1x k −   − − ；令 '( ) 0f x  得 1 1x k  − − ， ··················· 4 分 所以 ( )f x 的递增区间为 1 ( 1, 1 ), k − − − 递减区间为 1 ( 1 , ) k − − + . ····························· 5 分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知， 0k  时, ( )f x 在 ( 1, )− + 上递增, (0) 0f k=  ,不合题意, ············· 6 分 故只考虑 0k  的情况, 由(Ⅰ)知 max 1 ( ) ( 1 ) 1 ln( ) 1f x f k k = − − = − − −  − 即 ln( ) 0 1 1k k k−  −    − ………………………………………………8 分 综上， k 的取值范围为 1.k  − ················································································· 9 分 （Ⅲ）由(Ⅱ)知：当 1k = − 时， ( ) ( )ln 1 1 1x x+ − +  − 恒成立，所以 ( )ln 1x x+  ，…………10 分 所以 ln 1x x − 当 2x  恒成立，进而 2 2ln 1( , 2)n n n N n −   即 2ln ( 1)( 1)n n n − + ， ln 1 ( 2). 1 2 n n n N n n −    + ， ··················································································· 12 分 所以 2 ln ln 2 ln3 ln 4 ln 1 2 3 1 ( 1) .( 2) 1 3 4 5 1 2 2 2 2 4 n i i n n n n n N n i n= − − = + + +    +  + + +    + =   + +  且 即 2 ln ( 1) .( 2) 1 4 n i i n n n N n i= −    +  且 ··········································································· 15 分 北京十一学校 2024 届高三数学三模参考答案 第9页 20．（本题满分 15分）已知椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 x y+ = ，梯形 ABCD的顶点在椭圆上. （Ⅰ）已知梯形 ABCD的两腰 AD=BC，且两个底边 AB和 DC与坐标轴平行或在坐标轴上.若梯形一底边 AB=2， 高为 3 ，求梯形 ABCD的面积； （Ⅱ）若梯形 ABCD的两底 AB和 DC与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形?并说 明理由. [解答]（Ⅰ）若两底 AB 和 DC 与 y 轴平行，由椭圆方程得 A，B为该椭圆的上下顶点，………1 分 不妨设 DC 在 y轴右侧，设 ( 3, )C y ， ( 3, )D y− ， 代入椭圆方程解得 1 ( 3, ) 2 C ， 1 ( 3, ) 2 D − ，………………2 分 所以梯形另外一底 1CD = ，因此面积 2 1 3 3 3= 2 2 S + = ；………………3 分 若两底 AB和 DC与 x轴平行，因为 AB=2，不妨设 AB在 x轴上方且 3 3 (1, ), ( 1, ) 2 2 A B − ，…………4 分 由高为 3 可得 3 (1, ) 2 C − ， 3 ( 1, ) 2 D − − ，但此时四边形 ABCD为矩形，不合题意，故舍去. ………5 分 综合可得：满足条件的梯形 ABCD 的面积为 2 1 3 3 3= 2 2 S + = ……………………6 分 (Ⅱ)该梯形不可能为等腰梯形，理由如下：…………………………7 分（此分可以在最后下结论给） 由题意可知梯形两底所在直线的斜率存在且不为零，…………………………7 分 设直线 AB方程为 1,y kx m= + 直线 CD方程为 2 ,y kx m= + 其中 1 20, ,k m m  联立方程 2 2 1 1 4 , x y y kx m  + =   = + ， ，整理得 2 2 2 1 1(1 4 ) 8 4 4 0k x km x m+ + + − = ，………………9 分 0)44)(41(4)8( 2 1 22 1 −+−= mkkm 整理得 014 2 2 2 +−mk ①…………………10 分 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 , 41 2 2)(, 41 8 2 1 121212 1 21 k m mxxkyy k km xx + =++=+ + −=+ 故 AB中点M坐标为 ) 41 , 41 4 ( 2 1 2 1 k m k km M ++ − ； 同理可得 CD中点 N坐标为 ) 41 , 41 4 ( 2 2 2 2 k m k km N ++ − ；……………………12 分 若梯形 ABCD为等腰梯形，则有 AB⊥MN，即 1−= MNkk ，……………13 分 但 kk k km k km k m k m kMN 1 4 1 41 4 41 4 4141 2 1 2 2 2 1 2 2 −−= + + + − + − += ，所以梯形 ABCD不可能为等腰梯形. …………15 分 北京十一学校 2024 届高三数学三模参考答案 第10页 21．（本题满分 15 分）已知 L N ，数列 1 2: nA a a a， ，， 中的项均为不大于 L的正整数. kc 表示 1 2, , , na a a 中 k 的个数 ( 1 )k L= ，2，， . 定义变换T ：T 将数列 A变成数列 1 2( ) : ( ), ( ), , ( )nT A t a t a t a ，其中 1 2( ) k c c c t k L n + + + =  . （Ⅰ）若 4L = ，对数列 A：1，1，2，3，3，4，写出 ic 4)i (1 的值； （Ⅱ）已知对任意的 ( 1,2, , )k k L= ，存在 A中的项 ma ，使得 ma k= . 求证： ( )i it a a= ( 1,2, , )i n= 的充分必要条件为 ( 1 2 )i jc c i j L= =， ，， ， ； （Ⅲ）若 L n= ，对于数列 1 2: , , , nA a a a ，令 1 2( ( )) : , , , nT T A b b b ，求证： ( )i ib t a= ( 1,2, , ).i n= 解：（Ⅰ） 1=2c 2 =1c 3 =2c 4 =1.c ............................3 分 （Ⅱ）由于对任意的正整数 (1 )k k L  ，存在 A 中的项 ma ，使得 ma k= . 所以 1 2 Lc c c， ， ， 均不为零. 必要性：若 ( )i it a a= (1 )i n  ，由于 1 2( ) k c c c t k L n + + + =  ， 所以有 1(1) 1 c t L n =  = ； 1 2(2) 2 c c t L n + =  = ； 1 2 3(3) 3 c c c t L n + + =  = ； ； 1 2( ) L c c c t L L n + + + =  . 通过解此方程组，可得 ( 1 2 )i jc c i j L= =， ，， ， 成立. …………………6分 充分性：若 ( 1 2 )i jc c i j L= =， ，， ， 成立，不妨设 ( 1 2 )i jh c c i j L= = =， ，， ， ，可以得到 h L n = . 所以有： (1) 1 h t L n =  = ； 2 (2) 2 h t L n =  = ； 3 (3) 3 h t L n =  = ； ； ( ) Lh t L L L n =  = . 所以 ( )i it a a= (1 )i n  成立. ............................9 分 （Ⅲ）设 1 2: nA a a a， ，， 的所有不同取值为 1 2 mu u u， ，， ，且满足： 1 2 mu u u   . 不妨设 1 211 12 1 21 22 2 1 2 : , mr r m m mr A u u u u u u u u u， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 其中 111 12 1r u u u= == ； 221 22 2r u u u= = = ； ； 1 2 mm m mru u u= == . 又因为 L n= ，根据变换T 有： 1 111 12 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) u r c t u t u t u t u L r n = = = = =  = ； 1 2 221 22 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) u u r c c t u t u t u t u L r r n + = = = = =  = + ； ; 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) m m u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L n + + + = = = = =  = + + + = ； 所以 1 2 1 1 1 2 2 2( ) : ( ), ( ), , ( ) ( ), ( ), , ( ) ( ), ( ), , ( ). m m m m r r r T A t u t u t u t u t u t u t u t u t u 个 个 个 ， ， 即 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2( ) : , , , , , , , , , . mrr r T A r r r r r r r r r L L L+ + + 个个 个 ， ， ， 所以 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2( ( )) : ( ), ( ), , ( ) , ( ), ( ), , ( ) ( ), ( ), , ( ). mrr r T T A t r t r t r t r r t r r t r r t L t L t L+ + + 个个 个 ， ， 因为 1 1 2 1 2 ,mr r r r r r +   + + + 所以有 1 1 1 2 1 2 1 2( ) , ( ) , , ( )mt r r t r r r r t r r r L= + = + + + + = . 北京十一学校 2024 届高三数学三模参考答案 第11页 因此， 1 1 2 1 21 2 1 1 1 1 2 , , ,r r r r rb b b r b b b r r+ + += = = = = = = = + 1 2 1 1 2 11 2 1 2m mr r r r r r n m b b b r r r L − −+ + + + + + + + = = = = + + + = 即 ( ( )) :T T A 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2, , , , , , , , , . mrr r r r r r r r r r r L L L+ + + 个个 个 ， ， ， 从而 ( )( 1, 2, , )i ib t a i n= = . 因此结论成立. ...........................15 分