广东省深圳市深圳大学附属中学、龙城高级中学第二次段考2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题(无答案)

2023-2024学年度第二学期第二次段考 高一年级数学试题 教务处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则的共轭复数（ ） A． B． C． D． 2．已知，为共线向量，且，则（ ） A． B．3 C． D． 3．将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（ ） A．5 B．6 C． D． 4．党的十八大以来，我国把绿色发展理念融入城乡规划建设管理之中，合理布局城市的生产空间、生活空间、生态空间，持续推进城市园林绿化工作。为践行生态文明的理念，某学校全体师生于3月12日开展植树活动，购买了樟树、银杏、桂花、梧桐四种树苗共计800棵，比例如图所示，高一年级师生、高二年级师生、高三年级师生参加植树活动的人数之比为，若每种树苗均按各年级师生参加植树人数的比例进行分配，则高二年级师生应分得桂花树苗的数量为（ ） A．30棵 B．50棵 C．72棵 D．80棵 5．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 6．在中，已知，，则“”是“”成立的（ ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充分必要 D．既不充分也不必要 7．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则该灯笼的体积为（取）（ ） A． B． C． D． 8．在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则为（ ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，下列结论正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D．若是关于的方程的一个根，则 10．如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，是的中点，将，分别沿折起，使两点重合于，下列说法正确的是（ ） A．若把沿着继续折起，可以与重合 B． C．四面体的外接球体积为 D．点在面上的射影为的重心 11．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ） A． B．的最大值为 C．最大值为9 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知样本数据为1，，，7，9，且是方程的两根，则这组样本数据的方差是  . 13．正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为  . 14．如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为  . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知复数（，为虚数单位）. （1）若，是纯虚数，求的值； （2）若，求实数的值. 16．（15分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如图所示频率分布直方图。 （1）求图中的值； （2）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积. 18．（17分）在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）为边上一点，，且，求. 19．（17分）类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线构成的三面角，，，，二面角的大小为，则. （1）如图2，四棱柱中，平面平面，，，求的余弦值； （2）当时，证明以上三面角余弦定理； （3）如图3，斜三棱柱中侧面的面积分别为，记二面角，二面角，二面角的大小分别为，试猜想正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$